专题06因式分解期末易错压轴专项训练(18大题型共计74道)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦因式分解全章高频易错点与压轴题型，通过18个专项模块系统梳理解题思路与易错点，构建从基础分解到综合应用的逻辑体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错01-09|3-7题/模块|区分因式分解与整式乘法、提公因式法“三要素”、公式法形式识别，强调分解彻底性|从概念判断到提公因式法、公式法（平方差/完全平方），再到综合法与实数范围分解，形成“概念-方法-拓展”递进链| |压轴11-18|3-5题/模块|整体代入求值需因式分解凑已知式，含参数问题用系数对比/因式定理，几何与最值问题结合图形性质与配方法|从代数应用（简算、求值）到几何应用（面积、三角形形状），再到综合问题（整除性、最值），体现“代数-几何-综合”的应用逻辑|

专题06因式分解期末易错压轴专项训练 本专练聚焦因式分解全章高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈 易错01.判断是否是因式分解 易错02.由因式分解的结果求参数 易错03.提公因式法分解因式 易错04.判断能否用公式法分解因式 易错05.平方差公式分解因式 易错06.完全平方公式分解因式 易错07.综合运用公式法分解因式 易错08.综合法分解因式 易错09.实数范围内分解因式 易错10.因式分解在简算中的应用 压轴11.因式分解与整体代入求值 压轴12.含参数的因式分解 压轴13.因式分解与整除性问题 压轴14.因式分解中几何计算题 压轴15.因式分解判定三角形形状 压轴16.平方非负性求值计算 压轴17.因式分解与最值问题 压轴18.因式分解中配方法的综合应用 易错01.判断是否是因式分解 典题特征：给出多项式变形的式子，判断是否属于因式分解。 易错点：①混淆因式分解与整式乘法（整式乘法是“积→和差”，因式分解是“和差→积”）；②分解结果不是整式的积（如出现分式、加减形式）；③分解不彻底。 1．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形需正确，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．式子左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意， B．式子右边是整式和的形式，不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意， C．式子左边是多项式，右边是整式的积的形式，且变形正确，属于因式分解，符合题意， D．式子左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意． 2．下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是整式乘法运算，结果是多项式，不是乘积形式，该项不符合题意． B．将多项式化为三个整式的乘积，符合因式分解的定义，该项符合题意． C． 的结果是和的形式，不是整式乘积，该项不符合题意． D． 中，是分式，不是整式，不符合要求，该项不符合题意． 3．下列等式从左边至右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是将多项式变形为几个多项式乘积的形式，需满足左边是多项式，右边是多项式的乘积． 本题主要考查了因式分解的定义，掌握基本概念是解题关键． 【详解】∵ 因式分解的定义是多项式变为多项式乘积； 选项A：右边含分式 ，不是整式，∴ 不符合； 选项B：右边为和的形式，非乘积，∴ 不符合； 选项C：左边是单项式，非多项式，∴ 不符合； 选项D：左边是多项式，右边是多项式的平方，∴ 符合 故选：D． 易错02.由因式分解的结果求参数 典题特征：给出多项式分解后的形式，求多项式中未知的参数值。 易错点：①展开等式两边后，对应项系数对应错误；②忽略参数的取值范围（如系数不为0的隐含条件）；③计算过程中符号出错。 4．若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B．9 C． D．6 【答案】A 【分析】利用因式分解与整式乘法互逆的关系，展开因式分解的结果，对比对应项系数求出和的值，再计算． 【详解】解：∵，又， ∴ 对比对应项系数得，， 解得， 将代入得， ∴． 5．若多项式有一个因式是，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求整式中的系数，解题的关键是正确设另一个因式． 由于是多项式的一个因式，根据因式定理，当时，多项式的值为零． 【详解】解：将代入多项式，得 ， 计算得 ， ， ， 解得． 故答案为：． 6．若是多项式因式分解的结果，则的值为（    ）． A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】先计算，由即可求得的值． 【详解】解：， 由题意得，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，因式分解的定义，熟练掌握多项式的运算法则是解题的关键． 7．分解因式时，嘉嘉看错了a的值，分解的结果是，琪琪看错了b的值，分解的结果是，求的值． 【答案】 【分析】根据因式分解及整式的乘法进行求解即可． 【详解】解：∵嘉嘉看错了a的值，分解的结果是，且， ∴， ∵琪琪看错了b的值，分解的结果是，且， ∴， ∴． 易错03.提公因式法分解因式 典题特征：用提公因式法分解多项式，包括公因式为多项式、含负号的情况。 易错点：①公因式找不全（系数、字母、次数三部分都要找最大公因式）；②提公因式后，某一项被提完后漏写“1”；③公因式带负号时，多项式各项符号未全部变号。 8．因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的因式分解，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．首先观察式子中的，利用的关系，将其转化为的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．下列各式能因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义判断即可，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项符合题意； B、，没有公因式，不能因式分解，故选项不符合题意； C、，没有公因式，不能因式分解，故选项不符合题意； D、，没有公因式，不能因式分解，故选项不符合题意； 故选：A． 10．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】首先观察多项式各项，确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，两者相乘得到公因式；因为因式分解提公因式法的规则是将公因式提取到括号外，所以用多项式的每一项分别除以公因式，将得到的结果作为括号内的因式，整理后完成分解；如果多项式首项系数为负，那么先提取负号，使括号内首项系数为正，再对剩余部分提取公因式． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 11．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．把作为一组，作为一组，分别展开，再把作为一个整体，继续展开，然后进行因式分解即可． 【详解】解： ． 易错04.判断能否用公式法分解因式 典题特征：判断多项式是否符合平方差或完全平方公式的形式。 易错点：①平方差公式混淆“和差的平方”与“平方差”的形式；②完全平方公式漏看中间项的系数，或忽略中间项的正负号；③未先整理多项式，直接套用公式导致误判。 12．下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式分解因式的条件：多项式为三项，两项为符号相同的平方项，第三项为两平方项底数乘积的2倍，逐一判断即可. 【详解】解：∵选项A的多项式中，两个平方项与符号不同，不符合要求，∴A错误； ∵选项B的多项式只有两项，不符合完全平方公式分解的要求，∴B错误； ∵选项C的多项式中，一次项不是，不满足条件，∴C错误； ∵选项D的多项式，符合完全平方公式，∴D正确. 13．下列四个多项式中，不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的判断，利用提公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）分析每个多项式是否能因式分解． 【详解】解：∵A选项，符合完全平方公式，可因式分解； ∵B选项，符合平方差公式，可因式分解； ∵C选项没有公因式，也不符合常见公式的形式，无法因式分解； ∵D选项，提公因式x即可因式分解； 故选：C． 14．已知下列多项式：①；②；③；④其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（   ） A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的特点逐一判断即得答案． 【详解】解：与不是完全平方式，故①③不能用完全平方公式进行因式分解； ，故②能用完全平方公式进行因式分解； ，故④能用完全平方公式进行因式分解； 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键． .易错05.平方差公式分解因式 典题特征：用平方差公式分解形如 a2-b2 的多项式，含多次分解的情况。 易错点：①未先提公因式，直接套用公式；②分解不彻底（如分解后仍可继续用平方差分解）；③混淆平方差公式的形式，错误分解为 (a-b)2。 15．因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，解题思路为先将原式整理为平方差的形式，利用平方差公式分解后，再对可分解的多项式继续分解，直到不能再分解为止． 【详解】解： ． 16．若多项式可以在有理数范围内运用平方差公式分解因式，则单项式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式的形式为，将每个选项代入多项式，判断是否能转化为两个有理数范围内的平方项的差的形式． 【详解】解：当时，多项式为，此为单项式，无法运用平方差公式分解因式，故A选项不符合题意； 当时，多项式为，是平方和，不能运用平方差公式分解因式，故B选项不符合题意； 当时，多项式为，该式子无法转化为两个平方项的差的形式，不能运用平方差公式分解因式，故C选项不符合题意； 当时，多项式为，符合平方差公式的形式，能在有理数范围内分解因式，故D选项符合题意． 17．因式分解： (1) ； (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解 （2）根据完全平方公式因式分解； （3）利用平方差公式进行因式分解； （4）利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解： 18．分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解此题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先去括号，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 易错06.完全平方公式分解因式 典题特征：用完全平方公式分解形如 a22ab+b2 的多项式。 易错点：①中间项系数判断错误（未注意系数的一半平方是否等于常数项）；②忽略完全平方式的两种形式（和与差）；③含负号时，未先提取负号再套用公式。 19．因式分解： （1）__________； （2）__________； （3）__________； （4）__________． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3） ； （4）． 20．下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式的结构，对各选项逐一判断即可． 【详解】A、，可用平方差公式分解，不符合完全平方公式； B、，符合完全平方公式的结构，能用完全平方公式分解； C、无法化为的形式，不能用完全平方公式分解； D、的常数项为负，无法化为的形式，不能用完全平方公式分解； 故选：B． 21．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 易错07.综合运用公式法分解因式 典题特征：同时使用平方差和完全平方公式分解因式，或多次运用同一公式。 易错点：①公式使用顺序混乱，导致分解错误；②分解不彻底，残留可继续分解的因式；③计算过程中符号出错。 22．分解因式：________． 【答案】/ 【分析】将原多项式分组变形，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解：====， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，灵活运用因式分解的方法是解答的关键． 23．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题的关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 24．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再由完全平方公式因式分解即可； （2）先由平方差公式因式分解，再对每个因式由完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．因式分解： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）先用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解； （3）先把看成一个整体，利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行分解． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式，整体思想，是解决本题的关键． 易错08.综合法分解因式 典题特征：需先提公因式，再用公式法分解因式的题目。 易错点：①忘记先提公因式，直接套用公式导致分解错误；②提公因式不彻底，后续公式法分解时出错；③提公因式后，括号内的多项式未整理为标准公式形式。 26．因式分解：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：． 27．分解因式：______． 【答案】 【详解】解： ． 28．把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了提公因式法及公式法分解因式，要先提公因式，再用公式法． 先提取公因数2，再将括号内的二次三项式用完全平方公式因式分解． 【详解】解： ． 故选：C． 29．因式分解 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式计算即可得出结果； （2）先提取公因式，再利用平方差公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：      ． 易错09.实数范围内分解因式 典题特征：在有理数范围内无法分解的多项式，要求在实数范围内继续分解。 易错点：①混淆有理数与实数范围的分解要求，未继续分解；②对形如 a2-b（b>0）的式子，未正确写成平方差形式；③分解时出现根式错误。 30．在实数范围内分解因式：_________． 【答案】 【分析】先提取公因式x，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 31．在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内对二次三项式进行因式分解，解题的关键是利用求根公式求出二次三项式对应的方程的根，再根据因式分解的方法进行分解． 先将二次三项式视为关于的一元二次方程，求出其根，再根据“若的根为，则”进行因式分解． 【详解】解：对于，将其看作关于的方程， 由求根公式得： ． 则 ． 故答案为：． 32．在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式；通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式. 【详解】解：∵对于，判别式， ∴根为， ∴因式分解为， 故选：B. 33．在实数范围内分解因式． 【答案】 【分析】此题考查了实数范围内分解因式．先利用十字相乘法分解，再用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 易错10.因式分解在简算中的应用 典题特征：利用因式分解简化有理数的计算，如求算式的值、比较大小。 易错点：①未正确识别可因式分解的部分，无法简化计算；②因式分解过程中出错，导致简算结果错误；③简算时漏项或符号错误。 34．利用因式分解计算：_________． 【答案】4051 【分析】先利用平方差公式进行因式分解，然后再计算即可． 【详解】解：． 35．计算的结果是______． 【答案】 【分析】先提公因式，再进行计算即可． 【详解】解：原式 故答案为： 36．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 37．（1）分解因式：； （2）利用因式分解计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了提公因式法、平方差公式、完全平方公式在因式分解及简便计算中的应用，熟练掌握因式分解的方法和乘法公式的结构特征是解题的关键． （1）先提取公因式 ，再将括号内的式子整理为平方差的形式，利用平方差公式分解，最后对分解后的因式用完全平方公式进一步化简； （2）观察式子结构，将 转化为 ，使原式符合完全平方公式的形式，再利用公式进行简便计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 38．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用， （1）将原式转化为，然后利用完全平方公式进行因式分解，再进行有理数的乘方运算； （2）将原式利用结合律进行分组，然后利用平方差公式进行因式分解，再进行乘法和加法运算； 掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 压轴11.因式分解与整体代入求值 典题特征：已知a+b、ab等组合式的值，求可分解为含这些式子的多项式，不单独给字母值。 解题思路：①对所求式因式分解，凑出已知组合式；②将已知值整体代入；③按运算规则计算结果。 39．已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】先利用平方差公式将因式分解，再将代入求值即可． 【详解】解：． 40．若，，则_______． 【答案】 【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解： ． 将代入得， ． 41．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用平方差公式分解因式、整体代入法求代数式的值，先利用平方差公式对所求代数式进行因式分解，可得：原式，再将分解后的式子与已知条件建立联系，代入计算即可得出结果. 【详解】解： ， ，， 原式 ． 故选：B． 42．已知实数m、n、p满足，，，则的值等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】将三个等式相加后配方，利用非负数的性质求出m、n、p的值，再计算和即可． 【详解】解：将三个已知等式左右分别相加，得， 整理得， 对左边配方得， 即， ∵ 任意实数的平方为非负数，三个非负数的和为0， ∴ 每个平方均为0， ∴，，， ∴． 压轴12.含参数的因式分解 典题特征：多项式含未知参数，给出分解结果/部分因式，求参数值或所有可能值。 解题思路：①给分解结果时，展开后与原式对比系数列等式；②给部分因式时，用因式定理（因式为0则多项式值为0）代入求参数；③找所有参数时，用十字相乘法枚举常数项因数组合反推。 43．二次三项式有一个因式是，则实数的值为______． 【答案】 【分析】已知二次三项式的一个一次因式，可设出另一个一次因式，根据多项式乘法法则展开后，利用多项式相等对应项系数相等列方程求解． 【详解】设另一个因式为， 由题意得， 即， ，解得． 44．若实数x，y，m满足，，则m的值为______________． 【答案】3 【分析】先把两个等式相加，再进行配方，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求解． 【详解】解：，， 两式相加，得：， ， ， ，， ， ． 45．已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（    ） A．4 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于的方程是解此题的关键．因多项式有一个因式是，则当时，多项式的值为零，由此得出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵多项式有一个因式是， ∴当时，多项式值为零，即， 解得， 即k的值为． 故选：B． 46．若是的一个因式，则的值为（    ） A．4 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，由已知中的两个因式，发现它们的关系符合平方差的形式是解题的关键． 根据多项式结构特点整理，判断出是运用平方差公式进行的分解，即可求解． 【详解】解：，它的一个因式 分解时是利用平方差公式， ． 故选：C． 47．若多项式可用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（    ）． A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，则可得，比较等式两边各项的系数即可得． 【详解】解：∵多项式可用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 压轴13.因式分解与整除性问题 典题特征：题目含“整除”“倍数”表述，判断式子能否被某数/整式整除，或求整除时的参数/整数n。 解题思路：①对原式因式分解为多个因式乘积；②分析各因式的整数特征（连续整数、奇偶性、质因数）；③验证乘积是否包含除数的所有质因数，得出结论。 48．对任意整数，都能被_____整除． 【答案】 【分析】先利用平方差公式对原式因式分解，再结合的奇偶性进行分类讨论，判断分解后式子的倍数特征，即可得到结果． 【详解】解：， ①当为偶数时， ∴是偶数，是奇数， ∴是8的倍数； ②当为奇数时， ∴是奇数，是偶数， ∴是8的倍数； 综上所述，对任意整数，都能被整除． 49．下列正整数①3；②17：③45：④85；⑤257，其中能整除的是_____．（填出所有正确答案的序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】利用平方差公式对进行因式分解，再将各选项正整数分解因数，判断是否为的因数即可． 【详解】解： ， 依次判断各数： ① ，是的因数，能整除； ② ，是的因数，能整除； ③ ，只含一个因数，故不是的因数，不能整除； ④ ，和都是的因数，故是的因数，能整除； ⑤ ，是的因数，能整除； 综上可得，能整除的是①②④⑤． 50．已知能被20到30之间的两个整数整除，则这两个整数的和是__________． 【答案】50 【分析】此题考查因式分解的应用，利用平方差公式把变形为，即可求解． 【详解】解： ∵能被20 到 30 之间的两个整数整除，则这两个整数的和是， 故答案为：50． 51．若n为正整数，则一定能整除的数中，最大的正整数是（    ）． A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】D 【分析】本题考查乘法公式的应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键． 利用平方差公式简化表达式，得到，从而判断出选项． 【详解】解：∵ 又∵ n为正整数， 即是正整数， ∴ 原式能被12整除，且12是选项中最大的正整数， 故选：D． 52．若是整数，则一定能被整数（是一位整数）整除，整数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，先将因式分解为三个连续整数的乘积，利用连续整数的性质可得结论．掌握因式分解的方法及三个连续整数的积必能被6整除是偶数是解题的关键． 【详解】解：∵ ，是整数， ∴，，为三个连续整数，其中必有2的倍数和3的倍数， ∴能被乘积一定能被整除， ∴整数的最大值为． 故选：D． 53．已知为正整数，用因式分解的方法证明能被整除． 【答案】证明： ， 为正整数， 和是两个连续正整数，其中必有一个能被整除，即是的倍数， 可设（为正整数）， ， 是的倍数，为正整数， 能被整除． 【分析】先利用平方差公式对原式进行因式分解，再根据为正整数得到和是连续正整数，必有一个是偶数，由此证明分解后的式子含有因数，即可说明原式能被整除． 【详解】略 压轴14.因式分解中几何计算题 典题特征：结合图形边长、周长、面积，给出含边长的多项式等式，求几何量的值。 解题思路：①用平方差、完全平方等公式因式分解，简化面积/边长表达式；②结合图形已知条件（周长、和差）代入简化式；③计算目标几何量的值。 54．如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a，b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：_______． 【答案】 【分析】根据图形可知，大长方形的面积等于各个小长方形和正方形面积之和，同时也等于大长方形的长乘以宽，利用面积相等建立等式即可求解． 【详解】解：由图可知，大长方形的面积可以表示为， 又大长方形的长为，宽为， 根据长方形的面积公式可得，大长方形的面积还可表示为， 所以． 55．2025年“湘超”联赛益阳赛场在边线旁为球员设置长方形临时休息区，如图该休息区的周长为14，面积为（a、b分别为休息区的长和宽，），则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，由题意可得，，则，整体代入所求式子计算即可得出结果，采用整体代入的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 56．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______． （2）若图中阴影部分的面积为162平方厘米，大长方形纸板的周长为60厘米，图中空白部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握等积法是解题的关键： （1）根据等积法得到代数式是边长为，的长方形的面积，即可得出结果； （2）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：（1）由题意，； 故答案为：； （2）由题意，， 即， ∴， ∴， ∴空白部分的面积为． 故答案为：． 57．如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等的小正方形（两个大小不同的正方形不重合、无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为，，，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设大正方形和小正方形的边长分别为，根据图1和图2列出等式，求出，再根据图3表示出阴影部分面积，代入求解即可． 【详解】解：设大正方形和小正方形的边长分别为， 根据题意可得：， 即， ， 即，解得：； ， ． 压轴15.因式分解判定三角形形状 典题特征：给出三角形三边a,b,c的多项式等式，判断三角形形状（等腰/等边/直角等）。 解题思路：①将等式所有项移到左边，整理后因式分解；②根据因式乘积为0，得到边长关系；③结合三角形判定定理（如两边相等为等腰、勾股定理为直角）判断形状。 58．一个三角形的三边a，b，c满足关系式，则这个三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形形状的判定，因式分解的应用，解题的关键在于对已知关系式变形，推导出、、的关系．将已知关系式进行因式分解，得出，分或两种情况讨论，结合三角形边长关系排除不可能情况，从而确定三角形的形状． 【详解】解： ， ， 或 若，则， 这个三角形为等腰三角形； 若，则， ，， 为三角形边长，均大于， ，但此时，不满足三角形两边之和大于第三边，即， 该情况不成立， 综上，这个三角形一定是等腰三角形． 故选：A． 59．如果一个三角形的三边，满足，那么这个三角形一定是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形形状的判定，因式分解的应用，其关键在于对等式的变形，推导出的关系． 将等式进行移项和因式分解，得出，得到或，从而确定三角形的形状． 【详解】解：， ， ， 或， 或， 三角形是等腰三角形， 故选：B． 60．已知，，是的三边长，且，则的形状为（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方式，熟悉掌握完全平方式公式是解题的关键． 利用完全平方式变形运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形， 故选：B． 61．若的三边长a，b，c满足，则是___________三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查因式分解的应用，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 将方程移项后因式分解，得到，根据三角形三边为正，得出，进而求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∵a，b，c是的三边长 ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰． 62．解答下列问题： (1)已知、、是的三边长，且有，试判断三角形的形状． (2)已知关于，的方程组的解中，为非正数，为负数，求的取值范围． 【答案】(1)是等边三角形 (2) 【分析】（1）先将原式分解因式得出，从而求出，即可得出答案； （2）先解方程组得出，然后根据为非正数，为负数，得出，解不等式组即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：由方程组得：， ∵关于，的方程组的解中，为非正数，为负数， ∴， 解得：． 压轴16.平方非负性求值计算 典题特征：等式可配方为多个平方项的和为0，求字母或代数式的值。 解题思路：①对等式配方，转化为平方和为0的形式；②利用平方非负性，令每个平方项为0；③解出字母值后代入目标式计算。 63．已知，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，绝对值和平方的非负性，负整数指数幂，利用绝对值和平方的非负性，将原方程分解为两个部分分别等于零，结合条件确定和的值，再计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 且 ， ∴， ， ∴或， 当时，代入，得，即，无解； 当时，代入，得，即， ∴或， 又∵，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 64．若，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解、非负数的性质，利用“几个非负数的和为时，每个非负数都为”求未知数的值是解题的关键． 先通过因式分解将转化为，再根据“几个非负数的和为时，每个非负数都为”的性质求出，， 的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴． 故答案为：． 65．若a、b满足，则_____________． 【答案】4 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．先根据完全平方公式整理，再根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】， ， 则或， 所以，， 所以． 故答案为：4． 66．若，则______． 【答案】/ 【分析】根据非负数的性质求出．再把字母的值代入进行求解即可，此题考查了求代数式的值、完全平方公式和非负数的性质，求出字母的值是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． ∴ ， 故答案为： 67．若，都是有理数，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出与的值，然后代入所求式子进行计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴， 解得：， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 压轴17.因式分解与最值问题 典题特征：含两个变量的等式（变量为正整数），求m+n、ab这类式子的最值。 解题思路：①将等式因式分解为两个因式乘积为常数；②枚举所有正整数因数组合；③计算目标式的值，对比得出最值。 68．已知，均为正整数且满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解方法是解题的关键； 根据，可得：，分情况讨论即可求解； 【详解】解：根据， 可得： ，均为正整数， 则或或或， 解得：或或或， 的最大值为： 故选：C 69．已知为实数，整式的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用和偶次方的非负性，正确运用该完全平方公式是解答本题的关键．先分组，然后运用配方法得到，最后利用偶次方的非负性得到最小值． 【详解】解：， ∵，， ∴的最小值是， 故选C． 70．已知a、b、c为正整数，且，那么的最小值等于（    ） A．11 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用．将式子转化为，根据a、b、c为整数，以及，假设，则有两种情况，或，进而得到当时，的值最小，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵a、b、c为整数， ∴均为整数， 假设， ∵， ∴有两种情况， ①，此时：； ②，此时：； ∴的最小值为； 故选B． 71．若实数，满足关系式，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，因式分解，配方法求最值，求出的取值范围是解题关键．根据偶次方的非负性，先得出，再结合因式分解，得出，从而得到的取值范围，根据已知关系式，利用完全平方公式配方得到，进而即可求出最大值． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 故选：B． 72．已知实数x，y，z满足，且，则z的最大值为 ___________． 【答案】 【分析】依据转换得到，，将变形为整理得即，结合得求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了已知式子的值求字母的取值范围，因式分解综合应用，完全平方公式及平方的非负性；解题的关键是熟练利用因式分解进行综合运算． 压轴18.因式分解中配方法的综合应用 典题特征：式子需先配方成平方形式，再结合因式分解解决问题（如求范围、判断符号）。 解题思路：①对式子配方，转化为完全平方形式；②结合因式分解、平方非负性等知识分析；③按题目要求计算或推导结论。 73．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即 (1)题干中，因式分解的最后结果是： ； (2)【项目解决】运用配方法解决：若，，求的值； (3)【项目解决】如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）仿照题干计算得出，再结合题干所给式子计算即可得出结果； （3）设，则，表示出四边形面积，从而即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴； （3）解：设，则， ∴四边形面积， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 74．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； (3)已知，，试比较P，Q的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据例题用配方法，得出，即可求解； （2）将已知等式用完全平方公式因式分解得出，根据非负数的性质求得，再根据三角形的三边关系，即可求解； （3）利用作差法得出，即可求解． 【详解】（1）解： 当，即时，的最小值为 （2）解：∵ ∴，即 ∵ ∴ ∵ ∴ （3）解：∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06因式分解期末易错压轴专项训练 本专练聚焦因式分解全章高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈 易错01.判断是否是因式分解 易错02.由因式分解的结果求参数 易错03.提公因式法分解因式 易错04.判断能否用公式法分解因式 易错05.平方差公式分解因式 易错06.完全平方公式分解因式 易错07.综合运用公式法分解因式 易错08.综合法分解因式 易错09.实数范围内分解因式 易错10.因式分解在简算中的应用 压轴11.因式分解与整体代入求值 压轴12.含参数的因式分解 压轴13.因式分解与整除性问题 压轴14.因式分解中几何计算题 压轴15.因式分解判定三角形形状 压轴16.平方非负性求值计算 压轴17.因式分解与最值问题 压轴18.因式分解中配方法的综合应用 易错01.判断是否是因式分解 典题特征：给出多项式变形的式子，判断是否属于因式分解。 易错点：①混淆因式分解与整式乘法（整式乘法是“积→和差”，因式分解是“和差→积”）；②分解结果不是整式的积（如出现分式、加减形式）；③分解不彻底。 1．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列等式从左边至右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 易错02.由因式分解的结果求参数 典题特征：给出多项式分解后的形式，求多项式中未知的参数值。 易错点：①展开等式两边后，对应项系数对应错误；②忽略参数的取值范围（如系数不为0的隐含条件）；③计算过程中符号出错。 4．若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B．9 C． D．6 5．若多项式有一个因式是，则的值为___________． 6．若是多项式因式分解的结果，则的值为（    ）． A． B．3 C． D．6 7．分解因式时，嘉嘉看错了a的值，分解的结果是，琪琪看错了b的值，分解的结果是，求的值． 易错03.提公因式法分解因式 典题特征：用提公因式法分解多项式，包括公因式为多项式、含负号的情况。 易错点：①公因式找不全（系数、字母、次数三部分都要找最大公因式）；②提公因式后，某一项被提完后漏写“1”；③公因式带负号时，多项式各项符号未全部变号。 8．因式分解：_______． 9．下列各式能因式分解的是（    ） A． B． C． D． 10．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．分解因式：． 易错04.判断能否用公式法分解因式 典题特征：判断多项式是否符合平方差或完全平方公式的形式。 易错点：①平方差公式混淆“和差的平方”与“平方差”的形式；②完全平方公式漏看中间项的系数，或忽略中间项的正负号；③未先整理多项式，直接套用公式导致误判。 12．下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 13．下列四个多项式中，不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 14．已知下列多项式：①；②；③；④其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（   ） A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③ .易错05.平方差公式分解因式 典题特征：用平方差公式分解形如 a2-b2 的多项式，含多次分解的情况。 易错点：①未先提公因式，直接套用公式；②分解不彻底（如分解后仍可继续用平方差分解）；③混淆平方差公式的形式，错误分解为 (a-b)2。 15．因式分解：________． 16．若多项式可以在有理数范围内运用平方差公式分解因式，则单项式可以是（   ） A． B． C． D． 17．因式分解： (1) ； (2)． (3) (4) 18．分解因式： (1)； (2)； (3)． 易错06.完全平方公式分解因式 典题特征：用完全平方公式分解形如 a22ab+b2 的多项式。 易错点：①中间项系数判断错误（未注意系数的一半平方是否等于常数项）；②忽略完全平方式的两种形式（和与差）；③含负号时，未先提取负号再套用公式。 19．因式分解： （1）__________； （2）__________； （3）__________； （4）__________． 20．下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 21．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 易错07.综合运用公式法分解因式 典题特征：同时使用平方差和完全平方公式分解因式，或多次运用同一公式。 易错点：①公式使用顺序混乱，导致分解错误；②分解不彻底，残留可继续分解的因式；③计算过程中符号出错。 22．分解因式：________． 23．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 24．因式分解： (1)； (2)． 25．因式分解： (1)； (2)． (3)． 易错08.综合法分解因式 典题特征：需先提公因式，再用公式法分解因式的题目。 易错点：①忘记先提公因式，直接套用公式导致分解错误；②提公因式不彻底，后续公式法分解时出错；③提公因式后，括号内的多项式未整理为标准公式形式。 26．因式分解：________． 27．分解因式：______． 28．把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 29．因式分解 (1) (2)． 易错09.实数范围内分解因式 典题特征：在有理数范围内无法分解的多项式，要求在实数范围内继续分解。 易错点：①混淆有理数与实数范围的分解要求，未继续分解；②对形如 a2-b（b>0）的式子，未正确写成平方差形式；③分解时出现根式错误。 30．在实数范围内分解因式：_________． 31．在实数范围内因式分解：______． 32．在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 33．在实数范围内分解因式． 易错10.因式分解在简算中的应用 典题特征：利用因式分解简化有理数的计算，如求算式的值、比较大小。 易错点：①未正确识别可因式分解的部分，无法简化计算；②因式分解过程中出错，导致简算结果错误；③简算时漏项或符号错误。 34．利用因式分解计算：_________． 35．计算的结果是______． 36．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 37．（1）分解因式：； （2）利用因式分解计算：． 38．利用因式分解计算： (1)； (2)． 压轴11.因式分解与整体代入求值 典题特征：已知a+b、ab等组合式的值，求可分解为含这些式子的多项式，不单独给字母值。 解题思路：①对所求式因式分解，凑出已知组合式；②将已知值整体代入；③按运算规则计算结果。 39．已知，则代数式的值为________． 40．若，，则_______． 41．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 42．已知实数m、n、p满足，，，则的值等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 压轴12.含参数的因式分解 典题特征：多项式含未知参数，给出分解结果/部分因式，求参数值或所有可能值。 解题思路：①给分解结果时，展开后与原式对比系数列等式；②给部分因式时，用因式定理（因式为0则多项式值为0）代入求参数；③找所有参数时，用十字相乘法枚举常数项因数组合反推。 43．二次三项式有一个因式是，则实数的值为______． 44．若实数x，y，m满足，，则m的值为______________． 45．已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（    ） A．4 B． C．12 D． 46．若是的一个因式，则的值为（    ） A．4 B．1 C． D．0 47．若多项式可用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（    ）． A．4 B． C．2 D． 压轴13.因式分解与整除性问题 典题特征：题目含“整除”“倍数”表述，判断式子能否被某数/整式整除，或求整除时的参数/整数n。 解题思路：①对原式因式分解为多个因式乘积；②分析各因式的整数特征（连续整数、奇偶性、质因数）；③验证乘积是否包含除数的所有质因数，得出结论。 48．对任意整数，都能被_____整除． 49．下列正整数①3；②17：③45：④85；⑤257，其中能整除的是_____．（填出所有正确答案的序号） 50．已知能被20到30之间的两个整数整除，则这两个整数的和是__________． 51．若n为正整数，则一定能整除的数中，最大的正整数是（    ）． A．3 B．4 C．6 D．12 52．若是整数，则一定能被整数（是一位整数）整除，整数的最大值为（   ） A． B． C． D． 53．已知为正整数，用因式分解的方法证明能被整除． 压轴14.因式分解中几何计算题 典题特征：结合图形边长、周长、面积，给出含边长的多项式等式，求几何量的值。 解题思路：①用平方差、完全平方等公式因式分解，简化面积/边长表达式；②结合图形已知条件（周长、和差）代入简化式；③计算目标几何量的值。 54．如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a，b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：_______． 55．2025年“湘超”联赛益阳赛场在边线旁为球员设置长方形临时休息区，如图该休息区的周长为14，面积为（a、b分别为休息区的长和宽，），则的值为______． 56．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______． （2）若图中阴影部分的面积为162平方厘米，大长方形纸板的周长为60厘米，图中空白部分的面积为______． 57．如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等的小正方形（两个大小不同的正方形不重合、无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为，，，且 ，则（    ） A． B． C． D． 压轴15.因式分解判定三角形形状 典题特征：给出三角形三边a,b,c的多项式等式，判断三角形形状（等腰/等边/直角等）。 解题思路：①将等式所有项移到左边，整理后因式分解；②根据因式乘积为0，得到边长关系；③结合三角形判定定理（如两边相等为等腰、勾股定理为直角）判断形状。 58．一个三角形的三边a，b，c满足关系式，则这个三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 59．如果一个三角形的三边，满足，那么这个三角形一定是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 60．已知，，是的三边长，且，则的形状为（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 61．若的三边长a，b，c满足，则是___________三角形． 62．解答下列问题： (1)已知、、是的三边长，且有，试判断三角形的形状． (2)已知关于，的方程组的解中，为非正数，为负数，求的取值范围． 压轴16.平方非负性求值计算 典题特征：等式可配方为多个平方项的和为0，求字母或代数式的值。 解题思路：①对等式配方，转化为平方和为0的形式；②利用平方非负性，令每个平方项为0；③解出字母值后代入目标式计算。 63．已知，且，则______． 64．若，则的值是_______． 65．若a、b满足，则_____________． 66．若，则______． 67．若，都是有理数，且，则(    ) A． B． C． D． 压轴17.因式分解与最值问题 典题特征：含两个变量的等式（变量为正整数），求m+n、ab这类式子的最值。 解题思路：①将等式因式分解为两个因式乘积为常数；②枚举所有正整数因数组合；③计算目标式的值，对比得出最值。 68．已知，均为正整数且满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 69．已知为实数，整式的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D． 70．已知a、b、c为正整数，且，那么的最小值等于（    ） A．11 B．10 C．8 D．6 71．若实数，满足关系式，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 72．已知实数x，y，z满足，且，则z的最大值为 ___________． 压轴18.因式分解中配方法的综合应用 典题特征：式子需先配方成平方形式，再结合因式分解解决问题（如求范围、判断符号）。 解题思路：①对式子配方，转化为完全平方形式；②结合因式分解、平方非负性等知识分析；③按题目要求计算或推导结论。 73．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即 (1)题干中，因式分解的最后结果是： ； (2)【项目解决】运用配方法解决：若，，求的值； (3)【项目解决】如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为 ． 74．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； (3)已知，，试比较P，Q的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $