2.1 认识实数（讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦实数核心知识，系统梳理从有理数到实数的扩充，涵盖无理数与实数的概念、分类，实数的相反数、绝对值、倒数，以及实数与数轴的一一对应和大小比较，构建完整知识支架。 资料亮点在于精准纠正易错认知（如“带根号即无理数”），随学随练与题型分类强化应用。通过数轴表示无理数发展几何直观，夹逼估算培养抽象能力，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，提升数感与推理意识。

第二章 实数 2.1 认识实数 课标要点 1.了解无理数、实数的概念，知道实数由有理数与无理数组成，感受数系从有理数扩充到实数的必要性。 2.能正确区分有理数与无理数，掌握实数两种分类方式，会对一组实数进行分类整理。 3.了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数，能借助数轴比较实数大小。 4.类比有理数，理解实数范围内相反数、倒数、绝对值的含义，会求实数的相反数、绝对值。 5.能用有理数估计无理数的大致范围，发展估算能力与数感。 6.在探究活动中体会数形结合、分类讨论、无限逼近思想，发展抽象能力、几何直观核心素养。 学习重难点 重点： 1.无理数、实数的概念，能准确辨别有理数与无理数。 2.实数的两种分类方法，理清实数、有理数、无理数之间的包含关系。 3.实数范围内相反数、绝对值、倒数的相关性质。 4.实数与数轴上的点一一对应关系，会在数轴上表示简单无理数。 难点： 1.理解无理数 “无限不循环小数” 的本质，纠正误区：不要误认为 “带根号的数都是无理数、开方开不尽才是无理数”。 2.深刻理解实数和数轴上的点一一对应的内涵，体会实数的连续性。 3.借助有理数估算无理数的大小，感悟无限逼近思想。 4.正确对实数分类，区分正、负实数，避免重复分类、漏分类。 知识点 无理数的概念 概念：无限不循环小数叫做无理数。 特别提醒 1.无理数必须同时满足两个条件：无限、不循环，缺一不可。 2.无理数不能写成分数（为整数，）的形式。 3.无理数是小数范畴，整数一定不是无理数。 易错提醒 1.误区：带根号的数就是无理数。纠正：能开得尽方的根号数是有理数，如。 2.误区：无限小数就是无理数。纠正：无限循环小数是有理数，只有无限不循环才是无理数。 3.误区：小数部分不规则就是无理数。纠正：必须是永远不循环，局部不循环不算。 教材延伸 教材将无理数分为三类：开不尽方的数、含的数、人为构造无限不循环小数；无理数是连续、稠密的，填补了有理数在数轴上的空隙，是数系扩充的关键。 。 随学随练 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 2．下列各数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 3．在，，，，，0.7，0，3.14159265，这9个数中无理数的个数（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．写出一个你喜欢的无理数________． 5．实数中是无理数的是______． 知识点 无理数常见类型 基本概念：初中阶段常见无理数分为三类：开方开不尽的数；含及的运算式；有规律但不循环的无限小数。 特别提醒 1.判断前必须先化简，化简后再判定类型。 2.单独整数、有限小数、循环小数永远不属于无理数。 易错提醒 1. 都是有理数，极易看错。 2.是有限小数，是有理数；只有本身是无理数。 3.循环，属于有理数。 教材延伸 混合型无理数判定。例： 仍为无理数；有理数与无理数加减结果仍为无理数。 随学随练 1．下列实数中，不是无理数的是（     ） A． B． C．3.14 D．-1 2．下列实数，，，中，是负无理数的是（     ） A． B． C． D． 3．在，2，，9这四个实数中无理数的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．下列各数：，﹣，，，，2.1010010001……（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），3.1234567891011……（小数部分由相继的正整数组成）中，无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点 实数的定义 定义：有理数和无理数统称为实数，实数是初中阶段最大数系。 特别提醒 1.初中所有运算、比较大小、数轴问题全部在实数范围内进行。 2.数系扩充顺序：自然数→整数→有理数→实数。 易错提醒 1.误区：实数分为正数、负数。纠正：漏掉 0，0 是实数，既不正也不负。 1.误区：实数包含有限小数、循环小数、无限不循环小数。（正确，但很多学生漏写） 教材延伸 实数完成了数轴全覆盖，数轴上不再有空缺空隙。 随学随练 1．下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 2．下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 3．关于实数，下列说法错误的是（    ） A．有理数与无理数统称实数 B．实数与数轴上的点一一对应 C．无理数就是无限不循环小数 D．带根号的数都是无理数 知识点 实数的两种分类方法 概念：按定义分类，实数；按正负分类，实数。 特别提醒 1.两种分类不能混用。 2.0是有理数、是实数，但不是正数、不是负数、不是无理数。 易错提醒 1.做题最容易错：把0归入正数或负数集合。 2.正实数包含：正有理数、正无理数；负实数包含：负有理数、负无理数。 教材延伸 中考常考题型：数的集合填空、多重分类、非负数集合；非负数=正数+0。 随学随练 1．下列各数为分数的是（     ） A． B． C．0 D． 2．下列各数为整数的是（     ） A． B．0.5 C． D． 3．下列各数中，既是有理数又是负数的是（  ） A． B． C． D．0 4．若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 5．把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 6．在下列各数，中： 整数有{__________________} 有理数有{_________________} 无理数有{__________________} 负实数有{__________________}． 知识点 实数的相反数 内容：任意实数的相反数是；互为相反数的两个数和为。 特别提醒 1.无理数同样存在相反数。 2.的相反数仍是。 易错提醒 的相反数：（学生容易直接写）。 教材延伸 实数相反数性质完全继承有理数，所有规则通用，无变化。 随学随练 1．实数的相反数是（     ） A． B． C． D． 2．的相反数是（     ） A．7 B． C． D． 3．实数的相反数是_________． 4．实数的相反数是________． 5．实数的绝对值是（     ） A． B． C． D． 6．的相反数是（     ） A． B． C．2023 D． 知识点6 实数的绝对值 定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；用公式表示任意实数的绝对值：。 特别提醒 1.任意实数的绝对值恒为非负数，即，这是实数绝对值的核心性质。 2.无理数的绝对值运算规则和有理数完全一致，无需额外新增规则。 3.互为相反数的两个实数，绝对值相等。 易错提醒 1.误区：负数的绝对值是本身。纠正：负实数绝对值为其相反数，结果一定是正数。 2.含根式绝对值化简易错：如，需先判断根号式子正负，再去绝对值符号。 3.忽略0的特殊性：0的绝对值、相反数均为0，是唯一正负性特殊的实数。 教材延伸 绝对值是实数大小比较、实数化简、化简根式、解方程的基础工具。中考常考：含无理数的绝对值化简、利用绝对值非负性求值（若几个非负数的和为0，则每一个非负数均为0）。 随学随练 1．的绝对值为（     ） A． B． C． D． 2．计算（     ） A． B． C． D． 3．计算：________． 4．的绝对值为___________． 知识点7实数的倒数 定义：乘积为1的两个实数互为倒数。任意非零实数的倒数为。 随学随练特别提醒 1.0没有倒数，此规则在实数范围内依然成立。 2.1的倒数是1，-1的倒数是-1。 3.无理数也有倒数，可用于实数化简计算。 易错提醒 1.误区：所有实数都有倒数。纠正：0是实数，但无倒数。 2.计算无理数倒数时，忘记分母有理化（二次根式的内容），导致结果不规范。 教材延伸 实数倒数常用于实数乘除运算、根式化简、代数式求值，是实数四则运算的基础知识点。 1．的倒数是（     ） A． B．3 C． D． 2．2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 3．的倒数是（     ） A．2027 B． C． D．2026 4．与的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．不能确定 5．下列各数中，与互为倒数的是（   ） A． B．2 C．5 D． 知识点8 实数与数轴的关系 定义：实数与数轴上的点一一对应。也就是说：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示；数轴上的每一个点都对应唯一的一个实数。 随学随练特别提醒 1.有理数无法铺满数轴，实数可以完整铺满数轴，无空隙、无遗漏。 2.数轴上右边的数恒大于左边的数，适用于所有实数（有理数、无理数）。 易错提醒 1.误区：数轴上的点只对应有理数。纠正：数轴上的点包含有理数和无理数，全部对应实数。 2.比较实数大小时，混淆数轴左右大小关系。 教材延伸 利用数轴可直观解决实数大小比较、实数化简、绝对值化简、数形结合类中考题型，是本章核心重难点。 1．在数轴上原点右边的点所表示的数是（     ） A．正有理数 B．正实数 C．非负有理数 D．非负实数 2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 3．数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为2，则点A与点B之间的距离为（     ） A． B． C． D． 4．如图，估计的值可能是（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 5．如图，数轴上点A表示的实数是______． 6．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是________． 7．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则___0．（填“”“”或“”） 知识点9 实数的大小比较 定义：实数大小比较通用规则：正数>0>负数；两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数反而小。 特别提醒 1.含无理数大小比较，优先用平方比较法、作差法。 2.所有有理数大小比较规则，完全适用于实数。 易错提醒 1.比较负无理数大小时出错，如错误认为。 2.直接凭根号大小判断负数大小，忽略负号影响。 教材延伸 中考高频题型：无理数估值、实数排序、实数最值问题，常结合数轴、绝对值综合考查。 随学随练 1．在下列4个实数中，最小的数是（     ） A．0 B． C． D．3 2．下列各数中，最大的数是（     ） A．0 B． C．2 D． 3．下列各数中，比小的数是（     ）． A． B． C． D． 4．比较大小：________（填“”或“”或“”）． 5．比较大小：_____ 3． 6．比较大小：________．（填“”“”或“”） 拓展 实数中的数感内涵 数感是对数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。在《认识实数》一节中，体现为理解数系从有理数扩充到实数的意义，能够辨别有理数与无理数，感知无理数的大小，合理估算无理数范围，建立实数整体认知。 素养拓展要点 1.能够区分有理数与无理数的本质差异，不被数字外在形式干扰，准确辨析各类实数； 2.掌握夹逼估算法，自主确定、这类无理数介于哪两个相邻整数之间，感知无理数的大致数值； 3.理解0、正实数、负实数的层级关系，能对一组实数有序排序，明晰实数大小规律； 体会数系扩充的合理性，明白无理数填补了数轴上空隙，完善对数的完整认知，为后续二次根式学习铺垫基础。 活学活用 1．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，______；当时，______； (2)若实数a不等于零，求的值； (3)若实数a、b均不等于零，试求的值． 2．阅读下面的文字，解答问题 大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即 ， 的整数部分为，小数部分为 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果 的小数部分为， 的整数部分为，求的值． (3)已知： 其中是整数，且，求的相反数． 拓展 实数中的几何直观素养内涵 几何直观主要是利用图形描述和分析问题。本节依托数轴建立“数”与“点”的联系，借助数轴直观理解实数相关概念，实现数形结合。 素养拓展要点 1.牢固掌握实数与数轴上的点一一对应，能够在脑海中将实数和数轴上的点位互相转化； 2.借助勾股定理，掌握在数轴上作出、等无理数对应点的作图思路，感受无理数的几何存在； 3.利用数轴直观比较任意实数的大小，理解 “右大左小” 通用规律； 4.借助数轴理解绝对值、相反数的几何意义：绝对值代表点到原点距离，相反数代表原点两侧对称的点，简化绝对值化简题型。 活学活用 1．【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 2．如图，半径为 个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合．（所有结果均保留） (1)若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，设点表示的数为．求的值： (2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：，，，，． ①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？ 题型 有理数与无理数辨析 解题贴士 解题必须坚持先化简、后判断的原则，不被数字外在形式干扰，整数、分数、有限小数、无限循环小数均为有理数，开方能开尽的根式如也属于有理数；只有开方开不尽的数、不含有理数结果的含式子、有规律但不循环的无限小数是无理数，牢牢抓住无理数=无限不循环小数的核心定义，即可精准区分两类数. ▌例1 下列实数中，无理数是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．下列四个实数中，有理数是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．下列各数中：12，，，，，（每两个1之间的0依次加1），其中无理数有______个． 题型 实数的分类 解题贴士 实数有两套独立分类标准，做题不可混用，按定义分为有理数、无理数，按正负性分为正实数、、负实数，做题先化简所有根式，单独区分数字，牢记是有理数、是非负数、既不是正数也不是负数，非负数满足非负数=正数+0，严格按照集合要求归类，避免漏分、重分、错分. ▌例1下列四个选项是负有理数的是（     ） A． B． C．1 D． ▌对点练1-1下列各数中，是负分数的是（     ） A． B． C． D．0 ▌对点练1-2把下列各数的序号填入相应的括号内： ①0；②；③；④；⑤；⑥20；⑦；⑧（相邻两个3之间依次多1个0） 负有理数：（                ）         正分数：（                ） 非负整数：（                ）         有理数：（                ） 题型 实数的相反数 解题贴士 任意实数的相反数为，满足公式，解题时无论简单数字还是复杂根式式子，只需对整体式子进行整体变号即可，的相反数仍是，无需复杂运算，统一整体变号即可快速求解. ▌例1实数5的相反数是（   ） A．5 B． C． D． ▌对点练1-1下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．-3与 B．和 C．与 D．3和 ▌对点练1-2的相反数是___________． 题型 实数的倒数 解题贴士 任意不为0的实数，倒数为，满足公式，整数可看作分母为1的分数直接倒置，根式可直接取倒数再化简，需要特别注意没有倒数，只要实数不为0，均存在唯一倒数. ▌例1实数的倒数是（    ） A．4 B． C． D．2 ▌对点练1-1下列各数中，与实数6互为倒数的是（   ） A． B．6 C． D． ▌对点练1-2是的（    ） A．倒数 B．绝对值 C．相反数 D．立方根 题型 实数的绝对值 解题贴士 绝对值的本质是数轴上点到原点的距离，结果恒为非负数。化简含绝对值的实数式子时，第一步先判断绝对值内部式子的正负性，再依据分段公式去绝对值符号。正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。遇到带根式、复杂算式的绝对值化简，务必先计算或化简内部数值，再判断正负、去除绝对值符号，杜绝直接去符号出错；实数绝对值严格遵循分段公式： . ▌例1实数7的绝对值是（    ） A．7 B． C． D． ▌对点练1-1的绝对值是（   ） A． B． C． D．13 ▌对点练1-2的绝对值是（   ） A．1 B． C． D． 题型 比较实数大小 解题贴士 核心口诀：正数大于0，0大于负数；正数大于一切负数。两个负数比较大小，遵循“绝对值大的反而小”的原则。常用解题方法：1、数轴法：数轴上右边的实数始终大于左边的实数；2、作差法：若a-b>0，则a>b，若a-b<0，则a<b；3、平方比较法：针对正根式实数，可对两个数同时平方，平方后数值越大，原数越大（仅适用于正数）. ▌例1在实数，，0，1中，最小的是（     ） A． B． C．0 D．1 ▌对点练1-1比较大小：______3（填“”，“”或“”） ▌对点练比较大小：________．（填写“”或“”） 题型7 实数与数轴对应关系 解题贴士 实数与数轴上的点一一对应，这是实数核心性质，有理数和无理数共同铺满整条数轴，数轴上不存在空白点。核心考点：1、可在数轴上精准表示任意无理数（勾股定理作图法）；2、根据数轴上点的位置，判断式子正负、化简绝对值；3、数轴上两点距离公式：数轴上两点对应实数为a、b，则两点距离 。解题步骤：先根据数轴位置判断各数大小（右大左小），再判断代数式正负，最后结合绝对值公式化简. ▌例1如图，数轴上表示的点落在（     ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ ▌对点练1-1如图，数轴上的点P表示的无理数可能是（     ） A．π B． C． D． ▌对点练1-2已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：______． 题型8 理解实数的概念 解题贴士 牢牢把握核心定义，有理数与无理数统称实数，无理数是无限不循环小数，做题先化简数字再判断类别，区分开能开尽方的根式与开不尽方的根式、无限循环小数与无限不循环小数；实数有两套分类标准不可混用，按定义分为有理数、无理数，按正负分为正实数、0、负实数，牢记 0 的特殊性，规避各类概念误区. ▌例1下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 ▌对点练1-1下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌对点练1-2下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是________（填序号）． 基础通关 1．以下实数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 2．下列四个选项中，是负无理数的是（     ） A． B．0 C． D． 3．在下列实数中，有理数的个数是（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．的相反数是（     ） A．6 B． C． D． 5．若a是无理数，且，则a的值可以是________．（写出一个即可） 6．比较大小：________（填“”，“”或“”）． 7．的相反数是______，的绝对值是______． 8．如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 9．求下列各数的相反数和绝对值： (1)． (2)． 10．把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 11．比较与的大小． 12．如图，在数轴上找出表示的点E．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 素养提升 1．在，，，这四个数中，比大的数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，若数轴上的点，，，分别表示数，，，，则表示数的点应在（     ） A．点与点之间 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点与点之间 3．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 4．下列结论正确的是（     ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个有理数都能用数轴上的点表示； ③实数与数轴上的点一一对应；④开方开不尽的数是无理数 A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 5．如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且．连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（     ） A． B．1 C． D． 6．有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在实数，，，中，最大的数是_________． 8．一个门框尺寸如图，一个长宽的薄木板___________穿过此门．（填“能”或填“不能”） 9．如图，长方形的边在数轴的正半轴上，O为原点，，，连接，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D对应的数为_________． 10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中给出已知任意三角形的三边求其面积的公式，即已知三角形的三边长a，b，c，则该三角形的面积．现已知三角形的三边长分别为2，4，4，其面积S介于整数n和之间，则n的值是______． 11．如图，数轴上A，B两点表示的数分别是1和，点A关于点B的对称点是点C，则点C所表示的数是什么？ 迁移创新 1．已知点A、B、C、D在数轴上，其中A、B分别表示数和．点C向左平移4个单位长度后与点B重合． (1)线段的长= ． (2)点C表示的数是 ． (3)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点D为优美关系，那么点D对应的实数为 ． 2．如图，已知点A、B是数轴上的两点，点A对应的数为，点B在点A的右侧，点C为数轴上一动点，设点B对应的数为m，点C对应的数为x，若． (1)求m的值； (2)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点C为“优美关系”，求x的值． 3．小红：如图是课本第71页的部分内容，你理解这部分内容吗？能用类比的方法说明是无理数吗？ 小明：好的． 求证：是无理数． 证明是无理数我们可以用反证法证明是无理数： 假设不是无理数，那么是有理数．有理数都可以写成分数形式（m，n是整数，），所以可以写成（m，n是正整数，且没有大于1的公约数），即． 根据平方根的意义，，即，． 由于上式左边是偶数，所以右边也是偶数，从而可知m是偶数． 设（p是正整数）， 把代入，得，即． 因此n也是偶数． 于是，m，n都是2的倍数，这与m，n没有大于1的公约数相矛盾． 因此假设不成立，不是有理数，它是无理数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数 2.1 认识实数 课标要点 1.了解无理数、实数的概念，知道实数由有理数与无理数组成，感受数系从有理数扩充到实数的必要性。 2.能正确区分有理数与无理数，掌握实数两种分类方式，会对一组实数进行分类整理。 3.了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数，能借助数轴比较实数大小。 4.类比有理数，理解实数范围内相反数、倒数、绝对值的含义，会求实数的相反数、绝对值。 5.能用有理数估计无理数的大致范围，发展估算能力与数感。 6.在探究活动中体会数形结合、分类讨论、无限逼近思想，发展抽象能力、几何直观核心素养。 学习重难点 重点： 1.无理数、实数的概念，能准确辨别有理数与无理数。 2.实数的两种分类方法，理清实数、有理数、无理数之间的包含关系。 3.实数范围内相反数、绝对值、倒数的相关性质。 4.实数与数轴上的点一一对应关系，会在数轴上表示简单无理数。 难点： 1.理解无理数 “无限不循环小数” 的本质，纠正误区：不要误认为 “带根号的数都是无理数、开方开不尽才是无理数”。 2.深刻理解实数和数轴上的点一一对应的内涵，体会实数的连续性。 3.借助有理数估算无理数的大小，感悟无限逼近思想。 4.正确对实数分类，区分正、负实数，避免重复分类、漏分类。 知识点 无理数的概念 概念：无限不循环小数叫做无理数。 特别提醒 1.无理数必须同时满足两个条件：无限、不循环，缺一不可。 2.无理数不能写成分数（为整数，）的形式。 3.无理数是小数范畴，整数一定不是无理数。 易错提醒 1.误区：带根号的数就是无理数。纠正：能开得尽方的根号数是有理数，如。 2.误区：无限小数就是无理数。纠正：无限循环小数是有理数，只有无限不循环才是无理数。 3.误区：小数部分不规则就是无理数。纠正：必须是永远不循环，局部不循环不算。 教材延伸 教材将无理数分为三类：开不尽方的数、含的数、人为构造无限不循环小数；无理数是连续、稠密的，填补了有理数在数轴上的空隙，是数系扩充的关键。 。 随学随练 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】选项A，为整数，是有理数，不符合题意； 选项B，为分数，是有理数，不符合题意； 选项C，为整数，是有理数，不符合题意； 选项D，是无限不循环小数，是无理数，符合题意. 2．下列各数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵有理数包括整数、分数、有限小数和无限循环小数， ∵是分数，是整数，是有限小数，即选项A、C、D均为有理数； ∵是无限不循环小数． ∴选项B是无理数． 3．在，，，，，0.7，0，3.14159265，这9个数中无理数的个数（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义逐一判断各数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； ，，0，这些都是整数，属于有理数； 0.7，3.14159265是有限小数，属于有理数； 无理数有，，，共有3个． 4．写出一个你喜欢的无理数________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，任选一个满足定义的数即可． 【详解】解：是无限不循环小数，符合无理数的定义， 5．实数中是无理数的是______． 【答案】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，对给出的每个实数逐一判断，即可得到结果． 【详解】解：是分数，分数属于有理数， 是有限小数，属于有理数， ，是整数，属于有理数， 开立方开不尽，是无限不循环小数，无理数． 知识点 无理数常见类型 基本概念：初中阶段常见无理数分为三类：开方开不尽的数；含及的运算式；有规律但不循环的无限小数。 特别提醒 1.判断前必须先化简，化简后再判定类型。 2.单独整数、有限小数、循环小数永远不属于无理数。 易错提醒 1. 都是有理数，极易看错。 2.是有限小数，是有理数；只有本身是无理数。 3.循环，属于有理数。 教材延伸 混合型无理数判定。例： 仍为无理数；有理数与无理数加减结果仍为无理数。 随学随练 1．下列实数中，不是无理数的是（     ） A． B． C．3.14 D．-1 【答案】C 【详解】解：无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数，整数和分数都属于有理数． 选项A：∵是无限不循环小数，是无理数，∴A不符合要求； 选项B：∵是无限不循环小数，是无理数，∴B不符合要求； 选项C：∵是有限小数，属于有理数，不是无理数，∴C符合要求； 选项D：∵是无限不循环小数，是无理数，∴D不符合要求． 2．下列实数，，，中，是负无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据负无理数的两个条件，即小于0且为无理数，逐一判断各数即可得到结果． 【详解】解：是正有理数，不符合要求； 是负无理数，符合要求； 是有理数，且既不是正数也不是负数，不符合要求； 是正无理数，不符合要求． 3．在，2，，9这四个实数中无理数的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：根据定义逐个判断：∵ ，2，9都是整数，属于有理数，只有是无限不循环小数，属于无理数， ∴ 四个数中无理数的个数为1个． 4．下列各数：，﹣，，，，2.1010010001……（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），3.1234567891011……（小数部分由相继的正整数组成）中，无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】=4， ∴，﹣，，，，2.1010010001……（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），3.1234567891011……（小数部分由相继的正整数组成）中无理数为，，2.1010010001……（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），3.1234567891011……（小数部分由相继的正整数组成），共4个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 知识点 实数的定义 定义：有理数和无理数统称为实数，实数是初中阶段最大数系。 特别提醒 1.初中所有运算、比较大小、数轴问题全部在实数范围内进行。 2.数系扩充顺序：自然数→整数→有理数→实数。 易错提醒 1.误区：实数分为正数、负数。纠正：漏掉 0，0 是实数，既不正也不负。 1.误区：实数包含有限小数、循环小数、无限不循环小数。（正确，但很多学生漏写） 教材延伸 实数完成了数轴全覆盖，数轴上不再有空缺空隙。 随学随练 1．下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的相关概念． 无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．． 【详解】A．有理数也包括无限循环小数（如），原说法错误，本选项不符合题意； B．无理数是无限不循环小数，原说法正确，本选项符合题意； C．无限小数也包括无限循环小数，而无限循环小数是有理数，故原说法错误，本选项不符合题意； D．是无理数，分数属于有理数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：B． 2．下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数．据此解答即可． 【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意； B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意； C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意； D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 3．关于实数，下列说法错误的是（    ） A．有理数与无理数统称实数 B．实数与数轴上的点一一对应 C．无理数就是无限不循环小数 D．带根号的数都是无理数 【答案】D 【分析】根据实数的分类，无理数的意义，实数与数轴，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、有理数与无理数统称实数，选项正确，故不符合题意； B、实数与数轴上的点一一对应，选项正确，故不符合题意； C、无理数就是无限不循环小数，选项正确，故不符合题意； D、带根号的数不一定都是无理数，例如：是有理数，选项错误，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了实数，实数与数轴，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 知识点 实数的两种分类方法 概念：按定义分类，实数；按正负分类，实数。 特别提醒 1.两种分类不能混用。 2.0是有理数、是实数，但不是正数、不是负数、不是无理数。 易错提醒 1.做题最容易错：把0归入正数或负数集合。 2.正实数包含：正有理数、正无理数；负实数包含：负有理数、负无理数。 教材延伸 中考常考题型：数的集合填空、多重分类、非负数集合；非负数=正数+0。 随学随练 1．下列各数为分数的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据分数的定义，判断各选项的数的类型即可求解． 【详解】解：A、是正分数； B、是整数，不是分数； C、是整数，不是分数； D、是无限不循环小数，属于无理数，因此也是无理数，不是分数． 2．下列各数为整数的是（     ） A． B．0.5 C． D． 【答案】A 【详解】解：整数包括正整数、0、负整数． 是负整数，属于整数 ； 、是分数，是无理数，均不是整数． 3．下列各数中，既是有理数又是负数的是（  ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】解：A．是无理数，不符合题意； B．是无理数，不符合题意； C．是有理数且为负数，符合题意； D．0是有理数但不是负数，不符合题意． 4．若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分数属于有理数，故正确表示它们之间的关系是A选项图形． 5．把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 【答案】有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数包括负有理数和负无理数解答． 【详解】解：有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 6．在下列各数，中： 整数有{__________________} 有理数有{_________________} 无理数有{__________________} 负实数有{__________________}． 【答案】整数有；有理数有；无理数有；负实数有 【详解】解：在中， 整数有， 有理数有 无理数有 负实数有． 故答案为：0；；；． 知识点 实数的相反数 内容：任意实数的相反数是；互为相反数的两个数和为。 特别提醒 1.无理数同样存在相反数。 2.的相反数仍是。 易错提醒 的相反数：（学生容易直接写）。 教材延伸 实数相反数性质完全继承有理数，所有规则通用，无变化。 随学随练 1．实数的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的相反数是． 2．的相反数是（     ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：的相反数为． 3．实数的相反数是_________． 【答案】 【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此的相反数为. 4．实数的相反数是________． 【答案】 【详解】解：的相反数为：． 5．实数的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴. 6．的相反数是（     ） A． B． C．2023 D． 【答案】B 【详解】解：， ∴的相反数是． 知识点6 实数的绝对值 定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；用公式表示任意实数的绝对值：。 特别提醒 1.任意实数的绝对值恒为非负数，即，这是实数绝对值的核心性质。 2.无理数的绝对值运算规则和有理数完全一致，无需额外新增规则。 3.互为相反数的两个实数，绝对值相等。 易错提醒 1.误区：负数的绝对值是本身。纠正：负实数绝对值为其相反数，结果一定是正数。 2.含根式绝对值化简易错：如，需先判断根号式子正负，再去绝对值符号。 3.忽略0的特殊性：0的绝对值、相反数均为0，是唯一正负性特殊的实数。 教材延伸 绝对值是实数大小比较、实数化简、化简根式、解方程的基础工具。中考常考：含无理数的绝对值化简、利用绝对值非负性求值（若几个非负数的和为0，则每一个非负数均为0）。 随学随练 1．的绝对值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值性质求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，可得的绝对值为． 2．计算（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 4．的绝对值为___________． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． 知识点7实数的倒数 定义：乘积为1的两个实数互为倒数。任意非零实数的倒数为。 随学随练特别提醒 1.0没有倒数，此规则在实数范围内依然成立。 2.1的倒数是1，-1的倒数是-1。 3.无理数也有倒数，可用于实数化简计算。 易错提醒 1.误区：所有实数都有倒数。纠正：0是实数，但无倒数。 2.计算无理数倒数时，忘记分母有理化（二次根式的内容），导致结果不规范。 教材延伸 实数倒数常用于实数乘除运算、根式化简、代数式求值，是实数四则运算的基础知识点。 1．的倒数是（     ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据乘积为的两个数互为倒数即可得解． 【详解】的倒数是． 2．2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的倒数是． 3．的倒数是（     ） A．2027 B． C． D．2026 【答案】B 【分析】根据乘积为的两个数互为倒数进行判断即可． 【详解】解：， ∵ ∴的倒数是． 故选：B． 4．与的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据相反数、倒数的定义，通过计算两数的乘积判断二者关系，用到平方差公式计算． 【详解】解：∵， ∴乘积为的两个数互为倒数，因此二者是互为倒数的关系． 5．下列各数中，与互为倒数的是（   ） A． B．2 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据倒数定义得到所求表达式，再利用平方差公式化简即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为， ， 对表达式分母有理化，将分子分母同乘， 得 ． 知识点8 实数与数轴的关系 定义：实数与数轴上的点一一对应。也就是说：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示；数轴上的每一个点都对应唯一的一个实数。 随学随练特别提醒 1.有理数无法铺满数轴，实数可以完整铺满数轴，无空隙、无遗漏。 2.数轴上右边的数恒大于左边的数，适用于所有实数（有理数、无理数）。 易错提醒 1.误区：数轴上的点只对应有理数。纠正：数轴上的点包含有理数和无理数，全部对应实数。 2.比较实数大小时，混淆数轴左右大小关系。 教材延伸 利用数轴可直观解决实数大小比较、实数化简、绝对值化简、数形结合类中考题型，是本章核心重难点。 1．在数轴上原点右边的点所表示的数是（     ） A．正有理数 B．正实数 C．非负有理数 D．非负实数 【答案】B 【详解】解：∵数轴上的点与实数一一对应， ∴原点右边的点所表示的数是正实数． 2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点在数轴上的位置得出，则，再判断即可． 【详解】解：根据数轴上点的位置可知，则， ∴，则B正确． 3．数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为2，则点A与点B之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点距离的计算，利用数轴上两点距离等于对应两数差的绝对值，先比较两数大小，再去绝对值得到结果． 【详解】解：∵ 数轴上两点之间的距离等于两点对应数差的绝对值，点对应数为，点对应数为， 又∵ ， ∴ 与之间的距离为． 4．如图，估计的值可能是（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【分析】先估算 的取值范围，再结合数轴上各点的位置进行判断即可. 【详解】解：， ， ， 观察数轴可知： 点在与之间，点在与之间，点在与之间，点在与之间， 估计的值可能是点. 5．如图，数轴上点A表示的实数是______． 【答案】/ 【分析】由图可知直角三角形的斜边长为，则点A表示的数可确定． 【详解】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， ∴点A表示的数为． 6．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】由勾股定理求出的长度，进而得的长度，则可求得点表示的数． 【详解】解：由勾股定理得， 由作图知， 则点表示的数为． 7．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则___0．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：由数轴，可知，．故． 知识点9 实数的大小比较 定义：实数大小比较通用规则：正数>0>负数；两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数反而小。 特别提醒 1.含无理数大小比较，优先用平方比较法、作差法。 2.所有有理数大小比较规则，完全适用于实数。 易错提醒 1.比较负无理数大小时出错，如错误认为。 2.直接凭根号大小判断负数大小，忽略负号影响。 教材延伸 中考高频题型：无理数估值、实数排序、实数最值问题，常结合数轴、绝对值综合考查。 随学随练 1．在下列4个实数中，最小的数是（     ） A．0 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据负数小于0和所有正数，结合四个选项的数字判定即可得答案. 【详解】解：∵ 负数小于0和所有正数，且四个选项的数字中，只有是负数， ∴ 最小的数是，故A、B、D错误，C正确. 2．下列各数中，最大的数是（     ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先比较出，再根据正数大于0，负数小于0，即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴最大的数是． 3．下列各数中，比小的数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的大小比较，根据负数正数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案． 【详解】∵负数正数，绝对值大的负数反而小， ∴． 4．比较大小：________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】先化简两个数，再根据实数大小比较规则判断大小即可． 【详解】解：，， ∵正数大于一切负数， ∴． 5．比较大小：_____ 3． 【答案】 【分析】对两个数同时立方，通过比较立方后的结果判断原数的大小． 【详解】解：∵ ，， ∵ ， ∴ ． 6．比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】比较平方后结果的大小判断原数大小，平方大的原数更大，据此求解即可． 【详解】解：∵，， 又， ． 拓展 实数中的数感内涵 数感是对数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。在《认识实数》一节中，体现为理解数系从有理数扩充到实数的意义，能够辨别有理数与无理数，感知无理数的大小，合理估算无理数范围，建立实数整体认知。 素养拓展要点 1.能够区分有理数与无理数的本质差异，不被数字外在形式干扰，准确辨析各类实数； 2.掌握夹逼估算法，自主确定、这类无理数介于哪两个相邻整数之间，感知无理数的大致数值； 3.理解0、正实数、负实数的层级关系，能对一组实数有序排序，明晰实数大小规律； 体会数系扩充的合理性，明白无理数填补了数轴上空隙，完善对数的完整认知，为后续二次根式学习铺垫基础。 活学活用 1．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，______；当时，______； (2)若实数a不等于零，求的值； (3)若实数a、b均不等于零，试求的值． 【答案】(1)1， (2)1或 (3)2或0或 【分析】本题考查了绝对值，实数的运算，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）把a的值代入计算即可； （2）分两种情况讨论：当时，当时，分别化简绝对值即可； （3）分四种情况讨论：当，时，当，时，当，时，当，时，分别化简绝对值即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 故答案为：1，； （2）当时，； 当时，； 即当实数a不等于零时，的值是1或； （3）当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上，的值为2或0或． 2．阅读下面的文字，解答问题 大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即 ， 的整数部分为，小数部分为 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果 的小数部分为， 的整数部分为，求的值． (3)已知： 其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意方法，则，求整数部分和小数部分的方法，即可； （2）根据题意方法，分别求和整数部分和小数部分的方法，进行计算，即可； （3）根据题意方法，求出的取值范围，得到，的值，再进行计算，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是；小数部分是． （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：； ∵， ∴， ∴的整数部分为：； ∴ ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ 整理得：， ∵ 其中是整数，且， ∴， ∴； ∴， ∴的相反数为：． 拓展 实数中的几何直观素养内涵 几何直观主要是利用图形描述和分析问题。本节依托数轴建立“数”与“点”的联系，借助数轴直观理解实数相关概念，实现数形结合。 素养拓展要点 1.牢固掌握实数与数轴上的点一一对应，能够在脑海中将实数和数轴上的点位互相转化； 2.借助勾股定理，掌握在数轴上作出、等无理数对应点的作图思路，感受无理数的几何存在； 3.利用数轴直观比较任意实数的大小，理解 “右大左小” 通用规律； 4.借助数轴理解绝对值、相反数的几何意义：绝对值代表点到原点距离，相反数代表原点两侧对称的点，简化绝对值化简题型。 活学活用 1．【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 【答案】(1)5；6 (2)方法一：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计， ∴，， ∴． 方法二：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【分析】（1）根据即可得出； （2）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即； （2）略 2．如图，半径为 个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合．（所有结果均保留） (1)若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，设点表示的数为．求的值： (2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：，，，，． ①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)①第四次滚动距离原点最近，第三次滚动距离原点最远； ②点运动的路程共有，此时点所表示的数是 【分析】（1）将的值代入，计算算术平方根即可得； （2）①分别求出第次滚动后，点距离原点的距离，由此即可得； ②先将滚动记录的数字的绝对值相加，再乘以即可得点运动的总路程；先将滚动记录的数字相加，再乘以即可得此时点所表示的数． 【详解】（1）解：该圆片滚动一周的距离为， ∵该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点， ∴点表示的数； （2）解：①第1次滚动后，，点距离原点2周， 第2次滚动后，，点距离原点1周， 第3次滚动后，，点距离原点4周， 第4次滚动后，，点在原点处， 第5次滚动后，，点距离原点3周， 由此可知，第4次滚动后，点距离原点最近；第3次滚动后，点距离原点最远； ②∵， ∴当圆片结束运动时，点运动的路程共有； ∵， ∴当圆片结束运动时，此时点所表示的数是． 题型 有理数与无理数辨析 解题贴士 解题必须坚持先化简、后判断的原则，不被数字外在形式干扰，整数、分数、有限小数、无限循环小数均为有理数，开方能开尽的根式如也属于有理数；只有开方开不尽的数、不含有理数结果的含式子、有规律但不循环的无限小数是无理数，牢牢抓住无理数=无限不循环小数的核心定义，即可精准区分两类数. ▌例1 下列实数中，无理数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简可开方的根式，再根据无理数的定义判断各选项． 【详解】解：A、，是整数，属于有理数，故选项不符合题意； B、是无限不循环小数，故是无理数，故选项符合题意； C、是整数，属于有理数，故选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，故选项不符合题意． ▌对点练1-1．下列四个实数中，有理数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义逐个判断选项即可，有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：A、是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，故A是无理数，不符合要求； B、是无限不循环小数，故B是无理数，不符合要求； C、是整数，整数属于有理数，故C是有理数，符合要求； D、开立方开不尽，属于无限不循环小数，故D是无理数，不符合要求． ▌对点练1-2．下列各数中：12，，，，，（每两个1之间的0依次加1），其中无理数有______个． 【答案】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐一判断各数即可得到无理数的个数． 【详解】解：是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 无理数有，，（每两个1之间的0依次加1），共个． 题型 实数的分类 解题贴士 实数有两套独立分类标准，做题不可混用，按定义分为有理数、无理数，按正负性分为正实数、、负实数，做题先化简所有根式，单独区分数字，牢记是有理数、是非负数、既不是正数也不是负数，非负数满足非负数=正数+0，严格按照集合要求归类，避免漏分、重分、错分. ▌例1下列四个选项是负有理数的是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据有理数的定义（整数和分数统称有理数，无限不循环小数是无理数），结合正负性判断各选项即可． 【详解】解：、∵中是无理数， ∴是负无理数，不符合题意； 、∵中是无限不循环小数，属于无理数， ∴是负无理数，不符合题意； 、由是大于的有理数，是正有理数，不符合题意； 、∵，且是有限小数，属于分数，是有理数， ∴是负有理数，符合题意． ▌对点练1-1下列各数中，是负分数的是（     ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数、负分数的概念，解题的关键是要熟练掌握负分数的定义． 根据负分数的定义，在正分数前面加负号的数叫做负分数，即可判断． 【详解】解：A、是负分数，故本选项符合题意； B、是正分数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项不符合题意； D、0是整数，故本选项不符合题意； 故选：A． ▌对点练1-2把下列各数的序号填入相应的括号内： ①0；②；③；④；⑤；⑥20；⑦；⑧（相邻两个3之间依次多1个0） 负有理数：（                ）         正分数：（                ） 非负整数：（                ）         有理数：（                ） 【答案】；；； 【分析】实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，有理数也可分为正有理数，零和负有理数；无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数． 【详解】解：． 负有理数：（） 正分数：（） 非负整数：（） 有理数：（） 题型 实数的相反数 解题贴士 任意实数的相反数为，满足公式，解题时无论简单数字还是复杂根式式子，只需对整体式子进行整体变号即可，的相反数仍是，无需复杂运算，统一整体变号即可快速求解. ▌例1实数5的相反数是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，实数的性质，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行作答即可． 【详解】解：实数5的相反数是， 故选：C． ▌对点练1-1下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．-3与 B．和 C．与 D．3和 【答案】C 【分析】先依据相反数和绝对值的定义化简各数，然后再依据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、-3的相反数是3，故A不符合题意 B、|-3|=3，3的相反数是-3，故B不符合题意； C、=，的相反数是，故C符合题意； D、=3，3的相反数是-3，故D不符合题意． 故选：C． ▌对点练1-2的相反数是___________． 【答案】 【详解】的相反数是． 题型 实数的倒数 解题贴士 任意不为0的实数，倒数为，满足公式，整数可看作分母为1的分数直接倒置，根式可直接取倒数再化简，需要特别注意没有倒数，只要实数不为0，均存在唯一倒数. ▌例1实数的倒数是（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了一个数的倒数的求法，实数的性质，解题的关键是要明确：互为倒数的两个数的乘积是1． 根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：实数的倒数是． 故选：B． ▌对点练1-1下列各数中，与实数6互为倒数的是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴实数6的倒数为， 故选；A． ▌对点练1-2是的（    ） A．倒数 B．绝对值 C．相反数 D．立方根 【答案】C 【详解】解：， 是的相反数． 故选：C． 题型 实数的绝对值 解题贴士 绝对值的本质是数轴上点到原点的距离，结果恒为非负数。化简含绝对值的实数式子时，第一步先判断绝对值内部式子的正负性，再依据分段公式去绝对值符号。正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。遇到带根式、复杂算式的绝对值化简，务必先计算或化简内部数值，再判断正负、去除绝对值符号，杜绝直接去符号出错；实数绝对值严格遵循分段公式： . ▌例1实数7的绝对值是（    ） A．7 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． ▌对点练1-1的绝对值是（   ） A． B． C． D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值，根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：， 即的绝对值是， 故选：B． ▌对点练1-2的绝对值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的性质，先判断出与的大小关系，得出，再根据负数的绝对值是其相反数，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 故的绝对值是． 故选：D． 题型 比较实数大小 解题贴士 核心口诀：正数大于0，0大于负数；正数大于一切负数。两个负数比较大小，遵循“绝对值大的反而小”的原则。常用解题方法：1、数轴法：数轴上右边的实数始终大于左边的实数；2、作差法：若a-b>0，则a>b，若a-b<0，则a<b；3、平方比较法：针对正根式实数，可对两个数同时平方，平方后数值越大，原数越大（仅适用于正数）. ▌例1在实数，，0，1中，最小的是（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】解：， ， ， 、， ， ， 最小的是． ▌对点练1-1比较大小：______3（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】根据，即可得出． 【详解】解：∵， ∴． ▌对点练比较大小：________．（填写“”或“”） 【答案】 【分析】利用作差法进行大小比较即可． 【详解】， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型7 实数与数轴对应关系 解题贴士 实数与数轴上的点一一对应，这是实数核心性质，有理数和无理数共同铺满整条数轴，数轴上不存在空白点。核心考点：1、可在数轴上精准表示任意无理数（勾股定理作图法）；2、根据数轴上点的位置，判断式子正负、化简绝对值；3、数轴上两点距离公式：数轴上两点对应实数为a、b，则两点距离 。解题步骤：先根据数轴位置判断各数大小（右大左小），再判断代数式正负，最后结合绝对值公式化简. ▌例1如图，数轴上表示的点落在（     ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】根据，结合数轴求解即可； 【详解】解：， ， 根据数轴的意义，得落在段②； ▌对点练1-1如图，数轴上的点P表示的无理数可能是（     ） A．π B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，点P在1和2之间，即， A、，故本选项不合题意； B、由可得，故本选项符合题意； C、，故本选项不合题意； D、由得，故本选项不合题意． ▌对点练1-2已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：______． 【答案】 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 题型8 理解实数的概念 解题贴士 牢牢把握核心定义，有理数与无理数统称实数，无理数是无限不循环小数，做题先化简数字再判断类别，区分开能开尽方的根式与开不尽方的根式、无限循环小数与无限不循环小数；实数有两套分类标准不可混用，按定义分为有理数、无理数，按正负分为正实数、0、负实数，牢记 0 的特殊性，规避各类概念误区. ▌例1下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 【答案】C 【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可． 【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意； B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意； C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意； D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． ▌对点练1-1下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可． 【详解】解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误； 故选：D． ▌对点练1-2下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是________（填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误； ②无限不循环小数叫作无理数，故②正确； ③，既不是正数也不是负数，故③错误； ④倒数等于它本身的数是，故④正确； ⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误． 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④． 基础通关 1．以下实数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数比较大小的基本规则判断． 【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得， 故最小的数是． 2．下列四个选项中，是负无理数的是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A．是正无理数，不满足负数要求，排除； 选项B．既不是正数也不是负数，且是有理数，排除； 选项C．，且是无限不循环小数，属于无理数，因此是负无理数，符合要求； 选项D．是负有理数，不是无理数，排除． 3．在下列实数中，有理数的个数是（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：∵是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是整数，属于有理数； 是有限小数，可化为分数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数； ∴有理数共有个． 4．的相反数是（     ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，根据定义直接求解即可； 【详解】解：的相反数是． 5．若a是无理数，且，则a的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先计算和的平方，再找出被开方数介于两个平方数之间的开方开不尽的数，即可得到符合要求的无理数. 【详解】解：，， ，， 是无理数，且，即， 的值可以是（答案不唯一）. 6．比较大小：________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【详解】解：， ． 7．的相反数是______，的绝对值是______． 【答案】 【详解】解：的相反数为. ， ，则 ． 8．如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 【答案】 【分析】设点表示的数为，结合题意可得，进一步可得答案． 【详解】解：设点表示的数为， ∵数轴上点表示，点表示，点是线段的中点， ∴，即， ∴． 9．求下列各数的相反数和绝对值： (1)． (2)． 【答案】(1)的相反数为3， (2)的相反数为， 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的化简，以及相反数和绝对值的定义，掌握先化简根式，再根据定义求相反数和绝对值，绝对值要先判断数的正负是解题的关键． （1）先化简立方根得到，再根据相反数、绝对值的定义，分别计算的相反数和绝对值； （2）先判断的正负性，再根据相反数的定义改变符号，正数的绝对值为其本身，直接得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴的相反数为3． 由绝对值的意义，得． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴的相反数为． 由绝对值的意义，得． 10．把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 【答案】有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数包括负有理数和负无理数解答． 【详解】解：有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 11．比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握作差法比较大小是解题的关键． 将两数相减得到，接着比较与的大小，将、分别平方即可比较大小，由此可比较原数的大小． 【详解】解：． ，， ， ， ， ． 12．如图，在数轴上找出表示的点E．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点即为所求， 【分析】取，，其中垂直于数轴，再以点为圆心，为半径画弧与数轴相交于点，点即为所求． 【详解】如图所示 素养提升 1．在，，，这四个数中，比大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，只需分别判断四个数与的大小关系，即可得到正确答案． 【详解】解：， 排除A选项和B选项； ， 排除D选项； 比较和， ，，， ．因此比大的数是． 2．如图，若数轴上的点，，，分别表示数，，，，则表示数的点应在（     ） A．点与点之间 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点与点之间 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， 表示数的点应在点与点之间． 3．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据正方形面积公式求出边长，由得出长度，结合点坐标及点位置求解． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数为，且由图可知点在点左侧， ∴点表示的数为． 4．下列结论正确的是（     ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个有理数都能用数轴上的点表示； ③实数与数轴上的点一一对应；④开方开不尽的数是无理数 A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】利用实数与数轴的对应关系，无理数的概念等相关知识点逐一判断各结论即可得到答案. 【详解】解：①数轴上可以表示所有实数，既可以表示无理数，也可以表示有理数，原说法错误； ②有理数属于实数，任何一个有理数都能用数轴上的点表示，原说法正确； ③根据实数的基本性质，实数与数轴上的点一一对应，原说法正确； ④开方开不尽的数是无理数，因此原说法正确； 综上，正确的结论是②③④. 5．如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且．连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出的长，再结合求出的长，最后根据圆的半径相等得出的长，从而确定点表示的数． 【详解】解：由题意可知，点表示，点表示， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点， ∴， ∵点表示的数为，且点在点的右侧， ∴点表示的实数是． 6．有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】通过举反例和反证法逐个判断四个推断的正误即可得到结果． 【详解】① 推断“两个无理数的和一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此①错误； ② 推断“两个无理数的积一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此②错误； ③ 推断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数”，设是有理数，是无理数，假设为有理数，可得， ∵ 两个有理数的差仍为有理数， ∴ 为有理数，与是无理数矛盾，因此③正确； ④ 推断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数”，取有理数和无理数，，是有理数，因此④错误； 综上，正确的推断只有个． 7．在实数，，，中，最大的数是_________． 【答案】 【分析】根据实数大小比较法则，正数大于0，0大于负数，先排除负数与0，再比较两个正数和的大小，即可得到最大的数． 【详解】解：∵是负数，因此， 和都是正数，都大于0，且， ∴， ∴最大的数是． 8．一个门框尺寸如图，一个长宽的薄木板___________穿过此门．（填“能”或填“不能”） 【答案】不能 【分析】连接门框的对角线，利用勾股定理求出的长度为 ，再通过无理数的估算，比较与的大小，进而判断木板能否通过门框． 【详解】解：连接， 在中，，，， 根据勾股定理：， ， ，，且， ， 长宽的薄木板不能穿过此门． 9．如图，长方形的边在数轴的正半轴上，O为原点，，，连接，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D对应的数为_________． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长度，根据画图的方法知求解． 【详解】解：在中，， ， ∵以O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D， ∴， 则点对应的数为． 10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中给出已知任意三角形的三边求其面积的公式，即已知三角形的三边长a，b，c，则该三角形的面积．现已知三角形的三边长分别为2，4，4，其面积S介于整数n和之间，则n的值是______． 【答案】3 【分析】先把三角形的三边长分别为2，4，4代入求得，再估算S的取值范围即可解答． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，4，4， ∴设， ∴； ∵，， ∴n为的整数部分，即． 11．如图，数轴上A，B两点表示的数分别是1和，点A关于点B的对称点是点C，则点C所表示的数是什么？ 【答案】 【分析】利用对称性可得，根据右边的数减去左边的数，得到距离相等进行求解即可． 【详解】解：设点C表示的数为x， ∵点关于点的对称点是点， ∴， ∵数轴上，两点表示的数分别是和，点C表示的数为x， ∴， ∴， ∴点所表示的数是． 迁移创新 1．已知点A、B、C、D在数轴上，其中A、B分别表示数和．点C向左平移4个单位长度后与点B重合． (1)线段的长= ． (2)点C表示的数是 ． (3)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点D为优美关系，那么点D对应的实数为 ． 【答案】(1) (2) (3)或1或 【分析】本题主要考查了实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）线段的长等于较大的数减去较小的数，计算即可． （2）点C向左平移4个单位长度后与点B重合，也就是点B向右平移4个单位长度得到点C解答即可． （3）分三种情况考虑，利用数轴上点的特征和对称性解答即可． 【详解】（1）解：、B分别表示数和， 故答案为：； （2）解：点C向左平移4个单位后与点B重合， 点C表示的数是 故答案为：； （3）解：设点D表示的数为， 点A、点B、点D为优美关系，且点A、B分别表示数和． 当点B和点D关于点A对称时，则， 即， 解得； 当点B和点A关于点D对称时，则， 即， 解得； 当点A和点D关于点B对称时，则， 即， 解得； 点D对应的实数为或1或 故答案为：或1或 2．如图，已知点A、B是数轴上的两点，点A对应的数为，点B在点A的右侧，点C为数轴上一动点，设点B对应的数为m，点C对应的数为x，若． (1)求m的值； (2)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点C为“优美关系”，求x的值． 【答案】(1)； (2)或或． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，轴对称的性质． （1）直接根据数轴上两点间的距离作答即可； （2）分三种情况作答即可． 【详解】（1）解：∵点A对应的数为，点B在点A的右侧，， ∴点B对应的数为， 即； （2）解：如图，当点B、点C关于点A对称时， ∴， 即； 如图，当点A、点B关于点C对称时， ∴， 即； 如图，当点A、点C关于点B对称时， ∴， 即； 综上所述，x的值为或或． 3．小红：如图是课本第71页的部分内容，你理解这部分内容吗？能用类比的方法说明是无理数吗？ 小明：好的． 求证：是无理数． 证明是无理数我们可以用反证法证明是无理数： 假设不是无理数，那么是有理数．有理数都可以写成分数形式（m，n是整数，），所以可以写成（m，n是正整数，且没有大于1的公约数），即． 根据平方根的意义，，即，． 由于上式左边是偶数，所以右边也是偶数，从而可知m是偶数． 设（p是正整数）， 把代入，得，即． 因此n也是偶数． 于是，m，n都是2的倍数，这与m，n没有大于1的公约数相矛盾． 因此假设不成立，不是有理数，它是无理数． 【答案】如下 【分析】本题考查了用反证法说明是无理数，假设不是无理数，那么是有理数，设（m，n是正整数，且没有大于1的公约数），证明m，n都是3的倍数，与m，n没有大于1的公约数矛盾，故不可能写成的形式（m，n是正整数，且最大公约数是1），即可得证． 【详解】证明：假设不是无理数，那么是有理数． 设（m，n是正整数，且没有大于1的公约数）， 根据平方根的意义：，即． ∴． 由上式右边是3的倍数， ∴是3的倍数，分解质因数时必有质因数3， ∴m一定有质因数3（或m是3的倍数）． 设（p为正整数）， ∴． ∴． ∴． ∴是3的倍数． ∴n是3的倍数． 这样m，n都是3的倍数，与m，n没有大于1的公约数矛盾． ∴不可能写成的形式（m，n是正整数，且最大公约数是1）． ∴是无理数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $