专题02等腰三角形易错必刷题型专项训练(12大题型共计37道题)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题02等腰三角形易错必刷题型专项训练 本专题汇总等腰三角形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.三线合一 题型02.等角对等边证明等腰三角形 题型03.等角对等边证明边相等 题型04.等角对等边求边长 题型05.等腰三角形的性质与判定 题型06.格点图中画等腰三角形 题型07.直线上找点构造等腰三角形 题型08.图形内找点构造等腰三角形 题型09.反证法证明中的假设 题型10.等边三角形的判定 题型11.等腰三角形角度分类计算 题型12.等腰三角形周长分类计算 易错必刷题型01.三线合一 典题特征：等腰三角形里，利用顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，求角度、证线段相等、证角度相等。 易错点：乱用三线合一性质，只会用在等腰三角形顶角、底边上，腰上的高和中线不能套用，学生极易用错条件。 1．如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为______． 2．如图，在等腰三角形中，，于点D，于点E．若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图：在中，，于点，、分别为、上的点，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 易错必刷题型02.等角对等边证明等腰三角形 典题特征：在图形中找相等角，利用等角对等边，证明一个三角形是等腰三角形。 易错点：忽略必须在同一个三角形内才满足等角对等边，跨三角形乱套用角相等推边相等。 4．如图，在中，，，，则图中等腰三角形的个数是_____．    5．如图，在中，，，，交于点D，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 6．如图，在中，平分内角，平分外角． (1)若，求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 易错必刷题型03.等角对等边证明边相等 典题特征：已知两个角相等，直接推导对应的两条边长度相等，用于几何证明大题。 易错点：找错角对应的对边，对应边角关系混淆，证明过程理由书写不规范。 7．如图，在直角三角形纸片中，，，折叠该纸片使得点落在边上的点处，折痕为（点在上），若，则的长为______． 8．在中，，则的长为（   ） A．20 B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别为点，，，，点在线段上，连接并延长交轴于点，将沿直线翻折到，延长与轴交于点． (1)求证：； (2)当时，求的长． 易错必刷题型04.等角对等边求边长 典题特征：已知图形中角度相等，利用等角对等边，直接求出线段、边长的具体长度。 易错点：只会死记公式，不会结合图形找等角，对应边长找错，计算粗心出错。 10．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为________． 11．如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则等于（    ） A．18 B．21 C．24 D．27 12．如图，在中，，，． (1)求和的长； (2)若点E为线段的中点，点F在边上，连接，沿将折叠得到，当点P落在上时，如图2，判断与的数量关系，说明理由； (3)若点E为线段的中点，点F在边上，连接，沿将折叠得到，连接，线段与交于点H，当时，如图3，求和的长． 易错必刷题型05.等腰三角形的性质与判定 典题特征：结合等边对等角、等角对等边，综合求角度、边长，证明三角形等腰。 易错点：把性质和判定互相混淆，做题乱用定理，推理逻辑混乱。 13．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形、轴．若点．则点的坐标为_____． 14．如图，在中，，于点D，的角平分线交于点E，交于点F，平分交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④为等腰三角形．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 15．如图1，在中，为边上一点，连接，点在上，． (1)求的大小（用含的式子表示）； (2)若，求的长； (3)如图2，延长交于点，在的延长线上取一点，使，连接．若，，求的长． 易错必刷题型06.格点图中画等腰三角形 典题特征：网格格点当中，按要求画出符合条件的等腰三角形，或是数符合条件的三角形个数。 易错点：分类不完整，漏画多种情况，数点的时候重复、漏数，丢分最多。 16．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是网格中的两个格点，如果C也是网格中的格点，且使为等腰三角形，那么符合条件的点C有______个． 17．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，以为腰，为顶角作等腰三角形（点在格点上），则的面积为（   ） A．3 B．5 C．3或5 D．4或6 18．图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)画一个一边是有理数，另外两边是无理数的直角三角形； (2)画一个一边长为，面积为6的等腰三角形． 易错必刷题型07.直线上找点构造等腰三角形 典题特征：已知两个定点，在一条直线上找点，构成等腰三角形，求点的个数、位置。 易错点：三种分类情况总漏写，讨论不全面，经常性漏解，是填空高频易错题。 19．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标（0，1），点B的坐标（1，0），点C也在坐标轴上，如果是等腰三角形，那么满足条件的点C有______个． 20．如图，直线a，b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 易错必刷题型08.图形内找点构造等腰三角形 典题特征：在正方形、平面图形、坐标系内找点，和任意两点组成等腰三角形。 易错点：图形复杂，不会完整分类讨论，漏掉大量符合条件的点。 22．如图的网格中，点、在格点上，在网格上找到点，使为等腰三角形，这样的点共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 23．如图，已知A（1，3），在坐标轴上找点B，使△AOB为等腰三角形，符合条件的点有____个． 24．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、的坐标分别为，，，问：坐标轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标．    易错必刷题型09.反证法证明中的假设 典题特征：反证法做题，写出命题第一步相反的假设。 易错点：对原命题结论否定错误，逻辑搞反，用词表述不标准。 25．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个是钝角”，下列假设正确的是（   ） A．假设钝角的个数至多有一个 B．假设只有一个钝角 C．假设三个外角都不是钝角 D．假设有两个锐角 26．用反证法证明，若，则时，应假设___________． 27．在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”． 阅读材料： “无理数”的由来：为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． (1)先假设__________， 那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则是2的倍数． 再设，其中是整数，就有：， 也就是：， 所以也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的与互素相矛盾，因此不可能是一个有理数. (2)请以（1）中“是一个无理数”为条件，利用反证法证明是一个无理数． 易错必刷题型10.等边三角形的判定 典题特征：根据已知角度、边相等条件，证明一个三角形是等边三角形。 易错点：记错判定定理，漏掉「等腰三角形+一个60°角」的前提，随便乱判定。 28．已知的三边a、b、c满足，则是（   ） A．等腰但非等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 29．已知：如图，在中，，，于点，且，则是___三角形．    30．在中，，直线，垂足为点，点是直线上一点，过作，交直线于点． (1)如图1，当点在点右侧时，若时，求证：； (2)在（1）问条件下，连接，若，请判断的形状，并说明理由； (3)如图2，若，，点在直线上运动，当时，求的面积． 易错必刷题型11.等腰三角形角度分类计算 典题特征：只给等腰三角形一个内角，求另外两个角的度数。 易错点：不分类讨论这个角是顶角还是底角，只算一种答案，直接漏解丢分。 31．等腰三角形的一个外角是，则它的底角的度数为________． 32．等腰三角形的一个内角为，则它的另外两个内角分别为（   ） A．， B．， C．，或， D．，或， 33．若一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 易错必刷题型12.等腰三角形周长分类计算 典题特征：给出两条边长，当做等腰三角形的边，求最终周长。 易错点：不分谁是腰、谁是底，不验证三角形三边关系，直接算出错误周长。 34.已知等腰三角形的两边长为3cm、5cm，则它的周长为______。 35.已知等腰三角形的周长为18cm，一边长为7cm，则另外两边的长分别为______。 36.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”。若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为6，则△ABC的周长为______。 37.在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD将△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求BC的边长。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02等腰三角形易错必刷题型专项训练 本专题汇总等腰三角形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.三线合一 题型02.等角对等边证明等腰三角形 题型03.等角对等边证明边相等 题型04.等角对等边求边长 题型05.等腰三角形的性质与判定 题型06.格点图中画等腰三角形 题型07.直线上找点构造等腰三角形 题型08.图形内找点构造等腰三角形 题型09.反证法证明中的假设 题型10.等边三角形的判定 题型11.等腰三角形角度分类计算 题型12.等腰三角形周长分类计算 易错必刷题型01.三线合一 典题特征：等腰三角形里，利用顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，求角度、证线段相等、证角度相等。 易错点：乱用三线合一性质，只会用在等腰三角形顶角、底边上，腰上的高和中线不能套用，学生极易用错条件。 1．如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为______． 【答案】15 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，，再根据三角形面积公式求解即可． 本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：在中，，平分交于点， ，， ， ， 即的面积为， 故答案为：． 2．如图，在等腰三角形中，，于点D，于点E．若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质求出的度数，再利用含角的直角三角形的性质分别求出和的长度，最后通过求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵于点E， ∴在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 3．如图：在中，，于点，、分别为、上的点，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识． （1）根据等腰直角三角形的性质确定出，即可证明； （2）根据三角形外角的性质先求出的角度，再根据（1）中的全等即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，，， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 易错必刷题型02.等角对等边证明等腰三角形 典题特征：在图形中找相等角，利用等角对等边，证明一个三角形是等腰三角形。 易错点：忽略必须在同一个三角形内才满足等角对等边，跨三角形乱套用角相等推边相等。 4．如图，在中，，，，则图中等腰三角形的个数是_____．    【答案】3 【分析】根据等腰三角形的定义即可找到两个等腰三角形，然后利用等边对等角、三角形的内角和、三角形外角的性质求出图中各个角的度数，再根据等角对等边即可找出所有的等腰三角形． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，，都是等腰三角形，共3个． 故答案为：3． 5．如图，在中，，，，交于点D，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出，，可得，即．中，根据角所对直角边等于斜边的一半，可求得，由此可求得的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，在中，平分内角，平分外角． (1)若，求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线得到，，结合角平分线得到，最后根据等角对等边得到等腰三角形； （2）根据三角形的外角和角平分线得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵平分外角． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵平分内角，平分外角． ∴，， 由三角形的外角可得，， ∴， ∵， ∴． 易错必刷题型03.等角对等边证明边相等 典题特征：已知两个角相等，直接推导对应的两条边长度相等，用于几何证明大题。 易错点：找错角对应的对边，对应边角关系混淆，证明过程理由书写不规范。 7．如图，在直角三角形纸片中，，，折叠该纸片使得点落在边上的点处，折痕为（点在上），若，则的长为______． 【答案】18 【分析】本题考查了翻折变换，含30度的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 由三角形内角和定理可得，根据折叠可得，则，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∵折叠该纸片使得点落在边上的点处， ， ， ， 故答案为：18． 8．在中，，则的长为（   ） A．20 B． C． D． 【答案】C 【分析】先说明是等腰直角三角形，进而求得直角边的长度，再利用勾股定理计算斜边的长即可． 【详解】解：∵ 在中，，， ， ， ， ∴，即选项C符合题意． 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别为点，，，，点在线段上，连接并延长交轴于点，将沿直线翻折到，延长与轴交于点． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求得轴，得到，结合，即可证明结论； （2）设，则，，根据勾股定理可得到，结合，即可求得答案． 【详解】（1）解：∵点，的纵坐标相同， ∴轴， ∴． 根据图形折叠的性质可知， ∴． ∴． （2）解：∵点，的横坐标相同， ∴轴． ∴． 设，则，． ∵在中，， ∵， ∴． ∴． ∴． 易错必刷题型04.等角对等边求边长 典题特征：已知图形中角度相等，利用等角对等边，直接求出线段、边长的具体长度。 易错点：只会死记公式，不会结合图形找等角，对应边长找错，计算粗心出错。 10．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和平行线性质，此题关键是证明和为等腰三角形．先利用两直线平行，内错角相等得，，再因为和的平分线交于点，得，，通过等量代换，，得出和为等腰三角形最后运用等腰三角形性质即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴和为等腰三角形， ∴，． ∵，， ∴． 故答案为：． 11．如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则等于（    ） A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形的性质得出相等的边和角的度数，根据三角形的外角定理求出角的度数，然后利用等角对等边得出相等的边，最后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 12．如图，在中，，，． (1)求和的长； (2)若点E为线段的中点，点F在边上，连接，沿将折叠得到，当点P落在上时，如图2，判断与的数量关系，说明理由； (3)若点E为线段的中点，点F在边上，连接，沿将折叠得到，连接，线段与交于点H，当时，如图3，求和的长． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】(1) 先根据垂直的意义得出，再根据，，求得，然后根据，求得与，再根据求得； (2) 先判断，再说理，先根据折叠的性质得到，， 从而可根据等边对等角证得，，，再根据三角形内角和定理得到，进而得到，于是有，再根据等角的余角相等可得 ，再根据等角对等边得到； （3）先根据折叠的性质得到，，，从而可得，于是可求得 ，进而求得，再根据，得出，然后利用含有的直角三角形的性质得到进而得到关于的方程求出，从而可求得，再利用求得． 【详解】（1）解：如图，作于D， 则， ∵， ∴， ， ， ， ，； （2）解：，理由如下： ∵沿将折叠得到， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，设与交于点O，． 设与交于点O， ∵， ∴， ∵沿将折叠得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ， ， ， 作于Q， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，含有的直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握有关知识． 易错必刷题型05.等腰三角形的性质与判定 典题特征：结合等边对等角、等角对等边，综合求角度、边长，证明三角形等腰。 易错点：把性质和判定互相混淆，做题乱用定理，推理逻辑混乱。 13．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形、轴．若点．则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．熟练掌握平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，等腰三角形三线合一，是解题的关键． 根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，得到点的纵坐标，过点作，利用等腰三角形的三线合一，求出点的横坐标即可． 【详解】解：∵轴，， ∴点的纵坐标为1， 过点作，交轴于点，交于点， 则：，    ∵ ∴， ∴点的横坐标为， ∴． 故答案为：． 14．如图，在中，，于点D，的角平分线交于点E，交于点F，平分交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④为等腰三角形．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】据等角的余角相等可得，再由三角形外角的性质，可判断①；证明，但根据题意无法得到的大小，可判断②；根据等腰三角形三线合一的性质得出，可判断③；证明，可得，可判断④． 【详解】解：，， ，， ， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ，， 平分， ， ∵， ∴， ， ， ， ， 根据题意无法得到的大小， 所以无法确定与的大小关系，故②错误； ，且平分， 是等腰顶角的角平分线， 根据等腰三角形“三线合一”性质，得垂直平分，故③正确． 平分，， ，， ， ， 是等腰三角形，故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 15．如图1，在中，为边上一点，连接，点在上，． (1)求的大小（用含的式子表示）； (2)若，求的长； (3)如图2，延长交于点，在的延长线上取一点，使，连接．若，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）求出的长，进而得到的长，勾股定理求出的长即可； （3）证明，得到，进而推出，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：在中， ， ∴． ， ． ． 在中， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 在中，由勾股定理得． （3）解： ． 又， ， ． 由（1）知， ， ， ． 在中， ． 在中，由勾股定理得． ． 易错必刷题型06.格点图中画等腰三角形 典题特征：网格格点当中，按要求画出符合条件的等腰三角形，或是数符合条件的三角形个数。 易错点：分类不完整，漏画多种情况，数点的时候重复、漏数，丢分最多。 16．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是网格中的两个格点，如果C也是网格中的格点，且使为等腰三角形，那么符合条件的点C有______个． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分情况讨论是解题的关键．结合图形，利用格点，分别讨论为等腰三角形的底边时和为等腰三角形其中的一条腰时的情况，即可解决． 【详解】解：如图，（1）为等腰三角形的底边时，符合条件的C点有4个； （2）为等腰三角形其中的一条腰时，符合条件的C点有4个； 故答案为8． 17．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，以为腰，为顶角作等腰三角形（点在格点上），则的面积为（   ） A．3 B．5 C．3或5 D．4或6 【答案】C 【分析】本题考查网格中的等腰三角形，与三角形有关的计算，根据等腰三角形的定义，结合网格特点，画出，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，作图如下： 由图可知：的面积为或； 故选：C． 18．图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)画一个一边是有理数，另外两边是无理数的直角三角形； (2)画一个一边长为，面积为6的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，可以画一个斜边是有理数2，另外两边是无理数的直角三角形； （2）画一个底边长为，底边上的高为的等腰三角形即可． 【详解】（1）解：（答案不唯一） 根据，可以画一个斜边是有理数2，另外两边是无理数的直角三角形，画图如下： 该三角形即为所求； （2）解：如图，底边长为，底边上的高为的等腰三角形． ∴， ∴所画三角形即为所求． 易错必刷题型07.直线上找点构造等腰三角形 典题特征：已知两个定点，在一条直线上找点，构成等腰三角形，求点的个数、位置。 易错点：三种分类情况总漏写，讨论不全面，经常性漏解，是填空高频易错题。 19．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标（0，1），点B的坐标（1，0），点C也在坐标轴上，如果是等腰三角形，那么满足条件的点C有______个． 【答案】7 【分析】根据题意可求出AB的长，即可分类讨论①当、②当时和③当时，画出图形即得出满足条件的点C的个数 ． 【详解】∵，， ∴，， ∵， ∴． ①当时，如图，，，； ②当时，如图，，，； ③当时，如图，． 综上，满足条件的点C有7个． 故答案为：7． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的定义．利用数形结合的思想是解题的关键． 20．如图，直线a，b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，利用分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B是解题的关键．分别以点O、A、B为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为，，，从这三方面分别考虑点B的位置． 【详解】解：如图所示， 当时，以点为圆心，的长为半径作圆，与直线b在点两侧各有一个交点，此时B点有2个； 当时，以点A为圆心，的长为半径作圆，与直线b有一个交点，此时B点有1个； 当时，作的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个； ∴满足条件的B点总共有4个， 故选：D． 21．如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定． （1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可； （2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可． 【详解】（1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下：    当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：4； （2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下：    当时，是等边三角形， 当时，； 故答案为： 易错必刷题型08.图形内找点构造等腰三角形 典题特征：在正方形、平面图形、坐标系内找点，和任意两点组成等腰三角形。 易错点：图形复杂，不会完整分类讨论，漏掉大量符合条件的点。 22．如图的网格中，点、在格点上，在网格上找到点，使为等腰三角形，这样的点共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【答案】C 【分析】首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从BA=BC，AB=AC，CA=CB去分析求解即可． 【详解】∵AB=，如图所示： ∴①若BA=AC，则符合要求的有：C1，C2共2个点； ②若CB=AB，则符合要求的有：C3，C4共2个点； ③若CA=CB，则符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9，C10共6个点， 这样的C点有10个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理，画“两圆一中垂”即可做到不重不漏，解题关键是分类讨论的数学思想． 23．如图，已知A（1，3），在坐标轴上找点B，使△AOB为等腰三角形，符合条件的点有____个． 【答案】8 【分析】题目中没有指明AO，BO，AB是底还是腰，故应该分情况进行讨论，注意不但要考虑到AO，BO，AB是底还是腰，而且要考虑到A，B是在正半轴还是在负半轴； 【详解】先假设点B在x轴上，可设B点的坐标为， 当OA=AB时， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴点B的坐标是； 当OA=OB时， ∴ ∴ ∴， ∴点B的坐标为，； 当OB=AB时， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； 综上所述，B点的坐标为，，，； 同理可得当点B在y轴上时，点B的坐标是，，，； ∴符合条件的点B有8个； 故答案是8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和坐标图形的性质，准确分析计算是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、的坐标分别为，，，问：坐标轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标．    【答案】或或或或或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，分三种情况：当时，当时，当时； 当点N在y轴上时，结合图形求解即可． 【详解】解：长方形的顶点、、的坐标分别为，，， ，， ，， 当时，如图，点，，，，则， ， ，，即，即． 当时，如图，点，则， ， ， ． 同理 当时，如图，点， 则点在线段的垂直平分线上， 则， ． 综上所述，在轴上存在点，使得是等腰三角形，点的坐标为或或或或或或． 易错必刷题型09.反证法证明中的假设 典题特征：反证法做题，写出命题第一步相反的假设。 易错点：对原命题结论否定错误，逻辑搞反，用词表述不标准。 25．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个是钝角”，下列假设正确的是（   ） A．假设钝角的个数至多有一个 B．假设只有一个钝角 C．假设三个外角都不是钝角 D．假设有两个锐角 【答案】A 【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题结论不成立，只需找到“至少有两个钝角”的否定，即可得到正确假设． 【详解】解：用反证法证明命题时，需先假设原结论不成立，原结论为“三角形的三个外角中至少有两个是钝角”，其中“至少有两个”表示钝角个数，其否定为钝角个数，即钝角个数至多有一个， 故正确的假设是“假设钝角的个数至多有一个”． 26．用反证法证明，若，则时，应假设___________． 【答案】 【分析】了解反证法证明的方法和步骤，反证法的步骤中，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设成立． 【详解】解：反面是． 因此用反证法证明若，则时，应假设． 27．在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”． 阅读材料： “无理数”的由来：为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． (1)先假设__________， 那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则是2的倍数． 再设，其中是整数，就有：， 也就是：， 所以也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的与互素相矛盾，因此不可能是一个有理数. (2)请以（1）中“是一个无理数”为条件，利用反证法证明是一个无理数． 【答案】(1)是一个有理数 (2)见解析 【分析】本题考查了无理数，熟练掌握反证法是解此题的关键． （1）根据题意即可得出结果； （2）仿照（1）中所给例子证明即可． 【详解】（1）解：由题意可得：先假设是一个有理数； （2）证明：假设是一个有理数， 则存在互素的整数、，使得， ∴ 两边平方得： ∴， 即， ∴， ∴， ∵、是整数， ∴是有理数，但已知是无理数，矛盾， 故假设错误， 故是无理数． 易错必刷题型10.等边三角形的判定 典题特征：根据已知角度、边相等条件，证明一个三角形是等边三角形。 易错点：记错判定定理，漏掉「等腰三角形+一个60°角」的前提，随便乱判定。 28．已知的三边a、b、c满足，则是（   ） A．等腰但非等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，等边三角形的定义，掌握绝对值的非负性是解题关键．利用绝对值的非负性，和为零则每个绝对值为零，推导出三边相等，即可得解． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：D． 29．已知：如图，在中，，，于点，且，则是___三角形．    【答案】等边 【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定，解答时先由三线合一得到，再证明可得到，进而证明为等边三角形． 【详解】解：∵中，，，于点， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴为等边三角形． 故答案为：等边 30．在中，，直线，垂足为点，点是直线上一点，过作，交直线于点． (1)如图1，当点在点右侧时，若时，求证：； (2)在（1）问条件下，连接，若，请判断的形状，并说明理由； (3)如图2，若，，点在直线上运动，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 (3)20或44 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，再导角证明，则可利用证明； （2）连接，可证明，得到，则可证明，进而证明垂直平分，得到，，则；证明垂直平分，得到，则可求出，进而得到，则是等边三角形； （3）分点E在延长线上和点E在延长线上，两种情况证明得到的长，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ （2）解：是等边三角形，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：如图3①所示，当点E在延长线上时， 同理可证明， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3②所示，当点E在延长线上时， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为20或44． 易错必刷题型11.等腰三角形角度分类计算 典题特征：只给等腰三角形一个内角，求另外两个角的度数。 易错点：不分类讨论这个角是顶角还是底角，只算一种答案，直接漏解丢分。 31．等腰三角形的一个外角是，则它的底角的度数为________． 【答案】35 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，先得出等腰三角形的一个内角是，则这个角只能是顶角，再根据三角形内角和求出底角即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为， ∴其对应的内角为， 若是底角，则两底角之和为，不成立。 ∴这个的角只能是顶角， ∴它的底角的度数为， 故答案为：． 32．等腰三角形的一个内角为，则它的另外两个内角分别为（   ） A．， B．， C．，或， D．，或， 【答案】C 【分析】分内角是顶角或底角两种情况讨论，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角为，未说明是顶角还是底角，因此分两种情况讨论； ①当为顶角时，∵三角形内角和为，等腰三角形两底角相等， ∴另外两个底角的度数都为，即另外两个内角为，； ②当为底角时，另一个底角为， ∴顶角为，即另外两个内角为，； 综上，另外两个内角为，或，． 33．若一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】由于不能确定已知的等腰三角形的内角80°是顶角还是底角，需分是顶角或底角两种情况，分别利用等腰三角形性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°， ∴分两种情况讨论： ①当为顶角时，顶角度数即为． ②当为底角时，顶角度数为． 综上，该等腰三角形的顶角度数为或． 【点睛】灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 易错必刷题型12.等腰三角形周长分类计算 典题特征：给出两条边长，当做等腰三角形的边，求最终周长。 易错点：不分谁是腰、谁是底，不验证三角形三边关系，直接算出错误周长。 34.已知等腰三角形的两边长为3cm、5cm，则它的周长为______。 【答案】11cm或13cm 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系，解题的关键是分情况讨论腰和底，并验证三边关系。 【详解】解：分两种情况讨论： ① 当腰长为3cm，底边长为5cm时，三边为3cm、3cm、5cm， ∵ 3+3>5，满足三角形三边关系， ∴ 周长为 3+3+5=11cm； ② 当腰长为5cm，底边长为3cm时，三边为5cm、5cm、3cm， ∵ 5+3>5，满足三角形三边关系， ∴ 周长为 5+5+3=13cm 综上，它的周长为11cm或13cm。 故答案为：11cm或13cm。 35.已知等腰三角形的周长为18cm，一边长为7cm，则另外两边的长分别为______。 【答案】7cm、4cm 或 5.5cm、5.5cm 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系，解题的关键是分情况讨论已知边是腰还是底，并验证三边关系。 【详解】解：分两种情况讨论： ① 当7cm为腰长时，底边长为 18-7×2=4cm， 三边为7cm、7cm、4cm， ∵ 7+4>7，满足三角形三边关系， ∴ 另外两边为7cm、4cm； ② 当7cm为底边长时，腰长为 (18-7)÷2=5.5cm， 三边为5.5cm、5.5cm、7cm， ∵ 5.5+5.5>7，满足三角形三边关系， ∴ 另外两边为5.5cm、5.5cm。 综上，另外两边的长分别为7cm、4cm 或 5.5cm、5.5cm。 故答案为：7cm、4cm 或 5.5cm、5.5cm。 36.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”。若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为6，则△ABC的周长为______。 【答案】15 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、新定义“倍长三角形”与三角形三边关系，解题的关键是结合定义分情况讨论腰与底的长度关系，并验证三边关系。 【详解】解：已知等腰△ABC中，腰AB=6， 分两种情况讨论： ① 若腰是底的2倍，则底边长为 6÷2=3， 三边为6、6、3， ∵ 6+3>6，满足三角形三边关系， ∴ 周长为 6+6+3=15； ② 若底是腰的2倍，则底边长为 6×2=12， 三边为6、6、12， ∵ 6+6=12，不满足三角形三边关系，此情况舍去。 综上，△ABC的周长为15。 故答案为：15。 37.在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD将△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求BC的边长。 【答案】7cm或11cm 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与中线的定义，解题的关键是分情况讨论中线分成的两部分分别对应的是“腰+半腰”还是“底+半腰”，并验证三边关系。 【详解】解：设AB=AC=2x，BC=y， ∵ BD是AC边上的中线，∴ AD=DC=x， 分两种情况讨论： ① 当 AB+AD=12，BC+CD=15 时， 即 2x+x=12，y+x=15， 解得 x=4，y=11， 此时三边为8、8、11， ∵ 8+8>11，满足三角形三边关系， ∴ BC=11cm； ② 当 AB+AD=15，BC+CD=12 时， 即 2x+x=15，y+x=12， 解得 x=5，y=7， 此时三边为10、10、7， ∵ 10+7>10，满足三角形三边关系， ∴ BC=7cm。 综上，BC的边长为7cm或11cm。 故答案为：7cm或11cm。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $