专题09 分式方程的求解与应用【期末复习重难点专题培优九大题型】-2025-2026学年数学北师大版八年级下册

**基本信息** 聚焦分式方程求解与应用，通过9类重点题型（47题）构建“概念-解法-应用”逻辑链，融合精讲精练与真题实战，培养转化思想、分类讨论能力及模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型分类讲练|9题型（含精讲+精练）|解分式方程转化法、含参问题分类讨论、实际问题建模策略|从分式方程概念到解法技巧，再到行程/工程/经济等应用模型，形成完整知识链| |真题实战演练|2层次（基础夯实/拓展拔尖）|分层突破高频考点，强化解题规范性与综合应用能力|结合中考趋势，实现从基础运算到复杂情境问题的能力递进|

2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题09 分式方程的求解与应用『期末复习重难点专题培优』 【9个重点题型+真题实战演练 共47题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 解分式方程（化为一元一次) 1 题型二 根据分式方程解的情况求值 3 题型三 分式方程无解问题 5 题型四 列分式方程 7 题型五 分式方程的行程问题 9 题型六 分式方程的工程问题 11 题型七 分式方程的经济问题 13 题型八 分式方程和差倍分问题 16 题型九 分式方程的其它实际问题 19 优选真题 实战演练 23 【基础夯实 能力提升】 23 【拓展拔尖 冲刺满分】 28 题型一 解分式方程（化为一元一次) 【精讲】（25-26八年级下·四川成都·期中）按要求解题： (1)解方程：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： 原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为； （2）解： ． 【精练1】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）解分式方程：． 【答案】 【思路引导】先确定方程中分母的最简公分母，再方程两边同时乘以最简公分母，求解得到的整式方程，得到未知数的解．对所得的解进行检验，因为去分母时可能产生增根，所以需要将解代入最简公分母验证是否为原方程的解． 【规范解答】方程两边同时乘得： ， 整理： ， ， 解得， 检验： 把 代入最简公分母 ， ∴是原方程的根． 【精练2】（25-26八年级下·甘肃天水·期中）上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下： (1)聪明的你请求出盖住部分的代数式； (2)当，等于何值时，原分式的值为5？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据被减数、减数、差及因数与积的关系列式，然后化简分式求出盖住的部分即可； （2）根据时分式的值是5，得出关于y的方程，求解即可． 【规范解答】（1）解： ∴盖住部分化简后的结果为； （2）解：∵时，原分式的值为5，即， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 所以当，时，原分式的值为5． 【考点剖析】本题考查了分式的混合运算及解分式方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型二 根据分式方程解的情况求值 【精讲】（25-26八年级下·陕西西安·期中）已知关于的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______． 【答案】且 【思路引导】根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解出分式方程的解，再根据解为正数且分式有意义列出不等式求解即可. 【规范解答】解：， 方程两边同乘得， ， 展开整理得， 解得：， 分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为， 且，即且， 解得且. 【精练1】（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）已知关于x的分式方程． (1)若在解此方程时产生了增根，则m的值是 ； (2)若此方程的解是正数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【思路引导】（1）去分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根，可得，可得到关于m的方程，即可求解； （2）去分母，把分式方程化为整式方程，再根据此方程的解是正数，即可求解． 【规范解答】（1）解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到， 即， 把代入整式方程得：， 解得； （2）解：去分母得：， 解得， ∵此方程的解是正数， ∴且， ∴且． 【精练2】（25-26八年级下·山西临汾·期中）阅读与思考 下面是小宜同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关联数对 【概念理解】 如果两个实数，使得关于的分式方程的解是，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是，所以数对是关于的分式方程的“关联数对”． 任务： (1)判断下列数对是不是关于的分式方程的“关联数对”． ①_________；②_________．（填“是”或“不是”） (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)①不是；②是 (2) 【思路引导】（1）根据“关联数对”定义逐个求解并与对比即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，把数对及解代入方程即可求解. 【规范解答】（1）解：①当时， ，解得：， ∵ ， ∴不是关于的分式方程的“关联数对”； ②当时， ，解得：， ∵， ∴是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：①不是；②是； （2）解：由条件可知：，   ， 整理得：， 解得. 题型三 分式方程无解问题 【精讲】（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【答案】或 【思路引导】先用a表示出分式方程的解，再根据分式的分母不为0，即可确定实数a的值． 【规范解答】解： ， 根据分式有意义的条件有：，，，即， 则当时，原分式方程无解， 令，解得：或， 当或时，原分式方程无解． 【精练1】若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】先确定使分式分母为0的增根，再将分式方程化为整式方程，最后将增根代入整式方程求出的值. 【规范解答】解：∵ 分式方程的增根是使分式分母为0的根， 原方程分母为，令，得增根为， 给原方程两边同乘去分母，得 ， 把代入整式方程，得 ， ∴. 【精练2】（25-26八年级下·海南海口·期中）解方程： (1)； (2)若关于x的方程无解，求实数a的值． 【答案】(1)是原方程的解 (2)或 【思路引导】（1）方程两边同时乘以，得整式方程，解这个整式方程，再进行检验即可； （2）先把原方程去分母并整理得，解得，根据方程无解可得，然后求出a的值即可． 【规范解答】（1）解：， 方程两边同时乘以，得：， 解得：， 检验：把代入，得， 所以，是原方程的解． （2）解：， 方程两边同时乘以，得：， 解得：， 因为方程无解，所以是方程的增根，即， 解得：或． 题型四 列分式方程 【精讲】（25-26八年级下·陕西西安·期中）某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用了．为了求采用新工艺前每小时加工多少个零件，设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先根据工效提升比例得到新工艺后的工作效率，再根据“加工同样多零件少用小时”找到等量关系，即可列出方程. 【规范解答】解：设新工艺前每小时加工个零件，已知工效提升，因此新工艺的工作效率为个/小时， 加工个零件，新工艺前用时为小时，新工艺后用时为小时， 由“新工艺加工同样多的零件少用小时”， 可得：． 【精练1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，记录颜色后将球放回袋子中并摇匀． 如下表是摸球试验中的统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 295 480 580 摸到白球的频率 0.64 0.61 0.59 0.60 0.58 (1)表中的_____，_____． (2)“摸到白球”的概率的估计值是_____（精确到0.1）． (3)若袋中有6个红球，估计袋中一共有多少个球？ 【答案】(1)0.58，122 (2)0.6 (3)15个 【思路引导】（1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）用频率估计概率的方法求解； （3）根据利用频率估计概率，设一共有个球，利用概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，；； （2）解：由表格可得，“摸到白球”的概率的估计值是0.6； （3）解：设一共有个球， 由题意得，， 解得， 经检验：是方程的解， ∴估计一共有个球． 【精练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某工厂计划生产个口罩，但在实际生产时……求该工厂实际每天生产口罩的个数．在这个问题中，若设该工厂实际每天生产口罩个，由题意，可列出的方程为，则问题中“……”所表示的条件应该是________． 【答案】每天比原计划多生产个，结果提前天完成 【思路引导】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．根据方程，左边表示原计划生产时间减去实际生产时间，差值为天，表明实际生产时间比原计划少天，即提前天完成；同时，分母表示原计划每天生产个数，实际每天生产个，因此实际每天比原计划多生产个． 【规范解答】解：设实际每天生产口罩个，则原计划每天生产个； 原计划生产时间为天，实际生产时间为天； 方程表示原计划时间比实际时间多天，即实际提前天完成，且实际每天生产比原计划多个． 故答案为：每天比原计划多生产个，结果提前天完成． 题型五 分式方程的行程问题 【精讲】（25-26八年级下·海南海口·期中）海南省首个省级科技馆于2025年12月18日开启试运行，是海南自贸港重要的科普教育地标．某校八年级学生前往距学校15千米的海南省科技馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了10分钟，其余学生乘坐中巴出发，结果他们同时到达，已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.5倍，求大巴的平均速度． 【答案】 【思路引导】设大巴的平均速度是，，则中巴的平均速度是，根据中巴用的时间比大巴少10分钟，列出方程，解方程即可． 【规范解答】解：设大巴的平均速度是，则中巴的平均速度是，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：大巴的平均速度是． 【精练1】（25-26八年级下·山西临汾·期中）司徒小镇位于晋城市，是山西省“老山西民俗印象基地，新晋城时尚旅游地标”之一．太原市某旅行社组织游客从太原市到司徒小镇旅游． 信息一：太原市到司徒小镇的路程为千米． 信息二：乘坐型车比乘坐型车少用小时． 信息三：型车的平均速度是型车平均速度的倍． 问题解决：求型车的平均速度． 【答案】型车的平均速度是 【思路引导】设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据乘坐型车比乘坐型车少用小时列分式方程求解即可． 【规范解答】解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是， 根据题意，得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：型车的平均速度是. 【精练2】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）【教材呈现】 （1）①两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的平均攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰，求这两个小组的平均攀登速度各是多少？（单位：） ②如果山高为，第一组的平均攀登速度是第二组的倍（其中），并且比第二组早到达顶峰，直接写出第二组的平均攀登速度为 ；（结果用含、、的式子表示） 【拓展延伸】 （2）如果山高为，第一组准备一半路程以的平均速度攀登，另一半路程以的平均速度攀登（）；第二组准备全程以的平均速度攀登，请判断哪一组先到达顶峰，并说明理由． 【答案】（1）①：第一组平均攀登速度为第二组为；②：第二组的平均攀登速度为 ；（2）第二组先到达顶峰 【思路引导】本题主要考查了分式方程的应用，分式的混合运算： （1）①通过设未知数列方程求解；②通过时间差公式推导； （2）通过计算总时间并比较大小判断 【规范解答】解：（1）①设第二组的平均攀登速度为，则第一组的平均攀登速度为 根据题意，得 化简得 即 解得 答：第一组平均攀登速度为，第二组为 ②设第二组的平均攀登速度为，则第一组的平均攀登速度为 根据题意，得 化简得 解得 所以第二组的平均攀登速度为 解：（2）第一组总时间 第二组总时间 ∵ ， ∴，且, ,， ∴，即 ∴第二组先到达顶峰 答：第二组先到达顶峰 题型六 分式方程的工程问题 【精讲】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【答案】(1)乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天 (2)能在12天内完成任务 【思路引导】（1）设乙生产线单独完成需要天，根据甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的，列出方程进行求解，再根据乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天，进行求解即可； （2）根据方案求出12天的工作量，进行判断即可． 【规范解答】（1）解：设乙生产线单独完成需要天，由题意，得： ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴乙生产线单独完成需要40天， ∵乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天， ∴丙生产线单独完成需要45天； 答：乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天； （2）解：； 故这样安排能在12天内完成任务． 【精练1】（25-26九年级下·江苏徐州·期中）我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换120公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少20小时．求一辆该型号换轨车每小时更换钢轨的公里数． 【答案】一辆该型号换轨车每小时更换钢轨公里 【思路引导】设一辆该型号换轨车每小时更换钢轨公里，根据“换轨车更换公里钢轨比一个工作队人工更换公里钢轨所用时间少小时”列分式方程即可得解． 【规范解答】解：设一辆该型号换轨车每小时更换钢轨公里，则一个工作队每小时人工更换钢轨公里， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：一辆该型号换轨车每小时更换钢轨公里． 【精练2】（25-26八年级上·广东东莞·期末）为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 【答案】(1) 甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积 (2) 48000元 【思路引导】本题考查了一元一次方程以及分式方程的应用： （1）设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积，根据题意列分式方程求解； （2）设甲工程队先做了天，用表示合作天数，根据单独完成和合作完成的效率列方程，求出甲队单独的时间，进而求解． 【规范解答】（1）解：设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积， 则甲队每天能完成平方米的绿化改造面积， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲队每天能完成平方米． 答：甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积． （2）解：设甲工程队先做了天， 则甲乙合作了天， 则， 解得：， 完成这项绿化改造任务总共需要施工费用：元． 答：完成这项绿化改造任务总共需要施工费用48000元． 题型七 分式方程的经济问题 【精讲】（25-26八年级下·福建泉州·阶段检测）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲，乙两种农机具，已知1件乙种农机具比1件甲种农机具多0.5万元，用20万元购买甲种农机具的数量和用25万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲，乙两种农机具共30件，且乙的件数不低于甲件数的一半．设购买甲种农机具m件，购买的总费用为W万元，求购买这批农机具最少要用多少万元？ 【答案】(1)购买1件甲种农机具需要2万元，购买1件乙种农机具需要2.5万元 (2)65万元 【思路引导】（1）设购买1件甲种农机具需要x万元，则购买1件乙种农机具需要万元，根据用20万元购买甲种农机具的数量和用25万元购买乙种农机具的数量相同，列出分式方程，求解并检验即可得出结论； （2）设购买甲种农机具m件，则购买乙种农机具件，根据乙的件数不低于甲件数的一半，列出一元一次不等式求出m的取值范围，根据题意得，根据一次函数的性质及m的取值范围求最小值即可． 【规范解答】（1）解：设购买1件甲种农机具需要x万元，则购买1件乙种农机具需要万元， 由题意列分式方程得，， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意； 则， 答：购买1件甲种农机具需要2万元，购买1件乙种农机具需要2.5万元； （2）解：设购买甲种农机具m件，则购买乙种农机具件， 由题意列一元一次不等式得，， 解得， ， W随着m的增大而减小， 当时，W有最小值，最小值； 答：购买这批农机具最少要用65万元． 【精练1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）随着生活水平的提高，人们越来越注重健康饮食、均衡膳食营养．某校食堂为丰富日常餐食，采购小米、黑米两种优质杂粮食材．已知小米每千克的价格是黑米每千克价格的1.2倍，用150元购买小米的质量比用100元购买黑米的质量多5千克． (1)求小米、黑米每千克分别是多少元； (2)该食堂计划采购两种杂粮共60千克，且购买小米的质量不少于黑米质量的一半，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】(1)小米、黑米每千克分别是6元和5元 (2)当采购小米20千克，采购黑米40千克时，所需费用最少． 【思路引导】（1）设黑米每千克x元，则小米每千克元，以质量为等量构造方程求解即可； （2）采购小米a千克，则采购黑米千克，用a表示所需费用为w元，根据题意求出a的取值范围，利用一次函数性质求最小值即可． 【规范解答】（1）设黑米每千克x元，则小米每千克元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原列方程的解， （元）． 小米、黑米每千克分别是6元和5元； （2）设采购小米a千克，则采购黑米千克，所需费用为w元， 则有， 即， ， w随a的增大而增大， 购买小米的质量不少于黑米质量的一半， ， 解得：， 当时，w取得最小值，最小值（元）． 此时，千克 当采购小米20千克，采购黑米40千克时，所需费用最少． 【精练2】（25-26八年级下·重庆·期中）五一黄金周即将来临之际，重百超市准备大量购进磁器口陈麻花咸口和甜口两种口味麻花，一袋甜口的进价比咸口的进价多5元，用750元购进甜口麻花和用600元购进咸口的袋数相同． (1)求甜口和咸口的麻花每袋的进价各是多少？ (2)超市计划用不超过1320元的资金购进两种口味麻花共60袋，其中咸口麻花的数量不超过甜口麻花数量的两倍，该超市将甜口麻花每袋的售价定为40元，咸口麻花每袋的售价定为32元，并计划在五一节期间开展优惠促销活动，对每袋甜口麻花售价优惠2元，咸口不变，要使售完这60袋麻花获总利润最大，该如何进货？ 【答案】(1)甜口麻花每袋进价25元，咸口麻花每袋进价20元 (2)购进甜口麻花24袋，咸口麻花36袋时，总利润最大 【思路引导】（1）设一袋咸口麻花的进价为每袋元，则一袋甜口麻花的进价为每袋元，根据题意列出分式方程即可； （2）设甜口麻花进货袋，则咸口麻花进货袋，然后根据题意列出不等式组求得a的取值范围，再设销售两种麻花共获利元，利用一次函数的性质即可解答． 【规范解答】（1）解：设一袋咸口麻花的进价为每袋元，则一袋甜口麻花的进价为每袋元， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， （元）． 答：甜口麻花每袋进价25元，咸口麻花每袋进价20元． （2）解：设甜口麻花进货袋，则咸口麻花进货袋， 由题意得：， 解得：， 设销售两种麻花共获利元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时获利最大，即购进甜口麻花24袋，咸口麻花36袋时，总利润最大． 题型八 分式方程和差倍分问题 【精讲】（25-26八年级下·重庆·期中）李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题根据“数量=总价÷单价”，分别表示出笔记本和绘画本的购买数量，再根据“笔记本数量比绘画本多2本”的等量关系列方程即可． 【规范解答】解：∵设购买一本笔记本需元，绘画本单价是笔记本单价的倍， ∴绘画本的单价为元． ∵用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本， ∴笔记本数量为本，绘画本数量为本． ∵笔记本比绘画本多本， ∴可列方程为． 【精练1】某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 【答案】(1)甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 (2)升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹 【思路引导】（1）设乙每小时分拣量为未知数，根据数量关系表示出甲的分拣量，利用题干给出的数量关系列一元一次方程求解； （2）设升级后乙每小时分拣量为未知数，根据“乙分拣7200件用时 甲分拣7200件用时3小时”列分式方程求解，再计算乙升级后比升级前多分拣的数量即可． 【规范解答】（1）解：设乙种机器人每小时分拣件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹.， 根据题意得： ， 解得， 则 ， 答：甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹； （2）解：设升级后乙机器人每小时分拣件包裹，则升级后甲机器人每小时分拣件包裹， 根据题意得： ， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解， 则（件）， 答：升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹． 【精练2】（23-24八年级下·四川宜宾·阶段检测）二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为，销量之比为．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了分式方程方程是应用，设2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价为，销量为，2月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额分别为，根据“2月下旬A主题大礼包减少的销售额占2月下旬三种主题大礼包总销售额的”列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼包销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包销售量，即可解答． 【规范解答】解：设2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价为，销量为，2月下旬，B主题大礼包售价为，C主题大礼包售价为，A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额分别为， 根据题意，得， 解得， ∴2月下旬B、C两种主题大礼包销售额分别为，， ∴2月下旬B、C两种主题大礼包销售之比为． 故答案为：． 题型九 分式方程的其它实际问题 【精讲】（25-26八年级下·山西临汾·期中）人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区计划购进两种型号自主移动机器人搬运化工原料，型号自主移动机器人比型号自主移动机器人每小时多搬运化工原料，型号自主移动机器人搬运化工原料所用时间与型号自主移动机器人搬运化工原料所用时间相等． (1)求两种型号自主移动机器人每小时分别搬运多少化工原料． (2)若该物流园计划购进两种型号自主移动机器人共台，设购进型号自主移动机器人台，这台机器人每小时搬运化工原料． ①求关于的函数关系式． ②若购进型号自主移动机器人的数量不超过型号自主移动机器人数量的倍，求这台机器人每小时最少可以搬运多少化工原料． 【答案】(1)型号自主移动机器人每小时搬运化工原料，型号自主移动机器人每小时搬运化工原料 (2)①（且为整数）；② 【思路引导】（）设型号自主移动机器人每小时搬运化工原料，则型号自主移动机器人每小时搬运 化工原料，根据题意列出方程解答即可求解； （）①根据题意列出函数关系式即可；②根据题意列不等式求出的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设型号自主移动机器人每小时搬运化工原料，则型号自主移动机器人每小时搬运 化工原料， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：型号自主移动机器人每小时搬运化工原料，型号自主移动机器人每小时搬运化工原料； （2）解：①由题意得，购进型号自主移动机器人台， ∴， 即（且为整数）； ②根据题意，得， 解得， 在一次函数中，∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取最小值，， 答：这台机器人每小时最少可以搬运化工原料． 【精练1】（25-26八年级下·河北沧州·期中）河北作为农业大省，拥有丰富多样的土特产，许多产品还获得了国家地理标志认证，极具地方特色，如迁西板栗、平泉香菇、永年大蒜、沧州金丝小枣……某商店销售甲、乙两种河北当地土特产，每斤甲种土特产的利润比每斤乙种土特产的利润多2元，销售甲种土特产获利60元和销售乙种土特产获利40元时的销售质量相同． (1)分别求甲、乙两种土特产每斤的利润； (2)若该商店计划购进甲、乙两种土特产共800斤进行销售，设购进甲种土特产m斤（），销售完这批土特产共获利w元． ①求w与m之间的函数关系式； ②若甲种土特产的质量不超过乙种土特产质量的倍，求出w的最大值． 【答案】(1)每斤甲种土特产的利润为6元，每斤乙种土特产的利润为4元 (2)①；②4160 【思路引导】本题考查分式方程、一次函数、不等式的应用，根据题意列出分式方程、不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设每斤乙种土特产的利润为x元，则每斤甲种土特产的利润为元，根据题意列出分式方程，解方程，注意检验是否为原分式方程的解； （2）①设购进甲种土特产m斤，则购进乙种土特产斤，根据题意列出w与m之间的函数关系式； ②根据题意可列出不等式，进而得到，由①知，函数，随m的增大而增大，将代入函数，求出的最大值即可． 【规范解答】（1）解：设每斤乙种土特产的利润为x元，则每斤甲种土特产的利润为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则， 答：每斤甲种土特产的利润为6元，每斤乙种土特产的利润为4元； （2）解：①设购进甲种土特产m斤，则购进乙种土特产斤， 由题意得：， 与m之间的函数关系式为； ②根据题意得：， 解得：， 又， ， 由①知，函数， ， 随m的增大而增大， 当时，w有最大值， 此时， 的最大值为4160． 【精练2】（25-26八年级上·福建厦门·期末）某城镇实行污水分区域治理，将该城镇划分为甲、乙两区域，分别由A，B两座污水处理厂负责处理，相关部门每年均会对污水处理厂的污水处理能力进行评估，评估的重要指标之一为污水处理率，污水处理率由年污水处理总量（单位：万吨）与年污水排放总量（单位：万吨）决定，污水处理率=． 2025年A，B两厂的年污水处理情况如下表所示： 区域 污水处理厂 年污水处理总量/万吨 甲 A 90 乙 B 70 (1)2025年该城镇乙区域污水排放总量为甲区域污水排放总量的，A厂的污水处理率高于B厂，且两者的差值为． ①该城镇2025年甲区域污水的排放总量是多少万吨？ ②预测显示该城镇2026年甲、乙两区域各自的污水排放总量都将增加，现计划对A，B两厂均进行设备升级以增加污水处理量，但无法超过2025年各自年污水处理总量的．镇长希望以此为契机，提升B厂的污水处理能力，使A，B两厂的污水处理率相同．不妨设A厂的年污水处理总量增加万吨，B厂的年污水处理总量增加万吨（，均为整数）．若作为镇长，你如何规划A，B两厂污水处理的增加量？ (2)基于未来人口迁入需要，后续将对A，B两厂进行扩建，若A厂年污水处理总量比2025年增加30万吨，B厂年污水处理总量比2025年增加62万吨，扩建后B厂的污水处理率高于A厂，且两者的差值为．为给相关部门决策提供数据支撑，试比较扩建计划中该城镇的甲区域污水排放总量与乙区域污水排放总量的大小． 【答案】(1)①甲区域污水的排放总量是100万吨②A，B两厂污水处理的增加量分别为万吨，万吨 (2)甲区域污水排放总量比乙区域污水排放总量大 【思路引导】本题主要考查了列分式方程解决实际问题，分式大小的比较，解题的关键是理解题意． （1）①设甲区域污水的排放总量是万吨，则乙区域污水排放总量为万吨，根据污水处理率列出方程求解即可； ②求出两个区域污水排放量和两个厂可提高的污水处理量，然后列方程求解列出方案，选择合适方案即可； （2）设甲区域污水排放总量为万吨，乙区域污水排放总量为万吨，扩建后A厂的污水处理率为，表示出，然后利用作商法比较大小即可． 【规范解答】（1）解：①设甲区域污水的排放总量是万吨，则乙区域污水排放总量为万吨，根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意； （万吨）， ∴甲区域污水的排放总量是100万吨； ②2026年甲区域污水排放总量为（万吨）， 2026年乙区域污水排放总量为（万吨）， 2026年A厂年污水处理总量最高可提高（万吨）， 2026年B厂年污水处理总量最高可提高（万吨）， ， 整理得，， ∵，均为整数， ∴；；；， 共四种方案， 为了提升B厂的污水处理能力，可取，且都符合题意， ∴A，B两厂污水处理的增加量分别为万吨，万吨； （2）解：设甲区域污水排放总量为万吨，乙区域污水排放总量为万吨，扩建后A厂的污水处理率为 ，则扩建后B厂的污水处理率为， ∵污水处理能力不大于， ∴，且， ∴， 根据题意得， ，， 解得，， 经检验，，是原分式方程的解，并符合题意， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴甲区域污水排放总量比乙区域污水排放总量大． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：∵原方程为，且 ∴方程两边同时乘以最简公分母，得 整理得. 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）把分式方程化为整式方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：方程两边同时乘以，得：． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先根据小红的骑行速度表示出小阳的骑行速度，再根据等量关系列方程即可. 【规范解答】∵ 小红的骑行速度为，小阳的速度是小红速度的倍， ∴ 小阳的速度为， ∵ 两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了，且， ∴ 可得方程. 4．（25-26八年级下·福建泉州·期中）关于x的分式方程有增根，则增根为________． 【答案】 2 【思路引导】本题考查分式方程增根的概念，增根是使分式方程的最简公分母为零的未知数的值，据此计算即可． 【规范解答】解：分式方程的分母分别为和，因此最简公分母为． 因为分式方程有增根，所以最简公分母为，即 ， 解得． 故答案为． 5．（25-26八年级下·河南周口·期中）对于实数a，b，定义一种新运算“☆”：☆ ，则方程☆的解是______． 【答案】 【思路引导】根据新定义将原方程转化为分式方程，再按照分式方程的解法求解并检验． 【规范解答】解：根据新定义☆ ，代入，， 方程☆ 可转化为： ， 整理得 ， 解得， 检验：当时， ， 所以是原方程的解． 6．（25-26八年级下·四川遂宁·阶段检测）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100个钱币，每人分得若干，若再加上5人，平分150个钱币，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为_______． 【答案】 【思路引导】根据第二次每人所得与第一次相同，确定等量关系，列分式方程即可． 【规范解答】解：已知第二次分钱的人数为人，则第一次分钱的人数为人． 第一次每人分得钱数为， 第二次每人分得钱数为， 由两次每人分得钱数相等可得． 7．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是___________． 【答案】且 【思路引导】先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据解是正数且分母，建立不等式求的取值范围． 【规范解答】解：， 两边同乘得， ∵分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， 解得：且． 8．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）计算及解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：原式； （2）解： 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得． 经检验，是原方程的解， 原方程的解为． 9．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）郑州非物质文化遗产展示馆于2月10日至3月3日举办“非遗贺新春·见郑欢喜年”主题活动．活动采用“双馆联动”模式，其中西馆“趣之坊”打造手工公益研学课堂，拓年画、剪“富贵马”、制作掐丝珐琅等十余项非遗体验．掐丝珐琅手艺人王师傅用500元购进的银丝和用750元购进的金丝的长度相同，每米金丝的进价比银丝的进价多5元． (1)求金丝、银丝每米的进价； (2)王师傅计划再用不超过1320元的总费用购进金丝、银丝共100米制作掐丝珐琅，求金丝最多可以购进多少米． 【答案】(1)金丝每米的进价为15元，银丝每米的进价为10元； (2)金丝最多可以购进64米 【思路引导】（1）设金丝每米的进价为x元，则银丝每米的进价为元，根据用500元购进的银丝和用750元购进的金丝的长度相同建立方程求解即可； （2）设购进金丝y米，则购进银丝米，根据总费用不超过1320元建立不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：设金丝每米的进价为x元，则银丝每米的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：金丝每米的进价为15元，银丝每米的进价为10元； （2）解：设购进金丝y米，则购进银丝米， 由题意得，， 解得， ∴y的最大值为64， 答：金丝最多可以购进64米． 10．（25-26八年级下·陕西西安·期中）为丰富同学们的课间活动，某学校计划购进一批跳绳和实心球，其中跳绳的单价比实心球低5元，已知用600元购买跳绳的数量是用400元购买实心球数量的2倍． (1)请列方程求出跳绳和实心球的单价； (2)该校计划购买跳绳和实心球共100个，且购买跳绳的数量不超过实心球数量的4倍，求该校购买跳绳和实心球的最低费用． 【答案】(1)跳绳的单价为15元，实心球的单价为20元 (2)最低费用为1600元 【思路引导】（1）先将跳绳的单价和实心球的单价设出来，再根据“数量总价单价”列出代数式，根据题目的等量关系列出等量关系式； （2）根据跳绳的数量与实心球的数量之间的关系列不等式求出跳绳数量的取值范围，再列出跳绳与实心球的总费用的一次函数解析式，利用一次函数的增减性求解． 【规范解答】（1）解：设跳绳的单价为元，则实心球的单价为元， 根据题意得：，解得， 将代入验证，分母不为， ∴是原方程的解， ， 答：跳绳的单价为15元，实心球的单价为20元． （2）解：设购买跳绳个，则购买实心球个，购买跳绳和实心球的费用为元， 则题意， 解得， ， ∵一次函数的一次项系数为， ∴随的增大而减小， ∴当取最大值时，最小， （元）， 答：最低费用为1600元． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26九年级下·河南新乡·期中）已知一个不完整的题目：某工厂计划生产2400个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件个，可得方程．则题目中用“…”表示的条件应是（    ） A．每天比原计划多生产10个，结果延期8天完成 B．每天比原计划多生产10个，结果提前8天完成 C．每天比原计划少生产10个，结果延期8天完成 D．每天比原计划少生产10个，结果提前8天完成 【答案】B 【思路引导】根据设出的未知数和给定方程，结合工作总量、工作效率、工作时间的关系，即可推得题目缺失的条件． 【规范解答】解：∵设实际每天生产零件个，给定方程为， ∴原计划每天生产个零件，可得实际每天比原计划多生产个零件， ∵工作时间， ∴原计划完成工作的时间为，实际完成工作的时间为， ∵方程表示原计划时间减去实际时间等于天， ∴原计划用时比实际多8天，即实际生产提前8天完成， 因此题中缺失条件为每天比原计划多生产10个，结果提前8天完成． 2．为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级一班拟购置一批羽毛球拍，预算总额设定为1200元．已知W品牌每副球拍的单价比Y品牌便宜20元，如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副．设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查分式方程在实际问题中的应用，解题关键是根据 “数量差为3副” 这一等量关系，用含的代数式表示出两种球拍的购买数量，进而列出方程． 【规范解答】解：设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则W品牌每副球拍的单价为元，由等量关系如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副，列出方程： ． 3．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）已知关于x的分式方程无解，则m的值是（    ） A． B．1 C．或2 D．或 【答案】D 【思路引导】由分式方程解法，先去分母得到，分类讨论求解整式方程，再由分式方程无解的条件列方程求解即可得到答案． 【规范解答】解：， ，则， 若，即时，整式方程无解，则分式方程无解； 若，即时，整式方程解为， 当，即时，则分式方程分母为0，分式方程无解； 综上所述，的值是或． 4．（25-26八年级下·江西九江·期中）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的2倍．、两款玩偶的单价分别是多少元？设款哪吒玩偶的单价是元．可列方程___________． 【答案】 【思路引导】先根据题目给出的单价关系表示出A款玩偶的单价，再根据数量等于总金额除以单价的关系，分别表示出两款玩偶的购进数量，最后根据A款数量比B款少50个的等量关系列方程即可； 【规范解答】解：设B款哪吒玩偶的单价是元，则A款哪吒玩偶单价为元， 根据题意可得购进A款玩偶的数量为个，购进B款玩偶的数量为个， 因为购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，即B款数量减去A款数量等于50， 因此列方程得：． 5．若数a使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和为____． 【答案】0 【思路引导】根据分式方程的解为正数即可得出且，根据不等式组有解，即可得，找出所有的整数，将其相加即可得出结论． 【规范解答】解：解分式方程，得， ∵分式方程的解为正数， ∴，即， 又， ∴，即， 则且， ∵关于y的不等式组有解， ∴，即， 解得：， 综上，a的取值范围是，且， 则符合题意的整数a的值有、0、1，它们的和为0， 6．（25-26八年级下·重庆·期中）若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 【答案】5 【思路引导】先根据不等式组有解求出的取值范围，再结合分式方程的解是非负整数且分母不为零，找出符合条件的整数，最后计算乘积． 【规范解答】解：解不等式，得：， 解不等式，得， 一元一次不等式组有解， ， 分式方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， 解得：， 由分式方程分母不为得，即， 解得， 分式方程的解是非负整数，为整数，， ∴， 解得，且为偶数， 即为奇数， 符合条件的整数为，， ∴所有满足条件的整数的值之积为． 7．（24-25八年级上·山东聊城·期末）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)无解 【思路引导】根据解分式方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1并检验即可． 【规范解答】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，解得， 时，， 故原方程的解为； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，解得， 当，， 故原方程无解． 8．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）完成下列题目 (1)为何值时，关于的分式方程的解为． (2)当为何值时，关于的方程有增根． 【答案】(1) (2) 或 【思路引导】（1）先求出分式方程的解，再根据方程的解是得出答案； （2）先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1得出方程的解，再根据有增根可得，然后求出m的值即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ． ∵方程的解是， ∴，且， 解得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 当时，． ∵方程有增根， ∴， 解得或， ∴或， 解得或． 9．（25-26八年级下·吉林长春·期中）甲、乙两地的铁路里程为，从甲地乘“”字头列车和“”字头列车都可直达乙地．已知列车的平均速度为列车的2倍，且列车的行驶时间比列车少．求列车的平均速度． 【答案】 【思路引导】设列车B的平均速度为，则列车A的平均速度为，利用“时间路程速度”，结合A车行驶时间比B车少的等量关系列方程，求解检验后即可得到B车的平均速度； 【规范解答】解：设列车B的平均速度为，则列车A的平均速度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， 答：列车B的平均速度为． 10．（25-26八年级下·四川·期中）2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 【答案】(1)甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升 (2)该专卖店的最大利润为7800元 【思路引导】（1）根据题意列出分式方程即可求解； （2）设A型打印机有m台，B型打印机有台，可得，由题意列出利润关于m的一次函数表达式即可求解． 【规范解答】（1）解：设甲型墨盒每次灌满需x毫升墨水，则乙型墨盒每次灌满需毫升墨水， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升． （2）解：设A型打印机有m台，B型打印机有台， 由题意得，， 解得， 设利润为， 由题意得， ∵， ∴随m增大而减小， 当时，取最大值为元， 答：该专卖店的最大利润为7800元． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题09 分式方程的求解与应用『期末复习重难点专题培优』 【9个重点题型+真题实战演练 共47题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 解分式方程（化为一元一次) 1 题型二 根据分式方程解的情况求值 2 题型三 分式方程无解问题 3 题型四 列分式方程 3 题型五 分式方程的行程问题 4 题型六 分式方程的工程问题 6 题型七 分式方程的经济问题 7 题型八 分式方程和差倍分问题 9 题型九 分式方程的其它实际问题 9 优选真题 实战演练 12 【基础夯实 能力提升】 12 【拓展拔尖 冲刺满分】 13 题型一 解分式方程（化为一元一次) 【精讲】（25-26八年级下·四川成都·期中）按要求解题： (1) 解方程：； (2)分解因式：． 【精练1】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）解分式方程：． 【精练2】（25-26八年级下·甘肃天水·期中）上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下： (1)聪明的你请求出盖住部分的代数式； (2)当，等于何值时，原分式的值为5？ 题型二 根据分式方程解的情况求值 【精讲】（25-26八年级下·陕西西安·期中）已知关于的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______． 【精练1】（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）已知关于x的分式方程． (1)若在解此方程时产生了增根，则m的值是 ； (2)若此方程的解是正数，求m的取值范围． 【精练2】（25-26八年级下·山西临汾·期中）阅读与思考 下面是小宜同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关联数对 【概念理解】 如果两个实数，使得关于的分式方程的解是，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是，所以数对是关于的分式方程的“关联数对”． 任务： (1)判断下列数对是不是关于的分式方程的“关联数对”． ①_________；②_________．（填“是”或“不是”） (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 题型三 分式方程无解问题 【精讲】（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【精练1】若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【精练2】（25-26八年级下·海南海口·期中）解方程： (1)； (2)若关于x的方程无解，求实数a的值． 题型四 列分式方程 【精讲】（25-26八年级下·陕西西安·期中）某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用了．为了求采用新工艺前每小时加工多少个零件，设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【精练1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，记录颜色后将球放回袋子中并摇匀． 如下表是摸球试验中的统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 295 480 580 摸到白球的频率 0.64 0.61 0.59 0.60 0.58 (1)表中的_____，_____． (2)“摸到白球”的概率的估计值是_____（精确到0.1）． (3)若袋中有6个红球，估计袋中一共有多少个球？ 【精练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某工厂计划生产个口罩，但在实际生产时……求该工厂实际每天生产口罩的个数．在这个问题中，若设该工厂实际每天生产口罩个，由题意，可列出的方程为，则问题中“……”所表示的条件应该是________． 题型五 分式方程的行程问题 【精讲】（25-26八年级下·海南海口·期中）海南省首个省级科技馆于2025年12月18日开启试运行，是海南自贸港重要的科普教育地标．某校八年级学生前往距学校15千米的海南省科技馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了10分钟，其余学生乘坐中巴出发，结果他们同时到达，已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.5倍，求大巴的平均速度． 【精练1】（25-26八年级下·山西临汾·期中）司徒小镇位于晋城市，是山西省“老山西民俗印象基地，新晋城时尚旅游地标”之一．太原市某旅行社组织游客从太原市到司徒小镇旅游． 信息一：太原市到司徒小镇的路程为千米． 信息二：乘坐型车比乘坐型车少用小时． 信息三：型车的平均速度是型车平均速度的倍． 问题解决：求型车的平均速度． 【精练2】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）【教材呈现】 （1）①两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的平均攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰，求这两个小组的平均攀登速度各是多少？（单位：） ②如果山高为，第一组的平均攀登速度是第二组的倍（其中），并且比第二组早到达顶峰，直接写出第二组的平均攀登速度为 ；（结果用含、、的式子表示） 【拓展延伸】 （2）如果山高为，第一组准备一半路程以的平均速度攀登，另一半路程以的平均速度攀登（）；第二组准备全程以的平均速度攀登，请判断哪一组先到达顶峰，并说明理由． 题型六 分式方程的工程问题 【精讲】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【精练1】（25-26九年级下·江苏徐州·期中）我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换120公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少20小时．求一辆该型号换轨车每小时更换钢轨的公里数． 【精练2】（25-26八年级上·广东东莞·期末）为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 题型七 分式方程的经济问题 【精讲】（25-26八年级下·福建泉州·阶段检测）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲，乙两种农机具，已知1件乙种农机具比1件甲种农机具多0.5万元，用20万元购买甲种农机具的数量和用25万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲，乙两种农机具共30件，且乙的件数不低于甲件数的一半．设购买甲种农机具m件，购买的总费用为W万元，求购买这批农机具最少要用多少万元？ 【精练1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）随着生活水平的提高，人们越来越注重健康饮食、均衡膳食营养．某校食堂为丰富日常餐食，采购小米、黑米两种优质杂粮食材．已知小米每千克的价格是黑米每千克价格的1.2倍，用150元购买小米的质量比用100元购买黑米的质量多5千克． (1)求小米、黑米每千克分别是多少元； (2)该食堂计划采购两种杂粮共60千克，且购买小米的质量不少于黑米质量的一半，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【精练2】（25-26八年级下·重庆·期中）五一黄金周即将来临之际，重百超市准备大量购进磁器口陈麻花咸口和甜口两种口味麻花，一袋甜口的进价比咸口的进价多5元，用750元购进甜口麻花和用600元购进咸口的袋数相同． (1)求甜口和咸口的麻花每袋的进价各是多少？ (2)超市计划用不超过1320元的资金购进两种口味麻花共60袋，其中咸口麻花的数量不超过甜口麻花数量的两倍，该超市将甜口麻花每袋的售价定为40元，咸口麻花每袋的售价定为32元，并计划在五一节期间开展优惠促销活动，对每袋甜口麻花售价优惠2元，咸口不变，要使售完这60袋麻花获总利润最大，该如何进货？ 题型八 分式方程和差倍分问题 【精讲】（25-26八年级下·重庆·期中）李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【精练1】某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 【精练2】（23-24八年级下·四川宜宾·阶段检测）二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为，销量之比为．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为_____． 题型九 分式方程的其它实际问题 【精讲】（25-26八年级下·山西临汾·期中）人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区计划购进两种型号自主移动机器人搬运化工原料，型号自主移动机器人比型号自主移动机器人每小时多搬运化工原料，型号自主移动机器人搬运化工原料所用时间与型号自主移动机器人搬运化工原料所用时间相等． (1)求两种型号自主移动机器人每小时分别搬运多少化工原料． (2)若该物流园计划购进两种型号自主移动机器人共台，设购进型号自主移动机器人台，这台机器人每小时搬运化工原料． ①求关于的函数关系式． ②若购进型号自主移动机器人的数量不超过型号自主移动机器人数量的倍，求这台机器人每小时最少可以搬运多少化工原料． 【精练1】（25-26八年级下·河北沧州·期中）河北作为农业大省，拥有丰富多样的土特产，许多产品还获得了国家地理标志认证，极具地方特色，如迁西板栗、平泉香菇、永年大蒜、沧州金丝小枣……某商店销售甲、乙两种河北当地土特产，每斤甲种土特产的利润比每斤乙种土特产的利润多2元，销售甲种土特产获利60元和销售乙种土特产获利40元时的销售质量相同． (1)分别求甲、乙两种土特产每斤的利润； (2)若该商店计划购进甲、乙两种土特产共800斤进行销售，设购进甲种土特产m斤（），销售完这批土特产共获利w元． ①求w与m之间的函数关系式； ②若甲种土特产的质量不超过乙种土特产质量的倍，求出w的最大值． 【精练2】（25-26八年级上·福建厦门·期末）某城镇实行污水分区域治理，将该城镇划分为甲、乙两区域，分别由A，B两座污水处理厂负责处理，相关部门每年均会对污水处理厂的污水处理能力进行评估，评估的重要指标之一为污水处理率，污水处理率由年污水处理总量（单位：万吨）与年污水排放总量（单位：万吨）决定，污水处理率=． 2025年A，B两厂的年污水处理情况如下表所示： 区域 污水处理厂 年污水处理总量/万吨 甲 A 90 乙 B 70 (1)2025年该城镇乙区域污水排放总量为甲区域污水排放总量的，A厂的污水处理率高于B厂，且两者的差值为． ①该城镇2025年甲区域污水的排放总量是多少万吨？ ②预测显示该城镇2026年甲、乙两区域各自的污水排放总量都将增加，现计划对A，B两厂均进行设备升级以增加污水处理量，但无法超过2025年各自年污水处理总量的．镇长希望以此为契机，提升B厂的污水处理能力，使A，B两厂的污水处理率相同．不妨设A厂的年污水处理总量增加万吨，B厂的年污水处理总量增加万吨（，均为整数）．若作为镇长，你如何规划A，B两厂污水处理的增加量？ (2)基于未来人口迁入需要，后续将对A，B两厂进行扩建，若A厂年污水处理总量比2025年增加30万吨，B厂年污水处理总量比2025年增加62万吨，扩建后B厂的污水处理率高于A厂，且两者的差值为．为给相关部门决策提供数据支撑，试比较扩建计划中该城镇的甲区域污水排放总量与乙区域污水排放总量的大小． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）把分式方程化为整式方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·福建泉州·期中）关于x的分式方程有增根，则增根为________． 5．（25-26八年级下·河南周口·期中）对于实数a，b，定义一种新运算“☆”：☆ ，则方程☆的解是______． 6．（25-26八年级下·四川遂宁·阶段检测）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100个钱币，每人分得若干，若再加上5人，平分150个钱币，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为_______． 7．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是___________． 8．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）计算及解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 9．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）郑州非物质文化遗产展示馆于2月10日至3月3日举办“非遗贺新春·见郑欢喜年”主题活动．活动采用“双馆联动”模式，其中西馆“趣之坊”打造手工公益研学课堂，拓年画、剪“富贵马”、制作掐丝珐琅等十余项非遗体验．掐丝珐琅手艺人王师傅用500元购进的银丝和用750元购进的金丝的长度相同，每米金丝的进价比银丝的进价多5元． (1)求金丝、银丝每米的进价； (2)王师傅计划再用不超过1320元的总费用购进金丝、银丝共100米制作掐丝珐琅，求金丝最多可以购进多少米． 10．（25-26八年级下·陕西西安·期中）为丰富同学们的课间活动，某学校计划购进一批跳绳和实心球，其中跳绳的单价比实心球低5元，已知用600元购买跳绳的数量是用400元购买实心球数量的2倍． (1)请列方程求出跳绳和实心球的单价； (2)该校计划购买跳绳和实心球共100个，且购买跳绳的数量不超过实心球数量的4倍，求该校购买跳绳和实心球的最低费用． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26九年级下·河南新乡·期中）已知一个不完整的题目：某工厂计划生产2400个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件个，可得方程．则题目中用“…”表示的条件应是（    ） A．每天比原计划多生产10个，结果延期8天完成 B．每天比原计划多生产10个，结果提前8天完成 C．每天比原计划少生产10个，结果延期8天完成 D．每天比原计划少生产10个，结果提前8天完成 2．为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级一班拟购置一批羽毛球拍，预算总额设定为1200元．已知W品牌每副球拍的单价比Y品牌便宜20元，如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副．设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）已知关于x的分式方程无解，则m的值是（    ） A． B．1 C．或2 D．或 4．（25-26八年级下·江西九江·期中）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的2倍．、两款玩偶的单价分别是多少元？设款哪吒玩偶的单价是元．可列方程___________． 5．若数a使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和为____． 6．（25-26八年级下·重庆·期中）若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 7．（24-25八年级上·山东聊城·期末）解方程： (1)． (2)． 8．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）完成下列题目 (1)为何值时，关于的分式方程的解为． (2)当为何值时，关于的方程有增根． 9．（25-26八年级下·吉林长春·期中）甲、乙两地的铁路里程为，从甲地乘“”字头列车和“”字头列车都可直达乙地．已知列车的平均速度为列车的2倍，且列车的行驶时间比列车少．求列车的平均速度． 10．（25-26八年级下·四川·期中）2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $