专题03 线段的垂直平分线与角平分线【期末复习重难点专题培优七大题型】-2025-2026学年数学北师大版八年级下册

**基本信息** 以“性质-判定-作图-应用-模型”为主线，通过7类重点题型构建线段垂直平分线与角平分线的完整解题体系，突出几何直观与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型分类讲练|7题型（含双角平分线模型）|尺规作图步骤、角平分线性质应用策略、双角平分线角度关系模型|从基础性质到判定，再到作图实践与实际应用，最终提炼模型，形成“概念-应用-模型”递进逻辑| |优选真题|20题（基础+拔尖）|结合真题强化性质与判定综合应用，提升解题规范性|覆盖期末高频考点，通过分层训练实现从基础夯实到拓展拔尖的能力提升|

2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题03 线段的垂直平分线与角平分线『期末复习重难点专题培优』 【七个重点题型+期末真题实战演练 共41题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 线段垂直平分线的性质 1 题型二 线段垂直平分线的判定 4 题型三 作垂线（尺规作图） 11 题型四 角平分线的性质定理 14 题型五 角平分线的判定定理 17 题型六 角平分线性质的实际应用 20 题型七 双角平分线模型-解题模型 26 优选真题 31 【基础夯实 能力提升】 31 【拓展拔尖 冲刺满分】 40 题型一 线段垂直平分线的性质 【精讲】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，在中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点，交于点；再以、为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点，连接，，则下列说法不正确的是（   ） A． B．周长为10 C． D． 【答案】C 【思路引导】由题意可得，，，即可判断AB正确；由等边对等角得出，，结合三角形内角和定理求出，即可判断D正确；根据已知条件无法说明，即可判断C错误． 【规范解答】解：由题意可得：，，，故A正确，不符合题意； ∴周长，故B正确，不符合题意； ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，故D正确，不符合题意； 根据已知条件无法说明，故C错误，符合题意． 【精练1】（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在中，，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】由作图可知垂直平分，则，，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，再求出，最后通过等边对等角和三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：由作图可知垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【精练2】（25-26八年级下·辽宁本溪·期中）如图，已知在中，，平分交于点，过点作于点，交于点，且． (1)证明：垂直平分； (2)在（1）的条件下，若是边的中点，连接与相交于点．请猜想，，之间的数量关系 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】（1）证明，则，结合对顶角相等可得，得到．结合平分可证明，则，得证； （2）连接，由等腰三角形的性质可得垂直平分，则，由勾股定理可得，因此． 【规范解答】（1）证明：， . ， ， ， . 在和中， ， ， . ， 又， ， ，即， . 平分， （角平分线的性质）. 在和中， ， ， （全等三角形对应边相等）， 垂直平分. （2）如图，连接， ∵，是边的中点， ∴，即垂直平分， ∴， 由（1）可知，， 在中，， ∴． 题型二 线段垂直平分线的判定 【精讲】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）在数学活动课上，数学老师让同学们以“等腰三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．如图1，在三角形纸片中，．将三角形纸片沿折叠，使落在上，点C的对应点为点E，连接． (1)将三角形纸片展开，则图中共有______个等腰三角形． (2)如图2，在图1的基础上，延长交的延长线于点F，连接．求证：所在的直线垂直平分． 【答案】(1)5 (2)见解析 【思路引导】（1）设，根据三角形的内角和定理可得，再结合等腰三角形的判定和性质以及折叠的性质解答即可； （2）证明，可得，即可求证． 【规范解答】（1）解：∵， ∴可设． ∵， 解得， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 由折叠的性质得，， ∴， ∴， 均为等腰三角形， 由折叠的性质得：为等腰三角形，且， ∴， ∴， ， ∴为等腰三角形． 综上所述，等腰三角形有，共5个． （2）证明：由（1）得，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴所在的直线垂直平分． 【精练1】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【思路引导】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【规范解答】（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 【精练2】（25-26八年级下·山西太原·期中）综合与实践--探究特殊三角形中的相关问题 问题情境： 某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含角的直角三角板和按如图1所示位置放置，且的较短直角边为2，现将绕点按逆时针方向旋转，如图2，与交于点，与交于点，与交于点． (1)初步探究： 勤思小组的同学提出：当旋转角___________时，是等腰三角形； (2)深入探究： 敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接，，那么所在的直线是线段的垂直平分线，请帮他们证明： (3)再探究： 在旋转过程中，当旋转角时，直接写出与重叠的面积_______； (4)拓展延伸： 在旋转过程中，当为直角三角形时直接写出旋转角的度数． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3) (4)或 【思路引导】（1）分两种情况：当时，当时，即可求解； （2）证明，可得，从而得到，可证明，可得，从而得到点P在的垂直平分线上，再由，可得点A在的垂直平分线上，即可解答； （3）根据直角三角形的性质可得，，，，从而得到， ，证明，由（2）可知，可得，即可求解； （4） 分两种情况：当时，当时，即可求解． 【规范解答】（1）解：当时，此时 ， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述，当旋转角或时，是等腰三角形； （2）解：如图， 由题意可知，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴点P在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴所在的直线是线段的垂直平分线； （3）解：∵，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ， 在和中， ， ∴， 由（2）可知， ∴， ∵， ∴与重叠的面积； （4）解：如图：当时． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴； 如图所示：当时． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 综上所述，或． 题型三 作垂线（尺规作图） 【精讲】（25-26八年级下·河北张家口·期中）如图，在中，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； (2)在（1）得到的图中，若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【思路引导】（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据等边对等角得到，分别求出，，据此可证明结论． 【规范解答】（1）解：如图，为所作； （2）解：等边三角形，理由； ， ， ， 所以是等边三角形． 【精练1】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知在中，，． (1)尺规作图：按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作的角平分线，交于； ②作线段边上的高，分别交、于点、点； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据角平分线的尺规作图方法，垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据三角形的内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据高的定义得到，再由三角形外角的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：①如图，即为所求； ②如图，即为所求． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是高， ∴， ∴． 【精练2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）（1）如图（1），已知和线段，求作一点，使，并且点到的两边距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）： （2）如图（2）， （a）分别作出点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、， （b）若，则的周长为___________．    【答案】（1）见解析 （2）（a）见解析 （b） 【思路引导】本题主要考查了尺规作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质． (1)作的平分线，作线段的垂直平分线，射线与直线交于点，点即为所求作的点； (2)(a)分别作出点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、； (b)因为点关于、的对称点、，，，所以可得：的周长． 【规范解答】(1)解：如下图所示， 作的平分线， 则射线上的点到的两边距离相等， 作线段的垂直平分线， 则直线上的点到、的距离相等， 射线与直线交于点， 点即为所求作的点；    (2)(a)解：如下图所示： 分别作出点关于、的对称点、， 连接，分别交、于点、；      (b)解：点关于、的对称点、， ，， 的周长， ， 的周长． 故答案为：． 题型四 角平分线的性质定理 【精讲】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，平分交于点，为的中点，交于点，若，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【思路引导】作于点，连接，根据角平分线的性质和定义可得，，根据线段垂直平分线的性质得到，则，进而得到，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【规范解答】解：如图，作于点，连接， ∵平分，，， ∴，， ∵，E为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 【精练1】（25-26八年级下·广东梅州·期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点与顶点重合，点，分别在边，上，连接并延长，交于点．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，，的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）通过证明 ，得到角相等，从而证明平分，核心为全等判定； （2）由角平分线的性质得点到的距离等于，再利用三角形面积分割法，求解． 【规范解答】（1）解：在和中， ， ， ，即平分． （2）解：过点作于， 平分，，， ， ， ， 代入已知条件：， 解得． 【精练2】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，在中，，，平分交于点，于点，交于点，于点，于点，若，则的长是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【思路引导】连接，通过证明三角形全等，得出相等的边，证明、和为等腰直角三角形，求出相关线段的长度，最后利用勾股定理求解． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵平分，且，，，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，，， ∴，为等腰直角三角形， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得． 题型五 角平分线的判定定理 【精讲】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等． (1)求证：； (2)若的周长为12，面积为18，求点到三边的距离． 【答案】(1)见解析 (2)3 【思路引导】（1）过点分别作于点，于点于点，根据角平分线的判定定理得，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）连接，根据即可求解 【规范解答】（1）证明：过点分别作于点，于点于点，如图． ，平分， ， 平分， ． ， ， ， ． （2）解：连接，如图． 根据题意，得 ， ， ． 点到三边的距离为3. 【精练1】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）尺规作图：如图，电信部门要在两条高速公路m、n形成的内部修建一个电视信号发射塔，按照要求，发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两边的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？在图上用点P标出它的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路引导】作出线段的垂直平分线和的平分线的交点即为点，根据角平分线的判定可得，点在的平分线上，根据线段垂直平分线的性质可得点在线段的垂直平分线上，故线段的垂直平分线和的平分线的交点即为点． 【规范解答】解：如图，点P即为所求 【精练2】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在直线AB的同一侧作和，和都是等边三角形，连接、交于点H，下列选项正确的序号是______． ①；②；③；④连接，则平分； 【答案】①②④ 【思路引导】根据和都是等边三角形，得出，可判断①②，根据和边上的高相等，可判断④． 【规范解答】解： 和都是等边三角形， ，，， ， ， ，故①正确； ， ， 又 ， ， 即，故②正确； 没有理由能证明，故③错误； ， 和边上的高相等，即点B到和边的距离相等， 平分，故④正确； 综上可知，正确的结论是①②④． 题型六 角平分线性质的实际应用 【精讲】（25-26八年级上·河北张家口·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【思路引导】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【规范解答】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 【精练1】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，点在线段的延长线上，与不重合，且．连接，过作于点，与交于点． (1)求证：； (2)连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、等腰三角形的性质，关键是辅助线的作法； （1）利用同角的余角相等得到，进而可证； （2）利用等腰三角形的性质及角平分线的判定得到角的相等关系，进而在中论证即可． 【规范解答】（1）∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵ ∴； （2）如图1，过点作，，垂足分别为，． 由（1）知， ∴，； ∴， ∴； ∵，， ∴平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， 即． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、等腰三角形的性质，关键是辅助线的作法. 【精练2】（25-26八年级上·广东珠海·期末）【问题背景】如图1，与均为等腰直角三角形，其中，，． 【构建联系】 （1）如图2，连接交于点，探究与数量和位置关系； 【深入探究】 （2）如图3，在（1）的基础上连接，连接并延长交于点， ①求证：平分； ②若，，则的面积为___________； 【知识拓展】 （3）如图4，连接，是的中点，连接，求证：． 【答案】（1），；（2）见解析， ；（3）见解析 【思路引导】（1）先利用，推出，再结合、，用证明，得到． 再由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和或外角性质，证明，从而得到． （2）①过作、，由得面积相等，结合推出，再根据角平分线的判定定理证明平分． ②先由、及，求出的面积；再根据角平分线的性质，设点到、的距离均为，利用列方程求出，进而计算的面积． （3）延长至点，使，连接，先由证明，得到且，再推出，结合证明，从而得到． 【规范解答】解：（1）， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）①过分别作垂足分别为，， ， ，， ，， ， ， ， ，， 点在的平分线上， 平分； ②，，， ， 平分，在上， 点到和的距离相等，设为， ， ， ， ， ； （3）延长至点使得连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 。 【考点剖析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、三角形面积的计算，熟练掌握全等三角形的构造方法（如倍长中线法）和角平分线相关性质是解题的关键． 题型七 双角平分线模型-解题模型 【精讲】（25-26八年级上·吉林延边·期中）请你参与下面的探究过程，并完成所提出的问题． 【探究】 （1）如图①，点是的内角与内角的平分线和的交点，若，则______． （2）如图②，点是的外角与外角的平分线和的交点．求证：． 【拓展】 （3）如图③，点是的外角与外角的平分线和的交点，点、分别在边、上，连接．设． ①与的数量关系是______． ②当为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；② 【思路引导】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质，外角的性质等相关知识，解题关键在于熟练掌握其知识点. （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，由三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解； （3）①根据四边形的内角和定理表示出，然后同理（2）解答即可；②根据为锐角三角形，得到的取值范围，即可得到结论． 【规范解答】解：（1）∵点是的内角与内角的平分线和的交点， ∴ ∴ ∴ 故答案为：； （2）∵点是的外角与外角的平分线和的交点 ∴    ∵   ∴ ∴ ∴； （3）①点是的外角与外角的平分线和的交点， ∴ ∴ ∴ ∴ ， 故答案为：； ②∵为锐角三角形， ∴； ∴； ∴ . 【精练1】如图，在中，分别平分，为外角的平分线，交的延长线于点E，记．给出下列结论：①；②； ③；④．其中正确的是________．（填序号）    【答案】①④ 【思路引导】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 由平分，平分，可得，由是的外角，可得，即，可判断①的正误；由分别平分，可得，则，由，可得，可判断②、③、④的正误． 【规范解答】解：∵平分，平分， ∴， ∵是的外角， ∴，即，①正确，故符合要求； ∵分别平分， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②③错误,不符合要求，④正确，故符合要求． 故答案为：①④． 【精练2】直线与直线垂直相交于点在直线上运动，点在直线上运动．    (1)如图1，已知分别是和角的平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小． (2)如图2，已知不平行分别是和的角平分线，又分别是和的角平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长至，已知的角平分线与的角平分线及延长线相交于，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内和为；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．解题时注意分类思想的灵活运用． （1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算，即可得到的大小不变； （2）根据延长、交于点．根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得到； （3）先根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，得到，再根据分别是和的角平分线，可得．最后根据中，有一个角是另一个角的3倍，分四种情况进行讨论，即可得到的度数． 【规范解答】（1）的大小不变． ∵直线与直线垂直相交于， ∵、分别是和角的平分线，    （2）如图2，延长、交于点．    ∵直线与直线垂直相交于， ∵、分别是和的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴； （3）∵与的角平分线相交于， ∵、分别是和的角平分线， 在中，有一个角是另一个角的3倍，故有： ① ② （舍去） ③ ④ （舍去） 或．    【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】C 【思路引导】根据线段的垂直平分线的性质可得答案． 【规范解答】解：的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等． ∴观景台应建在三条边的垂直平分线的交点处． 2．（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【思路引导】利用线段垂直平分线的性质定理求解． 【规范解答】解：∵垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度． 【规范解答】解：于点，于点，且， 平分， ， ． 4．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，为的角平分线，于点，点为边上的动点，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质，当动点运动到点时，时，有最小值时，，即可． 【规范解答】解：过点作于点， ∵为的角平分线，于点， ∴， ∵点为边上的动点，， ∴点与点重合时，，，此时有最小值，即， ∴． 5．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________． 【答案】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 【规范解答】 解：两个完全一样的三角尺， 且， 根据角的平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上， 平分． 6．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点，，连接，平分，若，则的长为_____． 【答案】 【思路引导】先根据线段垂直平分线的性质以及角平分线的判定得到，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【规范解答】∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵平分，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为________． 【答案】 / 【思路引导】根据线段垂直平分线的性质可得，利用勾股定理求出，结合即可求解． 【规范解答】解：点在的中垂线上， ， ，，， 在中，由勾股定理得， 点在上， ． 8．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）由线段垂直平分线的性质得到，因此，求出，即可得到； （2）设，由勾股定理得，求出的值即可． 【规范解答】（1）解：垂直平分， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ， 由勾股定理得：， ， ， . 9．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图，若D为的中点，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【思路引导】（1）根据二次根式和绝对值的非负性，求得，，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）连接，根据轴对称的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和得，证明，即可证明结论. 【规范解答】（1）证明：， ，， ，， ， ， ， 即是直角三角形； （2）证明：连接， 沿直线折叠得到， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， . 10．（25-26八年级下·广东深圳·期中）已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线以每秒2个单位的速度运动，设点的运动时间为秒，连接． (1)如图1，当时，求的长度．（结果保留根号） (2)如图，为等腰三角形时，求的值． (3)如图3，过点作于点，在点运动过程中，当______时，． 【答案】(1) (2)的值为，， (3)或 【思路引导】（1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解； （2）根据动点运动过程中形成三种等腰三角形，分3种情况即可求解； （3）根据动点运动的不同位置，分2种情况利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）解：根据题意，得， 在中，根据勾股定理，得． （2）解：在中，， 根据勾股定理，得， 若，则 ，解得； 若，则， 解得； 若，则，解得． 答：当为等腰三角形时，t的值为，，． （3）解：①点Q在线段上时，过点D作于E，连接，如图1所示： 则， ∴，， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点Q在线段的延长线上时，过点D作于E，连接，如图2所示： 同①得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点Q的运动过程中，当t的值为或时，能使． 【考点剖析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以、为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接、，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】由作图可知是的平分线，，根据角平分线的性质可知，根据等边对等角可知． 【规范解答】解：由作图可知是的平分线，， ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·四川成都·期中）下列命题，假命题是（  ） A．有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形 B．有一个角是，腰相等的两个等腰三角形全等 C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 D．三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等 【答案】B 【思路引导】根据等边三角形判定、全等三角形判定、三角形外心与内心的性质，逐一判断各命题真假即可得到答案． 【规范解答】解：、∵等腰三角形有一个内角为，若是顶角，则两个底角均为；若是底角，则顶角为， ∴三个内角均为，该三角形是等边三角形，故该选项是真命题，不符合题意； 、∵题目中的角未说明是顶角还是底角，当一个等腰三角形的是顶角，另一个等腰三角形的是底角时，两个三角形的内角度数不相等， ∴即使腰长相等，两个三角形也不全等，故该选项是假命题，符合题意； 、∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴三角形两边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故该选项是真命题，不符合题意； 、∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等，故该选项是真命题，不符合题意． 3．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，为的中点，分别以点，为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线，为直线上任意一点，连接，．若，．则的最小值为（    ）． A．5 B． C． D．10 【答案】C 【思路引导】连接，交直线于点N，设交于点G，当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长，结合已知条件求出即可． 【规范解答】解：连接，，交直线于点N，设交于点G， 由题意得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长． ∵，D为的中点，，， ∴，，， ∴ ∴的最小值为． 4．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，中，，，，的垂直平分线交于点，交于，连接，则的长为________． 【答案】 【思路引导】根据线段垂直平分线的性质得出，在中，根据勾股定理可得出答案． 【规范解答】解： 的垂直平分线交于，交于， 设，则， 在中，， ， 解得． ∴． 5．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在中，，平分，点，分别是和上的任意一点，设． （1）连接交于点，则_____ （填表示相等或大小关系的符号）； （2）若，，，则的最小值是 ___________________ ． 【答案】 【思路引导】（1）连接，由等腰三角形的性质可得，垂直平分，则，因此； （2）结合（1）的结论和垂线段最短可知，当，且、、三点共线时，取得最小值，使用面积法求出的值即可． 【规范解答】解：（1）如图，连接， ∵，平分， ∴，，即垂直平分， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）可知，， 又∵垂线段最短， ∴当，且、、三点共线时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 6．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，的周长是12．若，，则的面积为____． 【答案】 【思路引导】根据垂直平分线的性质得到，，再由得到，根据三角形外角的性质得到，，因此，从而，结合勾股定理即可求得，，过点作的垂线，交于点，可求得的长度，进而可得的面积． 【规范解答】解∶∵为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线， ∴，， ∵ ∴． ∵，， ∴，． ∴， ， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵ ∴， 设，则， ∵在中，， ∴，解得 ∴，． 过点作的垂线，交于点． ∵，即 ∴． ∴． 7．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，，点在上，于点，且． (1)求证：平分； (2)求证：点在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）利用角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在角的平分线上，由、 且可证； （2）根据直角三角形两锐角互余求出，结合角平分线得，再利用直角三角形性质证，由垂直平分线判定定理可证． 【规范解答】（1）解：， ， ，且， 根据到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上， 点在的平分线上， 平分． （2）解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， 根据等腰三角形性质，有垂直平分， ， 连接，在中，， （直角三角形斜边中线等于斜边的一 半）， ， 根据垂直平分线性质，点在的垂直平分线上． 8．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒． (1)当点P在线段上运动，______秒时，点P到的距离与点P到的距离相等； (2)若是以为腰的等腰三角形，求t的值； (3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1个单位长度，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，P，Q两点之间的距离为？请直接写出答案． 【答案】(1) (2)或 (3)当t为1或时，P、Q两点之间的距离为 【思路引导】（1）利用勾股定理求解，过点作于点，证明，可得，进一步利用勾股定理求解即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解； （3）分在上，在上；在上，在上；都在上，三种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， 如图所示， 过点作于点，， ∵点P到的距离与点P到的距离相等； ∴， ∴平分， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 设，则 ． 在中，， 即， 解得：， ∴. （2）解：当是以为腰的等腰三角形，则点在线段上， ①时，如图： ∵动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， ∴， ∵， ∴， ∴； ②时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：是以为腰的等腰三角形，t的值为或. （3）解：由题意，得：点按运动，共需要：； 点按运动，共需要：； ∵当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动， ∴、运动的总时间为：； ①在上，在上时： 由题意，得：， ∵ ， ∴，即：， 解得：或（舍去）； ②当点在上、点在上时，即，如图， ∴，， ∴， 当时，最小值为， ∴，不合题意； ③当点、都在上，此时：，， 点在点的左侧时， ， 解得：； 点P在点Q的右侧时， ， 解得：； ∵， ∴不合题意，舍掉； 综上所述，当t为1或时，P、Q两点之间的距离为． 9．（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）新乡风筝制作技艺包括扎、糊、绘、放“四艺”，属于河南省非物质文化遗产．如图是风筝的结构示意图，点是等边三角形的外部一点，且，过点作交于点，交于点． (1)求证：直线垂直平分线段； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【思路引导】（1）根据线段垂直平分线的判定定理解答即可； （2）根据等边三角形的性质及垂直平分线的性质得，由平行线的性质推出，得，从而证得是等边三角形，求出，再求出，得 【规范解答】（1）证明：是等边三角形． ∴． ∴点在线段的垂直平分线上． 又． 点在线段的垂直平分线上． 直线是线段的垂直平分线 即直线垂直平分线段． （2）解：∵是等边三角形， ∴． ∴垂直平分线段． ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 10．（25-26八年级下·河南郑州·期中）【理解问题】 如图1，在和中，，，点A，D在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做美好等腰三角形．在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点D在上，，，垂足为E，的延长线与交于点F，点G在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】①小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，若，请直接写出的度数． ②参考小颖的问题尝试提出一个新的问题（不用解答）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；②见解析（答案不唯一） 【思路引导】（1）利用美好等腰三角形的性质得，得 ，从而有；再由，结合线段垂直平分线的判定即可证明； （2）作射线交于点．由已知，则．再证明得，即可得证； （3）①证明垂直平分得，从而，设，根据可求出，进而可求出的度数； ②证明垂直平分得，从而，设，根据可求出，进而可求出的度数． 【规范解答】（1）证明：和是美好等腰三角形， ． ，即． ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上． 直线是线段的垂直平分线． （2）证明：如图，作射线交于点． ，垂足为， ． ． ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 和是美好等腰三角形 （3）①解：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； ②问题：在图2的基础上继续探究：分别连接、，若，请直接写出的度数． 解：如图3， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题03 线段的垂直平分线与角平分线『期末复习重难点专题培优』 【七个重点题型+期末真题实战演练 共41题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 线段垂直平分线的性质 1 题型二 线段垂直平分线的判定 2 题型三 作垂线（尺规作图） 4 题型四 角平分线的性质定理 5 题型五 角平分线的判定定理 6 题型六 角平分线性质的实际应用 7 题型七 双角平分线模型-解题模型 9 优选真题 10 【基础夯实 能力提升】 10 【拓展拔尖 冲刺满分】 14 题型一 线段垂直平分线的性质 【精讲】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，在中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点，交于点；再以、为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点，连接，，则下列说法不正确的是（   ） A． B．周长为10 C． D． 【精练1】（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在中，，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【精练2】（25-26八年级下·辽宁本溪·期中）如图，已知在中，，平分交于点，过点作于点，交于点，且． (1)证明：垂直平分； (2)在（1）的条件下，若是边的中点，连接与相交于点．请猜想，，之间的数量关系 ． 题型二 线段垂直平分线的判定 【精讲】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）在数学活动课上，数学老师让同学们以“等腰三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．如图1，在三角形纸片中，．将三角形纸片沿折叠，使落在上，点C的对应点为点E，连接． (1)将三角形纸片展开，则图中共有______个等腰三角形． (2)如图2，在图1的基础上，延长交的延长线于点F，连接．求证：所在的直线垂直平分． 【精练1】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【精练2】（25-26八年级下·山西太原·期中）综合与实践--探究特殊三角形中的相关问题 问题情境： 某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含角的直角三角板和按如图1所示位置放置，且的较短直角边为2，现将绕点按逆时针方向旋转，如图2，与交于点，与交于点，与交于点． (1)初步探究： 勤思小组的同学提出：当旋转角___________时，是等腰三角形； (2)深入探究： 敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接，，那么所在的直线是线段的垂直平分线，请帮他们证明： (3)再探究： 在旋转过程中，当旋转角时，直接写出与重叠的面积_______； (4)拓展延伸： 在旋转过程中，当为直角三角形时直接写出旋转角的度数． 题型三 作垂线（尺规作图） 【精讲】（25-26八年级下·河北张家口·期中）如图，在中，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； (2)在（1）得到的图中，若，判断的形状，并说明理由． 【精练1】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知在中，，． (1)尺规作图：按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作的角平分线，交于； ②作线段边上的高，分别交、于点、点； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【精练2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）（1）如图（1），已知和线段，求作一点，使，并且点到的两边距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）： （2）如图（2）， （a）分别作出点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、， （b）若，则的周长为___________．    题型四 角平分线的性质定理 【精讲】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，平分交于点，为的中点，交于点，若，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D． 【精练1】（25-26八年级下·广东梅州·期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点与顶点重合，点，分别在边，上，连接并延长，交于点．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，，的面积为，求的长． 【精练2】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，在中，，，平分交于点，于点，交于点，于点，于点，若，则的长是（    ） A．2 B． C． D． 题型五 角平分线的判定定理 【精讲】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等． (1)求证：； (2)若的周长为12，面积为18，求点到三边的距离． 【精练1】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）尺规作图：如图，电信部门要在两条高速公路m、n形成的内部修建一个电视信号发射塔，按照要求，发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两边的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？在图上用点P标出它的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【精练2】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在直线AB的同一侧作和，和都是等边三角形，连接、交于点H，下列选项正确的序号是______． ①；②；③；④连接，则平分； 题型六 角平分线性质的实际应用 【精讲】（25-26八年级上·河北张家口·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【精练1】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，点在线段的延长线上，与不重合，且．连接，过作于点，与交于点． (1)求证：； (2)连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【精练2】（25-26八年级上·广东珠海·期末）【问题背景】如图1，与均为等腰直角三角形，其中，，． 【构建联系】 （1）如图2，连接交于点，探究与数量和位置关系； 【深入探究】 （2）如图3，在（1）的基础上连接，连接并延长交于点， ①求证：平分； ②若，，则的面积为___________； 【知识拓展】 （3）如图4，连接，是的中点，连接，求证：． 题型七 双角平分线模型-解题模型 【精讲】（25-26八年级上·吉林延边·期中）请你参与下面的探究过程，并完成所提出的问题． 【探究】 （1）如图①，点是的内角与内角的平分线和的交点，若，则______． （2）如图②，点是的外角与外角的平分线和的交点．求证：． 【拓展】 （3）如图③，点是的外角与外角的平分线和的交点，点、分别在边、上，连接．设． ①与的数量关系是______． ②当为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 【精练1】如图，在中，分别平分，为外角的平分线，交的延长线于点E，记．给出下列结论：①；②； ③；④．其中正确的是________．（填序号）    【精练2】直线与直线垂直相交于点在直线上运动，点在直线上运动．    (1)如图1，已知分别是和角的平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小． (2)如图2，已知不平行分别是和的角平分线，又分别是和的角平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长至，已知的角平分线与的角平分线及延长线相交于，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求的度数． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 2．（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，为的角平分线，于点，点为边上的动点，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________． 6．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点，，连接，平分，若，则的长为_____． 7．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为________． 8．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 9．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图，若D为的中点，求证：； 10．（25-26八年级下·广东深圳·期中）已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线以每秒2个单位的速度运动，设点的运动时间为秒，连接． (1)如图1，当时，求的长度．（结果保留根号） (2)如图，为等腰三角形时，求的值． (3)如图3，过点作于点，在点运动过程中，当______时，． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以、为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接、，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·四川成都·期中）下列命题，假命题是（  ） A．有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形 B．有一个角是，腰相等的两个等腰三角形全等 C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 D．三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等 3．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，为的中点，分别以点，为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线，为直线上任意一点，连接，．若，．则的最小值为（    ）． A．5 B． C． D．10 4．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，中，，，，的垂直平分线交于点，交于，连接，则的长为________． 5．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在中，，平分，点，分别是和上的任意一点，设． （1）连接交于点，则_____ （填表示相等或大小关系的符号）； （2）若，，，则的最小值是 ___________________ ． 6．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，的周长是12．若，，则的面积为____． 7．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，，点在上，于点，且． (1)求证：平分； (2)求证：点在的垂直平分线上． 8．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒． (1)当点P在线段上运动，______秒时，点P到的距离与点P到的距离相等； (2)若是以为腰的等腰三角形，求t的值； (3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1个单位长度，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，P，Q两点之间的距离为？请直接写出答案． 9．（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）新乡风筝制作技艺包括扎、糊、绘、放“四艺”，属于河南省非物质文化遗产．如图是风筝的结构示意图，点是等边三角形的外部一点，且，过点作交于点，交于点． (1)求证：直线垂直平分线段； (2)若，求的长． 10．（25-26八年级下·河南郑州·期中）【理解问题】 如图1，在和中，，，点A，D在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做美好等腰三角形．在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点D在上，，，垂足为E，的延长线与交于点F，点G在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】①小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，若，请直接写出的度数． ②参考小颖的问题尝试提出一个新的问题（不用解答）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $