山东省潍坊市某校2025-2026学年高二上学期12月第一次周测数学试题

**基本信息** 高二数学周测试卷聚焦圆锥曲线主题，通过单选、多选、填空及解答题的梯度设计，考查离心率、轨迹方程等核心概念，解答题综合直线与椭圆位置关系，培养推理能力与模型意识，适配阶段性巩固需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|6|双曲线离心率、抛物线焦点距离等|基础概念辨析，如第1题直接考查离心率公式应用| |多选题|2|曲线方程分类、椭圆性质|分类讨论思维，如第7题通过参数取值判断曲线类型| |填空题|3|双曲线定义、抛物线最值等|数学眼光解决问题，如第10题利用导数求距离最小值| |解答题|1|椭圆方程求法、直线与椭圆综合|综合推理与模型应用，如第12题结合韦达定理与面积公式|

数学是打开科学大门的钥匙——培根 姓名 学号 班级 高二数学第一次周测 使用时间：2025年12月 一．单选题 1.双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2.已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 3.中心在原点，顶点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（ ） A． B． C． D． 4.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的半实轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 5.已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 6.已知椭圆的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 二．多选题 7．已知曲线的方程为，则（    ） A．当时，曲线表示一个圆 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 8.已知椭圆C：＝1，且两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上任意一点，以下结论正确的是(　　) A.椭圆C的离心率为 B.△PF1F2的周长为12 C.|PF1|的最小值为3 D.|PF1|·|PF2|的最大值为16 三．填空题 9.设P是双曲线＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|= ． 10．抛物线上的点到直线的距离最小，则点坐标是 ． 11.若直线与双曲线只有一个公共点，则k的取值为 四．解答题 12．已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 第 4 页 共 4 页 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学是打开科学大门的钥匙——培根 青州一中高二数学 姓名 学号 班级 高二数学周测 使用时间：2025年12月 一．单选题[陆唤英选，常国伟审] 1．双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率． 【详解】由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 2.已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 3.中心在原点，顶点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可求出直线与轴的交点，得到双曲线的焦点，再根据条件双曲线为等轴双曲线即可得出结论． 【详解】因为双曲线的中心在原点，顶点在轴上，所以双曲线的焦点在轴上， 又因为双曲线的一个焦点在直线上，令，得， 所以，又，所以等轴双曲线的方程为. 故选：D. 4.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的半实轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 答案　B 解析　设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的上焦点为(0，c)(c>0)，双曲线的渐近线方程为by±ax＝0， 由点到直线的距离公式可得 ＝b＝3， 又双曲线C：＝1(a>0，b>0)的实半轴长为，所以a＝， 所以双曲线C的渐近线方程为3y±x＝0，即y＝±x. 5.已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得点在以，为焦点，的椭圆上，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 由题知，又，则， 所以点在以，为焦点，的椭圆上， 由，得，所以点的轨迹方程为， 故选：B. 6．已知椭圆的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，将转化为，当三点共线时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解. 【详解】由题意，椭圆的左焦点为， 由椭圆定义可得，所以， 因为,故在椭圆内， 所以， 当三点共线时，等号成立. 故选：B 2． 多选题[张永奎选，常国伟审] 7．已知曲线的方程为，则（    ） A．当时，曲线表示一个圆 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 【答案】ACD 【分析】根据双曲线、椭圆及圆的方程判断即可. 【详解】当时，曲线是，故A正确； 当时，曲线表示一个圆，故B错误； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故D正确. 故选：ACD. 8.已知椭圆C：＝1，且两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上任意一点，以下结论正确的是(　　) A.椭圆C的离心率为 B.△PF1F2的周长为12 C.|PF1|的最小值为3 D.|PF1|·|PF2|的最大值为16 答案　BD 解析　椭圆C：＝1，则a＝4，b＝2，c＝＝2. 对于A，e＝，故A错误； 对于B，△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝12，故B正确； 对于C，|PF1|的最小值为a－c＝2，故C错误； 对于D，|PF1|·|PF2|≤＝a2＝16，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时等号成立，故D正确. 三．填空题[常国伟选，陆唤英审] 9.设P是双曲线＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|= ． 解析　由双曲线＝1得 a＝4，b＝2，c＝6， 由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝8. 因为|PF1|＝9，所以|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或17， 若|PF2|＝1，则P在双曲线的右支上，应有|PF2|≥c－a＝2，不成立； 若|PF2|＝17，则P在双曲线的左支上，应有|PF2|≥c＋a＝10，成立. 所以|PF2|＝17. 10．抛物线上的点到直线的距离最小，则点坐标是 ． 【答案】 【分析】设抛物线上的动点坐标为，利用点到直线的距离公式结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设抛物线上的动点坐标为， 则点到直线的距离 ， 当，即时，距离最小值为， 此时点坐标为． 故答案为：． 11.若直线与双曲线只有一个公共点，则k的取值为 【详解】解：双曲线的渐近线方程为，右顶点为. 平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点，k=2或k=-2 方程与双曲线联立， 可得， 由，即，解得， 四．解答题[常国伟选，陆唤英审] 12．已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $