1.2 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定 备课包 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

同步练习 1.2 第2课时 菱形的判定 1．如图，的对角线、交于点，添加以下条件不能证明是菱形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在科技社团活动课上小聪制作了平行四边形相框，为了使相框更加美观，老师建议将其改装为菱形相框，则小聪还需满足的条件是（　　） A． B．平分 C． D． 4．已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点，请你添加一个适当的条件，使四边形是菱形，则添加的条件可以是　　 ．（只需添加一个即可） 5．在中，，，当　　 时，四边形是菱形． 6．如图，在△中，点，，分别是边，，的中点，要想四边形成为一个菱形，应添加的条件是　　 （只需写出一个条件即可）． 7．已知：如图，平行四边形中，平分． 求证：平行四边形是菱形． 8．如图，在平行四边形中，点，分别在，上，与相交于点，且． （1）求证：△△； （2）连接，．请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 9．如图，点、、、在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，，，． （1）求证：△△； （2）当为何值时，四边形为菱形． 答案详解 1．解：、，四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形，故不符合题意； 、， ，即， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形，故不符合题意； 、只能说明△是等腰三角形，不能推导出邻边相等或对角线互相垂直，无法证明平行四边形是菱形，故符合题意； 、四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， 平行四边形是菱形，故不符合题意． 故选：． 2．解：．由图可知，该四边形的四条边都相等， 该四边形一定是菱形， 故该选项不符合题意； 选项中，， 该四边形是一组对边平行，而另一组对边相等， 不一定是平行四边形， 故不一定是菱形， 故该选项符合题意； 选项中，， 该四边形是两组对边分别平行，且一组邻边相等的平行四边形，是菱形， 故该选项不符合题意； 选项中，， 该四边形是一组对边平行且相等，一组邻边相等的平行四边形，是菱形， 故该选项不符合题意， 故选：． 3．解：四边形是平行四边形， 要使四边形成为菱形，还需满足的条件是， 故选：． 4．解：四边形是平行四边形，对角线，相交于点， 可添加的条件为（答案不唯一），使得邻边相等的平行四边形为菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 5．解：当时，四边形是菱形，理由如下： 四边形是平行四边形，，， ，， 又， ， △是直角三角形，且． ， 平行四边形是菱形． 故答案为：5． 6．解：添加， 点，，分别是边，，的中点，， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 7．证明：四边形是平行四边形， ， ． 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形． 8．（1）证明：在中，，， ，， 在△与△中， ， △△； （2）解：如图，添加， 理由：△△； ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形． 9．（1）证明：， ，即， ， ， ， 在△和△中， ， △△； （2）解：作于点， △△， ，， ， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 即当时，四边形为菱形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　菱形的判定 【课堂引入】 小明参加剪纸艺术兴趣班，老师给他布置了一个作业：一张长方形纸片怎样折叠之后剪一次就能得到一个美丽的菱形图案呢？(图片展示)请你帮忙想一想，这是为什么？ 【教学目标】 课题 第2课时　菱形的判定 授课人 素养目标 1.理解菱形的定义可以用来判定，掌握菱形的两个判定方法；会用这些判定方法进行有关论证和计算． 2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养观察能力、动手能力及逻辑思维能力. 教学重点 理解并掌握菱形的定义及其两个判定方法. 教学难点 会用这些判定方法进行有关的论证和计算. 授课类型 新授课 课堂流程 教学步骤 互动探究 设计意图 回顾 1.什么叫作菱形？ 2．菱形具有以下性质： 菱形 3．我们已经学过了菱形的一种判定方法，你知道是什么吗？ 复习菱形的定义及性质，为学习菱形的判定做好铺垫. 活动1：创设情境、导入新课 【课堂引入】 由菱形的定义来判定菱形。 学生活动：回顾菱形的定义与已有性质。 教师活动：点明菱形的定义既可以得到菱形的性质，同时也是判定菱形的第一种方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 思考：除了利用定义判定，类比我们之前探究平行四边形判定的思路，从边、对角线的角度出发，想一想，我们还能得到哪些判定菱形的方法？ 引入新课，激发学生的内在需要和好奇心. 活动2：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．四边相等的四边形是菱形． 教师活动： 问题：我们如何画一个菱形呢？通常先画两条等长的线段AB，AD，然后分别以点B，D为圆心，AB的长为半径画弧，得到两弧交点C，连接BC，CD即可． 学生活动： (1)观察画图的过程，你能说明得到的四边形为什么是菱形吗？学生思考后，展开讨论寻找原因． 原因：该四边形四条边相等，即有两组对边相等． 它首先是一个平行四边形，又有一组邻边相等，根据菱形定义即可判定． (2)你能得出什么结论？ 学生得出从一般的四边形直接判定菱形的方法：四边相等的四边形是菱形． 猜想1：四边相等的四边形是菱形． 已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA. 求证：四边形ABCD是菱形． 证明：∵AB＝CD，BC＝AD， ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)． 又∵AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)． 2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 回顾菱形性质 “菱形对角线互相垂直”，提出逆向思考：反过来，如果一个平行四边形对角线互相垂直，它是不是菱形？ 已知平行四边形ABCD，对角线(AC⊥BD)交于点O。 由平行四边形得到(OA=OC)；结合(AC⊥BD)，由线段垂直平分线性质得到\(AB=BC)。 根据菱形定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，完成推导。 猜想：当平行四边形的两条对角线互相垂直时，这个平行四边形就是菱形。 (3)你能证明你的猜想吗？学生演示证明． 猜想2：如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形． 已知：在▱ABCD中，对角线AC，BD互相垂直． 求证：▱ABCD是菱形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)． 又∵AC⊥BD，∴BD所在直线是线段AC的垂直平分线．∴AB＝BC. ∴平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形). 从直观操作的角度去发现问题，使探究的问题形象化、具体化，培养学生的形象思维能力． 活动3：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　(教材第8页例2)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1.求证：▱ABCD是菱形． 证明：在△AOB中，∵AB＝，OA＝2，OB＝1， ∴AB2＝AO2＋OB2. ∴△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°. ∴AC⊥BD. ∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)． 例2　如图，在中，点、分别在边、上，，与相交于点． （1）求证：； （2）如果，．求证：四边形是一个菱形． 证明：平行四边形， ，，， 且， △△， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． （2）证明：， ，， ， ， ， 由（1）知，四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形． 【变式训练】 如图，在平行四边形中，边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接，． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 证明：（1）四边形是平行四边形， ， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ； （2）， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形． 通过证明思路的探寻和分析，进一步巩固对菱形判定定理的理解和应用. 活动4：课堂检测 【随堂检测】 1．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列条件，不能使其成为菱形的是（　C　） A． B． C． D．平分 2．在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，点在坐标平面内，若以，，，四点为顶点的四边形为菱形，则点的坐标为 　或　 ． 3．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，已知AB＝AC＝4，∠ABC＝60°. (1)求证：▱ABCD是菱形． (2)求BD的长． 解：(1)证明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形． ∴AB＝BC. ∴▱ABCD是菱形． (2)∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2. ∴OB＝＝2. ∴BD＝2OB＝2×2＝4. 及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强练习，达到全面提高的目的. 课堂小结 1.课堂小结： (1)这节课你学到了哪些知识？菱形有几种判定方法？ (2)学习完本节课，你还有哪些感到困惑的地方？ 2．布置作业： 教材第9～10页习题1.2第6，7题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力. 教学反思 　　本节课围绕菱形判定方法展开教学，结合定义推导定理，紧扣几何论证逻辑，整体达成教学目标。课堂存在探究环节不够充分、学生参与度不均等问题，部分学生对判定条件理解不透彻，解题思路不够清晰。后续将优化探究流程，强化实例辨析，细化分层指导，规范推理步骤，提升学生几何判定与逻辑思维能力。 课堂上，虽然能够引导学生从菱形的定义出发，逆向思考得到新的判定定理，但探究活动留给学生独立观察、猜想、说理的时间偏少，大多还是由教师引导推进，小组互动流于形式。课堂提问集中在少数基础较好的学生身上，学困生缺少表达思考的机会，导致部分学生分不清判定定理的前提条件，容易忽略 “平行四边形” 这一关键，出现直接用对角线垂直就判定四边形是菱形的错误。在例题练习中，不少学生能记住判定结论，却不会书写严谨的几何推理过程，条件堆砌、逻辑跳步的现象较为突出。 今后教学中，会给学生充足的动手、猜想、交流时间，借助操作或者逆向推理充分经历定理生成过程；增加判断题、易错题辨析，帮助学生厘清各个判定的前提；设计梯度任务，对不同层次学生针对性点拨；课堂加强板书示范，严格要求几何证明的书写格式，引导学生理清 “已知条件 — 选择判定方法 — 推导结论” 的解题链条，真正落实学生的逻辑推理素养。 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $