2.4 第1课时 一元二次方程的应用（1） 备课包 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

4　一元二次方程的应用 第1课时　一元二次方程的应用(一) 【课堂导入】 课堂设置猜数字趣味活动，给出游戏条件：请找出一个正数，使这个数与它加 3 之后的数相乘，结果等于 28。组织学生动手尝试寻找这个数字，学生尝试用已学的一元一次方程无法完成求解，根据题意列出等式得到一元二次方程 x(x+3)=28。 数学在实际生活中应用广泛，而方程又是描述丰富多彩的现实世界数量关系的最重要的语言，所以我们必须广泛了解现代社会中日常生活、生产实践、经济活动的有关常识，并学会用方程的思想去分析和解决一些实际问题．你还记得列方程解应用题的重要环节是什么吗？ 【教学目标】 课题 第1课时　一元二次方程的应用(一) 授课人 素养目标 1.会通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程． 2．会用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力. 教学重点 通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题. 教学难点 体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型. 授课类型 新授课 课时 【课堂流程】 教学步骤 互动探究 设计意图 回顾 　　同学们，我们都知道方程是解决实际问题的有效数学模型，在七、八年级我们已经积累了利用一元一次方程、二元一次方程组解决实际问题的经验，本节课我们将继续研究利用一元二次方程解决实际问题. 开门见山、直入主题，让学生明确本节课的学习任务与目标，快速进入学习状态， 活动1：创设情境、导入新课 【课堂引入】 提出问题：还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？ (1)在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ (2)如果梯子的长度是13米，梯子顶端与地面的垂直距离为12米，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？分组讨论： ①怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理来列方程？ ②涉及解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底是多少. 以学生熟悉的梯子下滑等问题为素材，从已学的勾股定理中边长的关系切入，用熟悉的情境引入新课，降低学习起点，激发学习兴趣， 续表 教学步骤 互动探究 设计意图 活动2：实践探究、交流新知 【探究新知】 如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 n mile处有一重要目标B，在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点．一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰． 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1 n mile) 分析：此题难度较大，一定要给学生充分的时间去体会题意，分析题意，不能急于求成．在讲解过程中可分为几部分来分解难点．①理解题意；②找准各条有关线段长度的关系；③建立方程模型、求解． 学生活动：读懂题意，自己去理解、分析题目中的已知条件，并在这个前提下看懂图形中各条线段所表示的意思． 教师活动：教师可以设置问题串分解难点： (1)你能用线段来表示补给船、军舰航行的路程吗？二者有怎样的关系？ (2)如果设补给船航行了x海里，如何建立方程？ (3)要用勾股定理建立方程，如何构造直角三角形？ (4)在DF2＋EF2＝DE2中，DE，DF，EF分别是多少？ 学生活动：学生可根据情况选择教师为他们提供的问题串，小组讨论找到题目中的等量关系，设未知数列方程求解，并判断解的合理性． 解：连接DF. ∵AD＝CD，BF＝CF， ∴DF是△ABC的中位线． ∴DF∥AB，且DF＝AB. ∵AB⊥BC，AB＝BC＝200 n mile， ∴DF⊥BC，DF＝100 n mile，BF＝100 n mile. 设相遇时补给船航行了x n mile，那么DE＝x n mile，AB＋BE＝2x n mile， EF＝AB＋BF－(AB＋BE)＝(300－2x) n mile. 在Rt△DEF中，根据勾股定理，得x2＝1002＋(300－2x)2， 解得x1＝200－≈118.4，x2＝200＋(不合题意，舍去)． ∴相遇时补给船大约航行了118.4 n mile. 该部分是学生学习的难点，教学中应给学生充分时间审清题意，通过画图分析各量之间的关系，引导学生抓住等量关系建立方程模型，逐步突破难点；在完整的“审题—建模—求解—检验”过程中，培养学生审题能力和数学建模能力，体会方程解决实际问题的价值。 活动3：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　如图，这是矩形养鸡场的平面示意图，一边靠墙，墙长8 m，另外三面用竹篱笆围成．若竹篱笆的总长为27 m，所围的面积为70 m2，则此矩形养鸡场中，平行于墙面的竹篱笆的长为多少米？ 解：设平行于墙面的竹篱笆的长为x米．依题意，得 x·＝70， 解得x1＝7，x2＝20(不合题意，舍去)． 答：平行于墙面的竹篱笆的长为7米． 例2　如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动(到达点B即停止运动)，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动(到达点C即停止运动)．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，几秒钟后，点P，Q相距6 cm? 解：设y秒后，点P，Q相距6 cm.依题意，得 (6－y)2＋(2y)2＝62， 解得y1＝0(不合题意，舍去)，y2＝. 答： s后，点P，Q相距6 cm. 【变式训练】 我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，题目是：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？” 题意是：如图，有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边的中点，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少？(小知识：1丈＝10尺) 若设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为(x＋1)尺，根据题意列方程为x2＋52＝(x＋1)2. 学生在前面活动中积累的经验可以帮助其较顺利地分析此问题，遇有疑难可通过合作交流解决；通过训练，学生进一步理解建模的重要性，大部分学生能够独立解决问题，体现了由扶到放的教学过程，培养了自主探究与合作交流能力。 活动4：随堂检测 【随堂检测】 1．怎样用一条长的细绳围成一个面积为的矩形区域？能围成一个面积为的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由． 解：设围成的矩形区域一边长为，则相邻的另一边长为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，； 当时，． 能围成一个面积为的矩形区域，矩形区域相邻的两边长度分别为和． 不能围成一个面积为的矩形区域，理由如下： 设围成的矩形区域一边长为，则相邻的另一边长为， 依题意得：， 整理得：， △， 不能围成一个面积为的矩形区域． 2.某种传染病的传染速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 第一轮传染后患流感的人数是：1+x，第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x（1+x）， 而已知经过两轮传染后共有121人患了流感，则可得方程：1+x+x（1+x）＝121． 解得：x1＝10，x2＝﹣12（舍去）. 答：每轮传染中平均一个人传染了10个人. 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 通过精心设计的典型练习题，帮助学生进一步巩固本节所学新知，当堂检测学生对知识的掌握情况， 课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？ (2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说． 教师总结： (1)在几何图形问题中，利用一元二次方程解题的关键是抓住面积、边长、勾股定理等几何等量关系，正确设出未知数，列出方程，求解后要根据图形实际意义检验根的合理性，舍去不符合题意的解． (2)在行程与动点问题中，要先画出示意图，分析动点的运动方向、路程和位置关系，用含未知数的式子表示相关线段长度，再结合几何或路程等量关系列方程，注意分类讨论与取值范围，确保解符合实际情境． 2．布置作业： 教材第52页随堂练习第1题，第54页习题2.4第1～4题. 引导学生自主归纳本节课学习的主要内容，让学生在梳理知识的过程中理清思路、形成体系，深化对用一元二次方程解决几何问题的理解， 教学反思 本节课教学一元二次方程在几何图形、行程及动点问题中的综合应用。教学中我引导学生通过画图分析题意，抓住面积公式、勾股定理、路程公式中的等量关系建立方程模型，注重“审题—画图—建模—求解—检验”完整流程的示范与训练，帮助学生体会方程是刻画现实问题数量关系的重要工具。从课堂表现看，多数学生能够模仿例题完成基本应用题的列方程与求解，对常见的面积、勾股定理等量关系有了初步把握。但课堂中也暴露出一些问题：部分学生对复杂几何图形和动点运动路径的分析不够清晰，不能准确识别其中的等量关系，导致列方程困难；还有学生在解出方程后忽视检验环节，得到不符合实际的根也不会取舍。究其原因，主要是学生缺乏将实际问题“图形化、符号化”的意识和能力。今后教学中我将加强图示分析训练，引导学生养成“先画图、再标量、后列式”的习惯，通过多媒体动态演示动点运动过程，帮助学生直观理解几何关系；同时把“建模—求解—检验”作为规范步骤反复强化，设计由易到难的变式练习，逐步提高学生分析问题、建立模型和解决实际问题的综合能力，渗透数学建模与方程思想． 引导学生结合本节课的学习过程进行教学反思，回顾知识掌握与方法运用情况，总结经验与不足，以便教师在后续教学中优化教学设计、改进教学方法，进一步提升课堂教学效果。 学科网（北京）股份有限公司 $ 4　一元二次方程的应用 第1课时　一元二次方程的应用(一) —— 夯实基础 —— 1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111．若设每个支干长出的小分支的个数是，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在长，宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，则路宽应满足的方程是（　　） A． B． C． D． 3．如图，△中，，，，一动点从出发沿着边以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当为几秒时，△的面积是△面积的（　　） A．1.5 B．2 C．3或1.5 D．3 4．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长，各为　　 米． 5．如图，学校打算用长的篱笆围成一个面积是的矩形生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙，墙长为．求这个生物园边的长． 6.在某月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为128，求这个最小数．（请用方程的知识解答） 7.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？ —— 能力提升 —— 8．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 9．《算术之钥》中记载着一道非常受人喜爱的数学题：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，那么每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少人？设这群人共有人，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在△中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．　　 秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 11．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长，墙对面有一个2米宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长．若养鸡场面积为，设，则列方程得 　　． 12.如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为，梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离可能相等吗？若可能，请求出这个距离；若不可能，请说明理由． 13．日光岩是厦门鼓浪屿的标志性景点．小海制作了一张印有“日光岩”的卡片，如图1，该卡片是边长为的正方形．现有一个长、宽之比为的长方形信封，如图2，其面积为． （1）求长方形信封的长和宽； （2）若不折叠卡片，小海能否将卡片完全放入信封中？请通过计算说明理由． —— 思维拓展 —— 14．某农场要建一个矩形饲养场，两面靠墙位置的墙最大可用长度为25米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在、、上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米． （1）若矩形饲养场的一边长为7米，则　　 米； （2）若矩形饲养场的面积为189平方米，求边的长； （3）矩形饲养场的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 答案详解 1．解：设每个支干长出个小分支， 依题意可列方程：． 故选：． 2．解：根据题意得：， 整理得． 故选：． 3．解：，，， ， 依题意，，， ． △的面积是△面积的， ， 解得． 答：当时，△的面积是△面积的． 故选：． 4．解：设的长度为米，则的长度为米， 根据题意得：， 解得：，， 或， ， 舍去， ，， 答：羊圈的边长，各为20米，20米． 故答案为：20，20． 5．解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：这个生物园边的长为． 6.解：设圈出的四个数中最小数为，则最大的数为， 根据最小数与最大数的乘积为128得： ， ， 解得，（不合题意舍去）， 这个最小数是8． 7.解：设矩形田地的长为步，则宽为步， 依题意，得：， 解得：，， ， ， ， ． 答：矩形田地的长比宽多12步． 8．解：由图可得， ， 故选：． 9.解：根据题意得：， 即． 故选：． 10．解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ， 解得或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ， 解得； ③当时，如图， ， ， 解得，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述，或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 故答案为：或． 11．解：木栏长，且，， ． 根据题意得：． 故答案为：． 12.解：在直角△中，． 设梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离是 ，则，， 根据勾股定理得，， 解得（舍或． 答：当梯子的顶端从处沿墙下滑的距离是时，与点向外移动的距离相等． 13．解：（1）设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， 整理得：， 解得：，（舍去）， 则， 即长方形信封的长为，宽为； （2）若不折叠卡片，小海不能将卡片完全放入信封中，理由如下： ， ， 若不折叠卡片，小海不能将卡片完全放入信封中． 14．解：（1）根据题意得：米． 故答案为：； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：边的长为9米； （3）矩形饲养场的面积不能达到240平方米，理由如下： 假设矩形饲养场的面积能达到240平方米， 根据题意得：， 整理得：， △， 原方程没有实数根， 假设不成立，即矩形饲养场的面积不能达到240平方米． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $