第七讲 基本不等式导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦基本不等式，通过赵爽弦图、半圆模型等几何情境导入，衔接不等式性质，构建从概念辨析到最值应用再到实际问题的学习支架，帮助学生系统掌握基本不等式的证明与应用。 资料题型全面，涵盖概念理解、条件辨析、“1的代换”等八大必考题型，结合几何直观与代数推理培养数学眼光，实际应用题强化数学语言表达，易错点解析助力学生形成严谨思维，有效提升解决不等式问题的能力。

第七讲 基本不等式 【学习目标】1．会证明并熟记基本不等式； 2．会用基本不等式解决不等式的证明问题． 【学习重点】基本不等式． 【学习难点】不等式的证明问题． 必考题型全归纳： 题型一、基本不等式核心概念与公式 知识点 1：重要不等式、基本不等式定义与成立条件 1.重要不等式：，，当且仅当取等； 2.基本不等式（均值不等式）：，； ：算术平均数；：几何平均数；两个正数的算术平均数不小于几何平均数。 3.正数满足： 1．基本不等式表明：两个正数的算术平均数______它们的几何平均数． 【答案】不小于 2．如果，可得____，当且仅当__________时，等号成立. 这个不等式称为基本不等式，其中称为的_________________，称为的_______________.因此，基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为： 两个非负实数的算术平均值________它们的几何平均值. 【答案】 算术平均值 几何平均值 大于或等于 3．（1）如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？    （2）现在我们讨论一种特别的情况，如果，，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？ （3）问题2中得的结论是否对所有的，都能成立？请给出证明． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析； 【分析】（1）根据正方形和直角三角形面积得出不等关系； （2）用，分别替换上式中的a，b可得到； （3）应用做差法或几何法证明结论. 【详解】（1） 正方形的边长，故正方形的面积为，而四个直角三角形的面积为2ab，故有，当且仅当时，等号成立．实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立． （2）用，分别替换上式中的a，b可得到，当且仅当时，等号成立．我们习惯表示成． （3） 方法一  （作差法） ， 即，当且仅当时，等号成立． 方法二  （几何法）如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，，，过点C作垂直于AB的弦DE， 连接AD，BD，故有，故，由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为，由此也可以得出圆的半径不小于半弦．    4．设，为正数，则，，，的大小关系是_________． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可比较, 【详解】∵， ∴， ∴，即，∴， 当且仅当时等号成立，∵，当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为： 知识点 2：均值不等式使用前提辨析 易错点： 1.忽略正数条件（负数不能直接用）； 2.等号取不到（定义域限制，最值失效）； 5．（多选）（多选）下列结论正确的是（    ） A．当且时，的最小值为2 B．当时， C．当时， D．当时，的最小值为2 【答案】BD 【分析】根据基本不等式逐项求解即可. 【详解】对于A，因为，所以 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以取不到最小值2，故A错误； 对于B，因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：BD. 6．（多选）设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据各均值的定义及基本不等式的内容分别判断各选项. 【详解】A选项：， 当且仅当时，等号成立，故A选项正确； B选项：， 当且仅当时，等号成立，故B选项正确； C选项：， 当且仅当时，等号成立，故C选项不正确； 对于D，当时，由C可知，，故D选项不正确；故选：AB． 7．（多选）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 【答案】BC 【分析】根据不等式成立的条件即可判断． 【详解】为重要不等式，其中，A错，B对； 是基本不等式，其中，C对，D错. 故选：BC 题型三：积定求和最小、和定求积最大 1.和定积最大：（定值）； 2.积定和最小：（定值）； 适用前提：两数均为正数，验证等号可取。 8．已知，则的最小值为（   ） A．8 B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式求得最小值． 【详解】因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为.故选：B 9．已知，且，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知得，然后结合基本不等式可求出的最大值. 【详解】因为，且， 所以，当且仅当，即时等号成立，故的最大值为3．故选：C 10．若一个长方形的周长为6，则该长方形面积的最大值为____________. 【答案】 【分析】利用均值不等式即可求最大值. 【详解】设长方形的长、宽分别为，则， 根据均值不等式有：矩形面积，当且仅当时取等号. 故答案为： 11．设正实数m，n，满足，则的最小值为______，则的最大值为______. 【答案】 1 2 【分析】利用基本不等式结合相关变式即可求解，注意等号成立的条件. 【详解】由且得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为1； 由且得， 则，所以的最大值为2.当且仅当时，等号成立. 故答案为：1；2 12．已知在区间上的值域为，则区间为______（写出一个满足要求的区间即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用基本不等式结合对勾函数的性质求解. 【详解】解：， 当且仅当，即时取等号， 由，解得或3， 根据对勾函数的图象知： 在区间内单调递减，在区间上单调递增， 则区间可以为（答案不唯一，满足或均可）． 故答案为：（答案不唯一） 题型四：“1 的代换” 求分式型最值 已知（），求最小值，乘展开再用基本不等式。 13．已加正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】D 【分析】根据条件得到，从而得到，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】因为，显然，得到，所以， 又，为正实数，所以，得到，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故选：D. 14．（多选）已知，，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最大值为8 【答案】BC 【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C选项，两边平方后，利用基本不等式求出答案；D选项，变形得到，D错误. 【详解】A选项，因为，由基本不等式得， 即，故A错误； B选项，因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，B正确； C选项，两边平方得， ，其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， 的最小值为2，C正确； D选项，因为，， 所以，故D错误. 故选：BC 15．（多选）已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式一一判断即可. 【详解】对于A：，，， ，当且仅当，即，时，等号成立， 即的最大值为，故A正确， 对于B：，，， ， 由A可知，，，当且仅当，时，等号成立， 即的最小值为，故B正确， 对于C：，，， ，当且仅当，即，时，等号成立，显然不成立，所以的最大值取不到，故C错误， 对于D，，，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 即的最小值为，故D正确，故选：ABD． 题型五：配凑构造（拆项、凑常数）求最值 对、多项式代数式变形，凑出乘积定值再用均值不等式。 16．已知函数，则函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】将变为，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即，即时取等号．故选：B 17．已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为， 所以， 因为，，所以， 当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为.故选：B. 18．已知，且满足，则（    ） A．的最小值为48 B．的最小值为 C．的最大值为48 D．的最大值为 【答案】A 【分析】对给定式子合理变形，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意得，所以， 所以， 当且仅当时取等，此时，故A正确. 故选：A 题型六、恒成立问题求参数范围 恒成立 ； 恒成立 ； 结合基本不等式求出函数最值，解参数不等式。 19．“”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】不等式对于任意正实数x，y恒成立，则， 则， 当且仅当，即时，取等号，则，即， 解得或（舍去），所以， 当时，成立，反之时，不一定成立， 所以“”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 20．已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，利用基本不等式求得的最小值，进而可得，求解即可. 【详解】因为正实数满足， 所以，则， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，即． 故选：C． 题型七：圆、几何图形推导均值不等式 1.半圆模型：半径（算术平均）≥半弦长（几何平均）； 2.赵爽弦图（国际数学家大会会标）推导； 3.正方形几何模型、直角三角形周长最值。 21．我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于，则这个直角三角形周长的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这个直角三角形的两条直角边长分别为、，利用勾股定理和基本不等式可求得的最大值，由此可得出该直角三角形周长的最大值. 【详解】设这个直角三角形的两条直角边长分别为、，由勾股定理可得， 由基本不等式可得，所以， 即，故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此这个直角三角形周长的最大值为. 故选：C. 22．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆和直角三角形的性质得到、、，结合即可得. 【详解】由，可得半圆的半径， 由，， 所以， ， 由图知，则. 故选：D 题型八、实际应用题型（应用题、单选模型题） 1.费用、运输成本、仓库选址（反比例 + 正比例费用求和最小）； 2.长方形周长定求面积最大、面积定求周长最小； 3.天平称重、黄金购买平均单价比较； 4.几何面积最值（正方形探照灯区域、直角三角形周长）； 解题通用步骤：审题建模→列目标函数→均值求最值→检验等号与实际取值。 23．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地 占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费 （单位：元）与成正比；若在距离车站6km处建仓库，则.要使这家公司的两 项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（    ） A．2km B．3km C．4km D．5km 【答案】B 【分析】设，结合题意求出，从而求出两项费用之和的表达式，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意设，仓库到车站的距离， 由于在距离车站6km处建仓库，则，即， 两项费用之和为， 当且仅当，即时等号成立， 即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3km.故选：B 24．阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量_____20g（填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】大于 【分析】设天平左臂长为，右臂长为，根据题设得，再应用基本不等式求的范围，即可得答案. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，，则， ， ， 故答案为：大于 25．甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是________千米/时． 【答案】50 【分析】依据题意建立函数关系，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】设汽车速度为千米/时，运输成本为， ∴当且仅当，即时，运输成本最小． 故答案为：50 巩固提升： 1．如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4.故选：C 2．已知，则的最大值和最小值分别为______． 【答案】9，1 【分析】分和结合基本不等式求出的范围，再由时，也存在满足的情况，从而可得，进而可求出的范围，则可求出其最值. 【详解】当时，，当且仅当时取等号． 当时，，当且仅当时取等号． 当时，也存在满足的情况， 所以， 由，得， 所以， 由，得， 所以， 当时取得最小值，当时取得最大值， 所以的最大值和最小值分别为9和1. 故答案为：9，1 3．已知a，b为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】将代入，利用基本不等式可求最小值. 【详解】由题意，，又a，b为正实数， 所以由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 4．已知，满足（为常数），若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式，得到，再由，结合题意，得出不等式，即可求解. 【详解】由，且，可得，当且仅当时等号成立， 又由， 因为，所以，即，解得， 所以实数的取值范围为.故选：A. 5．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.故选：D. 6．（多选）已知实数，且，则下列结论正确的是（    ） A．ab的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D． 【答案】BD 【分析】利用基本不等式求最值可判断A；配方法求最值可判断B；应用基本不等式“1”的代换求最值可判断C；常量分类再利用的范围可判断D. 【详解】对于A：，由，则，当且仅当时,等号成立，故A错误； 对于B：因为，，所以， 由，所以当时，有最小值，故B正确； 对于C：由， 当且仅当即，时,等号成立，故C错误； 对于D：由，因为，所以， ，可得，所以，故D正确. 故选： BD. 7．（多选）已知，且，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 【答案】AC 【分析】利用均值不等式以及其常用变式分别判断各个选项的正误即可. 【详解】由均值不等式知：，当且仅当时，等号成立，选项A正确； 因为，故，当且仅当时，等号成立， 即最小值是，选项B错误； ， 当且仅当且，即时，等号成立，选项C正确； ，故， 当且仅当时等号成立， 即的最大值为，选项D错误， 故选：AC． 8．（多选）已知，则（    ） A．的最大值为1 B．的最大值为1 C．的最小值为2 D．的最小值为3 【答案】ABD 【分析】合理对所给选项变形，构造基本不等式处理即可. 【详解】对于A，令，由二次函数性质得当时，取得最大值，此时，故A正确， 对于B，原式可化为，而，当且仅当时取等，故的最大值1，即B正确， 对于C，令，当且仅当时取等，但此时不为实数，故无法取等号，即的无法取到最小值2，故C错误， 对于D，易知，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ABD 9．若，都是正数，则的最小值为______. 【答案】9 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】 （当且仅当时，等号成立）. 故答案为：9. 10．用一根长为l的铁丝制成一个矩形框架，当长和宽分别为多少时，该框架的面积最大？ 【答案】 【分析】由已知结合基本不等式应用条件：和定积最大即可求解. 【详解】设矩形框架的长为，宽为，矩形面积为，由题意可知， 由基本不等式，得，即，当且仅当时，等号成立. 故当矩形的长为，宽为时，该框架的面积最大，最大值为 11．如图，有一块边长为1（单位：百米）的正方形区域，在点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为（其中点分别在边上），设，． (1)用表示出的长度，并探求的周长是否为定值； (2)问探照灯照射在正方形内部区域的面积最大为多少? 【答案】(1)，为定值2 (2)平方百米 【分析】（1）根据，，求出，进而得到，根据勾股定理即可求出，计算即可求出定值； （2）根据，结合基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由，得，可得， ， ，， ， 的周长为定值． （2） ， 当且仅当，即时等号成立． 所以探照灯照射在正方形内部区域的面积最大为平方百米． 12．近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 【答案】C 【分析】分别计算甲､乙购买猪肉的平均单价，作商法，结合基本不等式比较它们的大小. 【详解】甲购买猪肉的平均单价为：， 乙购买猪肉的平均单价为：， 显然， 且， 当且仅当时取“=”， 因为两次购买的单价不同，即， 所以，即乙的购买方式平均单价较大.故选：C. 13．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据基本不等式即可求解A，根据作差法即可求解B，利用不等式的性质即可求解C,由绝对值不等式的性质即可求解D. 【详解】由于，由基本不等式得，A正确； 由题意得， 由于与1的大小未知，故不一定成立，B错误； 因为，所以，则，C正确； 由，所以，故，D错误．故选：AC ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七讲 基本不等式 【学习目标】1．会证明并熟记基本不等式； 2．会用基本不等式解决不等式的证明问题． 【学习重点】基本不等式． 【学习难点】不等式的证明问题． 必考题型全归纳： 题型一、基本不等式核心概念与公式 知识点 1：重要不等式、基本不等式定义与成立条件 1.重要不等式：，，当且仅当取等； 2.基本不等式（均值不等式）：，； ：算术平均数；：几何平均数；两个正数的算术平均数不小于几何平均数。 3.正数满足： 1．基本不等式表明：两个正数的算术平均数______它们的几何平均数． 2．如果，可得____，当且仅当__________时，等号成立. 这个不等式称为基本不等式，其中称为的_________________，称为的_______________.因此，基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为： 两个非负实数的算术平均值________它们的几何平均值. 3．（1）如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？    （2）现在我们讨论一种特别的情况，如果，，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？ （3）问题2中得的结论是否对所有的，都能成立？请给出证明． 4．设，为正数，则，，，的大小关系是_________． 知识点 2：均值不等式使用前提辨析 易错点： 1.忽略正数条件（负数不能直接用）； 2.等号取不到（定义域限制，最值失效）； 5．（多选）（多选）下列结论正确的是（    ） A．当且时，的最小值为2 B．当时， C．当时， D．当时，的最小值为2 6．（多选）设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 题型三：积定求和最小、和定求积最大 1.和定积最大：（定值）； 2.积定和最小：（定值）； 适用前提：两数均为正数，验证等号可取。 8．已知，则的最小值为（   ） A．8 B．0 C．1 D． 9．已知，且，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．若一个长方形的周长为6，则该长方形面积的最大值为____________. 11．设正实数m，n，满足，则的最小值为______，则的最大值为______. 12．已知在区间上的值域为，则区间为______（写出一个满足要求的区间即可）． 题型四：“1 的代换” 求分式型最值 已知（），求最小值，乘展开再用基本不等式。 13．已加正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．10 D．11 14．（多选）已知，，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最大值为8 15．（多选）已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 题型五：配凑构造（拆项、凑常数）求最值 对、多项式代数式变形，凑出乘积定值再用均值不等式。 16．已知函数，则函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 17．已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 18．已知，且满足，则（    ） A．的最小值为48 B．的最小值为 C．的最大值为48 D．的最大值为 题型六、恒成立问题求参数范围 恒成立 ； 恒成立 ； 结合基本不等式求出函数最值，解参数不等式。 19．“”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型七：圆、几何图形推导均值不等式 1.半圆模型：半径（算术平均）≥半弦长（几何平均）； 2.赵爽弦图（国际数学家大会会标）推导； 3.正方形几何模型、直角三角形周长最值。 21．我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于，则这个直角三角形周长的最大值为（  ） A． B． C． D． 22．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 题型八、实际应用题型（应用题、单选模型题） 1.费用、运输成本、仓库选址（反比例 + 正比例费用求和最小）； 2.长方形周长定求面积最大、面积定求周长最小； 3.天平称重、黄金购买平均单价比较； 4.几何面积最值（正方形探照灯区域、直角三角形周长）； 解题通用步骤：审题建模→列目标函数→均值求最值→检验等号与实际取值。 23．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地 占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费 （单位：元）与成正比；若在距离车站6km处建仓库，则.要使这家公司的两 项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（    ） A．2km B．3km C．4km D．5km 24．阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量_____20g（填“大于”“小于”或“等于”） 25．甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是________千米/时． 巩固提升： 1．如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的最大值和最小值分别为______． 3．已知a，b为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 4．已知，满足（为常数），若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知实数，且，则下列结论正确的是（    ） A．ab的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D． 7．（多选）已知，且，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 8．（多选）已知，则（    ） A．的最大值为1 B．的最大值为1 C．的最小值为2 D．的最小值为3 9．若，都是正数，则的最小值为______. 10．用一根长为l的铁丝制成一个矩形框架，当长和宽分别为多少时，该框架的面积最大？ 11．如图，有一块边长为1（单位：百米）的正方形区域，在点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为（其中点分别在边上），设，． (1)用表示出的长度，并探求的周长是否为定值； (2)问探照灯照射在正方形内部区域的面积最大为多少? 12．近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 13．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $