精品解析：山东省青州第一中学2025-2026学年高二上学期第四次段考数学试题

青州一中高二数学第四次段考 使用时间：2026年1月 一．单选题 1. 已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的方向向量求得直线斜率，即可求出直线倾斜角. 【详解】由直线的方向向量为可知直线斜率， 又因为倾斜角，且，所以. 故选：C 2. 某中学举行排球赛，共有个队参加，每两个队比赛一场，共需比赛（ ） A. 6场 B. 8场 C. 10场 D. 20场 【答案】C 【解析】 【分析】利用组合数公式计算可得. 【详解】依题意直接从个队中选择个队进行比赛，则一共有场比赛. 故选：C 3. 双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用离心率公式与渐近线方程公式定义计算即可得. 【详解】由的焦点在轴上， 故， 故的渐近线方程为. 故选：D. 4. 若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量线性运算和基本定理即可求解. 【详解】由题意， 令， 所以，解得， 所以在基底下的坐标为， 故选：A 5. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线平行的充要条件求出参数，再由必要不充分条件定义即可得解. 【详解】若“”，则且， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6. 如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，利用空间向量的线性运算即得. 【详解】在平行六面体中， 因为，，，点在上，且， 所以. 故选：A 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，由的最小值为及范围可求. 【详解】设，则， 所以，当且仅当时取等号． 由，得，又， 所以. 故选：D. 8. 已知圆与圆相交于A，B两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段AB的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知线段AB的关于x轴对称，，利用等面积法运算求解即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 圆的圆心为为，半径， 可知圆与圆均关于x轴对称，则线段AB的关于x轴对称， 若两圆在点处的切线互相垂直，则， 可得， 由的面积可得， 即，解得. 故选：D. 二．多选题 9. 已知a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间中线面以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，则，A正确， 对于B，若，则或，故B错误， 对于C，若，则，又，则，C正确， 对于D，如图，，，当时有， 又，所以满足，由于不一定与的交线垂直，因此无法得到，故D错误， 故选：AC 10. 有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（ ） A. 共有种不同的排法 B. 男生不在两端共有种排法 C. 男生甲、乙相邻共有种排法 D. 三位女生不相邻共有种排法 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用无限制条件的排列判断A；利用有位置条件的排列判断B；利用相邻、不相邻问题的排列判断C，D作答. 【详解】有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有种不同的排法，A正确； 男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有种排法，B不正确； 男生甲、乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有种排法，C正确； 三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有种排法，D不正确. 故选：AC 11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 直线与间的距离最小值为4 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，联立直线方程和抛物线方程后可得，，据此逐项计算后可得正确的选项. 【详解】 由题设有过焦点，而， 设，则可得即， 此时且，， 故，故A正确； ， 故B正确； 对于C，， 而，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为，故C成立； 对于D，故直线与间的距离， 当且仅当时等号成立，故直线与间的距离最小值为8， 故选：ABC. 三．填空题 12. 若将本不同的书放到个不同的盒子里，则不同的放法种数为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用计数原理的方法直接求解即可. 【详解】由题知，每本书都有种选择， 故不同的放法种数为. 13. 已知抛物线，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点，则的最小值为______. 【答案】8 【解析】 【分析】作邮抛物线的准线，把转化为到准线的距离，由三点共线得最小值． 【详解】由题意抛物线的准线的方程是， 过作于，则，所以 当且仅当三点共线时，取得最小值， 所以的最小值是8. 故答案为：8. 14. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，结合椭圆定义以及三角形内切圆性质，即可化简得到，再利用即可求得结果. 【详解】由得，， 又共线，故， 设，， 则， 所以，又， 且， 所以， 即， 又， 所以， 又， 联立，可得， 又， 化简得，， 又， 所以，， 即椭圆的离心率为. 四．解答题 15. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，且，. （1）求线段的长度； （2）求直线和夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则，将表示成，利用空间向量数量积的运算性质及向量模的求法求解即可； （2）根据异面直线所成角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 由题可知，，， . 在平行六面体中，. 所以，. 所以，. 即线段的长度为. 【小问2详解】 因为，， 所以， ， 所以. 所以直线和夹角的余弦值为. 16. 已知直线与圆交于，两点 （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）首先明确圆心与半径，利用点到直线距离求得弦心距，根据弦长公式，建立方程，可得答案； （2）过点的直线分斜率存在与不存在两种情况，利用圆心到切线的距离等于半径，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 圆即， 圆心，半径， 圆心到直线的距离， 故，则，解得. 【小问2详解】 由（1）可得圆，则圆心，半径， 当过点的直线斜率不存在，则直线方程为，圆心到直线的距离为，故直线为圆的切线； 当过点的直线斜率存在，可设直线方程，则， 圆心到该直线的距离， 由直线与圆相切，则，即，整理可得，解得， 直线方程为， 综上，切线的方程为：或. 17. 如图，在直三棱柱中，是棱的中点，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）因为是棱的中点， 故,则，同理， 由于,所以,故， 又，平面， 故平面， 平面，因此平面平面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可由面面垂直的判定求解， （2）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，即可根据向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：平面，平面，故, 又平面, 故平面,平面, 故, 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 设平面的一个法向量为 则，令，故 设平面的一个法向量为 则，令，故， 所以，则， 故二面角的正弦值为 【点睛】 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2. （1）求的方程； （2）若斜率为的直线交于，两点，线段的中点为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意得到关于、、的方程组，解得即可； （2）设，，利用点差法得到，再由点在椭圆内部，求出的取值范围，即可求出的范围. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设，， 因为线段的中点为，所以， 又，两式相减可得， 即， 所以， 又点在椭圆内部，所以，解得， 所以，即的取值范围为. 19. 已知双曲线E：的中心为坐标原点O，左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，且. （1）求双曲线E的渐近线方程； （2）若直线与直线：交于点C，点D是双曲线E上一点，且满足，记直线CD的斜率为，直线OD的斜率为，求. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的定义得到，列方程得到即可得到双曲线方程，然后求渐近线方程即可； （2）设，，根据列方程得到，根据点在双曲线上得到，然后计算即可. 【小问1详解】 由双曲线定义可知，，， 所以， 所以，即，所以双曲线方程为：， 于是其渐近线为或，即或. 【小问2详解】 设，，因为，，所以， 整理得，. 因为点在双曲线上，所以， 即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青州一中高二数学第四次段考 使用时间：2026年1月 一．单选题 1. 已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 某中学举行排球赛，共有个队参加，每两个队比赛一场，共需比赛（ ） A. 6场 B. 8场 C. 10场 D. 20场 3. 双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆与圆相交于A，B两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段AB的长为（ ） A. B. 3 C. D. 二．多选题 9. 已知a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（ ） A. 共有种不同的排法 B. 男生不在两端共有种排法 C. 男生甲、乙相邻共有种排法 D. 三位女生不相邻共有种排法 11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 直线与间的距离最小值为4 三．填空题 12. 若将本不同的书放到个不同的盒子里，则不同的放法种数为__________ 13. 已知抛物线，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点，则的最小值为______. 14. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______. 四．解答题 15. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，且，. （1）求线段的长度； （2）求直线和夹角的余弦值. 16. 已知直线与圆交于，两点 （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求过点的圆的切线方程. 17. 如图，在直三棱柱中，是棱的中点，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2. （1）求的方程； （2）若斜率为的直线交于，两点，线段的中点为，求的取值范围. 19. 已知双曲线E：的中心为坐标原点O，左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，且. （1）求双曲线E的渐近线方程； （2）若直线与直线：交于点C，点D是双曲线E上一点，且满足，记直线CD的斜率为，直线OD的斜率为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $