专题 1.1 探索勾股定理（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学勾股定理核心知识点，系统梳理定理定义（文字、图形、符号语言）、常用变式公式、赵爽弦图等探索证明方法及常见勾股数，构建从基础概念到应用的学习支架。 资料以“基础夯实+巩固提升”分层设计题型，涵盖证明、求第三边、折叠等8类题型，通过赵爽弦图证明培养推理意识，折叠问题发展空间观念，同步检测助力课中分层教学与课后查漏补缺。

专题 1.1 探索勾股定理（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】勾股定理 1 【知识点二】勾股定理常用变式公式（高频计算） 2 【知识点三】勾股定理的探索证明（教材P4-P5 核心配图考点） 2 【知识点四】常见基础勾股数（提速必备） 2 二.题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】利用面积探索勾股定理（勾股定理的证明） 3 【题型 2】已知直角三角形两边，求第三边 3 【题型 3】勾股定理求图形面积 4 【题型 4】勾股定理与线段平方关系 5 二.题型精析（巩固提升） 6 【题型 5】勾股定理与弦图问题 6 【题型 6】勾股定理与折叠问题 8 【题型 7】构造勾股定理解直角三角形 9 【题型 8】勾股定理与将军饮马问题 10 三.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.知识梳理与解读 【知识点一】勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。 文字语言 图形 符号语言 直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方. 在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边分别为a、b，斜边为c，则 。 【要点提示】（1）适用前提：仅限直角三角形，锐角三角形、钝角三角形三边不满足该关系；（2）边长区分：c一定是直角所对的斜边，a、b为两条直角边，不可混淆边长对应关系；（3）本质作用：揭示直角三角形三边平方的数量关系，是已知两边求第三边的核心依据。 【知识点二】勾股定理常用变式公式（高频计算） 由基础公式 可推导两个必考变式，适配所有边长计算题型： 1. 已知斜边、一条直角边，求另一条直角边：， 2. 边长开方求值（实操必考）：，， 要点提示：计算时优先平方运算，最后开方，避免分步计算出错；边长为正数，结果舍去负值。 【知识点三】勾股定理的探索证明（教材P4-P5 核心配图考点） 教材配图标注：教材首页探索图、网格正方形面积图、赵爽弦图、毕达哥拉斯拼图。教材通过方格纸数格子法、赵爽弦图（内弦图）、外补正方形法探索证明勾股定理，核心思路：等面积法（图形总面积=各部分面积和）。 教材配图解读：教材P5赵爽弦图为官方必考证明图，四个全等直角三角形围成大正方形，中间为小正方形，通过大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积，推导得出勾股定理，是期末基础证明考点。 【知识点四】常见基础勾股数（提速必备） 满足 的正整数组，称为勾股数，可直接用于快速计算，无需逐一验算： 1. 基础组：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17 2. 要点提示：勾股数的正整数倍仍为勾股数（如3、4、5的2倍6、8、10），所有勾股数均为正整数，小数、分数不属于勾股数。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】利用面积探索勾股定理（勾股定理的证明） 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程． 【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，可得等式为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·阶段检测）将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，如图，你能写出的等式是 _____________ ． 【变式3】（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）国际数学教育大会被誉为数学教育界的“奥林匹克”，于2021年首次在中国举办．其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法．图2是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形围成的一个大正方形，请用等面积法验证勾股定理： 【题型 2】已知直角三角形两边，求第三边 【例题2】（24-25八年级下·吉林松原·阶段检测）在中，，若，，求和的长． 【变式1】（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）中，，，，则（     ） A．10 B．14 C．12 D．5 【变式2】（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，，，则正方形的面积是________． 【变式3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为． （1）图2中______；（2）求钟摆的长度． 【题型 3】勾股定理求图形面积 【例题3】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，，求的值． 【变式1】（25-26八年级下·重庆长寿·期末）如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形的面积分别是，则最大正方形的面积是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，分别表示这三个正方形的面积．若，则的值为_____． 【变式3】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释． （1）如图1，在中，，以的三边长向外作正方形，其面积分别为，直接写出之间存在的等量关系：______ （2）如图2，在中，，以的三边长为直径向外作半圆，其面积分别为，那么第（1）问的结论是否成立？请说明理由． 【题型 4】勾股定理与线段平方关系 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 【变式1】（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 _______． 【变式3】（23-24九年级上·安徽·开学考试）如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    （1）求证：； （2）若，，求的周长. 二.题型精析（巩固提升） 【题型 5】勾股定理与弦图问题 【例题5】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段检测）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图是约3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． （1）定理证明：如图是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据如图证明勾股定理； （2）如果大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3，求：的值． 【变式1】（25-26八年级下·四川达州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（     ） A．24 B．30 C．36 D．49 【变式2】（25-26八年级下·湖北·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为_______． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践 【动手操作】用四张全等的直角三角形纸片（如图1，两直角边长分别为，，斜边为）拼成含有正方形的图案（如图2），拼图时直角三角形纸片不能互相重叠． （1）【探究】研究发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：在图2中，大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，因此，化简可得 ； （2）【实践】利用图1中的4个三角形组合成如图3所示的几个新图形，在图①-③中，图 可证明勾股定理； （3）【发现】若将图1的2个三角形拼成如图4所示的图形，聪聪认真观察图4后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【题型 6】勾股定理与折叠问题 【例题6】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·云南昭通·期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，，则的长度是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2】（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，，，将三角形沿直线折叠，使点B与点A重合，则的长为________． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）如图将长方形纸片 折叠，使得点 D 落在 边上的点M 处，折痕经过点 C，与边 交于点 N． （1）尺规作图：求作点 N，M；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求 的长． 【题型 7】构造勾股定理解直角三角形 【例题7】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．大致意思是：如图，有一个水面是边长为1丈（一丈等于10尺）的正方形水池，正中央有一根芦苇，它靠出水面部分高一尺，如果把它拉向最近的芦苇，芦苇仍伸直，顶端恰好到达岸边的水面．解决下列问题： （1）如图，线段的长为 尺，线段的长为 尺； （2）求芦苇的长度． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·贵州遵义·二模）《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门（和），门边缘点，距门槛为1尺，且双门间隙为2寸，则门宽是____尺．（1尺10寸） 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）若点运动到的中点时，的值为_______； （2）若，求的长； （3）当为直角三角形时，求的值． 【题型 8】勾股定理与将军饮马问题 【例题8】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，纬一街两侧分别有A，B两个居民区，它们到街道所在直线的距离分别为千米，千米，千米，现要在纬一街修建一个快递站，且要它到居民区A，B的距离之和最小，在图中标出快递站的位置，并求出此时快递站到居民区A，B的直线距离之和． 【变式1】（24-25八年级上·四川资阳·期末）如图，在中，，直线过的中点，过点作于点，过点作于点．若，，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（24-25八年级上·河北承德·期末）如图，点A，B在直线的同侧，点A到的距离，点B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b． （1）________； （2）________． 【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A，B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4． （1）请作出使和最小的点P． （2）请求出最小值． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）在中，，a，b，c分别是，，的对边，若，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．（25-26八年级下·山西吕梁·期中）以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积如图所示，则为（  ） A．6 B．4 C．2 D．8 3．（25-26八年级下·河北唐山·期中）在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8 5．（25-26八年级下·河北唐山·阶段检测）在中，，，的对边分别是，，．若，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河北保定·期末）意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·浙江台州·期末）《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是多少？（1丈尺）如果我们假设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·四川德阳·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即：）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长是（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·广东茂名·期中）已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为_______． 12．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，，，则正方形的面积是________． 13．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则____________． 14．（2026·浙江丽水·二模）三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 15．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）文物发掘是考古学的重要组成部分，是对过去历史遗迹和遗物的科学探索．如图，考古学家在某地探明一文物位于点正下方的点处，由于点地下有障碍物，无垂直下挖，于是他们从距离点处的点处斜着挖掘，那么要挖到该文物至少要挖__________． 16．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若米，米，则旗杆的长为 ___________ 米． 17．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则_______． 18．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，一根竹子高10米，折断后竹子顶端C落在离竹子底端4米处，折断处B离地面的高度是多少？ 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·山东日照·阶段检测）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．该直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b． （1）若，大正方形的面积为129，求小正方形的边长； （2）若大正方形的面积为17，小正方形的面积为5，求的值． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，． （1）尺规作图：在上作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求的长． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河北邯郸·期末）王爷爷家有一片露天鱼池，为避免太阳直射，王爷爷在鱼池上方搭建了遮阳网．如图，鱼池的截面呈长方形（长方形），B点到C点的距离为，池子正中央的支撑杆垂直于鱼池底部且高出、为同样大小的遮阳网，一根与同规格的支撑杆斜放在池内（点D，B，O在同一条直线上），且．，求支撑杆的长． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，，点从点开始沿 边向点以的速度移动，设运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示____，____ （2）t为何值时，的面积等于面积的一半？ 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·全国·期末）如图，长方形中，把沿着折叠使得点落在点，，，则 求 （1）的长； （2）的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.1 探索勾股定理（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】勾股定理 1 【知识点二】勾股定理常用变式公式（高频计算） 2 【知识点三】勾股定理的探索证明（教材P4-P5 核心配图考点） 2 【知识点四】常见基础勾股数（提速必备） 2 二.题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】利用面积探索勾股定理（勾股定理的证明） 2 【题型 2】已知直角三角形两边，求第三边 5 【题型 3】勾股定理求图形面积 7 【题型 4】勾股定理与线段平方关系 10 二.题型精析（巩固提升） 12 【题型 5】勾股定理与弦图问题 13 【题型 6】勾股定理与折叠问题 16 【题型 7】构造勾股定理解直角三角形 19 【题型 8】勾股定理与将军饮马问题 23 三.同步检测 28 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 28 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 33 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 38 一.知识梳理与解读 【知识点一】勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。 文字语言 图形 符号语言 直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方. 在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边分别为a、b，斜边为c，则 。 【要点提示】（1）适用前提：仅限直角三角形，锐角三角形、钝角三角形三边不满足该关系；（2）边长区分：c一定是直角所对的斜边，a、b为两条直角边，不可混淆边长对应关系；（3）本质作用：揭示直角三角形三边平方的数量关系，是已知两边求第三边的核心依据。 【知识点二】勾股定理常用变式公式（高频计算） 由基础公式 可推导两个必考变式，适配所有边长计算题型： 1. 已知斜边、一条直角边，求另一条直角边：， 2. 边长开方求值（实操必考）：，， 要点提示：计算时优先平方运算，最后开方，避免分步计算出错；边长为正数，结果舍去负值。 【知识点三】勾股定理的探索证明（教材P4-P5 核心配图考点） 教材配图标注：教材首页探索图、网格正方形面积图、赵爽弦图、毕达哥拉斯拼图。教材通过方格纸数格子法、赵爽弦图（内弦图）、外补正方形法探索证明勾股定理，核心思路：等面积法（图形总面积=各部分面积和）。 教材配图解读：教材P5赵爽弦图为官方必考证明图，四个全等直角三角形围成大正方形，中间为小正方形，通过大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积，推导得出勾股定理，是期末基础证明考点。 【知识点四】常见基础勾股数（提速必备） 满足 的正整数组，称为勾股数，可直接用于快速计算，无需逐一验算： 1. 基础组：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17 2. 要点提示：勾股数的正整数倍仍为勾股数（如3、4、5的2倍6、8、10），所有勾股数均为正整数，小数、分数不属于勾股数。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】利用面积探索勾股定理（勾股定理的证明） 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程． 【答案】见分析 【分析】本题考查了面积法证明勾股定理等知识，解决问题的关键是表示同一个图形的面积用两种不同计算方法． 根据列出关系式，进而得出结论． 解：证明：如图．， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，可得等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的证法，解题核心为用两种不同的方式计算同一个图形的面积，通过建立等式化简推导结论． 解：由题意可知，所构成的图形为直角梯形， ， 化简得． 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·阶段检测）将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，如图，你能写出的等式是 _____________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，解题的关键是用两种方法表示大正方形的面积．用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案． 解：大正方形的边长为c，因此面积可以表示为， 中间小正方形的边长，因此面积可以表示为， 大正方形的面积可以用小正方形的面积加四周四个直角三角形的面积，因此大正方形面积可以表示为： ， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）国际数学教育大会被誉为数学教育界的“奥林匹克”，于2021年首次在中国举办．其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法．图2是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形围成的一个大正方形，请用等面积法验证勾股定理： 【答案】见分析 【分析】本题考查了勾股定理、以弦图为背景的计算题、等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先用两种方法表示出大正方形的面积，根据表示的面积相等证明即可． 解：∵外面大正方形的面积， 里面小正方形的面积4个直角三角形的面积， ∴， ∴． 【题型 2】已知直角三角形两边，求第三边 【例题2】（24-25八年级下·吉林松原·阶段检测）在中，，若，，求和的长． 【答案】， 【分析】设，，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 解：∵， ∴设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得：（负值舍去）， ，． 【变式1】（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）中，，，，则（     ） A．10 B．14 C．12 D．5 【答案】A 【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接利用勾股定理计算斜边长度即可． 解：在中，，， 为斜边，由勾股定理得， ，， ， 边长为正数， ． 【变式2】（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，，，则正方形的面积是________． 【答案】5 【分析】利用勾股定理求出的值，再根据正方形的面积公式可得答案． 解：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∴正方形的面积． 【变式3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为． （1）图2中______； （2）求钟摆的长度． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题主要考查勾股定理的运用． （1）根据题意，，由此即可求解； （2）设，由勾股定理得到，即，由此即可求解． （1）解：由题意可知：， ∴， 故答案为：2； （2）解：设，依题意得：， ∵， ∴，即， 解得：， 答：钟摆的长． 【题型 3】勾股定理求图形面积 【例题3】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．连接，利用勾股定理的几何意义解答即可． 解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ∵， ， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·重庆长寿·期末）如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形的面积分别是，则最大正方形的面积是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设正方形的边长分别为，利用勾股定理建立三边平方关系，结合正方形面积公式求解． 解：设正方形的边长分别为， ∵正方形的面积分别是， ∴，， ∵中间三角形为直角三角形，且为直角边，为斜边， ∴由勾股定理得 ， ∴， ∴正方形的面积是． 【变式2】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，分别表示这三个正方形的面积．若，则的值为_____． 【答案】16 【分析】根据勾股定理可进行求解． 解：∵， ∴由勾股定理可得， ∵以的三边为边向外作正方形，分别表示这三个正方形的面积， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释． （1）如图1，在中，，以的三边长向外作正方形，其面积分别为，直接写出之间存在的等量关系：______ （2）如图2，在中，，以的三边长为直径向外作半圆，其面积分别为，那么第（1）问的结论是否成立？请说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，理由见分析 【分析】此题考查了运用勾股定理解决几何问题的能力，关键是能准确理解题意并列式，运用勾股定理进行推理、求解． （1）先根据正方形的面积分别列式表示出，再运用勾股定理可得； （2）先根据半圆的面积分别列式表示出，再运用勾股定理可得． 解：（1）解：在中，， ∴， 由题意得，，， ∴； 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 在中，， ∴，即， ∴，，， ∵， ∴． 【题型 4】勾股定理与线段平方关系 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 【答案】见分析 【分析】本题考查勾股定理，先根据勾股定理得出，，再得出，根据M为中点，得出，进而进行转换可得出结论． 解：连接． 因为， 所以， 所以，， 因为， 所以． 因为M为中点， 所以， 所以． 【变式1】（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 解：在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 _______． 【答案】 【分析】、分别是两个直角三角形的斜边。 在中，， 在中，， 进而求解． 解：在中和中，，， 故答案为：40． 【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 【变式3】（23-24九年级上·安徽·开学考试）如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    （1）求证：； （2）若，，求的周长. 【答案】（1）见分析；（2）14 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质即可求解． 解：（1）证明：∵D是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵D是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. 【点拨】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点．熟记相关结论是解题关键． 二.题型精析（巩固提升） 【题型 5】勾股定理与弦图问题 【例题5】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段检测）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图是约3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． （1）定理证明：如图是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据如图证明勾股定理； （2）如果大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3，求：的值． 【答案】（1）证明见分析；（2）24 【分析】（1）阴影部分的面积=大正方形面积减去4个直角三角形面积，表示各个图形的面积证明即可； （2）根据求解即可． （1）解：∵阴影部分的面积=大正方形面积减去4个直角三角形面积， ； （2）解：∵大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3， ， ， ； 【变式1】（25-26八年级下·四川达州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（     ） A．24 B．30 C．36 D．49 【答案】B 【分析】由题意可得，再与已知条件联立，利用完全平方公式即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积． 解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为． 【变式2】（25-26八年级下·湖北·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为_______． 【答案】54 【分析】根据勾股定理结合完全平方公式，求出的值即可. 解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践 【动手操作】用四张全等的直角三角形纸片（如图1，两直角边长分别为，，斜边为）拼成含有正方形的图案（如图2），拼图时直角三角形纸片不能互相重叠． （1）【探究】研究发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：在图2中，大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，因此，化简可得 ； （2）【实践】利用图1中的4个三角形组合成如图3所示的几个新图形，在图①-③中，图 可证明勾股定理； （3）【发现】若将图1的2个三角形拼成如图4所示的图形，聪聪认真观察图4后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【答案】（1）；；；（2）①；（3）见分析 【分析】本题考查勾股定理的证明，图形的面积计算，代数恒等变形，用两种方法表示图形面积是解题关键． （1）明确大正方形面积的两种表示方法，通过面积相等建立等式，化简后得到勾股定理； （2）判断图形能否用面积法证明勾股定理，核心是能否用两种方式表示图形面积，进而推导出； （3）图4的图形类型为梯形，用梯形面积公式和“两个直角三角形+一个小三角形”的面积和建立等式，化简得到勾股定理． （1）解：大正方形可拆分为边长为的正方形和4个直角边分别为，的直角三角形， 故大正方形的面积可表示为， 大正方形边长为， 大正方形面积也可表示为， ， 化简得． 答：；；． （2）解：图①可拆分为边长为的正方形和4个直角边分别为，的直角三角形， 其面积为， 图①是边长为的正方形， 其面积也可以表示为， ， 化简得， 故图①可证明勾股定理． 图②、③无法由两种面积表达方式推导出勾股定理． 答：①． （3）证明：图4可拆分为2个直角边长分别为，的直角三角形和一个直角边为的等腰直角三角形， 图4的面积可表示为， 图4是上底为，下底为，高为的梯形， 图4的面积也可表示为， ， 化简得． 【题型 6】勾股定理与折叠问题 【例题6】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质及勾股定理，根据勾股定理可得的值，再根据翻折的性质，可得，设，，利用勾股定理列出方程求解x的值即可得到答案． 解：∵，，， ∴在中，由勾股定理得，， 由折叠的性质知，， 设， 则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得． ∴的长为． 【变式1】（25-26八年级下·云南昭通·期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，，则的长度是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】由折叠可知，，，设，则，在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 解：四边形为长方形，，， ，， 根据折叠的性质可得，，，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 【变式2】（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，，，将三角形沿直线折叠，使点B与点A重合，则的长为________． 【答案】 【分析】由折叠可知，是的垂直平分线，设 ，则 ，在 中，，由勾股定理列方程求解即可． 解：设 ， 将三角形沿直线折叠，点与点 重合， ． ，， ， ， 在中，，即， 解得． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）如图将长方形纸片 折叠，使得点 D 落在 边上的点M 处，折痕经过点 C，与边 交于点 N． （1）尺规作图：求作点 N，M；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求 的长． 【答案】（1）见分析；（2）3 【分析】本题考查了尺规作图-作角平分线、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）以点为圆心作交 于点M ，连接，再根据角平分线的作法作的角平分线即可； （2）连接，由折叠可得，，在 中根据勾股定理求出，设，在 中再结合勾股定理解题即可． （1）解：如图： 作图步骤： ①以点为圆心，为半径画弧交于点； ②以点为圆心，小于的长为半径画弧交于点，交于点； ③分别以点、为圆心，大于长为半径画弧交于点； ④连接并延长交于点； （2）解：连接，由折叠可得，， 在 中，， ∴， 设，则， 在 中，， 即 ， 解得， ∴． 【题型 7】构造勾股定理解直角三角形 【例题7】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．大致意思是：如图，有一个水面是边长为1丈（一丈等于10尺）的正方形水池，正中央有一根芦苇，它靠出水面部分高一尺，如果把它拉向最近的芦苇，芦苇仍伸直，顶端恰好到达岸边的水面．解决下列问题： （1）如图，线段的长为 尺，线段的长为 尺； （2）求芦苇的长度． 【答案】（1），；（2）尺 【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，且边长为尺的正方形，为中点，即可得出答案； （2）根据题意，可知的长为尺，则尺，设芦苇长尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 解：（1）解：由题意可得：尺，尺， （2）解：设芦苇长尺， 则水深尺， 在中，， 即， 解得：， 则（尺）， 答：芦苇长尺． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设的长为，则，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 解：由题意可知，， ， 设的长为，则， ， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴绳索的长是． 【变式2】（2026·贵州遵义·二模）《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门（和），门边缘点，距门槛为1尺，且双门间隙为2寸，则门宽是____尺．（1尺10寸） 【答案】 【分析】取的中点，过点作的垂线，设寸，根据题意，可得寸，寸，再根据勾股定理，列出方程求解即可． 解：如图，取的中点，过点作的垂线，垂足为， 设寸， 由题可知，，尺寸，寸， 寸，寸， 寸， 在中，， ， 解得， 寸尺， 则门宽是尺． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）若点运动到的中点时，的值为_______； （2）若，求的长； （3）当为直角三角形时，求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）2或 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解． （2）由题知当时，，， 在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长． （2）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得． 本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． （1）解：∵在中，，，， ∴， 若点运动到的中点，则， 则． （2）解：由题知， 如图，当时，，， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即； 如图②，当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即， 解得 ． 故或时，为直角三角形． 【题型 8】勾股定理与将军饮马问题 【例题8】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，纬一街两侧分别有A，B两个居民区，它们到街道所在直线的距离分别为千米，千米，千米，现要在纬一街修建一个快递站，且要它到居民区A，B的距离之和最小，在图中标出快递站的位置，并求出此时快递站到居民区A，B的直线距离之和． 【答案】快递站位置见分析，千米 【分析】本题考查勾股定理的应用，两点之间线段最短，掌握相关知识是解决问题的关键．连接交纬一街于点，过点作，交的延长线于点，在中利用勾股定理求解即可． 解：如答图，连接交纬一街于点， 则快递站建在点处时，到两处居民区的距离之和最短； 过点作，交的延长线于点， 在中，（千米）， 千米， 由勾股定理，得， 即， ∴千米， ∴此时快递站到居民区的直线距离之和为千米． 【变式1】（24-25八年级上·四川资阳·期末）如图，在中，，直线过的中点，过点作于点，过点作于点．若，，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．过点B作，垂足为F，构造并证明，可得，当取最大值时，直线，即的最大值为，由勾股定理求出的长即可． 解：过点B作，垂足为F， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵直线过的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 当取最大值时，直线，如图， 此时，， ∴的最大值为5， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·河北承德·期末）如图，点A，B在直线的同侧，点A到的距离，点B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b． （1）________； （2）________． 【答案】 【分析】作点A关于直线MN的对称点A，连接AB交直线MN于点P，过点A作直线AE⊥BD的延长线于点E，再根据勾股定理求出AB的长就是PA＋PB的最小值；延长AB交MN于点P，此时PA−PB＝AB，由三角形三边关系可知AB＞|PA−PB|，故当点P运动到P点时|PA−PB|最大，作BE⊥AM，由勾股定理即可求出AB的长就是|PA−PB|的最大值．进一步代入求得答案即可． 解：如图， 作点A关于直线MN的对称点A，连接AB交直线MN于点P， 则点P即为所求点． 过点A作直线AE⊥BD的延长线于点E，则线段AB的长即为PA＋PB的最小值． ∵AC＝8，BD＝5，CD＝4， ∴AC＝8，BE＝8＋5＝13，AE＝CD＝4， ∴AB＝， 即PA＋PB的最小值是a＝． 如图， 延长AB交MN于点P， ∵PA−PB＝AB，AB＞|PA−PB|， ∴当点P运动到P点时，|PA−PB|最大， ∵BD＝5，CD＝4，AC＝8， 过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝4，AE＝AC−BD＝8−5＝3， ∴AB＝＝5． ∴|PA−PB|＝5为最大， 即b＝5， ∴a2−b2＝185−25＝160． 故答案为：160． 【点拨】本题考查的是最短线路问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系是解答此类问题的关键． 【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A，B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4． （1）请作出使和最小的点P． （2）请求出最小值． 【答案】（1）见分析；（2）5 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题以及勾股定理． （1）作A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最小； （2）由（1）可得的最小值，过点B作于点C，设与直线交于点O，再利用勾股定理求解，即可求得答案． 解：（1）解：作A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最小； （2）解：由（1）， ∴， 过点B作于点C，设与直线交于点O， 则， ∴， ∴， ∴最小值． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）在中，，a，b，c分别是，，的对边，若，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 解：∵如图，在中，，，，分别是，，的对边，且， ∴． 2．（25-26八年级下·山西吕梁·期中）以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积如图所示，则为（  ） A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据正方形的面积计算，，再根据勾股定理计算即可求解． 解：如图， 由题意得：，，， ， 的值为6， 3．（25-26八年级下·河北唐山·期中）在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 解：∵是直角三角形，是斜边，且， ∴． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8 【答案】A 【分析】根据勾股数的定义，验证三个正整数是否满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，即可得到答案． 解：勾股数需满足三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方， A选项 ∵ ∴ 这组数是勾股数，符合题意； B选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意； C选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意； D选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意． 5．（25-26八年级下·河北唐山·阶段检测）在中，，，的对边分别是，，．若，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定直角三角形的斜边，再根据勾股定理写出三边关系，变形后即可得到正确结果． 解：∵在中，，的对边为， ∴是直角三角形的斜边，，为两条直角边，根据勾股定理可得， 移项变形得． 6．（25-26八年级上·河北保定·期末）意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是读懂图形信息．根据图形的面积公式计算，即可解决问题． 解：∵将右半部分翻转，大小不变， ∴，故C正确； ∵，故D不正确， ，故B正确， ∴， ∴，故A正确． 故选：D． 7．（25-26八年级下·浙江台州·期末）《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是多少？（1丈尺）如果我们假设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用表示出门的高，由于门为矩形，宽、高、对角线构成直角三角形，根据勾股定理列方程即可． 解：设门的宽为尺，高比宽多尺，则门的高为尺， 根据勾股定理可得． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 9．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 10．（25-26八年级下·四川德阳·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即：）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则有，由题意易得，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 解：设，则有， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·广东茂名·期中）已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为_______． 【答案】 【分析】已知直角三角形两条直角边的长，先利用勾股定理求出斜边长，再将三边长相加得到周长． 解：设这个直角三角形的斜边长为， ∵三角形是直角三角形，两直角边长分别为和， ∴由勾股定理得 ，解得：， ∵边长为正数， ∴， ∴三角形的周长为 ． 12．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，，，则正方形的面积是________． 【答案】5 【分析】利用勾股定理求出的值，再根据正方形的面积公式可得答案． 解：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∴正方形的面积． 13．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则____________． 【答案】 【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知等于以斜边为直径的半圆面积． 解： ． 14．（2026·浙江丽水·二模）三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】由题意得，，进而得到，最后根据，即可求解． 解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， ，， ， ． 15．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）文物发掘是考古学的重要组成部分，是对过去历史遗迹和遗物的科学探索．如图，考古学家在某地探明一文物位于点正下方的点处，由于点地下有障碍物，无垂直下挖，于是他们从距离点处的点处斜着挖掘，那么要挖到该文物至少要挖__________． 【答案】13 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由题意得，，，利用勾股定理求解即可． 解：由题意得，，， ∴， ∴， 即要挖到该文物至少要挖， 故答案为：． 16．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若米，米，则旗杆的长为 ___________ 米． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，米，米，，由勾股定理得：，解方程即可求出所求． 解：由题意得：米，米，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 则旗杆的长为米． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则_______． 【答案】1 【分析】根据正方形的性质得，，再根据等角的余角相等得，则可根据“”判定，得到，；由勾股定理得，即．进而可以解决问题． 解：如图，    ∵在水平桌面上依次摆着三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，； 在中，由勾股定理得：， 即． 18．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，则有，然后根据割补法可进行求解． 解：在中，， ∴由勾股定理得：， ∵以的三边为边作正方形，正方形，正方形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，一根竹子高10米，折断后竹子顶端C落在离竹子底端4米处，折断处B离地面的高度是多少？ 【答案】 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是米，则斜边为米．利用勾股定理解题即可． 解：设竹子折断处离地面米，则斜边为米， 根据勾股定理得： 解得：． 答：折断处离地面的高度是米． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·山东日照·阶段检测）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．该直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b． （1）若，大正方形的面积为129，求小正方形的边长； （2）若大正方形的面积为17，小正方形的面积为5，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意可得，，再结合完全平方公式计算即可得出结果； （2）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积，计算即可得出结果． （1）解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴小正方形的边长为； （2）解：由题意可得：， ∴． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，． （1）尺规作图：在上作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查基本作图，垂直平分线的性质，勾股定理，正确掌握垂直平分线的尺规作图和性质是解题的关键． （1）作的垂直平分线，可得，即，根据可得； （2）根据题意，得，设，再根据勾股定理，列方程，求解即可． （1）解：如图，点即为所作图形； （2）， ， 连接， ，， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， 故． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河北邯郸·期末）王爷爷家有一片露天鱼池，为避免太阳直射，王爷爷在鱼池上方搭建了遮阳网．如图，鱼池的截面呈长方形（长方形），B点到C点的距离为，池子正中央的支撑杆垂直于鱼池底部且高出、为同样大小的遮阳网，一根与同规格的支撑杆斜放在池内（点D，B，O在同一条直线上），且．，求支撑杆的长． 【答案】 【分析】记与的交点为E，设，在中，利用勾股定理进行求解即可. 解：如解图，记与的交点为E． 由题意，得，，E为的中点． ∵， ∴． ∵池子正中央的支撑杆高出， ∴． 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得 ，即， 解得； 答：支撑杆的长是． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，，点从点开始沿 边向点以的速度移动，设运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示____，____ （2）t为何值时，的面积等于面积的一半？ 【答案】（1），；（2）t为10秒时，的面积等于面积的一半． 【分析】（1）由勾股定理求得，再根据题意列式即可； （2）根据题意得到的面积等于面积，即，据此列式计算即可求解． （1）解：∵，，， ∴， 由题意得，； （2）解：∵的面积等于面积的一半， ∴的面积等于面积， ∴， ∴， 解得， 答：t为10秒时，的面积等于面积的一半． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·全国·期末）如图，长方形中，把沿着折叠使得点落在点，，，则 求 （1）的长； （2）的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据折叠的性质得到，继而根据勾股定理得到，继而得到答案． （2）设，则，在中，根据勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到答案． 解：（1）解：把沿着折叠使得点落在点， ， 在中，， 四边形是长方形， ，， ； （2）解：设，则， 在中，，即， 解得， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $