专题02等腰三角形期末易错压轴专项训练(20大题型共计76道)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦等腰三角形高频易错点与压轴题型，通过典题特征归纳、易错点剖析及解题思路提炼，构建从基础性质到综合应用的递进式训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错模块（1-13）|4题/模块|如等边对等角：角的对应关系判断与内角和应用；三线合一：等腰前提与三线对应关系|从性质（等边对等角、三线合一）到判定（等角对等边），夯实基础概念| |压轴模块（14-20）|4题/模块|如存在性问题：分类讨论与参数方程；动点问题：参数表示与动态分析|综合折叠、手拉手模型等，实现从单一应用到复杂情境的迁移|

专题02等腰三角形期末易错压轴专项训练 本专练聚焦等腰三角形章节高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.等边对等角 易错02.三线合一 易错03.等边三角形的性质 易错04.等角对等边证明等腰三角形 易错05.等角对等边证明边相等 易错06.等角对等边求边长 易错07.等腰三角形的性质与判定 易错08.格点图中画等腰三角形 易错09.找出图中的等腰三角形 易错10.直线上等腰三角形找点问题 易错11.用反证法证明命题 易错12.等边三角形的判定 易错13.等边三角形的判定与性质 压轴14.等腰三角形存在性问题 压轴15.等腰三角形与角平分线平行线综合 压轴16.等腰三角形与动点问题 压轴17.等腰三角形与折叠问题 压轴18.手拉手模型 压轴19.规律探究题型 压轴20.等腰三角形与最值问题 易错01.等边对等角 典题特征：已知等腰三角形两边相等，求对应角的度数，或结合内角和、外角性质进行角度计算。 易错点：①混淆顶角与底角，误将已知角直接当作底角计算；②忽略三角形内角和为180°，计算出无效角度；③未考虑等腰三角形底角必为锐角，当已知角≥90°时仍按底角处理。 1．已知一个等腰三角形一底角的度数为，则这个等腰三角形顶角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为即可计算出顶角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，已知一底角为， ∴顶角度数为． 2．边长相等的正六边形和正方形按照如图方式摆放，则______． 【答案】 【分析】求出正六边形的每个内角度数，可得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可求解． 【详解】解：∵正六边形的内角和为， ∴正六边形的每个内角为， ∵正方形的每个内角为， ∴， 又∵， ∴． 3．如图，在三角形纸片中，，点在边上（点，不重合，），将沿折叠后得到，交于点．若，则与的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，利用折叠对应角相等、等腰三角形底角相等，结合三角形外角与内角和定理建立方程，化简推导两角数量关系即可． 【详解】解：设，， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， 在中，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 4．如图，和都是等腰三角形，，且，连接、． (1)如图1，当点在的内部时，求证：； (2)如图2，，且点落在边上．若为上的一点，且，求的周长； (3)如图3，在中，，是一个变化的角，以为边作等边，连接，试探究，随着的变化，的长度的取值范围？ 【答案】(1)见详解 (2)12 (3) 【分析】（1）先证明，证明即可得出结论； （2）先证明，得出，，再证明，即可求出结论； （3）以为边作等边，连接，然后可得，，进而可得，最后根据三角形三边不等关系可进行求解． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，且， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长； （3）解：以为边作等边，连接，如图所示： ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由三角形三边关系可得：， 当B、E、F三点共线时，可取等号， ∴， ∴． 易错02.三线合一 典题特征：利用等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合的性质，证明垂直、线段相等或角相等。 易错点：①未先说明三角形为等腰三角形，就直接套用三线合一；②混淆“三线”的对应关系，误将腰上的高/中线与顶角平分线混用；③对非底边的线段错误套用三线合一。 5．如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（     ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D．三角形具有稳定性 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可． 【详解】解：这种做法依据的数学原理是：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合． 理由：∵，， ∴． ∵是重锤所在的直线， ∴是水平的． 6．如图，在等腰三角形中，，，，，则________． 【答案】 【分析】根据三线合一，含角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， ∴. 7．如图，在中，，是边上的高，，两点分别在，上，连接，．若，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，将最小值转化为的长是解题的关键． 连接，由等腰三角形的性质可知得，在中，由勾股定理得，当，，三点共线时，的最小值是的长，利用等面积法求出的长即可． 【详解】解：，，， ， 在中，， 当，，三点共线时，的最小值是的长， 如图，连接， 当时，最短， ，即的最小值是． 故选：B． 8．在中， 于点M，且点M为的中点，。 (1)如图1，求证：为等边三角形； (2)如图2，点D、E分别在上，连接相交于点F，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，于点G，连接，，点H为外一点，连接，点I为内一点，连接，，，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)24 【分析】（1）证明，即可证明为等边三角形； （2）根据等边三角形的性质证明，得到，再结合三角形内角和定理求解即可； （3）连接，过点作、的垂线，垂足分别为、，连接，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，连接，由等腰三角形的性质，推出，再通过证明全等三角形，从而得出，得出，设，求出，过点作的垂线，垂足为，利用30度角所对的直角边等于斜边一半，得出，即可计算出的面积． 【详解】（1）证明：∵于点M，且点M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形； （2）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点作、的垂线，垂足分别为、，连接，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，， ∵， ∴， ∵， ∵， 又∵， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在等腰直角形，， ∵，， ∴，， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴，， 在中，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作的垂线，垂足为， 在中，，， ∴， ∴的面积． 易错03.等边三角形的性质 典题特征：利用等边三角形三边相等、三角均为60°的性质，进行角度或线段计算。 易错点：①误将等边三角形的性质应用于一般等腰三角形；②忽略等边三角形“三线合一”的所有线段均相等；③计算角度时误将60°记为其他度数。 9．将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在等边三角形平行线间的顶点处作m和n的平行线，利用平行线的性质，通过等量代换得到，再计算即可． 【详解】解：如图，设等边三角形为，过点作， ∵， ∴， ∴，， 在等边三角形中，， ∴， ∴． 10．如图，是等边三角形内的任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，，若，则________． 【答案】 【分析】连接，由题意易得，设，则有，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 设， ∴， 连接，如图所示： 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴①， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴②， 同理可得：， ∴③， 将①，③代入②，得：， ∴， 整理得：， ∴， ∴． 11．如图，在中，，以为边向外分别作等边和等边，若，则的长为（     ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】利用等边三角形性质和证明 ，将求转化为求，再证，利用勾股定理求即可 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴ ． ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴． 12．如图，在等边中，点D、E在边、上，且，连接、交于点F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； (2)． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，运用即可求证； （2）根据题意，由，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵在等边中，， ∴． 易错04.等角对等边证明等腰三角形 典题特征：已知三角形中两个角相等，证明该三角形为等腰三角形。 易错点：①混淆“等角对等边”与“等边对等角”的因果关系，证明逻辑颠倒；②未在同一三角形内应用该定理，对不同三角形的角和边错误套用；③未先证明角相等，就直接假设三角形为等腰三角形。 13．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再根据三角形分类规则判断三角形类型即可． 【详解】解：该三角形第三个内角的度数为， 最大的内角为， ∴这个三角形为锐角三角形， ∵这个三角形有两个内角相等， ∴这个三角形一定是等腰三角形． 14．在三角形中，，则三角形是_____三角形． 【答案】等腰直角 【分析】根据已知的角度比例关系设参数，结合三角形内角和定理求出各内角的度数，再根据角的特征判断三角形的形状． 【详解】解：设，，，其中， 根据三角形内角和定理得：， 解得， 因此，，， 可得，， 所以， 所以是等腰直角三角形． 15．如图，在中，点D在边上，连接，若，则图中的等腰三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据等角对等边进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴和都是等腰三角形， ∵， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 综上，等腰三角形共有3个． 16．如图，在中，点在边上，过点作交于点，连接，平分，在边上取点，连接，，过点作于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，据此可证明结论； （2）由三线合一定理得到，则可求出，证明是等腰直角三角形，可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 易错05.等角对等边证明边相等 典题特征：已知三角形中两个角相等，证明其对应边相等。 易错点：①误用等角对等边，未说明角相等就直接得出边相等；②忽略角与边的对应关系，误将非对应边当作相等边；③未结合三角形的其他条件（如公共边、对顶角）辅助证明。 17．如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E，若、，则线段的长为（　　） A．6 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义可得，，再利用平行线的性质可得，，从而可得，，然后利用等角对等边可得，，即可解答． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴． 18．如图是生活中常见的遮阳棚，结构稳固，常用于小区、公园等场所．如图，在中，，，是中线，平分，交延长线于点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出，平分，根据角平分线的定义得出，根据直角三角形的性质得出，根据平行线的性质推得，根据等角对等边即可求解． 【详解】∵，是中线， ∴，平分， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 19．已知：如图，在中，，，，与相交于点 (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）根据题意，可得，根据直角三角形两锐角互余得，根据等角对等边，可得，最后根据全等三角形的判定方法求证，即可； （2）由（1）得，推出，，根据勾股定理，可得，即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴，， 在中，， ∴， ∴． 20．如图，点B，E，C，F在直线l上，，相交于点，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)证明： ， ， 即， 在和中， ． (2)证明：由（1）可知，， ， ， 是等腰三角形． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，等腰三角形的判定方法，进行解答，即可． （1）根据全等三角形的判定方法，可证明，即可； （2）由全等三角形的性质，得到，根据等角对等边，即可． 【详解】（1）略 （2）略 易错06.等角对等边求边长 典题特征：已知三角形中两个角相等，求对应边的长度，或结合周长、其他边的长度计算未知边。 易错点：①未先证明角相等，就直接假设对应边相等；②未用三角形三边关系验证，导致求出的边长无法构成三角形；③忽略题目中的隐含条件（如线段和差、垂直关系），错误判断相等的角。 21．如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】首先求出，然后利用等角对等角求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．如图，中，平分，交于点E，若，，则长度为______． 【答案】 4 【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，再根据等角对等边得到，最后利用线段的和差关系求解． 【详解】解：平分， ． ， ， ， ． ， ． ， ． 23．如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据角平分线的定义得，结合平行线的性质可证，然后根据等腰三角形的判定方法即可得解； （2）利用等腰三角形的性质求得，再利用等腰直角三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， 为等腰三角形； （2）解：如图， 为等腰三角形，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 则的长为4． 易错07.等腰三角形的性质与判定 典题特征：同时结合等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）和判定（等角对等边），进行证明或计算。 易错点：①性质与判定混用，逻辑链条混乱；②误判角与边的对应关系，推导过程中张冠李戴；③多次应用定理时，遗漏关键条件（如未证明三角形为等腰就用三线合一）。 24．在平面直角坐标系中，的边长如图所示，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于点D，先由等腰三角形三线合一的性质得，再由勾股定理求出，即可得点的坐标． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 由图可知，，， ∴， 在中，， ∴点的坐标为． 25．如图，在Rt中，，，点，在上，连接，且． （1）若，则的长度为___________； （2）若，则的长度为___________． 【答案】 3 【分析】（1）根据勾股定理求出结果即可； （2）过点C作，取，连接，，证明，得出，，根据勾股定理得出，证明，得出． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴，负值舍去； （2）过点C作，取，连接，，如图所示： ∵在Rt中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 26．如图，是的高，平分交于点，过点作，垂足为点，并交于点．若，则下列结论中：①；②；③；④；⑤．正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】①利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可判断；②根据等角的余角相等得出，利用证明即可判断；③利用角平分线的定义得出相等角，利用①②的结论得出相等角，然后利用等角对等边即可判断；④延长交于点，证明，得出，然后利用三角形边和角的关系即可得出判断；⑤根据现有条件无法证明，即可判断． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵，是的高， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴，故②正确； ③∵平分， ∴， 由②得， ∴， 由①得， ∴， 即， ∴， 由②得， ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确，符合题意； ④如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤根据现有条件无法证明，故⑤错误； 综上，正确的有①②③④，共4个． 27．【问题呈现】在中，，点D是直线上一点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图①，当点D在线段上时，若； ①判断与是否全等？并请说明理由． ②求的度数． (2)【知识应用】如图②，，当点D是的中点时，与平行吗？ (3)【拓展延伸】设，，如图③，当点D在线段BC上移动时，问，之间有怎样的数量关系？说明理由． 【答案】(1)①，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． ②； (2)与平行 (3)，理由如下： 由（1）可知：， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）①由结合角的和差可得，再结合即可证明结论； ②根据三角形内角和性质以及等腰三角形的性质，全等三角形的性质，得出，即可作答． （2）根据等腰三角形的性质，得出，再结合同旁内角互补，得出两直线平行，即，； （3）由（1）可知，则根据全等三角形的性质得到，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：①略； ②由①得， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵，是中点， ∴， 即 又， ， ∴． （3）解：略 易错08.格点图中画等腰三角形 典题特征：在方格纸上给定两点，画出以这两点为边或顶点的等腰三角形，求符合条件的点的个数。 易错点：①未按“以已知线段为腰”和“以已知线段为底”两种情况分类；②漏数垂直平分线上的格点；③忽略格点的坐标限制，画出的点不在格点上。 28．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，所有符合条件的点C有（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查了作图与应用，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，学会运用数形结合的思想解决问题． 根据等腰三角形的定义和网格的特点即可求解． 【详解】解：如图所示： ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， 则一共有5个等腰三角形， 故选：B． 29．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有_____个． 【答案】5/五 【分析】本题考查了等腰三角形的定义；利用等腰三角形的定义和网格的特征找到其中一个端点为A或B且与相等且另一个端点为格点的线段即可，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形. 【详解】如图，共有5个格点符合要求， 故答案为：5． 30．如图，在的正方形网格中，点，均在格点上，要在格点上确定一点，使是以为腰的等腰三角形，则网格中满足条件的点的个数是（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的定义，勾股定理，计算求解即可； 【详解】解：根据题意，得符合要求的点有如下：6个； 易错09.找出图中的等腰三角形 典题特征：在含平行线、角平分线的复杂图形中，找出所有等腰三角形。 易错点：①遗漏“角平分线+平行线”模型构成的等腰三角形；②误判边或角的关系，将非等腰三角形当作等腰三角形；③未按顺序查找，导致重复或遗漏。 31．如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，时，都能得到符合题意的等腰三角形．    综上，这样的直线最多可画4条． 故选：C． 32．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 33．如图，，是边长为的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中恰好能形成，则使得是等腰三角形的概率是_____． 【答案】 【分析】本题考查了概率的公式，将所有情况都列举出来是解决此题的关键． 在的网格中共有个格点，找到能使得是等腰三角形的格点即可利用概率公式求解． 【详解】解：在的网格中共有个格点，除开和共线的2个点与自身两个点，构成三角形的有个， 如图，使得是等腰三角形的格点有个， 故使得三角形面积为的概率为， 故答案为：． 易错10.直线上等腰三角形找点问题 典题特征：在一条直线上，找能与已知两点构成等腰三角形的点的个数。 易错点：①未分“以已知线段为腰（分别以两点为圆心画圆）”和“以已知线段为底（作垂直平分线）”三类情况；②漏算或重复计算圆与直线的交点；③忽略直线的延伸方向，未考虑两端的交点。 34．点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，先以A点为圆心，为半径作弧交直线l于点、，再先以B点为圆心，为半径作弧交直线l于点，最后作的垂直平分线交直线l于点． 【详解】解：如图，点为所作， 故答案为：A． 35．在中，，，在直线或上取点D，使得是等腰三角形，则符合条件的D点有_________个． 【答案】6 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的存在性问题，分别以、为圆心，长为半径画圆与直线或取交点，再作的垂直平分线与直线或取交点即为所求． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，以为圆心，长为半径画圆与直线交于点和，与直线交于点和，则为等边三角形， ∴以为圆心，长为半径画圆与直线交于点和，与直线交于点和， 作的垂直平分线与直线交于点，与直线交于点， 综上所述，符合条件的D点有6个． 故答案为：． 36．如图，点A的坐标为，若点P在y轴上，且为等腰三角形，则点P位置的个数为（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】由A点坐标可得，，分别讨论为腰和底边，求出点P在y轴正半轴和负半轴时，是等腰三角形的P点坐标即可． 【详解】解：（1）当点在轴正半轴上， ①以为腰时， ， ，， 点的坐标是或； ②以为底边时， ， 当点的坐标为：时，； （2）当点在轴负半轴上， 以为腰时， ， ， ， 点的坐标是； 综上所述：点P的位置有个． ,易错11.用反证法证明命题 典题特征：用反证法证明等腰/等边三角形相关命题（如“等腰三角形的底角必为锐角”）。 易错点：①反设步骤错误，未正确否定结论；②推导过程中无法推出与已知条件矛盾的结论；③最后未明确说明原命题成立。 37．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤， ③假设在中，， ④由，得，即， ②，这与三角形内角和为矛盾， ①因此假设不成立．， 综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④②①． 故选：C． 38．用反证法证明．已知：和是直线被直线截出的同位角，分别交于点M、N，． 求证：． 证明：假设________________，过点M作直线，使得 根据________________，可得到________________， 又因为，与________________矛盾， 故假设不成立，所以 【答案】，同位角相等，两直线平行，；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据反证法证明的基本思路，平行线的判定和性质，求解即可． 【详解】解：证明：假设，过点M作直线，使得， 根据同位角相等，两直线平行，可得到， 又因为，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 矛盾， 故假设不成立，所以． 39．如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折㢃为，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得，，，，然后逐项分析即可． 【详解】解：由折叠的性质得，，，，， A．若，则 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵、是的两个内角， 又∵三角形三个内角和为， ∴不可能等于， ∴，不可能成立，故A不正确； B．∵，， ∴，故B正确； C．若， ∵， ∴，显然不一定成立，故不正确； D．若， ∵， ∴，显然不一定成立，故D不正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 40．在中，，，求证：．（用反证法证明） 【答案】见解析． 【分析】假设，通过三角形内角和定理可得，所以，与相矛盾，从而求证． 【详解】证明：假设， ∵， ∴， ∴， ∴，与相矛盾， ∴不成立， ∴． 易错12.等边三角形的判定 典题特征：证明一个三角形为等边三角形（三边相等、三角相等、有一个角为60°的等腰三角形）。 易错点：①混淆判定条件，仅说明两边相等就判定为等边三角形；②忽略“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”的前提，未先说明三角形为等腰三角形；③无法结合内角和证明三个角均为60°。 41．已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】利用平方和绝对值的非负性推导三边的关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，即， ∴是等边三角形． 42．如图，在中，点分别在边上，，是的平分线，．给出下面四个结论：①；②；③若，则是等边三角形；④若平分，则．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键．由等腰三角形三线合一定理可得，据此可判断①；根据等边对等角和三角形内角和定理可推出，进而得到，据此可判断②；若，则可导角证明，据此可判断③；根据现有条件无法证明④的结论． 【详解】解：①∵， ∴是等腰三角形． ∵是的平分线， ∴． 故①符合题意； ②∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故②符合题意； ③∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 故③符合题意； ④若平分， ∵无法判断是否 ∴无法证明． 故④不符合题意． 综上，符合题意的序号为①②③． 故答案为：①②③． 43．若a，b，c为的三边，且关于x的二次三项式为完全平方式，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．只有两边相等的等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，三角形的分类，由于二次三项式为完全平方式，得到，由此得出关于a、b、c的方程，进而推导出． 【详解】解：∵ 二次三项式 为完全平方式， ∴， 展开得， 简化得 ， 两边乘以2得， ∴， ∴， ∵ 平方项非负， ∴ ，，，即 ， ∴ 为等边三角形． 故选：B． 44．如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)证明：，， 平分， ， 又， 是等边三角形； (2) (3)证明：，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】（1）利用等腰三角形“三线合一”的性质求出的度数，结合，根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形； （2）先利用等腰三角形的性质求出的度数，再结合等边三角形的性质求出的度数，在中利用含角的直角三角形的性质求出的长度，进而得到的长； （3）先根据角的和差关系推出，再利用等边三角形和等腰三角形的性质得到对应边、角相等，通过证明，结合全等三角形的性质与线段的和差关系证明． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 由（1）得，是等边三角形， ，， ， ， ， ， ； （3）略 易错13.等边三角形的判定与性质 典题特征：同时应用等边三角形的判定和性质，进行证明或角度、线段计算。 易错点：①证明逻辑不严谨，先假设三角形为等边三角形，再用性质推导条件；②未区分等边三角形与等腰三角形的性质，错误套用角度关系；③忽略等边三角形的对称性，遗漏关键线段或角。 45．已知中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形与等边三角形的判定和性质，利用“有一个内角是的等腰三角形是等边三角形”的结论即可求解. 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴. 46．如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】证明出是等边三角形，得到，然后求解即可． 【详解】解：∵以点A为圆心，长为半径作弧， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 47．如图，正六边形的边长为5，以为边作等边三角形，连接，则的长度为________． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质可得，，再结合为等边三角形，可得为等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵正六边形的边长为5， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 48．如图，在中，，过点作，垂足为，且是边的中点． (1)求证：是等边三角形； (2)尺规作图：在线段上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 【分析】1）先证垂直平分，得到，再由证得三边相等，由此证得结论； （2）作的角平分线即可求解． 【详解】（1）证明：，是边的中点， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：如图所示， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 49．如图①，等腰中，，点在底边上(异于点，)，点是延长线上一点，若为等腰三角形，则称点为的“同类点”． (1)如图③，以点为原点建立平面直角坐标系，在的正方形网格图上有一个，点，，均在格点上，在给出的网格图上有一个格点，使得点为的“同类点”，请写出符合条件的点坐标为 ； (2)如图②，平分，过射线上的点作，交射线于点，点为上一点，连接并延长交射线于点，若，，求证：点是的“同类点”； (3)凸四边形中，，，对角线、交于点，且，若点为的“同类点”，请直接写出所有满足条件的的度数． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）符合条件的点需要在的延长线上，同时能使为等腰三角形，在格点中分三种等腰情况逐一寻找； （2）利用平行线与角平分线求出角度，证为等腰三角形，结合定义可证明是同类点； （3）分、两种情况讨论，结合等边三角形与等腰三角形的性质，求出的两个可能度数． 【详解】（1）解：如图，为所有可能的点． 据图可知，在的延长线上，且能够使为等腰三角形的点有个， 当以为底边：； 当以为底边：，； 当以为底边：， 即符合条件的点有，，，． （2）证明：，， ， 平分， ， ， ， ， 点在上，点在的延长线上， 点是的“同类点”． （3）解：已知，，，点为的“同类点”， 分两种情况讨论： 如图，当， 则，为等边三角形， ， ， ， ， ； 如图，当， ， 则，， 可得，即． 综上，度数为或． 压轴14.等腰三角形存在性问题 典题特征：动点/坐标系/几何图形中，判断是否存在点构成等腰三角形，常结合函数； 解题思路：①设动点参数，表示三边长度；②分AB=AC、AB=BC、AC=BC三种情况讨论；③解方程并检验三边关系与题意。 50．如图，在等腰三角形纸片中，，，将一块含角的直角三角形纸片（，）按如图所示的方式放置，顶点在线段上滑动（不与点重合），的斜边始终经过点，直角边交于点，将与的夹角记为（）．在点滑动的过程中，当夹角________，是等腰三角形． 【答案】或 【分析】分三种情况讨论：当时，得到，求出；当时，得到，求出；当时，此时P与B重合，因此，于是得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， 此时P与B重合，因此， 综上所述，当夹角或，是等腰三角形． 51．如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是等腰三角形，则的度数可以是______________． 【答案】或或 【分析】先根据等腰△ABC的边长和角度条件，计算出底角和的度数，设的度数为x，利用折叠的性质得到对应边、对应角相等的关系，用x表示出、，进而表示出的度数，根据角平分线的性质，得到和的度数表达式，结合角度和差关系推导和的全等条件，得到的度数，用x表示出三个内角的度数，再分三种情况讨论等腰的腰的对应关系，分别列方程求解x． 【详解】∵，， ∴， ∵折叠， ∴，设， ∴，，， 又∵， ∴； 且平分， ∴， 结合， ∴， ∴， ∴， ， 当时， ∴，即， 解得， 当时， ∴，即， 解得， 当时， ∴，， 即， 解得， ∴的度数为、或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、折叠变换的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质以及分类讨论思想相关知识点，其中利用折叠性质和角平分线定义推导线段角的关系、证明三角形全等，再结合分类讨论思想分析等腰三角形的不同情况是解题的关键． 52．阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知两点间的距离为___________； (2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴的夹角是．试判断的形状； (3)已知在坐标平面内有一点，为原点，在直线上找一点，使以为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)或或或 【分析】（1）根据两点之间的距离公式解答即可； （2）作轴，再求出，然后根据勾股定理逆定理说明是直角三角形； （3）分三种情况：以点O为圆心，为半径画弧，交直线于点， 设点，由点，根据两点之间的距离公式由，可得，求出解；以点M为圆心，为半径画弧，交直线于点，则点，然后根据得出方程，求出解； 以为底边，作的垂直平分线，交直线于点，则点，然后根据得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵点， ∴； （2）解：如图所示， 过点B作轴于点F， ∵与x轴正半轴的夹角为， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵点， ∴． ∵， ∴是直角三角形； （3）解：或或或． 以点O为圆心，为半径画弧，交直线于点， 设点，由点， ∴， 当， 即， 解得， ∴点； 以点M为圆心，为半径画弧，交直线于点，则点， ， 当时，， 解得或（舍去），则点； 以为底边，作的垂直平分线，交直线于点，则点， ， 当时，， 解得，则点； 所以点或或或． 压轴15.等腰三角形与角平分线平行线综合 典题特征：图形含角平分线、平行线、等腰三角形，用于证线段等或算周长； 解题思路：①利用“平行线+角平分线”构造等腰三角形；②用等腰三角形性质转化线段，简化周长计算；③结合全等/勾股定理计算。 53．在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，，则的周长为______． 【答案】22 【分析】利用平行和角平分线的定义可得到，所以可得，同理可得，所以的周长即为，可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证得， ∴ ， 即的周长为22， 54．如图，在四边形中，，，对角线平分，且，点为边上一点，过点作于点，交于点，若，则和四边形的面积之比为___________． 【答案】 【分析】由角平分线的定义进而平行线的性质得出为等边三角形，，设，则，根据勾股定理得出，即可求出，再根据求出四边形的面积，然后相加即可得出答案． 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∵，， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴， 在中，， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 55．如图，在中，，平分交于点D，交的延长线于点E．若，则的度数为_____． 【答案】/40度 【分析】首先根据平行线的性质，求得的度数，然后由角平分线的概念，求得的度数，再利用等边对等角得出，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∴． 56．如图，是的角平分线，于点，交的延长线于点，若恰好平分，．则下列结论：；；；，其中正确的结论有（） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】首先根据平行线的性质和角平分线的定义证明，从而得出，利用等腰三角形三线合一的性质判断正确；然后证明，得出，，从而判断正确；最后结合和线段和差关系判断正确． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 是的角平分线， ，，故正确； ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，故正确； ，， ，故正确； 综上所述，正确的结论有个． 压轴16.等腰三角形与动点问题 典题特征：动点在直线/线段/多边形上运动，分析不同位置的等腰三角形； 解题思路：①设动点参数，表示相关线段长度；②分情况讨论等腰三角形的腰和底，列方程求解；③结合动点范围检验解的合理性。 57．如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则______． 【答案】 /80度 【分析】作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接， 关于对称， ∴， 同理，，， ，， 是等腰三角形． ，即 ． 58．如图，等边三角形的边长为6，D为边的中点，P是线段上一动点，当的值最小时，的长为________． . 【答案】 【分析】先理解题意，结合等边三角形的性质得，根据30度角所对的直角边是斜边的一半，得出，运用三边关系以及垂线段最短得当时，有最小值，故，，此时的值最小，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：过点P作，连接，如图所示： ∵等边三角形的边长为6， ∴， ∵D为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 当三点共线时，， 当时，有最小值，垂线段最短， 则，， 此时的值最小， 在中，， ∴， ∴， 解得（负值已舍去）． 59．如图，在等边中，于，为上一动点，以为一边作等边（，不在的同侧），点在边上，，，分别连接，．则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为1 B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】当时，有最小值，据此计算可判断选项A；连接，证明，推出，则当时，有最小值，据此计算可判断选项B；连接，得到当重合时，有最小值，最小值为的长，据此计算可判断选项C；作点关于的对称点，连接，，作于点，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此计算可判断选项D． 【详解】解：∵等边中，于， ∴， ∵为上一动点， ∴当时，有最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为1，故选项A正确，不符合题意； 连接， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最小值， ∵等边中，于， ∴， ∴， ∴的最小值为2，故选项B正确，不符合题意； 连接， ∵， ∴当重合时，有最小值，最小值为的长， 作于点， 同理，， ∴， ∴，故选项C正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接，，作于点， ∵等边中，于， ∴点在上， ∴， ∴， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， ∴， 同理，， ∴， ∴，故选项D错误，符合题意． 60．如图1，在中，，，是边的中点，点是边上一动点，设，，图2是关于的函数图象，其中是图象中的最低点，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当P与B重合时，由图②可得，，作A关于直线的对称点，连接交于P，交于K，连接，此时，、、共线，最小，即最小，根据，，、关于对称，可证是等边三角形，在中，求得，，在中，，即可得答案． 【详解】解：当P与B重合时，由图②知，， ∵点E是边的中点， ∴， ∴，， 作A关于直线的对称点，连接交于P，交于，连接，如图： 此时， ∴， 而、、共线，最小，即最小， ∵，， ∴， ∵、关于对称， ∴， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∵E是中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 61．按要求解答问题： (1)观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，求证：； (2)理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积 ； (3)类比探究： ①如图3，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，则的面积为 ； ②如图4，在，，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为10，求与的面积之和． (4)模型拓展： ①如图5，等边中，，点在上，且，动点从点出发沿射线以速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，设点P运动的时间为t秒．当 秒时，点F恰好落在射线上； ②如图6，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰，连接，则的面积为 ． 【答案】(1)证明：，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ； (2)50 (3)①18；； (4)①；②21或9． 【分析】（1）利用证明即可； （2）同（1）法可得：，，利用分割法求面积即可； （3）①过作于，证明，得到，再利用面积公式进行求解即可； ②证明三角形全等将面积和转化为的面积，再根据线段比例求解； （4）①证明，可得，据此计算即可解决问题． ②分两种情况讨论：以A为直角顶点时，先根据题意作出图形，过A作于E，过D作于F，先证明，得出，然后根据三线合一的性质求出，根据三角形的面积公式求出，最后根据三角形的面积公式求解即可；以C为直角顶点时，先根据题意作出图形，过A作于E，过D作于F，同理可证，得出，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，，，， 同（1）法可得：，， ，，，， ； （3）解：①如下图，过作于， 由旋转得：，， ， ， ， 又，， ， ， ； ②，， ，； ，； 在和中，， ； ， ； 的面积为10，， 的面积是：； 与的面积之和等于； （4）解：①当恰好落在射线上时，如下图所示， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴在与中 ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②以A为直角顶点时，如图，过A作于E，过D作于F， 则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 以C为直角顶点时，如图，过A作于E，过D作于F， 同理可证， ∴， ∴的面积为； 综上，的面积为21或9． 压轴17.等腰三角形与折叠问题 62．如图，在中，，，点D为的中点，点E为边上一点，将沿翻折，点A的对应点为，当点落在边上时，的值为________． 【答案】5 【分析】连接、，根据等腰三角形的性质得，再根据勾股定理得，证明，可得，再结合等腰三角形的性质得，然后根据“等角的余角相等”得，即可求出此时的． 【详解】解：如图，连接，， ∵，点D是的中点， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∴ ∴， ∴． ∵点关于对称， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即． 63．如图，在中，，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为___________（用含的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据折叠的性质可得，，结合可得，再根据平行线的性质及等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得，进而计算的度数即可． 【详解】解：∵将沿直线翻折，使点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 64．如图，在中，，是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质可以求出，，由折叠的性质可知，根据三角形外角的性质可以求出结果． 【详解】解：在中，， ， 在中，， ， ，， ， 又是的外角， ， . 故答案为：C． 65．如图，等边的边长为12，点D为边的中点，E为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到． (1)当点恰好落在边上（不与端点B、C重合）时，求线段的长； (2)当与的边垂直时，求线段的长． 【答案】(1)长为6 (2)或或或 【分析】（1）证明是等边三角形，根据折叠的性质可得是等边三角形，即可得出结论； （2）分四种情况讨论，结合图形解答即可， 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点D为边的中点， ∴， 由翻折的性质得：， 如图： ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：分四种情况讨论： 情形一：，如图，延长交于点，如图： 则， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由翻折得，， 在中，，， 则，，， ∵，即， 解得：， 即； 情形二：，此时，如图， 由折叠得， 过点作于点， 在等边三角形中，，，则， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得：，即． 情形三：，如图， ∴， ∴， ∴， 由折叠得， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即； 情形四：当点在的延长线上时，，如图， 则， 由折叠得：，，， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 综上，的长为或或或． 压轴18.手拉手模型 66．在中，，，点M是边上的动点，连接，以为边在其右侧作等边，连接．则的最小值为______． 【答案】2 【分析】先将绕着点A逆时针旋转60度，至与重合，点C的对应点为点F，连接，得，结合有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，分析得出点N是直线l上的动点，当时，则有最小值，整理得，故可得结论． 【详解】解：∵是正三角形， ∴，， 将绕着点A逆时针旋转60度，至与重合，点C的对应点为点F，连接，如图所示： ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， 记所在的直线为l， 由题意可得：当时，则有最小值， ∵，， ∴此时， ∵， ∴． 67．如图，已知，，，，点D在所在直线上运动，以为边作等边三角形，则__________．在点D运动过程中，的最小值__________． 【答案】 2 【分析】以为边作等边，并作，垂足为点H，连接，由直角三角形可求，，由“”可证，得，最小即是最小，此时，故的最小值是． 【详解】解：以为边作等边，并作，垂足为点H，连接，如图： ，，，， ∴， ∴，，即， ∴，， ∵都是等边三角形， ∴，   ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴最小即是最小， ∴当时，最小，此时， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值是． 68．已知是等边三角形． (1)如图1，若，点在线段上，且，连接，求的长； (2)如图2，点是延长线上一点，，交的外角平分线于点，求证：； (3)如图3，若，动点从点出发，沿射线方向移动，以为边在右侧作等边三角形，直线与直线相交于点，当是直角三角形时，请直接写出等边三角形的边长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)的边长为或 【分析】（1）作于点，由等边三角形的性质可得，则，利用勾股定理计算出后，再计算出的长即可； （2）延长至点使得，容易证明是等边三角形，则，，由等量代换可得，进而可证明，因此； （3）分类讨论，当点在线段上时，容易判断，从而可得，即平分，使用勾股定理计算出的值即可；当点在线段的延长线上时，容易判断，此时是含角的直角三角形，利用勾股定理计算出的值即可． 【详解】（1）解：如图，作于点， ∵是等边三角形． ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，； （2）证明：如图，延长至点使得，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵是外角的平分线，即平分， ∴， ∵， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：①当点在线段上时，如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，即平分， ∴，， 在中，； ②当点在线段的延长线上时，如图， 同理①可得， ∵， 又∵是直角三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，； 综上所述，的边长为或． 压轴19.规律探究题型 69．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称的性质、坐标与图形性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，分别判断出的横坐标和纵坐标是解题的关键． 首先根据是边长为2的等边三角形，求出和的坐标．然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标． 【详解】解：是边长为2的等边三角形， 的坐标为：，的坐标为：； 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， 的横坐标为，纵坐标为，即； 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， 的横坐标为，纵坐标为，即； 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， 的横坐标为，纵坐标为，即； ……， 由此可知，的横坐标为， 当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是． 故答案为：． 70．如图，已知：，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为___________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案． 【详解】解：如图所示： . ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ， ∵， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 以此类推：． 71．如图，在平面直角坐标系中，点、、…在x轴上，、、…在直线上，若，且、…都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为、、…．则Sn可表示为____________． 【答案】 【分析】直线与轴的夹角，可得，，，，，；根据等腰三角形的性质可知，，，，；根据勾股定理可得，，，，再由面积公式即可求解． 【详解】解：、…都是等边三角形， ， ，， 直线与轴的夹角， ， ， ∵，即， ， 同理可得，，， ，，，， ，， ， 同理可得，，， ，，，， ，，， ． 72．如图，，点A是上一点，且，过点A作的垂线交于点B，再过点B作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，再过点作的垂线交于点，…，按照如此规律操作下去，则的长为____________． 【答案】 【分析】根据题意，利用等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，依次计算的长度，观察数值变化规律，归纳出与的关系式，代入即可求解． 【详解】解：， 为等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， ， ， 又， 为等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， ， 为等腰直角三角形， ， 同理可得， ， ， 以此类推，可得， 当时，． 压轴20.等腰三角形与最值问题 73．如图，在边长为12的等边中，点在边上，且，长度为2的线段在边上运动，则四边形面积的最大值为________． 【答案】 【分析】如图，过点D作于点E，过点B作于点F，求出，，利用勾股定理得到，的长度，设，表示出四边形面积，构建一次函数，利用一次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E，过点B作于点F， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， 设，则 ∴四边形的面积 ∵， ∴四边形的面积随x的增大而增大， 根据题意得，当点Q运动到点C时，取得最大值，此时 ∴此时四边形的面积最大，最大值． 74．如图，在等边中，，于点D，点P，E分别为上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】连接，过点作，先证明是的垂直平分线，得到，根据等边三角形的性质得，再结合，，得的最小值是，最后根据勾股定理即可作答． 【详解】解：连接，过点作，如图所示： ∵在等边中， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵点P，E分别为上的动点， ∴， 当点与点重合，三点共线时，则有最小值， ∵，， ∴． ∴的最小值为． 75．如图，在等腰中，为锐角且，为中点，，动点、E分别为与上任意一点，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】连接，先根据等腰三角形的三线合一，证明，根据勾股定理求出，再利用三角形的面积公式可得高，然后根据两点之间线段最短可得的最小值为的长，由此即可得出答案． 本题考查了等腰三角形的三线合一，等面积法的应用，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键． 【详解】解：∵是等腰三角形，，为中点，， ∴， ∴直线为的一条对称轴， ， ∴点B，点C关于直线对称， ， 连接，，则，， ∵， ∴的最小值为的长， 根据垂线段最短， ∴时，取得最小值 ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 76．如图，等腰三角形中，是上任意一点，是高上任意一点，，，那么线段的最小值是（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，垂线段最短，解题的关键是掌握以上性质．连接，过点作，交于点，根据等腰三角形的性质得出垂直平分线段，利用勾股定理求出，根据轴对称的性质和垂线段最短得出，当点在同一条直线上时，且时，的值最小，最后利用等面积求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点作，交于点， ∵为等腰三角形，，且为底边上的高， ∴垂直平分线段，， ∴，， 当点在同一条直线上时，且时，的值最小， 即的值最小，最小值为的长， ， 故选：C． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02等腰三角形期末易错压轴专项训练 本专练聚焦等腰三角形章节高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.等边对等角 易错02.三线合一 易错03.等边三角形的性质 易错04.等角对等边证明等腰三角形 易错05.等角对等边证明边相等 易错06.等角对等边求边长 易错07.等腰三角形的性质与判定 易错08.格点图中画等腰三角形 易错09.找出图中的等腰三角形 易错10.直线上等腰三角形找点问题 易错11.用反证法证明命题 易错12.等边三角形的判定 易错13.等边三角形的判定与性质 压轴14.等腰三角形存在性问题 压轴15.等腰三角形与角平分线平行线综合 压轴16.等腰三角形与动点问题 压轴17.等腰三角形与折叠问题 压轴18.手拉手模型 压轴19.规律探究题型 压轴20.等腰三角形与最值问题 易错01.等边对等角 典题特征：已知等腰三角形两边相等，求对应角的度数，或结合内角和、外角性质进行角度计算。 易错点：①混淆顶角与底角，误将已知角直接当作底角计算；②忽略三角形内角和为180°，计算出无效角度；③未考虑等腰三角形底角必为锐角，当已知角≥90°时仍按底角处理。 1．已知一个等腰三角形一底角的度数为，则这个等腰三角形顶角的度数为（     ） A． B． C． D． 2．边长相等的正六边形和正方形按照如图方式摆放，则______． 3．如图，在三角形纸片中，，点在边上（点，不重合，），将沿折叠后得到，交于点．若，则与的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，和都是等腰三角形，，且，连接、． (1)如图1，当点在的内部时，求证：； (2)如图2，，且点落在边上．若为上的一点，且，求的周长； (3)如图3，在中，，是一个变化的角，以为边作等边，连接，试探究，随着的变化，的长度的取值范围？ 易错02.三线合一 典题特征：利用等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合的性质，证明垂直、线段相等或角相等。 易错点：①未先说明三角形为等腰三角形，就直接套用三线合一；②混淆“三线”的对应关系，误将腰上的高/中线与顶角平分线混用；③对非底边的线段错误套用三线合一。 5．如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（     ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D．三角形具有稳定性 6．如图，在等腰三角形中，，，，，则________． 7．如图，在中，，是边上的高，，两点分别在，上，连接，．若，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．在中， 于点M，且点M为的中点，。 (1)如图1，求证：为等边三角形； (2)如图2，点D、E分别在上，连接相交于点F，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，于点G，连接，，点H为外一点，连接，点I为内一点，连接，，，若，，求的面积． 易错03.等边三角形的性质 典题特征：利用等边三角形三边相等、三角均为60°的性质，进行角度或线段计算。 易错点：①误将等边三角形的性质应用于一般等腰三角形；②忽略等边三角形“三线合一”的所有线段均相等；③计算角度时误将60°记为其他度数。 9．将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（     ） A． B． C． D． 10．如图，是等边三角形内的任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，，若，则________． 11．如图，在中，，以为边向外分别作等边和等边，若，则的长为（     ） A． B．5 C． D． 12．如图，在等边中，点D、E在边、上，且，连接、交于点F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 易错04.等角对等边证明等腰三角形 典题特征：已知三角形中两个角相等，证明该三角形为等腰三角形。 易错点：①混淆“等角对等边”与“等边对等角”的因果关系，证明逻辑颠倒；②未在同一三角形内应用该定理，对不同三角形的角和边错误套用；③未先证明角相等，就直接假设三角形为等腰三角形。 13．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 14．在三角形中，，则三角形是_____三角形． 15．如图，在中，点D在边上，连接，若，则图中的等腰三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 16．如图，在中，点在边上，过点作交于点，连接，平分，在边上取点，连接，，过点作于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 易错05.等角对等边证明边相等 典题特征：已知三角形中两个角相等，证明其对应边相等。 易错点：①误用等角对等边，未说明角相等就直接得出边相等；②忽略角与边的对应关系，误将非对应边当作相等边；③未结合三角形的其他条件（如公共边、对顶角）辅助证明。 17．如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E，若、，则线段的长为（　　） A．6 B．12 C．10 D．8 18．如图是生活中常见的遮阳棚，结构稳固，常用于小区、公园等场所．如图，在中，，，是中线，平分，交延长线于点，则的长为________． 19．已知：如图，在中，，，，与相交于点 (1)求证：． (2)若，，求的长． 20．如图，点B，E，C，F在直线l上，，相交于点，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 易错06.等角对等边求边长 典题特征：已知三角形中两个角相等，求对应边的长度，或结合周长、其他边的长度计算未知边。 易错点：①未先证明角相等，就直接假设对应边相等；②未用三角形三边关系验证，导致求出的边长无法构成三角形；③忽略题目中的隐含条件（如线段和差、垂直关系），错误判断相等的角。 21．如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 22．如图，中，平分，交于点E，若，，则长度为______． 23．如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 易错07.等腰三角形的性质与判定 典题特征：同时结合等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）和判定（等角对等边），进行证明或计算。 易错点：①性质与判定混用，逻辑链条混乱；②误判角与边的对应关系，推导过程中张冠李戴；③多次应用定理时，遗漏关键条件（如未证明三角形为等腰就用三线合一）。 24．在平面直角坐标系中，的边长如图所示，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 25．如图，在Rt中，，，点，在上，连接，且． （1）若，则的长度为___________； （2）若，则的长度为___________． 26．如图，是的高，平分交于点，过点作，垂足为点，并交于点．若，则下列结论中：①；②；③；④；⑤．正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 27．【问题呈现】在中，，点D是直线上一点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图①，当点D在线段上时，若； ①判断与是否全等？并请说明理由． ②求的度数． (2)【知识应用】如图②，，当点D是的中点时，与平行吗？ (3)【拓展延伸】设，，如图③，当点D在线段BC上移动时，问，之间有怎样的数量关系？说明理由． 易错08.格点图中画等腰三角形 典题特征：在方格纸上给定两点，画出以这两点为边或顶点的等腰三角形，求符合条件的点的个数。 易错点：①未按“以已知线段为腰”和“以已知线段为底”两种情况分类；②漏数垂直平分线上的格点；③忽略格点的坐标限制，画出的点不在格点上。 28．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，所有符合条件的点C有（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 29．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有_____个． 30．如图，在的正方形网格中，点，均在格点上，要在格点上确定一点，使是以为腰的等腰三角形，则网格中满足条件的点的个数是（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 易错09.找出图中的等腰三角形 典题特征：在含平行线、角平分线的复杂图形中，找出所有等腰三角形。 易错点：①遗漏“角平分线+平行线”模型构成的等腰三角形；②误判边或角的关系，将非等腰三角形当作等腰三角形；③未按顺序查找，导致重复或遗漏。 31．如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 32．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 33．如图，，是边长为的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中恰好能形成，则使得是等腰三角形的概率是_____． 易错10.直线上等腰三角形找点问题 典题特征：在一条直线上，找能与已知两点构成等腰三角形的点的个数。 易错点：①未分“以已知线段为腰（分别以两点为圆心画圆）”和“以已知线段为底（作垂直平分线）”三类情况；②漏算或重复计算圆与直线的交点；③忽略直线的延伸方向，未考虑两端的交点。 34．点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 35．在中，，，在直线或上取点D，使得是等腰三角形，则符合条件的D点有_________个． 36．如图，点A的坐标为，若点P在y轴上，且为等腰三角形，则点P位置的个数为（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 ,易错11.用反证法证明命题 典题特征：用反证法证明等腰/等边三角形相关命题（如“等腰三角形的底角必为锐角”）。 易错点：①反设步骤错误，未正确否定结论；②推导过程中无法推出与已知条件矛盾的结论；③最后未明确说明原命题成立。 37．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 38．用反证法证明．已知：和是直线被直线截出的同位角，分别交于点M、N，． 求证：． 证明：假设________________，过点M作直线，使得 根据________________，可得到________________， 又因为，与________________矛盾， 故假设不成立，所以 39．如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折㢃为，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 40．在中，，，求证：．（用反证法证明） 易错12.等边三角形的判定 典题特征：证明一个三角形为等边三角形（三边相等、三角相等、有一个角为60°的等腰三角形）。 易错点：①混淆判定条件，仅说明两边相等就判定为等边三角形；②忽略“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”的前提，未先说明三角形为等腰三角形；③无法结合内角和证明三个角均为60°。 41．已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 42．如图，在中，点分别在边上，，是的平分线，．给出下面四个结论：①；②；③若，则是等边三角形；④若平分，则．上述结论中，正确结论的序号有______． 43．若a，b，c为的三边，且关于x的二次三项式为完全平方式，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．只有两边相等的等腰三角形 44．如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 易错13.等边三角形的判定与性质 典题特征：同时应用等边三角形的判定和性质，进行证明或角度、线段计算。 易错点：①证明逻辑不严谨，先假设三角形为等边三角形，再用性质推导条件；②未区分等边三角形与等腰三角形的性质，错误套用角度关系；③忽略等边三角形的对称性，遗漏关键线段或角。 45．已知中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 46．如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 47．如图，正六边形的边长为5，以为边作等边三角形，连接，则的长度为________． 48．如图，在中，，过点作，垂足为，且是边的中点． (1)求证：是等边三角形； (2)尺规作图：在线段上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 49．如图①，等腰中，，点在底边上(异于点，)，点是延长线上一点，若为等腰三角形，则称点为的“同类点”． (1)如图③，以点为原点建立平面直角坐标系，在的正方形网格图上有一个，点，，均在格点上，在给出的网格图上有一个格点，使得点为的“同类点”，请写出符合条件的点坐标为 ； (2)如图②，平分，过射线上的点作，交射线于点，点为上一点，连接并延长交射线于点，若，，求证：点是的“同类点”； (3)凸四边形中，，，对角线、交于点，且，若点为的“同类点”，请直接写出所有满足条件的的度数． 压轴14.等腰三角形存在性问题 典题特征：动点/坐标系/几何图形中，判断是否存在点构成等腰三角形，常结合函数； 解题思路：①设动点参数，表示三边长度；②分AB=AC、AB=BC、AC=BC三种情况讨论；③解方程并检验三边关系与题意。 50．如图，在等腰三角形纸片中，，，将一块含角的直角三角形纸片（，）按如图所示的方式放置，顶点在线段上滑动（不与点重合），的斜边始终经过点，直角边交于点，将与的夹角记为（）．在点滑动的过程中，当夹角________，是等腰三角形． 51．如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是等腰三角形，则的度数可以是______________． 52．阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知两点间的距离为___________； (2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴的夹角是．试判断的形状； (3)已知在坐标平面内有一点，为原点，在直线上找一点，使以为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标． 压轴15.等腰三角形与角平分线平行线综合 典题特征：图形含角平分线、平行线、等腰三角形，用于证线段等或算周长； 解题思路：①利用“平行线+角平分线”构造等腰三角形；②用等腰三角形性质转化线段，简化周长计算；③结合全等/勾股定理计算。 53．在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，，则的周长为______． 54．如图，在四边形中，，，对角线平分，且，点为边上一点，过点作于点，交于点，若，则和四边形的面积之比为___________． 55．如图，在中，，平分交于点D，交的延长线于点E．若，则的度数为_____． 56．如图，是的角平分线，于点，交的延长线于点，若恰好平分，．则下列结论：；；；，其中正确的结论有（） A．个 B．个 C．个 D．个 压轴16.等腰三角形与动点问题 典题特征：动点在直线/线段/多边形上运动，分析不同位置的等腰三角形； 解题思路：①设动点参数，表示相关线段长度；②分情况讨论等腰三角形的腰和底，列方程求解；③结合动点范围检验解的合理性。 57．如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则______． 58．如图，等边三角形的边长为6，D为边的中点，P是线段上一动点，当的值最小时，的长为________． . 59．如图，在等边中，于，为上一动点，以为一边作等边（，不在的同侧），点在边上，，，分别连接，．则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为1 B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 60．如图1，在中，，，是边的中点，点是边上一动点，设，，图2是关于的函数图象，其中是图象中的最低点，那么的值为（   ） A． B． C． D． 61．按要求解答问题： (1)观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，求证：； (2)理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积 ； (3)类比探究： ①如图3，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，则的面积为 ； ②如图4，在，，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为10，求与的面积之和． (4)模型拓展： ①如图5，等边中，，点在上，且，动点从点出发沿射线以速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，设点P运动的时间为t秒．当 秒时，点F恰好落在射线上； ②如图6，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰，连接，则的面积为 ． 压轴17.等腰三角形与折叠问题 62．如图，在中，，，点D为的中点，点E为边上一点，将沿翻折，点A的对应点为，当点落在边上时，的值为________． 63．如图，在中，，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为___________（用含的式子表示）． 64．如图，在中，，是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 65．如图，等边的边长为12，点D为边的中点，E为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到． (1)当点恰好落在边上（不与端点B、C重合）时，求线段的长； (2)当与的边垂直时，求线段的长． 压轴18.手拉手模型 66．在中，，，点M是边上的动点，连接，以为边在其右侧作等边，连接．则的最小值为______． 67．如图，已知，，，，点D在所在直线上运动，以为边作等边三角形，则__________．在点D运动过程中，的最小值__________． 68．已知是等边三角形． (1)如图1，若，点在线段上，且，连接，求的长； (2)如图2，点是延长线上一点，，交的外角平分线于点，求证：； (3)如图3，若，动点从点出发，沿射线方向移动，以为边在右侧作等边三角形，直线与直线相交于点，当是直角三角形时，请直接写出等边三角形的边长． 压轴19.规律探究题型 69．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是________． 70．如图，已知：，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为___________． 71．如图，在平面直角坐标系中，点、、…在x轴上，、、…在直线上，若，且、…都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为、、…．则Sn可表示为____________． 72．如图，，点A是上一点，且，过点A作的垂线交于点B，再过点B作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，再过点作的垂线交于点，…，按照如此规律操作下去，则的长为____________． 压轴20.等腰三角形与最值问题 73．如图，在边长为12的等边中，点在边上，且，长度为2的线段在边上运动，则四边形面积的最大值为________． 74．如图，在等边中，，于点D，点P，E分别为上的动点，则的最小值为_____． 75．如图，在等腰中，为锐角且，为中点，，动点、E分别为与上任意一点，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 76．如图，等腰三角形中，是上任意一点，是高上任意一点，，，那么线段的最小值是（    ） A．5 B．3 C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $