4.4 对数函数14题型分类讲义（讲+练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本讲义聚焦对数函数核心知识点，系统梳理概念（定义、特征）、图象性质（定义域、值域、单调性等）及反函数，通过14类题型（含概念判断、定义域、单调性、实际应用等）构建从基础到综合的学习支架，助力学生循序渐进掌握知识脉络。 该资料亮点在于题型分类细致，例题结合航天、溶液酸碱度等实际情境，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过逻辑推理与分类讨论训练数学思维，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用意识与问题解决能力。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 4.4对数函数14题型分类 一、对数函数 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 对数函数的特征 (1)logax的系数是1； (2)logax的底数是不等于1的正数； (3)logax的真数仅含自变量x. 二、对数函数的图象和性质 定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称 趋势 在直线x＝1右侧，a值越大，图象越靠近x轴 在直线x＝1右侧，a值越小，图象越靠近x轴 三、反函数的概念 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定义域. 四、底数对对数函数图象的影响以及图象的特点 (1)对图象的影响：比较图象与直线y＝1的交点，此时直线y＝1与对数函数图象交点的坐标为(a,1)．交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，即沿着直线y＝1由左向右看，底数a增大(如图)： (2)图象的特点：函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象无限靠近y轴，但永远不会与y轴相交；在同一坐标系内，y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称． （一） 对数函数的概念 判断一个函数是对数函数的方法 题型1：对数函数的概念 1．（2026高一·全国·课后作业）下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·课前预习）下列函数表达式中，是对数函数的有（    ） ①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝log2(x＋1)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026高一·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 5．下列函数是对数函数的个数_____ ①    ②    ③    ④ 6．（2026高一·全国·课后作业）函数为对数函数，则________． 7．（2026高一·全国·课后作业）已知为对数函数，，则_______，_______． 8．（2026高一·广东珠海·阶段检测）函数（，且）是对数函数，且过点，则________． （二） 对数型函数的定义域 （1）求对数型函数定义域的原则 ①分母不能为0. ②根指数为偶数时，被开方数非负． ③对数的真数大于0，底数大于0且不为1. ④若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形． (2)从始至今，给定解析式求定义域的限制条件如下: ①分母不为0; ②偶次方根下非负; ③中x≠0; ④对数的真数大于0; ⑤对数、指数的底a满足a>0且a≠1. (3)求定义域时，首先列全限制条件组成不等式组，然后正确解出不等式组，最后结果一定写成集合(包含区间)的形式.　 题型2：对数型函数的定义域 9．（2026高三·宁夏银川·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 10．（2026高一·湖南长沙·期中）函数的定义域为________． 11．（2026高二·浙江温州·学业考试）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 12．（2026高三·江西宜春·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 13．（2026高二·上海奉贤·期末）函数的定义域是______. 14．（2026高一·云南昭通·阶段检测）若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． （三） 与对数有关的函数的值域与最值问题 (1)求与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围． (2)对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； ②求f(x)的定义域； ③求u的取值范围； ④利用y＝logau的单调性求解． 题型3：与对数有关的函数的值域与最值问题 15．（2026高一·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 16．（2026高二·辽宁·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 17．（2026高一·山东临沂·期末）若命题“，”的否定是真命题，则（    ） A． B． C． D． 18．（2026高一·河北承德·期末）函数的最小值为__________． 19．（2026高三·青海西宁·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 20．函数的值域为，则实数a的取值范围是___________． （四） 对数函数的图象及应用 1．对数型函数的图象过定点问题 求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)． 2．根据对数函数的图象判断底数大小的方法 作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 　　　 题型4：对数型函数的图象过定点问题 21．（2026高二·山东日照·期末）函数过定点________． 22．（2026高一·贵州六盘水·期末）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 23．（2026高二·天津河西·期末）函数（且）过定点，则__________. 24．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 题型5：对数型函数的图象的判断 25．（2026高一·广东东莞·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 26．（2026高一·湖南张家界·期末）已知（且且），则函数与的图象可能是（   ） A．B． C．D． 27．函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   28．（2026高一·广东中山·阶段检测）函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 29．（2026高一·浙江舟山·阶段检测）函数（其中是自然对数的底数）的图象大致为（   ） A． B． C． D． 题型6：对数型函数的图象及应用 30．（2026高一·天津河西·期末）已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 31．已知函数（a，c为常数，其中，且）的部分图象如图所示，则下列结论成立的是______．（填序号） ①，；②，；③，；④，． 32．（2026高一·陕西榆林·期末）若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为______. 33．（2026高二·黑龙江大庆·期末）若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数是（   ） A． B． C． D．多于 （五） 对数型函数的单调性 形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)． (2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间． (3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间． 题型7：对数型函数的单调性问题 34．（26-27高三·全国·一轮复习）下列函数中，在区间上单调递减的是（  ） A． B． C． D． 35．（2026高一·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 36．（2026高一·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为______． （六） 比较对数值的大小 比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不相同时，找中间量． 提示：比较数的大小时可先利用性质比较出与0或1的大小． 题型8：比较对数值的大小 37．（2026·重庆·模拟预测）已知，，，比较，，的大小为（     ） A． B． C． D． 38．（2026高二·广东深圳·期末）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 39．（2026高二·浙江温州·学业考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 40．（2026高一·天津·期末）已知，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 41．（2026高二·全国·暑假作业）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． （七） 求解对数不等式 常见对数不等式的2种解法 (1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． 题型9：求解对数不等式 42．（2026高三·广东东莞·阶段检测）不等式的解集（用区间表示）________________． 43．（2026高二·浙江湖州·期末）若（且，且），则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 44．（2026·山东·模拟预测）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 45．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为______. 46．（2026高二·全国·暑假作业）若，则的取值范围是________． 47．（2026高一·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数. (1)求的值； (2)解不等式. 48．（2026高一·福建龙岩·阶段检测）已知函数是指数函数． (1)求的解析式； (2)解不等式． （八） 根据对数型函数的单调性求参数 已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系． 题型10：根据对数型函数的单调性求参数 49．（2026·甘肃金昌·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．（2026高一·湖北·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 51．（2026高一·浙江杭州·期中）函数在R上单调递增，则a的取值范围是______． 52．（2026高一·陕西咸阳·期末）已知且，函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 53．（2026高一·江西新余·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____. （九） 与对数函数有关的函数的奇偶性 要判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看函数的定义域是否关于原点对称．对于形如f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便． 题型11：与对数函数有关的函数的奇偶性问题 54．（2026高一·全国·课后作业） 是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 55．（2026高二·山东德州·期末）“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 56．（2026高一·全国·课后作业）函数的奇偶性是______． 题型12：对数函数性质的综合 57．【多选】已知的定义域为，值域为，则（    ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 58．【多选】（2026高二·四川乐山·期末）已知且，指数函数，对数函数，则（   ） A．若的图象过点，则 B．函数的图象过定点 C．若，则 D．当时，对任意，，都有 59．【多选】（2026高二·山西运城·期末）关于函数，则下列选项正确的是（    ） A．图象关于直线对称 B．在单调递增 C．的值域为 D．有两个零点 60．【多选】（2026高一·湖北荆州·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 题型13：对数函数的实际应用 61．（2026高一·全国·课后作业） 2024年4月25日下午，神舟十八号航天员乘组出征仪式在酒泉卫星发射中心问天阁圆梦园广场举行．叶光富、李聪、李广苏3名航天员领命出征．北京时间2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十八号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道．航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．设火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比．已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；当燃料质量为时，火箭的最大速度为（    ） A． B． C． D． 62．（2026高三·湖北·阶段检测）2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：km/s）与燃料质量（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（   ）（参考数值：，结果精确到kg） A． B． C． D． 63．（2026·广西北海·模拟预测）Deep Seek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若Deep Seek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分为（   ） A．60 B．61 C．62 D．63 64．（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）溶液酸碱度是通过计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度（单位：）．某强酸溶液加水稀释后值增加2，则稀释后溶液中氢离子的浓度与稀释前溶液中氢离子的浓度比值为（    ） A．2 B． C．100 D． （十） 反函数的应用 1、求反函数的步骤 (1)求出函数y＝f(x)的值域； (2)仅解x，即由y＝f(x)解出x＝f－1(y)； (3)把x＝f－1(y)改写成y＝f－1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)． 2、(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (2)若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象自身关于直线y＝x对称． 题型14：反函数的应用 65．（2026高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知对数函数且，且图象过点，的反函数记为，则的解析式是________． 66．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 67．（2026高三·全国·专题练习）设函数，函数的图象与的图象关于直线对称，函数的图象由的图象向右平移1个单位得到，则解析式为________________． 68．（2026高三·全国·专题练习）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 1．（2026高一·全国·课后作业）函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 2．（2026高一·陕西西安·阶段检测）若函数的反函数的图象过点，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 3．（2026高一·甘肃庆阳·期中）若，则的取值范围是 A． B． C． D． 4．（2026高一·湖南长沙·期末）若函数的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A．B． C．D． 5．（2026高二·贵州遵义·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026高一·安徽·阶段检测）定义在上的偶函数在上单调递增，定义在上的奇函数满足当时，.若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（2026高一·新疆喀什·期末）函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 8．（2026高二·浙江温州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026高二·浙江丽水·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．【多选】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）设函数，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D． 11．【多选】（2026高一·广东·阶段检测）与函数的图象关于直线对称的函数为（    ） A． B． C． D． 12．【多选】（2026·山西临汾·模拟预测）下列函数中既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 13．【多选】（2026高一·江苏常州·期末）下列说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．是定义域上的减函数 C．的值域是 D．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件 14．函数的定义域是________. 15．（2026高一·安徽合肥·期末）函数的最小值为______． 16．（2026·上海·模拟预测）若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 17．（2026高一·江苏连云港·阶段检测）设函数. (1)画出函数的图象； (2)若存在不相等的实数，，使，求的值. 18．（2026高二·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 19．（2026高一·山东潍坊·阶段检测）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值； (2)判断的单调性并加以证明； (3)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 20．（2026高二·辽宁·学业考试）已知函数． (1)当时，求的值； (2)若函数的定义域为，求的取值范围； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 21．（2026高一·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 22．（2026高一·吉林长春·阶段检测）已知（，均为常数），且． (1)求函数的解析式； (2)若对，不等式成立，求实数m的取值范围． 23．（2026高一·山西太原·期末）已知函数，且． (1)证明：是奇函数； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 4.4对数函数14题型分类 一、对数函数 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 对数函数的特征 (1)logax的系数是1； (2)logax的底数是不等于1的正数； (3)logax的真数仅含自变量x. 二、对数函数的图象和性质 定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称 趋势 在直线x＝1右侧，a值越大，图象越靠近x轴 在直线x＝1右侧，a值越小，图象越靠近x轴 三、反函数的概念 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定义域. 四、底数对对数函数图象的影响以及图象的特点 (1)对图象的影响：比较图象与直线y＝1的交点，此时直线y＝1与对数函数图象交点的坐标为(a,1)．交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，即沿着直线y＝1由左向右看，底数a增大(如图)： (2)图象的特点：函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象无限靠近y轴，但永远不会与y轴相交；在同一坐标系内，y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称． （一） 对数函数的概念 判断一个函数是对数函数的方法 题型1：对数函数的概念 1．（2026高一·全国·课后作业）下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答. 【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是； 函数是对数函数，C是； 函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是. 故选：C 2．（2026高一·全国·课前预习）下列函数表达式中，是对数函数的有（    ） ①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝log2(x＋1)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】根据对数函数的概念确定正确选项. 【详解】形如（且）的函数为对数函数， 故③④为对数函数， 所以共有个. 故选：B 【点睛】本小题主要考查对数函数的概念，属于基础题. 3．（2026高一·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用对数函数概念可判断. 【详解】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数. 故选：D. 4．（2026高一·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【分析】利用对数函数的定义求解． 【详解】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. 5．下列函数是对数函数的个数_____ ①    ②    ③    ④ 【答案】1 【分析】根据对数函数的定义进行判断即可． 【详解】由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数， 只有④符合. 故答案为：1 【点睛】 本题主要考查函数概念的判断，根据对数函数的定义是解决本题的关键． 6．（2026高一·全国·课后作业）函数为对数函数，则________． 【答案】3 【分析】利用对数函数的定义，列式计算即得. 【详解】函数为对数函数， 则，且，所以. 故答案为：3 7．（2026高一·全国·课后作业）已知为对数函数，，则_______，_______． 【答案】 【分析】设且，根据求出的值，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】设且，则，即，解得， 所以， 所以． 故答案为：， 8．（2026高一·广东珠海·阶段检测）函数（，且）是对数函数，且过点，则________． 【答案】1 【分析】根据函数为对数函数及所过的点列方程求参数，进而求对应函数值. 【详解】由题设，可得，故， 所以. 故答案为：1 （二） 对数型函数的定义域 （1）求对数型函数定义域的原则 ①分母不能为0. ②根指数为偶数时，被开方数非负． ③对数的真数大于0，底数大于0且不为1. ④若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形． (2)从始至今，给定解析式求定义域的限制条件如下: ①分母不为0; ②偶次方根下非负; ③中x≠0; ④对数的真数大于0; ⑤对数、指数的底a满足a>0且a≠1. (3)求定义域时，首先列全限制条件组成不等式组，然后正确解出不等式组，最后结果一定写成集合(包含区间)的形式.　 题型2：对数型函数的定义域 9．（2026高三·宁夏银川·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 10．（2026高一·湖南长沙·期中）函数的定义域为________． 【答案】 【分析】根据对数的真数大于0、分母不为0可得答案. 【详解】要使函数有意义， 只需，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 11．（2026高二·浙江温州·学业考试）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的定义域满足，解得或， 则定义域为． 12．（2026高三·江西宜春·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数有意义建立不等式组求解即可. 【详解】由函数的定义域为， 所以函数要有意义则：，解得：， 所以函数的定义域为：. 13．（2026高二·上海奉贤·期末）函数的定义域是______. 【答案】（或） 【详解】，解得，则此函数的定义域为或. 14．（2026高一·云南昭通·阶段检测）若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用对数函数的性质转化为恒成立问题，再建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以在上恒成立， 当时，，解得，不合题意； 当时，则，解得． 综上实数的取值范围为． （三） 与对数有关的函数的值域与最值问题 (1)求与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围． (2)对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； ②求f(x)的定义域； ③求u的取值范围； ④利用y＝logau的单调性求解． 题型3：与对数有关的函数的值域与最值问题 15．（2026高一·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，由，得， ， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 16．（2026高二·辽宁·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根号下的非负性解不等式，结合对数函数的图像性质即可求解. 【详解】解，得，即集合， 对于，为函数的图像向左平移2个单位，其值域不变为， 即集合，所以. 17．（2026高一·山东临沂·期末）若命题“，”的否定是真命题，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题的否定为真得出，再根据对数单调性计算求解. 【详解】因为命题“，”的否定是真命题，所以命题“，”是真命题， 所以，，所以， 又因为在上单调递增，所以， 所以. 故选：C. 18．（2026高一·河北承德·期末）函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据对数的运算性质得，令，的最小值即为函数的最小值. 【详解】， 令，， ， 所以当时，即时，函数取得最小值. 故答案为：. 19．（2026高三·青海西宁·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数定义域，根据对数运算，再由函数单调性求值域. 【详解】由，解得， 则， 则为增函数，所以． 20．函数的值域为，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】对数函数 的定义域为 ，值域为 ，所以只需使 的正值部分取遍 ．分 ，， 三种情况讨论． 【详解】令 ． 当 时，． 当 时， 可以取遍 ，所以符合题意． 当 时，函数 的图象开口向上． 要使 的正值取遍 ，其最小值必须小于或等于 ． 因为且 ，所以 ，解得 当 时，函数 的图象开口向下， 有最大值，所以它的正值不能取遍 ，不符合题意． 综上，实数 的取值范围为 （四） 对数函数的图象及应用 1．对数型函数的图象过定点问题 求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)． 2．根据对数函数的图象判断底数大小的方法 作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 　　　 题型4：对数型函数的图象过定点问题 21．（2026高二·山东日照·期末）函数过定点________． 【答案】 【分析】利用对数函数（且）的恒成立性质，即可求解. 【详解】令，解得，得， 因此函数恒过定点. 22．（2026高一·贵州六盘水·期末）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 【答案】 【详解】因为，所以，即， 所以函数的图象恒过定点. 23．（2026高二·天津河西·期末）函数（且）过定点，则__________. 【答案】 7 【分析】根据对数函数且恒过定点，令可求得定点坐标，得到，从而求得. 【详解】令，得. 所以函数（且）过定点， 所以， 故. 24．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知， 令，得，代入得， 故函数的图象恒过定点. 题型5：对数型函数的图象的判断 25．（2026高一·广东东莞·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】利用指数函数和对数函数的图象与性质即可得出结果. 【详解】根据函数都是指数函数且为减函数，过点， 又，结合图象可知①函数为，②函数为， 函数为单调递减的对数函数，过，，结合图象可知④函数图象符合. 所以③不是已知函数的图象. 故选：C 26．（2026高一·湖南张家界·期末）已知（且且），则函数与的图象可能是（   ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】当时，，函数与均为减函数，四个图象均不满足， 当时，，函数与均为增函数，排除ACD，在同一坐标系中的图象可能是B. 故选：B． 27．函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由代入可得，进而可得，根据对称性及对数函数图象即可选择符合条件的图象. 【详解】由题意得函数满足，可得． 而函数关于对称， 所以函数的图象为如下，故B正确.    故选：B． 28．（2026高一·广东中山·阶段检测）函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确答案. 【详解】的定义域是， ， 所以是偶函数，图象关于轴对称，CD选项错误. ，B选项错误. 故选：A 29．（2026高一·浙江舟山·阶段检测）函数（其中是自然对数的底数）的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及特殊点的函数值确定正确答案. 【详解】对于函数， 由，解得， 所以的定义域为， ， 所以是奇函数，图象关于原点对称，所以D选项错误. ，由于， 所以，所以C选项错误. ，所以B选项错误. 故选：A 题型6：对数型函数的图象及应用 30．（2026高一·天津河西·期末）已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象的特征分析即可. 【详解】 过点作轴的垂线，交于， 可得：， 过点作轴的垂线，交于， 可得：，解得， 由图象知：， 所以：. 故选：D 31．已知函数（a，c为常数，其中，且）的部分图象如图所示，则下列结论成立的是______．（填序号） ①，；②，；③，；④，． 【答案】④ 【分析】根据对数函数的图象确定单调性，得，再由对应函数值符号得，即可得. 【详解】由图知，函数在定义域内为减函数，所以， 当时，，所以． 故答案为：④ 32．（2026高一·陕西榆林·期末）若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题意，根据对数函数的图象可知，利用对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】由对数函数的性质，得，解得， 则函数的定义域为，又函数的图象经过第一、二、三象限， 所以，即，化简得， 则，解得. 故答案为： 33．（2026高二·黑龙江大庆·期末）若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数是（   ） A． B． C． D．多于 【答案】A 【分析】作出函数的图象与函数的图象，由图象可得交点个数． 【详解】，故为一个周期为2的周期函数，且时，， 且为偶函数， 由题意，同一坐标系内作出函数的图象与函数的图象， 则由图象可得，有个交点， 故选：A． （五） 对数型函数的单调性 形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)． (2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间． (3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间． 题型7：对数型函数的单调性问题 34．（26-27高三·全国·一轮复习）下列函数中，在区间上单调递减的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知函数的性质逐项判断即可． 【详解】对于，在上单调递增，不符合题意，故A错误； 对于，在上单调递减，符合题意，故B正确； 对于，在上单调递增，不符合题意，故C错误； 对于，，则 在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，故D错误． 35．（2026高一·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的定义域，根据复合函数单调性的求法，结合二次函数、对数函数的性质，即可得答案. 【详解】由题意得，令，解得或， 的定义域为， 设，， 根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又因为在为增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. 36．（2026高一·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为______． 【答案】 【分析】根据复合函数单调性同增异减求得正确答案. 【详解】， 由，即，解得. 函数的图象开口向下，对称轴是，在上递增， 而在上递减， 根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递减区间是. 故答案为： （六） 比较对数值的大小 比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不相同时，找中间量． 提示：比较数的大小时可先利用性质比较出与0或1的大小． 题型8：比较对数值的大小 37．（2026·重庆·模拟预测）已知，，，比较，，的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对数函数在定义域上单调递减， 由于，因此，即； 对数函数在定义域上单调递增， 由于，因此，即； 指数函数在定义域R上单调递减，由，因此， 综上可得. 38．（2026高二·广东深圳·期末）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，分别判定、、与、的大小关系，即可比较三者大小. 【详解】，，， 故. 39．（2026高二·浙江温州·学业考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断，，的范围，再比较大小即可求解. 【详解】因为在单调递减，， 所以， 因为在上单调递增，， 所以， 因为在上单调递减，， 所以， 即，，， 所以. 40．（2026高一·天津·期末）已知，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求的范围，由此比较的大小即可. 【详解】因为函数为减函数，， 所以，即， 因为函数为增函数，， 所以，即 因为函数为减函数，， 所以，即 所以， 故选：A. 41．（2026高二·全国·暑假作业）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指对函数的性质确定，，的范围，利用中间量比大小. 【详解】， ， ，． （七） 求解对数不等式 常见对数不等式的2种解法 (1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． 题型9：求解对数不等式 42．（2026高三·广东东莞·阶段检测）不等式的解集（用区间表示）________________． 【答案】 【详解】需满足：， 解得或，解得，因此， 由于，则 由于函数在上单调递增， 因此上述不等式等价于：， 整理得，解得或， 结合，得， 即得不等式的解集为. 43．（2026高二·浙江湖州·期末）若（且，且），则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以；，所以. 由，因为，， 所以. 综上可得. 故选项D是错误的. 44．（2026·山东·模拟预测）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且对于对数函数在时单调递增， 所以原不等式等价为， 由，等价为，解得或； 由，即，解得， 综上得，所以原不等式的解集为. 45．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为______. 【答案】 【分析】把不等式转化为，结合对数函数的单调性，列出不等式组，即可求解. 【详解】不等式，可化为， 因为在上是增函数， 所以不等式，即为，解得 所以不等式的解集为 46．（2026高二·全国·暑假作业）若，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为函数在上单调递减， 由得， ，解得. 所以的取值范围是. 47．（2026高一·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数. (1)求的值； (2)解不等式. 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据对数函数和指数函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以； （2）当时，， 而，所以； 当时，， 综上：或， 所以原不等式的解集为. 48．（2026高一·福建龙岩·阶段检测）已知函数是指数函数． (1)求的解析式； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的定义令，解出即可求解； （2）由（1）得，利用对数函数的单调性解不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得：令，即，解得或（舍去）， 所以； （2）由（1）有：， 又因为在单调递增， 所以，解得， 所以原不等式的解集为：. （八） 根据对数型函数的单调性求参数 已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系． 题型10：根据对数型函数的单调性求参数 49．（2026·甘肃金昌·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知函数在上单调递减，且， 所以，所以. 50．（2026高一·湖北·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用复合函数单调性结合对数函数单调性列式计算求解参数. 【详解】∵在上单调递减，∴在上单调递增，∴. 51．（2026高一·浙江杭州·期中）函数在R上单调递增，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】通过保证左段二次函数对称轴在1的右侧、右段对数函数底数大于1，以及分段点处左极限不大于右函数值，即可解得a的取值范围. 【详解】因为在上单调递增， 所以对于时，单调递增， 即，解得， 对于时，单调递增， 即， 且，即，解得， 综上，a的取值范围是 52．（2026高一·陕西咸阳·期末）已知且，函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意列出关于a的不等式组即可即可求解. 【详解】由题可得当时，在上单调递增， 又为减函数，所以， 当时，在上单调递增，所以， 因为函数在上单调递增，则， 综上可得，解得. 故选：B. 53．（2026高一·江西新余·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用二次函数单调性和对数函数单调性，结合分段点的取值大小，即可求出参数范围. 【详解】由图象的开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而函数在为增函数， 则由在上单调递增，可得， 解得：. 故答案为： （九） 与对数函数有关的函数的奇偶性 要判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看函数的定义域是否关于原点对称．对于形如f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便． 题型11：与对数函数有关的函数的奇偶性问题 54．（2026高一·全国·课后作业） 是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性列式，结合对数运算律求参，最后代入检验即可判断. 【详解】因为是奇函数,所以 所以 所以所以或; 当时, 无意义不成立; 当时, ,是奇函数成立; 故选:A. 55．（2026高二·山东德州·期末）“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义，求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】为奇函数， 此式子对于定义域内的任意皆成立，必有 则 故“”是“为奇函数”的充分不必要条件,正确. 故选： 56．（2026高一·全国·课后作业）函数的奇偶性是______． 【答案】奇函数 【分析】先求函数的定义域，再判断即可. 【详解】由， 函数的定义域为，关于原点对称， 又 所以函数是奇函数， 故答案为：奇函数. 题型12：对数函数性质的综合 57．【多选】已知的定义域为，值域为，则（    ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 【答案】AD 【详解】对于A，因为定义域为，只需要恒成立， 所以判别式，即， 所以真数不能取遍所有正实数，所以，故A正确； 对于B，若，即， 化简， 故解得，故B错误； 对于C，，因为与无关，所以， ，故不恒过定点，故C错误； 对于D，若在上单调递减，只需要在上单调递减， 且，即，解得，故,故D正确. 58．【多选】（2026高二·四川乐山·期末）已知且，指数函数，对数函数，则（   ） A．若的图象过点，则 B．函数的图象过定点 C．若，则 D．当时，对任意，，都有 【答案】BCD 【详解】对于A，因为的图象过点，所以，又，所以， 所以，，所以，则，故A错误； 对于B，，当时，，即函数的图象过定点，故B正确； 对于C，因为，所以，解得，则在上单调递增， 又，，则，故，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确. 59．【多选】（2026高二·山西运城·期末）关于函数，则下列选项正确的是（    ） A．图象关于直线对称 B．在单调递增 C．的值域为 D．有两个零点 【答案】AD 【分析】先得到函数定义域为，由，即可得到图象关于直线对称，即可验证A项；令内层函数， 时，单调递减，根据复合函数“同增异减”得到在单调递减，即可验证B项；先由复合函数的单调性原则得到函数的单调性，即可验证C项；令，解得，即可验证D项. 【详解】函数 需满足，即定义域为， 由对数的运算法则得到， 对于A项，因为， 所以，即图象关于直线对称，故A正确； 对于B项，令内层函数，开口向下，对称轴， 时，单调递增，时，单调递减， 因为外层函数在单调递增， 所以根据复合函数的单调性得到在单调递减，故B错误； 对于C项，根据复合函数的单调性得到在单调递增， 所以当时，函数有最大值， 又因为当或时，函数，， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D项，令，即，得到， 整理得到，解得， 所以函数有两个零点，故D正确. 60．【多选】（2026高一·湖北荆州·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 【答案】AC 【分析】对于A，由的解集为，得为方程的两个根，进而判断；对于B，由对于恒成立，进而判断；对于C，令，根据二次函数的性质结合条件进而判断；对于D，令，由外函数为增函数，得在上单调递增，进而判断. 【详解】对于A，由的定义域为，所以的解集为， 所以为方程的两个根，所以，故A正确； 对于B，由的定义域为，所以对于恒成立， 当时，满足题意， 当时，， 所以，故B错误； 对于C，由的值域为R，令，则， 当时，不满足题意， 当时，， 所以，故C正确； 对于D，由在上单调递增，令， 当时，不满足题意， 当时，二次函数的对称轴为， 由外函数为增函数，所以在上单调递增， 所以对于，恒成立， 所以， 所以，故D错误. 题型13：对数函数的实际应用 61．（2026高一·全国·课后作业） 2024年4月25日下午，神舟十八号航天员乘组出征仪式在酒泉卫星发射中心问天阁圆梦园广场举行．叶光富、李聪、李广苏3名航天员领命出征．北京时间2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十八号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道．航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．设火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比．已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；当燃料质量为时，火箭的最大速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比，可设出函数模型，代入可得函数解析式，进而得解. 【详解】设当燃料质量分别为和时，火箭的最大速度分别为和， 则， 又当燃料质量为时，该火箭的最大速度为， 当燃料质量为时，该火箭的最大速度为， 所以，解得， 所以． 令，则， 所以． 62．（2026高三·湖北·阶段检测）2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：km/s）与燃料质量（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（   ）（参考数值：，结果精确到kg） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程，化简求得正确答案. 【详解】根据题意，， 令，则， 所以，则， 即 所以. 故选：B 63．（2026·广西北海·模拟预测）Deep Seek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若Deep Seek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分为（   ） A．60 B．61 C．62 D．63 【答案】A 【分析】根据已知条件代入计算求解. 【详解】由题可得，则， 故选：A． 64．（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）溶液酸碱度是通过计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度（单位：）．某强酸溶液加水稀释后值增加2，则稀释后溶液中氢离子的浓度与稀释前溶液中氢离子的浓度比值为（    ） A．2 B． C．100 D． 【答案】D 【分析】根据题意，列出方程，利用对数的运算性质和指对数的互化计算即得. 【详解】设稀释前溶液的值为，氢离子的浓度为， 加水稀释后值为，氢离子的浓度为. 则， 两式相减，可得， 化简得，解得. 故选：D. （十） 反函数的应用 1、求反函数的步骤 (1)求出函数y＝f(x)的值域； (2)仅解x，即由y＝f(x)解出x＝f－1(y)； (3)把x＝f－1(y)改写成y＝f－1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)． 2、(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (2)若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象自身关于直线y＝x对称． 题型14：反函数的应用 65．（2026高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知对数函数且，且图象过点，的反函数记为，则的解析式是________． 【答案】 【分析】根据对数函数的图象经过点，求出底数，最后再求其反函数. 【详解】因为对数函数且的图象经过点， 所以，所以，所以对数函数的解析式为， 所以其反函数为. 故答案为： 66．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的反函数是对数函数，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为函数是且的反函数， 所以且， 令， 因为， 所以函数图象必过定点. 故选：D 67．（2026高三·全国·专题练习）设函数，函数的图象与的图象关于直线对称，函数的图象由的图象向右平移1个单位得到，则解析式为________________． 【答案】 【详解】与的图象关于直线对称的图象所对应的函数为， 再将其图象右移1个单位得到的图象． 68．（2026高三·全国·专题练习）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反函数的定义结合指对互化即可获得． 【详解】由得，． 因此函数的反函数是. 1．（2026高一·全国·课后作业）函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性求值域即可. 【详解】在上是减函数， ，即值域为. 故选：A. 2．（2026高一·陕西西安·阶段检测）若函数的反函数的图象过点，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先求出的反函数，将点代入反函数的解析式求出，进而确定的解析式，即可求出. 【详解】函数的反函数是. 已知反函数的图象过点，则有，解得， 因此原函数为，所以. 故选：D 3．（2026高一·甘肃庆阳·期中）若，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目条件得到不等式计算得到答案. 【详解】，则满足： 解得 故选 【点睛】本题考查了解不等式，意在考查学生对于函数定义域和单调性的应用. 4．（2026高一·湖南长沙·期末）若函数的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出，再利用奇偶性及在的单调性判断即得. 【详解】由函数的图象过点，得，解得， 函数，即的定义域为， ，即函数是偶函数， 当时，在上单调递减，ABD错误，C正确. 故选：C 5．（2026高二·贵州遵义·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质，求得，再由对数函数的性质，求得且，即可求解. 【详解】由指数函数的性质，可得且，所以， 又由对数函数的性质，可得， 且，，所以， 所以. 故选：C. 6．（2026高一·安徽·阶段检测）定义在上的偶函数在上单调递增，定义在上的奇函数满足当时，.若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画出的图象以及的大致图象，根据图象即可求解. 【详解】根据题意可得在上单调递减，且. 因为为奇函数，所以的图象关于原点对称. 画出的大致图象，如图所示，不妨设的图象如图所示， 易得与的函数值异号的区间为，，， 所以不等式的解集是. 7．（2026高一·新疆喀什·期末）函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的真数大于0和分母不为0，列出不等式组求解即可． 【详解】由题可得，即，解得且， 因此，函数的定义域为． 故选：C． 8．（2026高二·浙江温州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，解得，所以， 又因为，所以. 9．（2026高二·浙江丽水·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】指数函数为增函数，且，所以，即. 对数函数在定义域内为减函数，且，所以，即. 因为，所以. 综上，. 10．【多选】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）设函数，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】CD 【分析】分，代值求解即可. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得（舍去）或. 综上所述，或. 故选：CD. 11．【多选】（2026高一·广东·阶段检测）与函数的图象关于直线对称的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，可得函数与的图象关于直线对称，然后根据对数的运算逐个选项判断即可. 【详解】因为函数与的图象关于直线对称， 故只需判断哪个函数与表示同一个函数， 因为函数的定义域为， 选项A的定义域为，故排除A； 选项BCD的定义域均为， 根据对数的运算法则，， 且. 故选：BCD 12．【多选】（2026·山西临汾·模拟预测）下列函数中既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指、对数函数单调性结合单调性性质判断AD；根据偶函数定义结合幂函数单调性或一次函数单调性判断BC. 【详解】对于选项AD：当时，则在上单调递增，故D错误； 且在定义域内单调递增，可知在上单调递增，故A错误； 对于B：因为的定义域为，且，可知为偶函数， 由幂函数性质可知在上单调递减，故B正确； 对于C：因为的定义域为，且，可知为偶函数， 当时，则在上单调递减，故C正确. 13．【多选】（2026高一·江苏常州·期末）下列说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．是定义域上的减函数 C．的值域是 D．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件 【答案】AD 【分析】根据抽象函数的定义域求法判断A，举反例判断B，根据对数函数的性质判断C，根据充分条件、必要条件的定义判断D. 【详解】对于A：因为的定义域为，即，所以， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B：的定义域为，又， 所以是定义域上一定不是减函数，故B错误； 对于C：令，解得或，所以的定义域为， 因为能取到所有的正数，所以的值域是，故C错误； 对于D：当时，， 则函数在区间上为增函数，故充分性成立， 若函数在区间上为增函数，则，故必要性不成立， 综上所述，“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，故D正确. 故选：AD. 14．函数的定义域是________. 【答案】且 【详解】定义域满足，解得且. 故所求定义域为且 15．（2026高一·安徽合肥·期末）函数的最小值为______． 【答案】/ 【分析】利用对数的运算法则与换元法得到，结合配方法即可得解. 【详解】因为， 令，则，则， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 16．（2026·上海·模拟预测）若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 【答案】 【详解】由题意可知，，，，，， 则，， 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意， 所以整数n的取值集合为 17．（2026高一·江苏连云港·阶段检测）设函数. (1)画出函数的图象； (2)若存在不相等的实数，，使，求的值. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）化简函数的解析式，即可作出函数的图象； （2）分析可知，结合对数的运算性质化简可得结果. 【详解】（1）因为，作出函数的图象如下图所示： （2）不妨设，由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则必有，且有，即， 所以，解得. 18．（2026高二·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 【答案】(1)2或； (2). 【分析】（1）对a分类讨论，根据单调性求出函数的最值，即可求解. （2）根据单调性，把对数不等式等价转化一次不等式求解. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增， 当时，， 于是，因此； 当时，函数在上单调递减， 当时，， 于是，因此， 所以a的值为2或. （2）当时，函数在上单调递增，而， 不等式，解得， 所以原不等式的解集为. 19．（2026高一·山东潍坊·阶段检测）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值； (2)判断的单调性并加以证明； (3)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)在区间和单调递增，证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据奇函数的定义，结合对数的运算性质求解即可； （2）根据对数的单调性、单调性的定义进行求解即可； （3）根据奇函数的性质，结合换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为是奇函数， 所以，即，则， 故，则，由于x不恒为常数，则，即， 当时，，不满足题意； 当时，由，得或， 所以的定义域为，关于原点对称， 又，所以满足题意， 综上，． （2）在区间和单调递增，证明如下： 的定义域为， 当时，因为， 令，则，取， 则，即， 因为在其定义域上单调递增，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 因为是奇函数，所以在上也是单调递增， 因此在区间和单调递增； （3）因为为奇函数， 所以由，得， 因为在其定义域上单调递增， 所以在上恒成立，则恒成立， 令，则，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以． 20．（2026高二·辽宁·学业考试）已知函数． (1)当时，求的值； (2)若函数的定义域为，求的取值范围； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，代值计算可得的值； （2）由题意可得，即可求得实数的取值范围； （3）由题意可得对任意的恒成立，由参变量分离法得出，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，． （2）若函数的定义域为，则对任意的恒成立． 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）由题意可知，不等式对任意的恒成立， 所以，，可得， 因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数， 所以，. 因此，实数的取值范围是. 21．（2026高一·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复合函数的单调性判断函数的单调性，由得出，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知在上的最小值不小于在上的最小值，求出函数在上的最小值，对实数的取值进行分类讨论，求出函数在上的最小值，结合题意可得出关于实数的不等式，综合求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，令，， 对任意的，则， 内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 所以在上单调递增， 所以不等式得到， 所以，解得，所以实数的取值范围是． （2）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，所以当时，， 又的对称轴为直线，， 当时，在上单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是． 22．（2026高一·吉林长春·阶段检测）已知（，均为常数），且． (1)求函数的解析式； (2)若对，不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入计算即可得； （2）结合函数定义域，可得对，不等式成立，再结合二次函数性质计算即可得解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 即； （2）由题意可得对，不等式成立， 即对，不等式成立， 即对，不等式成立， 由在上单调递增， 故当时，， 则有. 23．（2026高一·山西太原·期末）已知函数，且． (1)证明：是奇函数； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 因为，且， 即，所以，解得， ， 由解得，的定义域为， 对于任意，都有，且， 是奇函数. (2) 在上单调递减. 证明：设，则， ， ，，， 在上单调递减. (3) 【分析】（1）首先求出的值，即可求出函数解析式，再根据奇偶性的定义证明即可； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）依题意可得任意，不等式恒成立，令，，判断的单调性，即可得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）对任意，不等式恒成立， 即任意，不等式恒成立， 令，， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， ， 实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $