专题2.1 认识实数（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦“认识实数”核心知识点，从有理数扩展到无理数，系统梳理无理数的定义（无限不循环小数）、三大类型（含π的数、有规律无循环节的无限小数、开方开不尽的数），明确实数按定义和正负的两种分类标准，建立实数与数轴点一一对应的关系，为后续学习奠定知识支架。 该资料以易错点辨析为特色，通过“即学即练”“例题变式”强化概念理解，如区分带根号数是否为无理数培养抽象能力，数轴作图题发展几何直观。题型覆盖概念判断、大小估算等，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，提升推理意识与运算能力。

专题2.1 认识实数 教学目标 1.分清有理数与无理数定义，熟记无理数三大类型，能准确辨别各类实数。 2.掌握实数两种分类标准，能规范对一组实数完成分类，区分 0 的特殊位置。 3.理解实数与数轴点一一对应关系，能在数轴上准确表示简单无理数。 4.梳理本节常见易错概念，规避判断、分类题型里易出现的逻辑错误。 教学重难点 重点： 1.无理数定义与三类常见形式，会区分有限、无限循环、无限不循环小数。 2.实数按定义、正负两种分类方法，明确 0 不属于正实数也不属于负实数。 3.实数和数轴上点一一对应定理，能结合数轴判断实数大小、对应数值。 难点： 1.容易混淆无限小数、循环小数、无理数概念，误将带根号数全部判定无理数。 2.辨别有规律但无循环节的无限小数，难以区分循环小数与不循环小数。 3.忽略数轴一一对应针对全体实数，做题时常错误说成有理数对应数轴点。 知识点01无理数 1.概念：有限小数、无限小数属于有理数；无限小数叫做无理数。 2.无理数两大特征：（1）小数部分位数；（2）小数部分没有循环节，无法写成（为整数，）的形式。 3.三类常见无理数：①含的数：如；②有规律但的无限小数：如；③开方开不尽的带数：如。 注意： （1）误认为带根号的数都是无理数：只有开方开不尽的根号数才是无理数；像，化简后是整数，属于有理数。 （2）混淆无限小数与无理数概念：无限小数分两种：无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，不能直接说无限小数就是无理数。 【即学即练】 1．在下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．从，，，，五个数中，随机抽取一个，抽到无理数的概率是________． 知识点02实数 1.实数定义：和合起来统称为实数。 2.实数两种分类方式： （1）按定义划分：实数 （2）按与0的大小划分：实数 3.实数与数轴的对应关系：实数和数轴上的点一一对应：数轴上任意一点都代表一个；任意一个实数都能在数轴上找到唯一对应点。 【即学即练】 3．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它可以表示成分数形式 4．若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 题型01无理数的概念 【例1】下列实数中，属于无理数的是（     ） A．0 B． C． D． 【例2】有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】下列实数中，不是无理数的是（     ） A． B． C．3.14 D．-1 【变式1-2】在，，，，，中，无理数有________个． 【变式1-3】下列说法中：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③无限小数都是无理数；④两个无理数的和仍是无理数．其中正确的是（     ） A．① B．②③ C．①②③ D．①③④ 题型02无理数的大小估算 【例3】大于且小于的整数的个数有（     ） A． B． C． D． 【例4】若为正整数，且满足，则的值为______． 【变式2-1】无理数位于（     ）之间． A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-2】若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在数轴上，与之间的整数的个数是________． 估算带根号无理数，核心方法是平方法，找出两个相邻完全平方数，确定被开方数的区间，进而锁定无理数的整数取值范围。 题型03实数概念理解 【例5】我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它大于3.15 【例6】有下列说法：①带根号的数是无理数；②无理数是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④所有实数都是分数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【变式3-2】已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【变式3-3】有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③绝对值等于本身的数是0，1；④是分数；⑤近似数所表示的准确数的范围是：．其中正确的个数是_______个． 题型04实数的分类 【例7】已知下列9个数．①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（两个2之间依次增加1个0）．请把这些数对应的编号，填入合适的集合中． (1)有理数集合：（        ……） (2)无理数集合：（        ……） (3)负实数集合：（        ……） 【例8】数，，，－，，，0.301300130001…（3和1之间依次多一个0）中，无理数的个数为______． 【变式4-1】若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】把下列各数填入相应的数集内． 正数集合：｛                                                           …｝ 无理数集合：｛                                                         …｝ 分数集合：｛                                                           …｝ 非负整数集合：｛                                                       …｝ 【变式4-3】在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．， ， ， ，，． 有理数集合：{                      } 无理数集合：{                       } 题型05实数的性质 【例9】的绝对值是（   ） A． B． C．2 D． 【例10】下列说法正确的是（   ） A．实数是负数 B．实数的相反数是a C．实数的绝对值是a D．一定是正数 【变式5-1】实数的绝对值是（   ） A．2 B． C． D． 【变式5-2】已知，且是整数，则所有值的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式5-3】_____，_____． 题型06实数的数轴 【例11】实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【例12】如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且．连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（     ） A． B．1 C． D． 【变式6-1】如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，，垂足为B，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（     ） A．2.2 B． C． D． 【变式6-3】数轴的正半轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为1和，点C到原点O的距离与点B到点A的距离相等，则点C所表示的数为（     ） A．1 B． C． D．或 题型07实数的大小比较 【例13】下列四个数中最小的是（     ） A． B． C．0 D． 【例14】在低温实验中，甲设备的温度下限是℃，乙设备的温度下限是 ℃，比较：__________．（填“＞”“＜”或“＝”） 【变式7-1】在实数，，，这四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】比较大小：______1．（填“”或“”） 【变式7-3】比较大小：________．（填“”，“”或“”） 一、单选题 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 2．在数轴上原点右边的点所表示的数是（     ） A．正有理数 B．正实数 C．非负有理数 D．非负实数 3．下列各数中，最小的数是（     ） A．－1 B．2 C．0 D． 4．数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为2，则点A与点B之间的距离为（     ） A． B． C． D． 5．估算无理数在哪两个数之间，其中最精确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，数轴上表示的点落在（     ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 7．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若，且b是无理数，则b的值可以是（     ） A． B． C． D． 8．已知，，下列与的大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D．以上都不对 二、填空题 9．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则________．（填“”“”或“”） 10．比较大小：________（填“”或“”或“”）． 11．如图，已知，那么数轴上点所表示数的相反数是___________． 三、解答题 12．下列各数中，哪些是有理数、哪些是无理数？若是有理数，请指明它是整数还是分数． ，，0，，，，，87，，2.121121112……（每两个2之间多一个1），，3.1415926． 13．把下列实数表示在数轴上，并用“”连接． ，，，． ________________________________ 14．如图，方格纸上每个小正方形的边长都为1，用直尺、圆规在数轴上画出到原点距离为的点（保留作图痕迹，不写画法） 1．若为无理数，但是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．是有理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是无理数 2．已知x是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ）． A． B． C． D． 3．如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 4．若为正整数，且满足，的值是_____． 5．点在数轴上所对应的实数分别为、，点也在数轴上，且为的三分之一，求B、C间的距离． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 认识实数 教学目标 1.分清有理数与无理数定义，熟记无理数三大类型，能准确辨别各类实数。 2.掌握实数两种分类标准，能规范对一组实数完成分类，区分 0 的特殊位置。 3.理解实数与数轴点一一对应关系，能在数轴上准确表示简单无理数。 4.梳理本节常见易错概念，规避判断、分类题型里易出现的逻辑错误。 教学重难点 重点： 1.无理数定义与三类常见形式，会区分有限、无限循环、无限不循环小数。 2.实数按定义、正负两种分类方法，明确 0 不属于正实数也不属于负实数。 3.实数和数轴上点一一对应定理，能结合数轴判断实数大小、对应数值。 难点： 1.容易混淆无限小数、循环小数、无理数概念，误将带根号数全部判定无理数。 2.辨别有规律但无循环节的无限小数，难以区分循环小数与不循环小数。 3.忽略数轴一一对应针对全体实数，做题时常错误说成有理数对应数轴点。 知识点01无理数 1.概念：有限小数、无限循环小数属于有理数；无限不循环小数叫做无理数。 2.无理数两大特征：（1）小数部分位数无限；（2）小数部分没有循环节，无法写成分数（为整数，）的形式。 3.三类常见无理数：①含的数：如；②有规律但不循环的无限小数：如；③开方开不尽的带根号数：如。 注意： （1）误认为带根号的数都是无理数：只有开方开不尽的根号数才是无理数；像，化简后是整数，属于有理数。 （2）混淆无限小数与无理数概念：无限小数分两种：无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，不能直接说无限小数就是无理数。 【即学即练】 1．在下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，均为有理数， ∴选项A、C、D不符合题意； ∵是无理数， ∴选项B符合题意． 2．从，，，，五个数中，随机抽取一个，抽到无理数的概率是________． 【答案】 【详解】解：∵总共有，，，，五个数，即共有种等可能的抽取结果， ∵无限不循环小数是无理数， ∴这五个数中，无理数为和，共个， ∴抽到无理数的概率为． 知识点02实数 1.实数定义：有理数和无理数合起来统称为实数。 2.实数两种分类方式： （1）按定义划分：实数 （2）按与0的大小划分：实数 3.实数与数轴的对应关系：实数和数轴上的点一一对应：数轴上任意一点都代表一个实数；任意一个实数都能在数轴上找到唯一对应点。 【即学即练】 3．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它可以表示成分数形式 【答案】C 【详解】解：圆周率是一个实数，是无理数，不能表示成分数形式，在数轴上有表示它的点， ∴关于圆周率说法正确的是C选项， 故选：C． 4．若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分数属于有理数，故正确表示它们之间的关系是A选项图形． 题型01无理数的概念 【例1】下列实数中，属于无理数的是（     ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是整数，属于有理数． B、是分数，属于有理数． C、开方开不尽，属于无理数． D、是整数，属于有理数． 【例2】有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】① 推断“两个无理数的和一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此①错误； ② 推断“两个无理数的积一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此②错误； ③ 推断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数”，设是有理数，是无理数，假设为有理数，可得， ∵ 两个有理数的差仍为有理数， ∴ 为有理数，与是无理数矛盾，因此③正确； ④ 推断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数”，取有理数和无理数，，是有理数，因此④错误； 综上，正确的推断只有个． 【变式1-1】下列实数中，不是无理数的是（     ） A． B． C．3.14 D．-1 【答案】C 【详解】解：无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数，整数和分数都属于有理数． 选项A：∵是无限不循环小数，是无理数，∴A不符合要求； 选项B：∵是无限不循环小数，是无理数，∴B不符合要求； 选项C：∵是有限小数，属于有理数，不是无理数，∴C符合要求； 选项D：∵是无限不循环小数，是无理数，∴D不符合要求． 【变式1-2】在，，，，，中，无理数有________个． 【答案】2 【详解】解：∵是整数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数， 是分数，属于有理数， 是整数，属于有理数， 是无限不循环小数，属于无理数， 是整数，属于有理数， ∴无理数共有个． 【变式1-3】下列说法中：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③无限小数都是无理数；④两个无理数的和仍是无理数．其中正确的是（     ） A．① B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【详解】解： ① 实数和数轴上的点一一对应，符合实数的性质，故①正确； ② 不带根号的数不一定是有理数，例如不带根号，但属于无理数，故②错误； ③ 无限小数不都是无理数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数是无理数，故③错误； ④ 两个无理数的和不一定是无理数，例如，和为有理数，故④错误； 综上只有①正确． 题型02无理数的大小估算 【例3】大于且小于的整数的个数有（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 又， ， ， ，， 满足条件的整数有、、、0、1、2、3、4，共8个． 【例4】若为正整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【详解】解：， ， 不等式两边同进减去2，得， 为正整数，且满足， ． 【变式2-1】无理数位于（     ）之间． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】∵ ，， 又∵ ， ∴ ， 即 ， 因此位于和之间． 【变式2-2】若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，且， ∴，即， ∵为正整数且， ∴． 【变式2-3】如图，在数轴上，与之间的整数的个数是________． 【答案】4 【详解】解：， ， ， 找出与之间的整数：， 整数一共有个． 估算带根号无理数，核心方法是平方法，找出两个相邻完全平方数，确定被开方数的区间，进而锁定无理数的整数取值范围。 题型03实数概念理解 【例5】我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它大于3.15 【答案】C 【详解】选项A：圆周率是无限不循环小数，属于无理数，不是有理数，不符合题意； 选项B：实数与数轴上的点一一对应，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，而圆周率是实数，所以数轴上能找到表示它的点，不符合题意； 选项C：实数包含有理数和无理数，圆周率是无理数，也是实数，符合题意； 选项D：圆周率，小于，不符合题意； 故选：C． 【例6】有下列说法：①带根号的数是无理数；②无理数是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④所有实数都是分数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：带根号的数不一定是无理数；故①不符合题意； 无理数是无限不循环的小数，故②不符合题意； 无理数是无限小数，故③符合题意； 所有实数不都是分数，无理数就不是分数，故④不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是无理数的含义，实数的含义，熟记概念是解本题的关键． 【变式3-1】下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意； B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意； C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意； D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式3-2】已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③项正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴无理数也有无限个，故④项错误． ∴正确的是②③． 故选：B． 【变式3-3】有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③绝对值等于本身的数是0，1；④是分数；⑤近似数所表示的准确数的范围是：．其中正确的个数是_______个． 【答案】2 【详解】解：无理数都是无限不循环小数，所以①正确； 数轴上的点与实数一一对应，所以②错误； 绝对值等于本身的数是0或正数，所以③错误； 是无理数，所以④错误； 近似数所表示的准确数a的范围是：，所以⑤正确． 故正确的有2个， 故答案为：2． 题型04实数的分类 【例7】已知下列9个数．①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（两个2之间依次增加1个0）．请把这些数对应的编号，填入合适的集合中． (1)有理数集合：（        ……） (2)无理数集合：（        ……） (3)负实数集合：（        ……） 【答案】(1)①③④⑤⑥ (2)②⑦⑧⑨ (3)②⑤⑦⑧ 【分析】 【详解】（1）解：，， 有理数集合：①③④⑤⑥， 故答案为： ①③④⑤⑥； （2）解：无理数集合：②⑦⑧⑨， 故答案为：②⑦⑧⑨； （3）解：负实数集合：②⑤⑦⑧， 故答案为：②⑤⑦⑧． 【例8】数，，，－，，，0.301300130001…（3和1之间依次多一个0）中，无理数的个数为______． 【答案】3 【详解】解：，是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 故无理数有：，，（3和1之间依次多一个0），共个． 【变式4-1】若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：若用A表示有理数，B表示无理数，C表示正整数，则能正确表示它们之间关系的是 【变式4-2】把下列各数填入相应的数集内． 正数集合：｛                                                           …｝ 无理数集合：｛                                                         …｝ 分数集合：｛                                                           …｝ 非负整数集合：｛                                                       …｝ 【答案】；；；； 【详解】解：∵，，， 正数集合： 无理数集合： 分数集合： 非负整数集合：． 【点睛】本题考查的是实数的分类与概念，熟记实数的分类是解本题的关键． 【变式4-3】在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．， ， ， ，，． 有理数集合：{                      } 无理数集合：{                       } 【答案】有理数集合：； 无理数集合：. 【详解】解：是分数，是有限小数，是有限小数，都符合有理数定义， 以上三个数属于有理数，填入有理数集合； 开方开不尽，是无限不循环小数，是无限不循环小数，都符合无理数定义， 以上三个数属于无理数，填入无理数集合. 题型05实数的性质 【例9】的绝对值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴的绝对值是， 故选：B． 【例10】下列说法正确的是（   ） A．实数是负数 B．实数的相反数是a C．实数的绝对值是a D．一定是正数 【答案】B 【详解】解：A. 当时，实数是正数，原说法错误； B. 实数的相反数是a，说法正确； C. 当时，实数的绝对值是，原说法错误； D. 一定是非负数，原说法错误； 故选：B． 【变式5-1】实数的绝对值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：实数的绝对值是， 故选：C． 【变式5-2】已知，且是整数，则所有值的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：∵， ∴或， ∵，，是整数， ∴的值为，，，，，； ∴所有值的个数有个， 故选：B． 【变式5-3】_____，_____． 【答案】 【详解】解：，， 故答案为：，． 题型06实数的数轴 【例11】实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 故选：B． 【例12】如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且．连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知，点表示，点表示， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点， ∴， ∵点表示的数为，且点在点的右侧， ∴点表示的实数是． 【变式6-1】如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数为，且由图可知点在点左侧， ∴点表示的数为． 【变式6-2】如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，，垂足为B，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（     ） A．2.2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴＝， ∴， ∵以为圆心，为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点表示的数是：． 【变式6-3】数轴的正半轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为1和，点C到原点O的距离与点B到点A的距离相等，则点C所表示的数为（     ） A．1 B． C． D．或 【答案】C 【详解】解：∵点A表示的数为，点B表示的数为，且， ∴， ∵点C在数轴正半轴上，到原点的距离等于的长度， ∴点C表示的数为. 题型07实数的大小比较 【例13】下列四个数中最小的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】解：∵ 负数小于0． ∴ 排除选项C． ∵，，，且，，， ∴ ， ∴ ，即四个数中最小的是． 【例14】在低温实验中，甲设备的温度下限是℃，乙设备的温度下限是 ℃，比较：__________．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【详解】解：， ，即， ， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得． 【变式7-1】在实数，，，这四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 正数大于0，0大于一切负数， ∴ 最小的数在和中，估算得，即， ∵，， ， ∴， 整理得，因此最小的数是． 【变式7-2】比较大小：______1．（填“”或“”） 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ． 【变式7-3】比较大小：________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【详解】解：和分母均为，且都是正数，因此只需比较分子与的大小， ，，且， ， ． 一、单选题 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】选项A，为整数，是有理数，不符合题意； 选项B，为分数，是有理数，不符合题意； 选项C，为整数，是有理数，不符合题意； 选项D，是无限不循环小数，是无理数，符合题意. 2．在数轴上原点右边的点所表示的数是（     ） A．正有理数 B．正实数 C．非负有理数 D．非负实数 【答案】B 【详解】解：∵数轴上的点与实数一一对应， ∴原点右边的点所表示的数是正实数． 3．下列各数中，最小的数是（     ） A．－1 B．2 C．0 D． 【答案】D 【详解】解：∵，，， ∴最小的数为或． ∵，，且， ∴，即最小的数为． 4．数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为2，则点A与点B之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 数轴上两点之间的距离等于两点对应数差的绝对值，点对应数为，点对应数为， 又∵ ， ∴ 与之间的距离为． 5．估算无理数在哪两个数之间，其中最精确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ，，，， ∴ ， 观察四个选项，选项C符合题意． 6．如图，数轴上表示的点落在（     ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【详解】解：， ， 根据数轴的意义，得落在段②； 7．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若，且b是无理数，则b的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∵， ∴， A、，若，则，不符合题意； B、，若，则，不符合题意； C、，若，则，符合题意； D、，若，则，不符合题意． 8．已知，，下列与的大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：， ，即， ，即， ， ，即， ，即， ． 二、填空题 9．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：由数轴可知，，，且， 所以 ． 10．比较大小：________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【详解】解：，， ∵正数大于一切负数， ∴． 11．如图，已知，那么数轴上点所表示数的相反数是___________． 【答案】 【详解】解：由图可知，， ，则点所表示数为， 数轴上点所表示数的相反数是． 三、解答题 12．下列各数中，哪些是有理数、哪些是无理数？若是有理数，请指明它是整数还是分数． ，，0，，，，，87，，2.121121112……（每两个2之间多一个1），，3.1415926． 【答案】有理数：，，，，，，，，，，；其中整数：，，，；分数：，，，； 无理数：，，，（每两个2之间多一个1） 【详解】解：是整数，属于有理数， 是分数，属于有理数， 0是整数，属于有理数， 是无理数， 是分数，属于有理数， 是无理数， 是整数，属于有理数， 87是整数，属于有理数， 是无理数， 2.121121112……（每两个2之间多一个1）是无理数， 是无限循环小数，可以化为分数，属于有理数 3.1415926是小数，可以化为分数，属于有理数， 综上所述，有理数：，，，，，，，，，，；其中整数：，，，；分数：，，，； 无理数：，，，（每两个2之间多一个1）． 13．把下列实数表示在数轴上，并用“”连接． ，，，． ________________________________ 【答案】 把各数表示在数轴上，如图所示： ；；； 【详解】解：， 用“”连接为：． 14．如图，方格纸上每个小正方形的边长都为1，用直尺、圆规在数轴上画出到原点距离为的点（保留作图痕迹，不写画法） 【答案】见解析 【详解】解：如图，点即为所求． 1．若为无理数，但是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．是有理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是无理数 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵是有理数，设为， ∴为有理数． 对于选项 D：， ∵ ， 又 ∵ 为有理数， 为无理数， ∴ 为无理数， 故是无理数，选项D正确，符合题意． 其他选项： A．，含无理项，故是无理数，不符合题意； B．，含无理项，故是无理数，不符合题意； C．，为有理数，故不是无理数，不符合题意． 故选：D． 2．已知x是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：由是有理数，则为有理数， A、，又是有理数，x是无理数 所以是无理数，不符合题意； B、， 同理是无理数，不符合题意； C、，又是有理数，x是无理数 所以为无理数，即是无理数，不符合题意； D、，又是有理数， 所以是有理数，即是有理数，符合题意． 故选：D． 3．如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 【答案】 【详解】解：设点表示的数为， ∵数轴上点表示，点表示，点是线段的中点， ∴，即， ∴． 4．若为正整数，且满足，的值是_____． 【答案】 【详解】解：，， ， ，且为正整数， ， 则． 5．点在数轴上所对应的实数分别为、，点也在数轴上，且为的三分之一，求B、C间的距离． 【答案】或 【详解】解：点A对应的实数为、点B对应的实数为， ， 为的三分之一， ． 分两种情况讨论： 当点C在点A右侧时： ， 点C在线段上， ； 当点C在点A左侧时：点C在的延长线上， ， 综上所述，B、C间的距离为或． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $