专题01 知识点8：一元二次不等式的恒（能）成立问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦一元二次不等式恒（能）成立问题，构建“概念-策略-易错-题型”四层方法体系，逻辑递进，适配高考高频压轴题型，培养数学思维与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心概念|1个定义|恒成立问题本质界定|从不等式、函数与方程融合角度定义，建立概念基础| |求解策略|3类方法（含4表格）|判别式法、分离参数法、分类讨论法|按范围（R/给定区间）与类型（恒成立/存在性）分层，结合二次函数性质转化| |易错提醒|2点关键|二次项系数为0的分类、参数分离优先原则|针对解题陷阱，完善逻辑严谨性| |高频题型|5类高考题型|最值转化法、变换主元法|对应中档到较难题型，方法与题型精准匹配| |实战演练|18题（单选8/多选3/填空2/解答5）|典例覆盖核心考法|以题载法，强化运算能力与问题解决能力|

知识点8：一元二次不等式的恒（能）成立问题 一、核心概念 一元二次不等式的恒成立问题是指，对于给定的不等式，在指定范围内对所有 变量都成立，求参数取值范围的问题。这类问题将不等式、函数与方程融为一 体，是高考中的高频压轴题型。 二、恒成立问题的求解策略 1.在实数集R上的恒成立问题 对于一元二次不等式ax+bx+c>0(或<0)在R上恒成立，可直接利用判 别式速解： 不等式类型 恒成立条件 ax2+bx+c>0（a≠0)在R上恒成 a>0且 立 4<0 ax2+bx+c<0（a≠0）在R上恒成 a<0且 立 △<0 ax2+bx+c≥0（a≠0)在R上恒成 a>0且 立 △≤0 ax2+bx+c≤0（a≠0)在R上恒成 a<0且 立 △≤0 2.在给定区间上的恒成立问题 当恒成立条件限定在给定区间时，判别式法不再适用，需转化为函数最值问题 处理： 。设f(x)=ax+bx+c,利用二次函数的图象特征建立不等式（组）求解 或分离参数，将其转化为求一个函数的最值问题： 问题类型 转化方法 Vx,f(x)>m恒成 f(x)min>m 立 x,f(x)sm恒成 分f(xmax<m 立 Hx,f(x)≥m 恒成 ÷f(x)min≥m 立 x,f(x)sm恒成 台f(x)max≤m 立 3.存在性（有解）问题 问题类型 转化方法 3x,f(x)>m有 台fx)max>m 解 3x,f(x)<m有 f(xmin<m 问题类型 转化方法 解 3x,f(x)zm 有 fx)max≥m 解 3x,f(x)sm有 f(xmn≤m 解 三、重要易错提醒 1.二次项系数为0的情形 当关于x的不等式Qx2+bx+c>0未说明为一元二次不等式时，不等式对任意 实数x恒成立应满足的条件为： a>0,或 a=b=0, △<0c>0 2.常用解题策略 。分离参数法：优先考虑！计算简单。把参数单独放一侧：a>g(x),只需 a>g(x)max 。分类讨论法：分a=0、a>0、a<0三种情况，结合对称轴、端点、判别 式求解 四、高考高频考点与题型 题型 核心方法 难度 在R上的恒成立问题 判别式法 中档 题型 核心方法 难度 在给定区间上的恒成立问 分离参数法、最值法 中档偏难 题 给定参数范围的恒成立问 变换主元法 较难 题 存在性（有解）问题 转化为最值问题 中档偏难 二次函数在区间恒成立 分类讨论或分离参数 中档 五、核心口诀 恒成立看判别式和开口，解集已知看韦达，区间最值看对称轴位置。 在R上恒成立。 判别式法 条件总结 核心概念 恒成立问题求解策略。 在给定区间上恒成立。一一 转化为最值问题 常见类型与转化 存在性有解问题0一 转化为最值问题 常见类型与转化 二次顶系数为0的情形 一元二次不等式恒成立问题。 重要易错提醒。 常用解题策略。一 分离参数法 分类讨论法 在R上恒成立 给定区间上恒成立 高考高频考点与题型。 给定参数范围恒成立 核心口诀 存在性有解问题 二次函数区间恒成立 实战演练 一、单选题 1.已知a>0,b>0,若不等式+9≥5m恒成立，则m的最大值为（) a b24a+b A.5B.6C.10 D.25 2.30>b>0,02+b2>a+3b”是假命题，则实数A的最大值为() a-b A.2B.4C.6D.8 3.已知正数x,y满足(x-3)(y-1)=3。若不等式x+3y>m2-m恒成立，则 实数m的取值范围是() A.（-0,-4)U(3,+o0)B.（-0,-3)U(4,+0】 c.（-4,3 D.（-3,4 4.已知不等式 x+2 2x+≥a对于任意的x0恒成立，则正实数。的最 X 大值为() A.10 B.9 C.4V2+5 D.22+5 5.若不等式x+x炒+yz≤k(x+y+z)对任意正实数x,y,z恒成立，则实数 k的最小值为() 1 A.1 B.2 C.3 D.2 6.设函数fx)=(x-a)ln(x+b),若不等式f(x)<0的解集为0，则() A.a+b≤0 B.a+b≥V2 ca+hs号 D.d+bz 1 7,若正实数X,y满足+5=1，且4x+≥a-8a恒成立，则实数a的取值 x y 范围是() A.{a|-2≤a≤8 B.{a|-9≤a≤1} c.{a|-1≤a≤9} D.{a|-8≤a≤2} 8.已知实数x,y>0, 1+4=2,且x+y≥2m-1恒成立，则实数m的取值范 x y 围为() A.( 二、多选题 9.若x>0, 2x2+x+8 ≤m恒成立，则实数m的取值可能是() A6B c D.1 X 10.若对于任意x>1, x2+3X+1 <a恒成立，则实数a的取值可以是() C.2 D.3 1已知Q>0,b0,且2a+b-1,若不等式名行m恒成立，则m的值可 以为（) A.11B.9C.10D.8 三、填空题 12.已知x>0,y>0且x+y=,若+4≥2m2-3m恒成立，则实数m的范 x y 围是 13.若正实数x,y满足x+2y=4,不等式m2+m<2+1 恒成立，则m 3 x y+1 的取值范围是 14已知正实敛a.b满是2a+h≥2，则20+b的最小值为口. 四、解答题 15.已知不等式2+2-x>a的解集为A。若A=R,求实数a的取值范围。 16已知函数fx)=a2+是(（a,b为非零常数) (1)当a=b>0时，求f(x)满足f(x+2)>f(x)的x的取值范围： 2)当a弓，b=号时，若存在x∈(-0,1，对任意x∈0,1，都有 f(x)≥mx-3x2求m的取值范围。 17.已知函数f(x)=x2-mx+n。 ()若关于x的不等式fx)0的解集为{x-1<x<}, 求不等式 nx2+mx+1≥0的解集； (2)当m=2,n=0时，对任意x>0,y>0满足1+2=1，且x+2y-fa2≥0 x y 恒成立，求实数a的取值范围。 18.已知函数f(x)=x2-ax+2,f(x)>0的解集为{x|x<1或x>b}。 (1)求不等式-ax2-bx+2a-5<0的解集； 2)当x>0,y>0,+b=6时，有2x+3y≥k2恒成立，求实数k的取值范 x y 围。 19.已知函数f(x)=(a-2)(2-2x)为偶函数。 (1)求a的值： (2)若f(x)≤m2-m-5恒成立，求实数m的取值范围。 参考答案 一、单选题 1.答案：D 解析：a>0,b>0,1+9≥5m恒成立。 a b4a+b (4a+b) 19 + 变形得 a bo m≤ 5 展开： (4a+b)/+ =4+36a+b+9=13+36a+b。 a b b a b a 由均值： 360+b≥2V36=12,原式最小值为13+12=25。 所以m3号5，ma5 2.答案：C 解析：命题为假-Ya>b>0,a2+入b'≤a+3b 恒成立。 a-b 整理得≤g+3b-a2 b2(a-b）b2 令t号1，代入化简得： 1-- t-1t-1 令u=t-1>0,则t=u+1, g)=u+12+3=u+4+2≥2a+2=6 gt)m=6,故1a=6 3.答案：D 解析：(x-3(y-1=3→y-x-3y=0→3+1-1. x y x+3y=(x+3y /3+1=3+X+9y+326+6=12 x y x+3y 最小值为12；恒成立：12>m2-m→m2-m-12<0→(m-4)(m+3)<0' 解集为-3<m<4。 4.答案：B 解析： x*0,2X+2≥24=4，整体最小值为4+5=9。所以a≤9，正实数a最大 值为9。 5.答案：c 解析：依题意，对任意正实数X,y,不等式k≥X+y+亚恒成立。 x+y+Z 只需出当X,y,2为正数时，m=x+y+2 的最大值。 x+y+Z 因为x,y,z为正实数， 所以4(x+y+z)=3x+ 3x+23x3y+34xy4z =3x++xy 当且仅当子x=3y,子x=y=4,即X=4y=16z时，等号成立， 所以X+网+gx+y+z 所以m=X+y+2s4 x+y+Z 3 又当x=4y=16z>0时， m=X+y+82_16z+8z+4z-4 x+y+Z 16z+4z+z3 所以m++严的最大值为 4 x+y+Z 所以实数k的最小值为专 6.答案：D 解析：f(x)=(x-a)ln(x+b)<0解集为空集，即对定义域内所有x, (x-a)n(x+b)≥0恒成立。 定义域x>-b,两个因式零点为x=a和x=1-b,两零点必须重合： a=1-b→a+b=1° 由柯西不等式：a2+b2≥a+b=1 22 7.答案：C 解析：1+5-1. 4x+皆4x*皆2引4+20x++15+4=9 5八xy y 5x 4x+Y最小值为9：恒成立：9≥a2-8a→a2-8a-9≤0→(a-9)(a+1)≤0，解 得-1≤a≤9。 8.答案：A 解新：乡2安子1 *y*y0*六+2+-号 xt以。是恒成立：是22m-1→2ms号ms号 二、多选题 9.答案：BCD 1 解析：x>0,2x2+x+82x+8+1 .8 X 2x+是8，分母最小值为9，分式最大值为行：恒成立复求m二行可选 61 10.答案：ACD 1 解析：x>1,x2+3x+1X+1+3° X x1时，x+2,分母大于5，分式小于}恒成立要求≥号可选 X 111 5’2’39 11.答案：ACD 解析：2a+b=1。 2+(2a+b)2+=4+2+20+125+4=9 a b a b a b 最小值为9，恒成立要求m≤9，可选8,9,11。 三、填空题 12.答案： 解析：x+y=1。 *y55*40 X V 9≥2m2-3m→2m2-3m-9<0,解得-号≤m≤2。 13.答案：-1<m<) 解析：x+2y=4→ 是*安股 求出最小值为受则m+ m3 解得-1<m<2 14.答案：2+ 2 2 解析：因为正实数a,b满足2a+b≥a+4b_2+1 2ab a 2b' 在不等式的两边同时乘以2a+b得 2a*b8+62a*b1-号+8 a 2b 号*2g9+22-+42-1221 a b 2 2 即 2a+b 22+1=2+2 2 当且仅当 2b-a a b 2a+b=2+1 a 2b a>0,b>0 时，即当a=1,b=2时，不等式0的等号成立。 2 故答案为：2+2 2 四、解答题 15.解： 令t=2>0,则2+2=t+2 +22,最小值为22. 解集A=R,即不等式恒成立，所以a<22。 因此a∈(-oo,22)。 16.解： (1)a=b>0,f(x)=a2*+g 击X*2>fx得：24品>a2+ 约去a>0:42+,1>2+1 42*1 2。 令t=2>0,则4t+>t+1→3t-3>0→t>号 ”4t t 4t 即2”>→x>-1,解集为(-1，+)。 2ab-克fix-是2-2之 22 xe-x.0则2eo1fxs号1 条件：Vx∈(0,1]，mx-3x21≤1。 即-1≤3x2-mx≤1对0<x≤1恒成立。 3x-支ms3x+xe可 g(x)=3x+最小值为23：hx)=3x-最大值为2. 所以2≤m≤2V3。 17.解： (1)f(x)=x2-mx+n<0的解集为-1<x< -1+1=m 韦达定理： 5 →m=- 5,n- 5 不等式：后×-号x+10+4x-5≤0，解集为[-5川 (2)m=2,n=0,f(a)=a2-2a。 由上+2=1得： X V x2y=+2y=1+52+4e9 x+2y=9:恒成立：9≥a2-2a→a-2a-9≤0解得ae[1-10,1+10] 18.解： ()fx)=x-ax+2>0的解集为x<1或x>b 根为x=1和X=b,韦达定理：的2h=2.a=3. 不等式：-32-2x+6-5<0→3x+2x-1≥0解集为-0，-1)u号+∞月 2)3+2=6→1+1-1. 2x 3y 2(x+3y)=2(x+3y 21+号影124 3y 2x 2(x+3ymn=4:恒成立4≥k2与-2≤k≤2 19.解： 1)fx)=(a-2〔2-2)为偶函数，则f-x)=fx f-x=(a-2(2-2)=f(x)=(a-2)(2-2),展开对比系数得a=2 20=2,fx1=2-22-2=5-2+号. 2子4，所以xs5-4=1. 恒成立：1≤m2-m-5→m2-m-6≥0→(m-3)(m+2)≥0，解得m≤-2或m23