精品解析：重庆市松树桥中学校2024-2025学年八年级下学期数学第一次定时作业

重庆市松树桥中学校初2026届八年级（下）第一次定时作业 数学试题 本试卷共7页，满分150分，考试时长120分钟 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分），在每小题的下面都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组数中是“勾股数”的一组是（ ） A. 1，， B. 0.3，0.4，0.5 C. 5，12，13 D. 2，2，3 3. 下面给出四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A. 3：4：4：3 B. 2：2：3：3 C. 4：3：2：1 D. 4：3：4：3 4. 如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 5. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 估算的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 7. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，……，则第⑦个图形棋子的个数为（ ） A. 76 B. 96 C. 106 D. 116 9. 在平行四边形中，对角线交于点O，如果，，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，为上的两点，，为外一点，且，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（本小题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：_____________． 12. 直角三角形两边长为和，则第三边长为__________ 13. 若最简二次根式、是同类二次根式，则______． 14. 使代数式有意义的x的取值范围是______________. 15. 如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 16. 若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的整数a的值的和为_______ 17. 如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则_________． 18. 对于任一个四位正整数，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字减去十位数字的差等于百位数字减去个位数字的差，且都等于3，则称为“幸福数”，例如：，，，，互不相等，且，是“幸福数”．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称正整数为完全平方数，例如：，则4为完全平方数．若一个“幸福数”为，则____________；若是“幸福数”，记，若是一个完全平方数，则满足条件的“幸福数”的最大值与最小值的差为_____________． 三、解答题（本题共8小题，共78分，第19题8分，其余每小题各10分，解答时每小题给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形包括辅助线，请将解答过程写在答题卡上） 19. 计算 （1） （2）； 20. 如图，四边形是平行四边形，为对角线，于点，连接． （1）尺规作图：过点作于点，连接．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：（请同学们补全证明过程） 证明：，， （①）， 四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， （③）， ， ， 四边形是平行四边形（④） 21. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 22. 已知m，n为实数，且满足m＝，求6m－3n的值． 23. 如图，平行四边形中，点为边上一点，连接，点为的中点，且，点为线段上一点，使，． （1）若，，求的长度； （2）求证． 24. 在学习了勾股定理后，小品对他家附近的一个公园里的音乐喷泉池产生了测量兴趣，如图，音乐喷泉池为四边形，在连线上有一地方性标志物，据了解，修建该喷泉池时要求，四边形为人行观赏步道，小品通过仪器测量得到，在的正西方，在的东北方向，且，在的正南方150米处，恰好又在的南偏东方向，由此他脑海里产生了以下数学问题，请你帮他解决一下．（参考数据：，，，） （1）求、之间的距离（结果保留根号）； （2）小品和姐姐同时从点出发，沿着不同的方向到点汇合，其中小品沿着①的方向步行，姐姐沿着②的方向步行，通过计算说明哪一条路更近？（结果精确到个位） 25. 我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：，那么，那么如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得即，且使即， 那么，双重二次根式得以化简； 例如化简：； 且， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： （1）填空： _________________； __________________； （2）化简：① ② （3）计算： 26. 如图，是的中线，，交于点F，且． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，在（1）的条件下，，设对角线交于点O，过点O作交的角平分线于点Q．与交于P点．求证； （3）如图3，在（2）的条件下，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市松树桥中学校初2026届八年级（下）第一次定时作业 数学试题 本试卷共7页，满分150分，考试时长120分钟 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分），在每小题的下面都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：A、=3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；B、是最简二次根式； C、=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；D、，被开方数含分母，不是最简二次根式． 故选B． 考点：最简二次根式． 2. 下列各组数中是“勾股数”的一组是（ ） A. 1，， B. 0.3，0.4，0.5 C. 5，12，13 D. 2，2，3 【答案】C 【解析】 【分析】验证每组数是否为正整数且较小两数的平方和与最大数的平方是否相等，即可判断是否为勾股数． 【详解】解：A．含，，不是正整数，不是勾股数，故本选项不符合题意． B．三个均为小数，均不是正整数，不是勾股数，故本选项不符合题意． C．5，12，13均为正整数，且，是勾股数，故本选项符合题意． D．2，2，3均为正整数，但，不是勾股数，故本选项不符合题意． 3. 下面给出四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A. 3：4：4：3 B. 2：2：3：3 C. 4：3：2：1 D. 4：3：4：3 【答案】D 【解析】 【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有D能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定． 【详解】解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知D正确． 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法． 4. 如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式，用勾股定理的知识来求解是本题的关键．根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形的面积和正方形的面积分别表示出的平方及的平方，又三角形为直角三角形，根据勾股定理求出的平方，即为所求正方形的面积． 【详解】解：正方形的面积等于225， 即， 正方形的面积为289， ， 又为直角三角形，根据勾股定理得： ， ， 则正方形的面积为64． 故选：． 5. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】通过平行四边形性质，可计算得；再结合AB⊥AC推导得为直角三角形，通过勾股定理计算得，再结合平行四边形性质，计算得到答案． 【详解】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴BO＝DO，AO＝CO， ∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6， ∴∠BAO＝90°，OA＝3 ∴， ∴BD＝2BO＝10， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形、勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形和勾股定理的性质． 6. 估算的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，先将原式化简，再进行估算求值．解题的关键是能准确理解并运用算术平方根知识进行求解．也考查了不等式的性质． 【详解】解：， ∵，即， ∴， ∴， 即的值应在和之间． 故选：B． 7. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理、面积关系及完全平方公式验证各选项． 【详解】解：A、∵大正方形面积为， ∴根据勾股定理得，故A正确． B、∵小正方形面积为，得其边长为， ∴根据图形关系得，故B正确． C、∵大正方形面积等于个直角三角形面积与小正方形面积之和， ∴得， 即，故C正确． D、，且，  ，  ，故D不正确． 8. 图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，……，则第⑦个图形棋子的个数为（ ） A. 76 B. 96 C. 106 D. 116 【答案】C 【解析】 【分析】根据前面的几个图形得出一般规律，然后进行计算． 【详解】通过观察图形得到第①个图形中棋子的个数为1=1+5×0； 第②个图形中棋子的个数为1+5=6； 第③个图形中棋子的个数为1+5+10=1+5×（1+2）=16； … 所以第n个图形中棋子的个数为 当n=7时，=106 故选：C． 点睛：本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 9. 在平行四边形中，对角线交于点O，如果，，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系的应用．熟练掌握平行四边形的性质，三角形三边关系是解题的关键． 如图，由平行四边形，可知，则，即，求解作答即可． 【详解】解：如图， ∵平行四边形， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 10. 如图，在中，，，，为上的两点，，为外一点，且，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可判定②，根据勾股定理与等量代换可得③正确，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④． 【详解】解：①∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确， ②如图，设与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，故②不正确， ③连接， 由①中证明， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，即，故③正确， ④∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，故④不正确． 二、填空题（本小题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【详解】∵ ，且为非负数， ∴ ． 12. 直角三角形两边长为和，则第三边长为__________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题未明确已知两边是否均为直角边，需分两种情况讨论，利用勾股定理计算第三边长. 【详解】解：分两种情况讨论： 当边长为和的边都是直角边时， ∴第三边长为：； 当边长为的边为斜边时， ∴第三边长为：， 综上：第三边长为或. 13. 若最简二次根式、是同类二次根式，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，求出的值即可． 【详解】解：根据题意得， 整理得，， 故答案为：． 14. 使代数式有意义的x的取值范围是______________. 【答案】x≥3且x≠4 【解析】 【详解】根据题意得， 解得x≥3且x≠4 故答案为x≥3且x≠4 15. 如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 【答案】 20 【解析】 【分析】将圆柱侧面展开为矩形，作点关于杯口上沿的对称点，连接即为最短路径，确定直角三角形的两条直角边长，利用勾股定理求解； 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开，作点关于杯口上沿的对称点，连接， 由对称性可得， ， 线段的长即为蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离， 由题意得，，，， ， 在中，由勾股定理得． 16. 若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的整数a的值的和为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．先解不等式组，根据已知求出a的范围，然后解分式方程，根据分式方程的解为非负数确定a的范围，最后找出满足条件的整数a值即可解答． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴， ， ， 解得：， ∵分式方程的解为非负数， ∴且， ∴且， ∴且， ∴满足条件的整数a的值为：， ∴满足条件的整数a的值的和为：， 故答案为： 17. 如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、平行线的性质，由平行四边形的性质得，，再由由折叠的性质得，，，，根据平行线的性质得，进而得，再根据，利用等量代换求得，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 对于任一个四位正整数，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字减去十位数字的差等于百位数字减去个位数字的差，且都等于3，则称为“幸福数”，例如：，，，，互不相等，且，是“幸福数”．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称正整数为完全平方数，例如：，则4为完全平方数．若一个“幸福数”为，则____________；若是“幸福数”，记，若是一个完全平方数，则满足条件的“幸福数”的最大值与最小值的差为_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空根据“幸福数”的定义求出，再计算；第二空根据“幸福数”的定义表示出，化简后结合完全平方数和数位数字的要求，找出所有符合条件的“幸福数”，计算最大值与最小值的差． 【详解】解：∵“幸福数”满足千位数字与十位数字之差、百位数字与个位数字之差都为， ∴， 解得， ∴； 设四位“幸福数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， 根据定义得十位数字，个位数字， ∵，是数位上的数字，需满足，，且，， ∴，，即，， ， ∵是完全平方数， ∴设，其中为正整数， 代入得， 化简得， 由，，得，即， 整理得，符合条件的正整数对应的为，，，，， 对应分别为，，，，， 当时，，，，，四个数字，，，均不相等，符合条件，得； 当时，，，，，四个数字，，，均不相等，符合条件，得； 当时，，，得，不符合数位要求，舍去； 当时，，，，，数字重复，不符合要求，舍去； 当时，，，，，四个数字，，，均不相等，符合条件，得； ∴符合条件的中，最大值为，最小值为，差为． 三、解答题（本题共8小题，共78分，第19题8分，其余每小题各10分，解答时每小题给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形包括辅助线，请将解答过程写在答题卡上） 19. 计算 （1） （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 . 20. 如图，四边形是平行四边形，为对角线，于点，连接． （1）尺规作图：过点作于点，连接．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：（请同学们补全证明过程） 证明：，， （①）， 四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， （③）， ， ， 四边形是平行四边形（④） 【答案】（1） （2）①，②，③，④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求；图略 【小问2详解】 略 21. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论； （2）由三角形的面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形的面积的面积的面积 ． 22. 已知m，n为实数，且满足m＝，求6m－3n的值． 【答案】6m－3n＝5. 【解析】 【分析】根据题意求出m,n即可代入解答. 【详解】因为n2－9≥0,9－n2≥0，且n－3≠0， 所以n2＝9且n≠3， 解得n＝－3，m＝-. ∴6m－3n＝5. 【点睛】本题考查分式和根式化简的条件，能够掌握相关知识是解题关键. 23. 如图，平行四边形中，点为边上一点，连接，点为的中点，且，点为线段上一点，使，． （1）若，，求的长度； （2）求证． 【答案】（1）10 （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，由勾股定理可求出的长，再由线段中点的定义可得答案； （2）连接，证明，得到，再证明，得到，则可证明；可证明，则． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴； 【小问2详解】 略 24. 在学习了勾股定理后，小品对他家附近的一个公园里的音乐喷泉池产生了测量兴趣，如图，音乐喷泉池为四边形，在连线上有一地方性标志物，据了解，修建该喷泉池时要求，四边形为人行观赏步道，小品通过仪器测量得到，在的正西方，在的东北方向，且，在的正南方150米处，恰好又在的南偏东方向，由此他脑海里产生了以下数学问题，请你帮他解决一下．（参考数据：，，，） （1）求、之间的距离（结果保留根号）； （2）小品和姐姐同时从点出发，沿着不同的方向到点汇合，其中小品沿着①的方向步行，姐姐沿着②的方向步行，通过计算说明哪一条路更近？（结果精确到个位） 【答案】（1）米 （2）路线①更近 【解析】 【分析】（1）连接，在中，，米，求得米，再根据，列式计算即可求解； （2）求得，利用勾股定理解直角三角形求得的长，在中，利用勾股定理求得，据此计算即可判断． 【小问1详解】 解：连接， 由题意得，，米， ∴在中，， 由勾股定理得，即， 解得，， ∵， ∴， ∴（米）； 【小问2详解】 解：∵在的东北方向， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴（米）， ∴（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∵， ∴路线①更近． 25. 我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：，那么，那么如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得即，且使即， 那么，双重二次根式得以化简； 例如化简：； 且， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： （1）填空： _________________； __________________； （2）化简：① ② （3）计算： 【答案】（1）；（2）；；（3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）直接利用已知例题进行配方化简即可； （2）①首先提取公因式3，再进行配方化简即可； ②首先提取公因式2，再进行配方化简即可； （3）利用根号下部分乘2进而配方化简即可． 试题解析：（1）； ； （2）①； ② =； （3） = = =． 考点：二次根式的性质与化简． 26. 如图，是的中线，，交于点F，且． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，在（1）的条件下，，设对角线交于点O，过点O作交的角平分线于点Q．与交于P点．求证； （3）如图3，在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 证明：过点Q作于M，作于N，连接，如图： ∵平分， ∴， ∴， ， 由（1）得，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， 即； （3）的长为． 【解析】 【分析】（1）证明得出，证出，由，即可得出四边形是平行四边形； （2）过点Q作于M，作于N， 连接，由角平分线的性质得出，求出，由直角三角形的性质得出由线段垂直平分线的性质得出，证明得出，进而得出结论； （3）由平行四边形的性质得出， 由（2）得出，过C作于K，连接，由直角三角形的性质得出 得出，由线段垂直平分线的性质得出在 中，由勾股定理得出即解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 由（2）得：， ∴， 过C作于K，连接，如图： ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $