3.4 构造函数法解决导数不等式问题（精练）-备战2027届高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

**基本信息** 聚焦构造函数法解导数不等式，通过19道题系统覆盖奇偶性构造、导函数不等式转化、大小比较等题型，强化数学思维与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|14题|含奇偶性函数构造、导函数不等式（如f'(x)+f(x)形式）、数值大小比较|以导数研究函数单调性为核心，结合函数奇偶性、已知不等式构造新函数，形成"条件分析-构造函数-单调性判断-解不等式"逻辑链| |综合提升|5题|含同构变形、不等式证明、含参问题|深化构造思想，通过典例展现从具体问题到抽象函数模型的转化，体现数学语言表达与问题解决能力|

3.4 构造函数法解决导数不等式问题（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，最后利用这些性质即可求解. 【详解】令，则， 因为当时，，所以在上单调递增， 又因为是奇函数，且图象连续不断，所以是偶函数， 由于，所以， 因为等价于，得，解得或， 因此不等式的解集为. 2．（2026高一·全国·专题练习）若是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，由其单调性即可判断. 【详解】由题意构造函数， 则＝， 因为导函数满足， 所以，所以在R上单调递减， 所以，，即，， 所以. 故选：D. 3．（25-26高二下·山东聊城·阶段检测）设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，构造函数，求导结合已知得其单调性，进而可得当时，，当时，，结合奇函数的性质即可进一步得解. 【详解】当时，令，则，所以在上单调递增， 当时，，即， 当时，，即， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 当时，，当时，， 所以不等式的解集为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是构造函数，利用导数得出单调性，从而即可顺利得解. 4．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造函数，利用导数判断其单调性，根据单调性比较其大小. 【详解】设，则，令，得. 当时，，所以在上单调递减， 由，且， 所以，即. 令，所以， 设，，令，得， 当时，，所以在上单调递减， 因为，所以. 又为增函数，所以 ， 即，所以. 5．（25-26高三下·山西·阶段检测）已知是自然对数的底数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建，利用导数判断单调性可得，构建，利用导数判断单调性可证，进而可得，即可得结果. 【详解】构建，则在内恒成立， 可知在内单调递增， 因为， 可知，即； 构建，则在内恒成立， 可知在内单调递增，则，即， 可得，且，则，即； 综上所述：. 故选：B. 6．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）定义在上的函数的导函数为，，若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构造函数，利用导函数的正负与原函数单调性的关系，得到构造函数的单调性，进而求解不等式即可． 【详解】设，，则 ， 因为，则，故， 则单调递增；因为，则； 则等价于，解得； 故的取值范围为． 7．（25-26高二下·甘肃·期末）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别设，和，以及，以及其中，利用导数求得其单调性，结合单调性和的值，得到，和，进而得到答案. 【详解】设，可得， 所以函数在上为单调递减函数，可得， 因为，所以， 即，即，所以； 设，可得， 所以在上单调递减，所以，即， 即当时，，即当时，， 令，可得，所以， 即，所以； 设，可得， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，，即， 令，可得，即， 令，可得， 所以在上单调递增，所以，即， 所以，两边同乘，可得，即， 因为且，所以， 综上可得：，且，所以. 8．（25-26高二下·天津津南·期末）已知函数 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数. 当 时，有 恒成立，且 ，则不等式 的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，由题设条件得到函数的单调性，将原不等式转化为 与 、的大小关系，分段讨论解集. 【详解】设，，求导得， 已知时，，且，因此时， 即在上单调递增. 又是奇函数，因此， 故是偶函数，且在上单调递减. 由得，故. 对原不等式 分两种情况讨论： 当时，不等式两边同乘，得， 两边同除以，得， 因为在上单调递增，故； 当时，不等式两边同乘，得， 两边同除以，得， 因为在递减，故. 综上，不等式的解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·四川德阳·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用对数函数和指数函数的性质可判断AB，通过作差法，构造函数，并利用导数讨论函数的单调性可判断CD. 【详解】由，得，即，所以， 所以，则，即；A对， 又，所以，B对， ， 令， ∴， ∴当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴，∴，即， ，C错，D对. 10．（25-26高二下·河北保定·期末）下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C．（为自然对数的底数） D． 【答案】BCD 【分析】通过构造函数，利用导数研究函数的单调性从而判断各个选项 . 【详解】对于A，令函数 ，求导得 令函数，求导得，函数是上的增函数， 即 是 上的增函数，且，当时 ，当时 ， 因此函数 在上递减，在上递增，，即 ，A错误； 对于B，由选项A知，当时，，即当时，， 因此 ，即 ，B正确； 对于C，令函数 ，求导得 ， 当 时，单调递增， 当 时，单调递减， 因此，则，即 ，C正确； 对于D，由选项C得，，则，即 ，D正确. 11．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用导数研究在上的单调性，结合得，利用零点存在性有，逐项判断即可求解. 【详解】由，得， 即，令，即， 所以，令，解得， 当时，，所以在单调递增， 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 又， 所以存在唯一的正根，即，所以， 所以，故A正确； 由，在单调递增，所以，故B错误； 由， 因为在上单调递增，所以， 又，所以， 所以，又，所以， 所以，故C正确； 由，令， 所以， 当时，，所以在单调递增， 所以， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·广东深圳·期中）函数是定义在上的奇函数，其导函数记为，当时，恒成立，若，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】构造函数，根据导函数判断其单调性，进而结合奇偶性得出的正负性，即可求解不等式． 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减， 因为，所以， 故当时，； 当时，； 因为函数是定义在上的奇函数， 故当或时，； 当或时，.， 等价于或，得或， 故不等式的解集为． 13．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】整理可得，令，，利用导数分析可知在定义域内单调递减，结合单调性解不等式即可. 【详解】因为，且，可得， 令，，可得， 则， 因为，即， 则，可知在定义域内单调递减， 又因为，则， 即，解得， 所以不等式的解集为. 14．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是______ 【答案】 【分析】构造函数，根据已知讨论导数符号可得单调性，由可得，将不等式转化为，然后利用单调性可解. 【详解】记，则， 因为， 所以当时，，则，在上单调递增； 当时，，则，在上单调递减. 又，即， 所以， 因为， 所以，解得. 所以不等式的解集是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高一·全国·专题练习）证明：. 【答案】要证，且，即证， 又因为． 故只需证明在上恒成立. 令，则． 当时，，；当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ∴，∴，当且仅当时等号成立. ，当且仅当时取等号． 由得，由对数函数及可知， 函数与有唯一交点，因此方程有唯一解.    所以不等式在上恒成立. 令，∴， ∴在上单调递增，，即在上恒成立. . 因此不等式成立. 【分析】先将不等式转化为在上成立，再分别构造函数，，用导数证明及成立，进而可证明不等式成立. 【详解】略 16．（2026高一·全国·专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数． (1) (2) (3) (4) (5)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， (5)， 【分析】对不等式运用不等式性质，结合指数对数性质进行同构变形即可. 【详解】（1）已知，移项可得, 变形为，即. 设，则不等式可化为. （2）由可得，即. 因为，所以不等式可化为. 设，，则不等式可化为. （3）将不等式变形为. 设，，则不等式可化为. （4）由可得，进一步变形为. 设，，则方程可化为. （5）可化为，即，也就是. 设，，则方程可化为. 17．（25-26高三上·福建三明·阶段检测）已知函数. (1)求证：； (2)求函数的极值. 【答案】(1) 令. 由基本不等式，得，当且仅当时等号成立. 又，所以， 故； (2)极大值为，无极小值 【分析】（1）利用基本不等式与余弦函数的值域可证； （2）分区间讨论导函数的符号是关键，其中提取构造函数研究函数的单调性比较大小从而判断符号，得以研究函数的单调性，则可求出函数的极大值. 【详解】（1）略 （2）， 当时，，则， 所以， 当时，， 设，由，则， 所以在上单调递减. 由且， 又，则， 当时，， 当时，且. 又，则. 综上，在上恒大于0，在上恒小于0. 则在单调递增，在单调递减， 因此是在的唯一极大值点，且的极大值为， 故有极大值，极大值为，无极小值. 【点睛】同构函数是解决比较大小问题的一种方法，通过等价变形，比如移项、取对数、同乘以某个因式等等，转化为与的复合函数形式，再利用复合函数的外层函数单调性，去掉外函数，转化为比较与的大小即可.如本题中 与比较大小问题转化为与的同构同型比较大小. 18．（2026·河北邯郸·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，求出函数解析式，求出导数，根据导数的几何意义即可求出切线方程，求出横纵截距即可求解. （2）化为，构造函数，求出，得到函数的单调性，将表达式转化为，根据函数单调性得到不等式并反解，构造函数，利用求出即可求解. 【详解】（1）当时，，， 切线的斜率，， 所以切点坐标为，切线方程为，， 当时，，当时，， 所以直线与轴交点为，与轴交点为， 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为. （2）因为，，， 所以， 可化为：， 即， 令，， 所以为上的单调递增函数， 将， 转化为， 因为为上的单调递增函数，所以， 即，即， 整理有：， 令，， 令，即，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 所以， 因为恒成立， 所以. 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于利用同构的方法对不等式进行变形，构造函数利用函数的单调性解决不等式恒成立问题. 19．（2026·吉林·三模）已知函数． (1)若，判断的单调性； (2)若有唯一零点，求a的取值范围； (3)若，且，证明：． 【答案】(1)在上单调递增． (2)． (3)证明：因为，且，所以，， 令，则，所以，， ，， 所以， 要证，只需证，即证，即证， 即证， 由（1）知单调递增， 所以当时，， 所以． 【分析】（1）由导函数的正负确定单调性； （2），设，然后按，，分类讨论确定的正负得的单调性，并确定零点个数后得出参数范围； （3）已知式变形为，令，则，把表表示，得出，再用分析法证明不等式，分析后需引入新函数，利用导数证明. 【详解】（1）由题意，定义域为，， 所以在上单调递增． （2）定义域为，， 设 ①若，则，，在上单调递增．又，有唯一零点，符合题意； ②若，则，，，在上单调递增．又，有唯一零点，符合题意； ③若，令，，， 当，，，单调递增， 当，，，单调递减， 当，，，单调递增． 又，，， ， 设，， ， 由（1）知在上是增函数， 时，，所以， 所以， 所以在单调递增， ， 即，由零点存在定理可知，使得，不合题意． 综上，． （3）略 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 构造函数法解决导数不等式问题（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·专题练习）若是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则(　　) A． B． C． D． 3．（25-26高二下·山东聊城·阶段检测）设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·山西·阶段检测）已知是自然对数的底数，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）定义在上的函数的导函数为，，若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·甘肃·期末）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·天津津南·期末）已知函数 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数. 当 时，有 恒成立，且 ，则不等式 的解集是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·四川德阳·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·河北保定·期末）下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C．（为自然对数的底数） D． 11．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·广东深圳·期中）函数是定义在上的奇函数，其导函数记为，当时，恒成立，若，则不等式的解集为______． 13．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为________． 14．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高一·全国·专题练习）证明：. 16．（2026高一·全国·专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数． (1) (2) (3) (4) (5)． 17．（25-26高三上·福建三明·阶段检测）已知函数. (1)求证：； (2)求函数的极值. 18．（2026·河北邯郸·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 19．（2026·吉林·三模）已知函数． (1)若，判断的单调性； (2)若有唯一零点，求a的取值范围； (3)若，且，证明：． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $