4.5 函数的应用（二）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数零点与方程根的关系这一核心知识点，系统梳理从函数零点定义、判定（零点存在性定理）到求解函数或参数、方程根分布及二分法应用的递进脉络，搭建完整的学习支架。 资料以7大题型分类呈现，典例与变式结合，通过“零点相邻函数”等创新题型培养数学思维，二分法求近似解实例提升数学语言表达能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过过关验收查漏补缺，强化知识应用。

4.5 函数的应用（二） 内 容 导 航 题型1 求函数的零点 题型2 由函数的零点求解函数或参数 题型3 判定函数零点的存在性 题型4 求解方程根的存在性和分布 题型5 由方程根的分布求解函数或参数 题型6 二分法及其适用条件 题型7 二分法求方程的近似解 考 点 演 练 题型1 求函数的零点 解｜题｜知｜识 一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数． 【典例1】函数y＝x2+3x+2的零点是（　　） A．（1，0），（2，0） B．1，2 C．（﹣1，0），（﹣2，0） D．﹣1，﹣2 【变式1】函数f（x）＝x﹣7的零点为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 题型2 由函数的零点求解函数或参数 解｜题｜知｜识 一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数． 【典例1】对于函数f（x）和g（x），设α∈{x|f（x）＝0}，β∈{x|g（x）＝0}，若存在α，β，使得|α﹣β|＜1，则称f（x）与g（x）互为“零点相邻函数”．若函数f（x）＝ex﹣1+x﹣2与g（x）＝x2﹣ax+1互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是 　 　 ． 【变式1】已知函数只有一个零点，则a＝　　 ． 【变式2】已知函数．若方程f2（x）﹣2f（x）+m＝0有5个实数根，则m的取值范围为 　 　 ． 【变式3】设f（x）＝9x﹣3x+1﹣a． （1）当a＝﹣2时，求函数f（x）的零点； （2）若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围． 题型3 判定函数零点的存在性 解｜题｜知｜识 1、函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根． 特别提醒： （1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一． （2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点． （3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点． 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．不存在值域相同，对应关系相同，但定义域不同的两个函数 B．当正整数n越来越大时，的底数越来越小，指数越来越大，的值也会越来越大，但是不会超过某一个确定的常数 C．如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）≤0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点 D．如果sinx＞0，则x是第一象限角或第二象限角 题型4 求解方程根的存在性和分布 解｜题｜知｜识 函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的． 【典例1】方程2x＝﹣x+2的实数解个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】方程的实根的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b，甲纸条的与乙纸条的叠合在一起形成长为81的纸条，则a+b＝　 　 ． 【变式3】已知函数f（x）、g（x）分别为定义在R上奇函数和偶函数，且满足f（x）+g（x）＝2ax（a＞0，a≠1）． （1）若g（1），令函数h（x）＝a2x+a﹣2x+g（x），x∈[﹣1，1]，求h（x）的值域； （2）当t≥0时，讨论关于x的方程f（|x2+2x﹣2|）+f（﹣t|x﹣1|）＝0的根的个数． 题型5 由方程根的分布求解函数或参数 解｜题｜知｜识 函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的． 【典例1】关于x的方程的解集是空集，k＝　 　 ． 【变式1】方程9x+（3+a）•3x+4＝0有解，则a的取值范围是 　 ． 【变式2】已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2，a∈R． （1）求不等式f（x）≥0的解集； （2）若存在m＞1使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围． 【变式3】已知函数y＝ax2﹣（2a+2）x+4． （1）是否存在实数a使得方程y＝0有两个不相等的实数根且成立，若存在求出a的值，若不存在，请说明理由； （2）若关于x的不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞﹣（x2+2）的解集是实数集R，求实数a的取值范围． （3）求关于x的不等式ax2﹣（2a+2）x+4＜8﹣4x的解集． 题型6 二分法及其适用条件 解｜题｜知｜识 二分法 即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念． 【典例1】下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A．f（x）＝2x B． C． D．f（x）＝2x﹣3 【变式1】下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是（　　） A．y＝3x2﹣2x+5 B． C． D． 【变式2】若函数f（x）＝x2﹣4x+m存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则实数m的取值是　　 ． 题型7 二分法求方程的近似解 解｜题｜知｜识 二分法 即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念． 【典例1】那么方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的一个近似解（误差不超过0.02）为（　　） f（1）＝﹣2 f（1.5）＝0.625 f（1.25）＝﹣0.984 f（1.375）＝﹣0.260 f（1.4375）＝0.162 f（1.40625）＝﹣0.054 A．1.4375 B．1.375 C．1.25 D．1.422 【变式1】用二分法求方程3x＝8﹣3x在（1，2）内的近似解时，记f（x）＝3x+3x﹣8，若f（1）＜0，f（1.25）＜0，f（1.5）＞0，f（1.75）＞0，据此判断，方程的根应落在区间（　　） A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，1.75） D．（1.75，2） 过 关 验 收 1.关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若函数没有零点，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣4，+∞） B．（﹣4，+∞） C．（﹣∞，﹣4] D．[4，+∞） 3．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，下列结论正确的是（　　） 注：函数的零点是当函数值取零时自变量的值 A．若f（x），g（x）均为增函数，则y＝f（x）+g（x）也为增函数 B．若f（x），g（x）均为减函数，则y＝f（x）g（x）也为减函数 C．若f（x），g（x）均存在零点，则y＝f（x）g（x）也存在零点 D．若f（x），g（x）均存在零点，则y＝f（x）+g（x）也存在零点 4．张同学在函数章节学习中遇到过许多形形色色的函数，其中有很多函数的形态是具有共性的，于是张同学提出了下面2个猜想，请同学们回答或反驳张同学的猜想． （1）已知函数f（x）＝ex+x﹣2的零点是x1，g（x）＝lnx+x﹣2的零点是x2，证明：； （2）已知函数的零点是x1，证明：． 5．函数的零点所在区间为（　　） A．（﹣1，0） B． C．（1，2） D．（2，3） 6．已知函数f（x）＝x3+2x﹣9在区间（1，2）内有一个零点，且f（x）的部分函数值数据如下：f（1）＝﹣6，f（1.5）＝﹣2.625，f（1.75）≈﹣0.1406，f（1.7578）≈﹣0.0530，f（1.7617）≈0.0090，f（1.7656）≈0.0352，f（2）＝3，要使f（x）零点的近似值精确度为0.01，则对区间（1，2）的最少等分次数和近似解分别为（　　） A．6次，1.75 B．6次，1.76 C．7次，1.75 D．7次，1.76 7．某同学用二分法求函数f（x）＝2x3﹣3x2﹣5的零点近似值时，已将一个零点锁定在区间（2，3）内，则该同学第二次所取的区间是 　 　 ． 8．用二分法求方程的近似解，求得f（x）＝x3+2x﹣9的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 f（x） ﹣6 3 ﹣2.625 ﹣1.459 ﹣0.14 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程x3+2x﹣9＝0的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 9．某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产x百台高级设备需要另投成本y万元，且，每百台高级设备售价为80万元． （1）求企业获得年利润P（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 10．为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为10x元，其他成本投入为20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为f（x）（单位：元）． （1）求单株利润f（x）（单位：元）关于施用肥料x（单位：千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 11．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（2≤x≤6）． （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5 函数的应用（二） 内 容 导 航 题型1 求函数的零点 题型2 由函数的零点求解函数或参数 题型3 判定函数零点的存在性 题型4 求解方程根的存在性和分布 题型5 由方程根的分布求解函数或参数 题型6 二分法及其适用条件 题型7 二分法求方程的近似解 考 点 演 练 题型1 求函数的零点 解｜题｜知｜识 一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数． 【典例1】函数y＝x2+3x+2的零点是（　　） A．（1，0），（2，0） B．1，2 C．（﹣1，0），（﹣2，0） D．﹣1，﹣2 【答案】D 【解答】解：令y＝0，则x2+3x+2＝0，得x＝﹣1，x＝﹣2， 函数y＝x2+3x+2的零点是﹣1，﹣2． 故选：D． 【变式1】函数f（x）＝x﹣7的零点为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【解答】解：令f（x）＝0得x＝7，则f（x）＝x﹣7的零点为7． 故选：B． 题型2 由函数的零点求解函数或参数 解｜题｜知｜识 一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数． 【典例1】对于函数f（x）和g（x），设α∈{x|f（x）＝0}，β∈{x|g（x）＝0}，若存在α，β，使得|α﹣β|＜1，则称f（x）与g（x）互为“零点相邻函数”．若函数f（x）＝ex﹣1+x﹣2与g（x）＝x2﹣ax+1互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是 　 　 ． 【答案】[2，+∞）． 【解答】解：因为f（x）＝ex﹣1+x﹣2，易知f（x）在R上为增函数， 又f（1）＝e0+1﹣2＝0，所以f（x）有唯一零点为1， 令g（x）的零点为x0，依题意知|x0﹣1|＜1，即0＜x0＜2， 即函数g（x）在（0，2）上有零点， 令g（x）＝0， 则x2﹣ax+1＝0在（0，2）上有解， 即在（0，2）上有解， 因为， 当且仅当，即x＝1时，取等号， 所以a≥2． 故答案为：[2，+∞）． 【变式1】已知函数只有一个零点，则a＝　　 ． 【答案】1． 【解答】解：因为只有一个零点， 所以方程只有一个根， 即方程|ax﹣a+1|＝|x﹣1|只有一个根． 若ax﹣a+1＝x﹣1，即（a﹣1）x＝a﹣2，当a＝1时，无解； 当a≠1时，有一解； 若ax﹣a+1＝﹣（x﹣1），即（a+1）x＝a，由a＞0知，方程总有一解， 又无解， 故原方程有一解时，有且只能a＝1． 故答案为：1． 【变式2】已知函数．若方程f2（x）﹣2f（x）+m＝0有5个实数根，则m的取值范围为 　 　 ． 【答案】（0，1）． 【解答】解：因为，所以f（x）的图象如下所示： 因为方程f2（x）﹣2f（x）+m＝0有5个实数根，令t＝f（x）， 则t2﹣2t+m＝0有两个不相等的实数根t1、t2， 则0≤t1＜1且1＜t2＜2，或t1＝2且1＜t2＜2，或t1＝1且1＜t2＜2； 令g（t）＝t2﹣2t+m，当0≤t1＜1且1＜t2＜2时， 则，即，解得0＜m＜1， 当t1＝2且1＜t2＜2，则g（2）＝m＝0，此时t2﹣2t＝0， 解得t1＝2，t2＝0，不符合题意， 当t1＝1且1＜t2＜2，则g（1）＝﹣1+m＝0，解得m＝1， 此时t2﹣2t+1＝0，解得t1＝t2＝1，不符合题意； 综上可得若方程f2（x）﹣2f（x）+m＝0有5个实数根， 则m的取值范围为0＜m＜1． 故答案为：（0，1）． 【变式3】设f（x）＝9x﹣3x+1﹣a． （1）当a＝﹣2时，求函数f（x）的零点； （2）若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）0和log32； （2）． 【解答】解：（1）当a＝﹣2时，f（x）＝9x﹣3x+1+2＝（3x）2﹣3•3x+2， 令（3x）2﹣3•3x+2＝0，解得3x＝1或3x＝2，即x＝0或x＝log32， 所以函数f（x）的零点是0和log32． （2）令t＝3x＞0，因为t＝3x单调递增， 所以，要使函数f（x）有两个不同的零点，只需t2﹣3t﹣a＝0有两个不相等的正根， 记t2﹣3t﹣a＝0的两根为t1，t2， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 题型3 判定函数零点的存在性 解｜题｜知｜识 1、函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根． 特别提醒： （1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一． （2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点． （3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点． 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．不存在值域相同，对应关系相同，但定义域不同的两个函数 B．当正整数n越来越大时，的底数越来越小，指数越来越大，的值也会越来越大，但是不会超过某一个确定的常数 C．如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）≤0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点 D．如果sinx＞0，则x是第一象限角或第二象限角 【答案】B 【解答】解：对于A，设f（x）＝x2，当f（x）∈[0，4]时，x∈[0，2]或x∈[﹣2，2]，故A错误； 对于B，先证明一个不等式，对于任意满足b＞a＞0的实数，bn﹣an＜n（b﹣a）bn﹣1， 因为bn﹣an＝（b﹣a）（bn﹣1+bn﹣2a+bn﹣3a2+…+b•an﹣2+an﹣1）， 将上式中第二个括号内的a换成b， 所以bn﹣an＜（b﹣a）（bn﹣1+bn﹣1+bn﹣1+…+bn﹣1+bn﹣1）＝n（b﹣a）bn﹣1， 整理得，an＞bn﹣1[b﹣n（b﹣a）]①， 设整数n＞1，令，此时满足b＞a＞0的前提条件， 则①式仍成立，即， 所以随n单调递增， 令，代入①式得，， 两边平方得，， 因为n是大于1的整数，所以，故B正确； 对于C，设f（x）＝4﹣x2，x∈[﹣2，2]，则f（﹣2）•f（2）≤0，但函数y＝f（x）在区间（﹣2，2）内没有零点，故C错误； 对于D，当时，sinx＝1＞0，但x不是第一象限角或第二象限角，故D错误． 故选：B． 题型4 求解方程根的存在性和分布 解｜题｜知｜识 函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的． 【典例1】方程2x＝﹣x+2的实数解个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解答】解：令f（x）＝2x﹣（﹣x+2）＝2x+x﹣2，x∈R， 因为y＝2x与y＝x﹣2在R上都是单调递增函数， 所以函数f（x）＝2x+x﹣2在R上单调递增， 所以函数在R上最多有1个零点， 又因为f（0）＝﹣1＜0，f（2）＝4+2﹣2＝4＞0， 且f（x）在（0，2）上连续， 所以函数f（x）的唯一零点在（0，2）内． 故选：B． 【变式1】方程的实根的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：记 则 而28＝a3+b3＝（a+b）•[（a+b）2﹣3ab]＝4（16﹣3ab）， 于是解得（a，b）＝（1，3），（3，1），也即x2﹣15x+27＝27或x2﹣15x+27＝1， 也即x＝0，2，13，15． 因此题中方程有4个实根． 故选：D． 【变式2】甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b，甲纸条的与乙纸条的叠合在一起形成长为81的纸条，则a+b＝　 　 ． 【答案】99． 【解答】解：根据题意得，， 解得a+b＝99． 故答案为：99． 【变式3】已知函数f（x）、g（x）分别为定义在R上奇函数和偶函数，且满足f（x）+g（x）＝2ax（a＞0，a≠1）． （1）若g（1），令函数h（x）＝a2x+a﹣2x+g（x），x∈[﹣1，1]，求h（x）的值域； （2）当t≥0时，讨论关于x的方程f（|x2+2x﹣2|）+f（﹣t|x﹣1|）＝0的根的个数． 【答案】（1）； （2）答案见解析． 【解答】解：（1）∵f（x）+g（x）＝2ax① ∴f（﹣x）+g（﹣x）＝2a﹣x，结合奇偶性即得﹣f（x）+g（x）＝2a﹣x② 联立①②得f（x）＝ax﹣a﹣x，g（x）＝ax+a﹣x， 又，即2a2﹣5a+2＝0，解得a＝2或， 当a＝2或，均有ax+a﹣x＝2x+2﹣x， 则h（x）＝a2x+a﹣2x+g（x）＝a2x+a﹣2x+ax+a﹣x＝（ax+a﹣x）2+（ax+a﹣x）﹣2，x∈[﹣1，1]， 设b＝2x+2﹣x，x∈[﹣1，1]，则设，， 故h（x）＝m（b），而m（b）在上单调递增， b＝2时取最小值m（2）＝4，时，取得最大值， 所以m（b）值域为，即h（x）值域为． （2）∵f（x）＝ax﹣a﹣x为奇函数， 又， ∵y＝ax单调且y＝ax＞0，∴定义域上单调， ∴f（|x2+2x﹣2|）+f（﹣t|x﹣1|）＝0， f（|x2+2x﹣2|）＝﹣f（﹣t|x﹣1|）＝f（t|x﹣1|）， ∴|x2+2x﹣2|＝t|x﹣1|， 当x＝1时，式子为1＝0，显然不成立，故x＝1不是方程的根； 当x≠1时，， 该函数图象是由对勾函数向上平移4个单位后保留x轴及x轴上侧部分，将x轴下侧部分对称到x轴上侧，再将整个图象将右平移一个单位得到，如图所示，结合图象可知： 当t＝0时，函数有两个不同交点，所以原方程有两个不等根； 当0＜t＜2时，函数有四个不同交点，所以方程有四个不等根； 当t＝2时，函数有三个不同交点，所以原方程有三个不等根； 当2＜t＜6时，函数有两个不同交点，所以方程有两个不等根； 当t＝6时，函数有三个不同交点，所以原方程有三个不等根 当t＞6时，函数有四个不同交点，所以方程有四个不等根； 综上所述，当t＝0，2＜t＜6时，原方程有两个不等根； 当t＝2，t＝6时，原方程有三个不等根； 当0＜t＜2，t＞6时，原方程有四个不等根． 题型5 由方程根的分布求解函数或参数 解｜题｜知｜识 函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的． 【典例1】关于x的方程的解集是空集，k＝　 　 ． 【答案】． 【解答】解：已知， 则， 当1﹣2k＝0， 即时，方程可化为0＝1， 解集为空集，符合题意； 当1﹣2k≠0， 即时，由得1﹣2k＝x+1且x≠﹣1， 解得x＝﹣2k且x≠﹣1， 因为方程的解集为空集， 故﹣2k＝﹣1， 即． 故答案为：． 【变式1】方程9x+（3+a）•3x+4＝0有解，则a的取值范围是 　 ． 【答案】（﹣∞，﹣7]． 【解答】解：方程9x+（3+a）•3x+4＝0有解等价于方程有解． 令3x＝t（t＞0），则． 因为，所以a≤﹣7，当且仅当t＝2，即x＝log32时等号成立． 故a≤﹣7时，方程9x+（3+a）•3x+4＝0有解． 故答案为：（﹣∞，﹣7]． 【变式2】已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2，a∈R． （1）求不等式f（x）≥0的解集； （2）若存在m＞1使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析． （2）． 【解答】解：（1）由题意得：ax2﹣（a+2）x+2≥0，即（ax﹣2）（x﹣1）≥0， ①当a＝0时，不等式（ax﹣2）（x﹣1）≥0 即为：﹣2x+2≥0，解得：x≤1， ②当a≠0，方程（ax﹣2）（x﹣1）的两根分别为x1＝1，． 当a＜0时，有，函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2图象开口向下，此时不等式f（x）≥0的解集为． 当a＞0时，有． 当，即0＜a＜2时，函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2图象开口向上，此时不等式f（x）≥0解集为{x|x≤1或． 当，即a＝2时，函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2图象开口向上，此时不等式f（x）≥0解集为R． 当，即a＞2时，函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2图象开口向上，此时不等式f（x）≥0解集为或x≥1}． 综上可得：当a＝0时，不等式f（x）≥0的解集为：{x|x≤1}； 当a＜0时，不等式f（x）≥0的解集为； 当0＜a＜2时，不等式f（x）≥0解集为{x|x≤1或； 当a＝2时，不等式f（x）≥0解集为R； 当a＞2时，不等式f（x）≥0解集为或x≥1}． （2）令． ∵m＞1， ∴，当且仅当m＝2时等号成立． ∵存在m＞1使关于x的方程有四个不同的实根． ∴存在t≥3使关于x的方程ax2﹣（a+2）|x|+2＝t有四个不同的实根． 令g（x）＝ax2﹣（a+2）|x|+2， ∵g（﹣x）＝g（x）， ∴g（x）＝ax2﹣（a+2）|x|+2为偶函数． ∴存在t≥3使关于x的方程ax2﹣（a+2）|x|+2＝t有四个不同的实根等价于存在t≥3使关于x的方程ax2﹣（a+2）x+2﹣t＝0有两个不同的正实根． 则． 所以存在t≥3使成立Δ＝[﹣（a+2）]2﹣4a（2﹣t）＞0，即存在t≥3使4at+a2﹣4a+4＞0成立． 由，t≥3，，得a＜﹣2． ∴关于t的函数y＝4at+a2﹣4a+4在[3，+∞）上单调递减． 则，解得：， ∵， ∴． 综上可得：当存在m＞1使关于x的方程有四个不同的实根，实数a的取值范围为． 【变式3】已知函数y＝ax2﹣（2a+2）x+4． （1）是否存在实数a使得方程y＝0有两个不相等的实数根且成立，若存在求出a的值，若不存在，请说明理由； （2）若关于x的不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞﹣（x2+2）的解集是实数集R，求实数a的取值范围． （3）求关于x的不等式ax2﹣（2a+2）x+4＜8﹣4x的解集． 【答案】（1）不存在由y＝ax2﹣（2a+2）x+4＝0， 若存在实数a使得方程y＝0有两个不相等的实数根且成立， 则a≠0，x1≠0，x2≠0，x1≠x2，得， 由，得，则，解得a＝1，此时Δ＝0， 因此，不存在实数a符合题意； （2）[﹣1，5）； （3），当a＜﹣1时，原不等式的解集为； 当a＝﹣1时，原不等式的解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）； 当﹣1＜a＜0时，原不等式的解集为； 当a＝0时，原不等式的解集为（﹣∞，2）； 当a＞0时，原不等式的解集为． 【解答】解：（1）不存在实数a符合题意，理由如下： 由y＝ax2﹣（2a+2）x+4＝0， 若存在实数a使得方程y＝0有两个不相等的实数根且成立， 则a≠0，x1≠0，x2≠0，x1≠x2，得， 由，得，则，解得a＝1，此时Δ＝0， 因此，不存在实数a符合题意； （2）由y＝ax2﹣（2a+2）x+4＞﹣（x2+2），整理得（a+1）x2﹣（2a+2）x+6＞0， 当a+1＝0，即a＝﹣1时，不等式为6＞0，符合题意； 当a+1≠0，即a≠﹣1时，由不等式的解集是实数集R， 得，解得﹣1＜a＜5， 综上所述，﹣1≤a＜5， 因此，实数a的取值范围为[﹣1，5）； （3）ax2﹣（2a+2）x+4＜8﹣4x⇔ax2﹣（2a﹣2）x﹣4＜0， 若a＝0，则2x﹣4＜0⇔x＜2， 若a≠0，或x＝2， 当a＞0时，， 当a＜﹣1时，或x＞2， 当a＝﹣1时，ax2﹣（2a﹣2）x﹣4＜0⇒x≠2， 当﹣1＜a＜0时，ax2﹣（2a﹣2）x﹣4＜0⇒x＜2或， 综上所述，当a＜﹣1时，原不等式的解集为； 当a＝﹣1时，原不等式的解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）； 当﹣1＜a＜0时，原不等式的解集为； 当a＝0时，原不等式的解集为（﹣∞，2）； 当a＞0时，原不等式的解集为． 题型6 二分法及其适用条件 解｜题｜知｜识 二分法 即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念． 【典例1】下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A．f（x）＝2x B． C． D．f（x）＝2x﹣3 【答案】B 【解答】对于A，函数f（x）在R上单调递增，有唯一零点x＝0， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当x＞0时，当且仅当x＝1时，等号成立， 在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 当x＜0时，， 当且仅当x＝﹣1时，等号成立，无零点， 综上所述，f（x）可用二分法求零点， 对于D，函数f（x）在R上单调递增，有唯一零点x＝log23， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点． 故选：B． 【变式1】下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是（　　） A．y＝3x2﹣2x+5 B． C． D． 【答案】BC 【解答】解：对于A，由y＝3x2﹣2x+5知此函数的判别式Δ＜0，故函数y＝3x2﹣2x+5无零点，故A错误； 对于D，由知此函数的判别式Δ＝0，故无法用二分法求零点近似值，故B错误； 对于B，C，函数存在变号零点，能用二分法求解，故B正确，C正确． 故选：BC． 【变式2】若函数f（x）＝x2﹣4x+m存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则实数m的取值是　　 ． 【答案】4． 【解答】解：根据题意，若函数f（x）＝x2﹣4x+m存在零点，且不能用二分法求该函数的零点， 则函数f（x）＝x2﹣4x+m与x轴有且仅有1个交点，即Δ＝16﹣4m＝0，解可得m＝4， 故答案为：4． 题型7 二分法求方程的近似解 解｜题｜知｜识 二分法 即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念． 【典例1】那么方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的一个近似解（误差不超过0.02）为（　　） f（1）＝﹣2 f（1.5）＝0.625 f（1.25）＝﹣0.984 f（1.375）＝﹣0.260 f（1.4375）＝0.162 f（1.40625）＝﹣0.054 A．1.4375 B．1.375 C．1.25 D．1.422 【答案】D 【解答】解：由图表可知，f（1）＝﹣2＜0，f（1.5）＝0.625＞0， ∴∃x0∈（1，1.5）， 又∵f（1.25）＝﹣0.984＜0，∴∃x0∈（1.25，1.5）， 又∵f（1.375）＝﹣0.260＜0，∴∃x0∈（1.375，1.5）， 而f（1.4375）＝0.162＞0，∴∃x0∈（1.375，1.4375）， 又∵f（1.40625）＝﹣0.054＜0，∴∃x0∈（1.40625，1.4375）， ∵（1.40625+1.4375）÷2≈1.422， 且1.422﹣1.40625＜0.02，1.4375﹣1.422＜0.02， 则可取近似解1.422． 故选：D． 【变式1】用二分法求方程3x＝8﹣3x在（1，2）内的近似解时，记f（x）＝3x+3x﹣8，若f（1）＜0，f（1.25）＜0，f（1.5）＞0，f（1.75）＞0，据此判断，方程的根应落在区间（　　） A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，1.75） D．（1.75，2） 【答案】B 【解答】解：根据题意可得f（1.25）f（1.5）＜0， ∴函数f（x）的零点所在的区间为（1.25，1.5）， 故选：B． 过 关 验 收 1.关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根， 故Δ＝（﹣3）2﹣4×2k≥0，解得． 故选：B． 2．若函数没有零点，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣4，+∞） B．（﹣4，+∞） C．（﹣∞，﹣4] D．[4，+∞） 【答案】A 【解答】解：因为当x≤2时，y＝2x﹣a＞0恒成立， 要使f（x）没有零点， 所以x＞2时，2x+a＞0恒成立， 即a＞﹣2x恒成立， 又因为函数y＝﹣2x在（2，+∞）上单调递减， 所以a≥﹣2×2＝﹣4， 即实数a的取值范围是[﹣4，+∞）． 故选：A． 3．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，下列结论正确的是（　　） 注：函数的零点是当函数值取零时自变量的值 A．若f（x），g（x）均为增函数，则y＝f（x）+g（x）也为增函数 B．若f（x），g（x）均为减函数，则y＝f（x）g（x）也为减函数 C．若f（x），g（x）均存在零点，则y＝f（x）g（x）也存在零点 D．若f（x），g（x）均存在零点，则y＝f（x）+g（x）也存在零点 【答案】AC 【解答】解：若f（x），g（x）均为增函数，则y＝f（x）+g（x）也为增函数，故A正确； 若f（x），g（x）均为减函数，则y＝f（x）g（x）不一定是减函数， 如f（x）＝﹣x，g（x）＝﹣2x，但y＝f（x）g（x）＝2x2不是减函数，故B错误； 函数的定义域均为R，且f（x）＝0，g（x）＝0有解，则y＝f（x）g（x）＝0有解，故C正确； 若f（x），g（x）均存在零点，则y＝f（x）+g（x）不一定有零点， 例如f（x）＝x2﹣x，g（x）＝x+1都有零点，但y＝x2+1无零点，故D错误． 故选：AC． 4．张同学在函数章节学习中遇到过许多形形色色的函数，其中有很多函数的形态是具有共性的，于是张同学提出了下面2个猜想，请同学们回答或反驳张同学的猜想． （1）已知函数f（x）＝ex+x﹣2的零点是x1，g（x）＝lnx+x﹣2的零点是x2，证明：； （2）已知函数的零点是x1，证明：． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解答】解：（1）证明：令f（x）＝ex+x﹣2＝0，得ex＝2﹣x， 令g（x）＝lnx+x﹣2＝0，得lnx＝2﹣x， 则x1，x2可转化为y＝ex，y＝lnx的图象与y＝2﹣x图象交点的横坐标， 又因为y＝lnx与y＝ex是一对反函数， 所以y＝lnx与y＝ex关于y＝x对称， 又函数y＝2﹣x关于直线y＝x对称， 由，解得x＝1， 即函数y＝2﹣x与直线y＝x的交点为（1，1）， 所以x1+x2＝2， 所以， 又因为x1≠x2，故等号取不到， 所以当x1≠x2时，； （2）证明：因为y＝ex，y在（0，+∞）上单调递增， 所以在（0，+∞）上单调递增， 又因为，f（1）＝e﹣1＞0， 故存在一个零点， 此时， 即，x1＝﹣lnx1， 所以， 当且仅当x1，即x1＝1时等号成立， 由于， 所以． 5．函数的零点所在区间为（　　） A．（﹣1，0） B． C．（1，2） D．（2，3） 【答案】B 【解答】解：因为y＝2x在R上单调递增，y在（﹣∞，0）和（0，+∞）单调递增， 所以在（﹣∞，0）和（0，+∞）单调递增， f（﹣1）1＞0，所以f（x）在（﹣1，0）无零点， f（）2＜0，f（1）＝2﹣1＝1＞0，f（2）＝40，f（3）＝80， f（）•f（1）＜0，所以f（x）在区间（，1）上有零点，在（1，2）和（2，3）上无零点． 故选：B． 6．已知函数f（x）＝x3+2x﹣9在区间（1，2）内有一个零点，且f（x）的部分函数值数据如下：f（1）＝﹣6，f（1.5）＝﹣2.625，f（1.75）≈﹣0.1406，f（1.7578）≈﹣0.0530，f（1.7617）≈0.0090，f（1.7656）≈0.0352，f（2）＝3，要使f（x）零点的近似值精确度为0.01，则对区间（1，2）的最少等分次数和近似解分别为（　　） A．6次，1.75 B．6次，1.76 C．7次，1.75 D．7次，1.76 【答案】D 【解答】解：根据题意，题中数据知，零点所在的区间变化如下： （1，2）→（1.5，2）→（1.75，2）→（1.75，1.875）→（1.75，1.8125）→（1.75，1.78125）→（1.75，1.7656）→（1.7578，1.7656）， 此时区间长度小于0.01，在区间（1.7578，1.7656）内取近似值，最少等分了7次，近似解取1.76． 故选：D． 7．某同学用二分法求函数f（x）＝2x3﹣3x2﹣5的零点近似值时，已将一个零点锁定在区间（2，3）内，则该同学第二次所取的区间是 　 　 ． 【答案】（2，）． 【解答】解：f（x）＝2x3﹣3x2﹣5， 则f（2）＝﹣1＜0，f（3）＝22＞0，， f（2）•0， 故该同学第二次所取的区间是（2，）． 故答案为：（2，）． 8．用二分法求方程的近似解，求得f（x）＝x3+2x﹣9的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 f（x） ﹣6 3 ﹣2.625 ﹣1.459 ﹣0.14 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程x3+2x﹣9＝0的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【解答】解：由表格可得， 函数f（x）＝x3+2x﹣9的零点在（1.75，1.8125）之间； 结合选项可知， 方程方程x3+2x﹣9＝0的近似解可取为（精确度为0.1）可以是1.8； 故选：C． 9．某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产x百台高级设备需要另投成本y万元，且，每百台高级设备售价为80万元． （1）求企业获得年利润P（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 【答案】（1）； （2）当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元． 【解答】解：（1）当0≤x＜40，100x∈N时， P＝80x﹣x2﹣20x﹣100﹣500＝﹣x2+60x﹣600， 当40≤x≤100，100x∈N时， ， 综上所述，； （2）由（1）可知，， 当0≤x＜40，100x∈N时，P＝﹣（x﹣30）2+300， 故当x＝30百台时，P取得最大值，最大值为300万元， 当40≤x≤100，100x∈N时， （万元）， 当且仅当，即x＝60时，等号成立， 由于350＞300， 故当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元． 10．为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为10x元，其他成本投入为20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为f（x）（单位：元）． （1）求单株利润f（x）（单位：元）关于施用肥料x（单位：千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润是240元． 【解答】解：（1）由题意得，f（x）＝15W（x）﹣（10x+20x）＝15W（x）﹣30x， 即f（x），整理得f（x）． （2）当0≤x≤2时，f（x）＝45x2﹣30x+90为对称轴开口向上的抛物线， 所以当0≤x≤2时，f（x）max＝f（2）＝210， 当2＜x≤5时，f（x）30x＝﹣30×（x+2）+600， 因为x+2≥212，当且仅当x+2，即x＝4时取等号， 所以f（x）≤﹣30×12+600＝240，即f（x）max＝240， 综上，当x＝4时，该水果单株利润最大，最大利润是240元． 11．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（2≤x≤6）． （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为x米（2≤x≤6），底面积为12平方米， 所以屋子的前面墙的长度均为米（2≤x≤6）， 设甲工程队报价为y元， 所以（元）， 因为， 当且仅当，即x＝4时等号成立， 所以当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低为14400元． （2）根据题意可知对任意的x∈[2，6]恒成立， 即对任意的x∈[2，6]恒成立， 所以对任意的x∈[2，6]恒成立， 因为a＞0，， 当且仅当，即x＝2时等号成立， 所以0＜a＜12， 故当a∈（0，12）时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 学科网（北京）股份有限公司 $