第4章 4.5 4.5.3 函数模型的应用-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦函数模型的应用这一核心知识点，系统梳理一次、反比例、二次、指数型、对数型、幂函数型等常见模型，通过病毒内存问题情境引入，结合模型解析式及性质梳理，以指数函数（人口增长）、对数函数（燕子飞行速度）、图表信息、拟合函数等分类型例题构建学习支架，衔接函数概念与实际应用。 该资料以情境化设计与分层教学为特色，通过贴近生活的病毒问题激发兴趣，引导学生从实际问题中抽象函数模型并求解验证，培养数学建模与数学运算素养。课中辅助教师系统授课，课后通过变式训练和综合题帮助学生巩固模型应用，查漏补缺。

4．5.3　函数模型的应用 课程标准 素养解读 1.了解函数模型的广泛应用 2．收集并能解决指数函数、对数函数等常见的函数模型，了解数学建模的过程 通过函数模型的应用提升数学建模，直观想象，数学运算素养 [情境引入] 一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3分自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍．那么开机后多少分，该病毒会占据64 MB内存(1 MB＝1 024 KB)? 提示：2×2n＝64×210，n＝15， ∴需时间为15×3＝45分钟． [知识梳理] [知识点]　几种常见函数模型　 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 1.斜率k的取值是如何影响一次函数的图象和性质的？ 提示：k>0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小． 2．在幂函数模型的解析式中，n的正负如何影响函数的单调性？ 提示：当x>0，n>0时，函数的图象在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；当x>0，n<0时，函数的图象在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数． [预习自测] 1．“红豆生南国，春来发几枝”，如图给出了红豆生长时间x(月)与枝数y(枝)的散点图(直角坐标系中作出(x，y)对应的点)，那么最符合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是(　　) A．指数函数y＝2x B．对数函数y＝log2x C．幂函数y＝x3 D．二次函数y＝2x2 答案：A 2．某种动物繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1)．若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到(　　) A．300只　　　　　 B．400只 C 500只 D．600只 答案：A 3．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量为　________　. 答案：1.75万件 　　　指数函数模型 [例1] 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题： (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人 (精确到1年)．(取1.01210＝1.127，log1.0121.20＝15)． [思路点拨]　根据规律写出函数关系式y＝N(1＋p)x. [解]　(1)1年后该城市人口总数为： y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100(1＋1.2%)2； 3年后该城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2·1.2% ＝100(1＋1.2)3； x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口数为： 100×(1＋1.2%)10≈112.7(万)， (3)设x年后该城市人口将达到120万， 即100×(1＋1.2%)x＝120，所以1.012x＝1.20. 所以x＝log1.0121.20≈15(年)．即大约15年后，该城市人口将达到120万人． 指数函数模型的应用 1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 2．解答数学应用题应过的三关 (1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么． (2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题． (3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法． 3．增长率问题多抽象为指数函数形式，当由指数函数形式来确定相关的量的值要求不严格时，可以通过图象近似求解．用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围，是数学常用的方法之一． [变式训练] 1．设在海拔x m处的大气压强为y kPa，y与x的函数关系可近似表示为y＝100eax，已知在海拔1 000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2 000 m处的大气压强为　________　kPa. 解析：将(1 000,90)代入y＝100eax，可得a＝，y与x的函数关系可近似表示为y＝，当x＝2 000时，y＝100(eln0.9)2＝81. 答案：81 　　　对数函数模型 [例2] 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2(单位：m/s)，其中Q表示燕子的耗氧量． (1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位； (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ [思路点拨]　代入求Q＝10，写出关系式，求解． [解析]　(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中的函数关系式，可得0＝5log2，解得Q＝10. 即燕子静止时的耗氧量是10个单位． (2)将耗氧量Q＝80代入题中给出的函数关系式，得v＝5log2＝5log28＝15. 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s. 对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解； (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． [变式训练] 2．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：t＝－·ln(t为时间，单位：min，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度，单位：℃，k为常数)．假设一杯开水的初始温度θ1＝90 ℃，环境温度θ0＝10 ℃，常数k＝.(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1) (1)大约经过几分钟水温降为40 ℃？ (2)经过1.8 min水温大约降为多少？ 解：(1)由题意可得t＝－6ln＝－6ln ＝－6(ln 3－3ln 2)≈－6×(1.1－3×0.7)＝6， 故大约经过6 min水温降为40 ℃. (2)由题意可得1.8＝－6ln， ∴ln＝ln＝－0.3， 即ln－ln 8＝－0.3， ∴ln＝3ln 2－0.3≈1.8≈ln 2＋ln 3＝ln 6， ∴θ≈70，故经过1.8 min水温大约降为70 ℃. 　　　以图表信息为背景的函数应用题 [例3] 已知某产品市场价格与市场供应量P的关系近似满足 (其中t为关税的税率，且t∈，x为市场价格，b，k为正常数)，当t＝时的市场供应量曲线如图所示． (1)根据图象求b，k的值； (2)记市场需求量为Q，它近似满足，当P＝Q时的价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于9元，求税率的最小值． [思路点拨]　首先根据图象求出函数P＝f(t)和Q＝g(t)的解析式，再由两者得到纯收益的函数解析式，进而求得函数的最值点． [解]　(1)由图象知， ⇒ (2)当P＝Q时，有， 即(1－6t)(x－5)2＝11－ ⇒2(1－6t)＝＝＝－. 令m＝，则2(1－6t)＝17m2－m. ∵x≥9，∴m∈. 当m＝时，2(1－6t)取最大值，故t≥，即税率的最小值为. 1．解决这类问题的一般步骤：(1)观察图表，捕捉有效信息；(2)对已获信息进行加工，选择适当的函数模型；(3)求函数模型；(4)进行检验，去伪存真，答案要符合实际情形． 2．建立函数模型解决实际问题的基本思路 [变式训练] 3．某医院研究开发了一种新药，据检测，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y(单位：μg)与服药后的时间t(单位：h)之间近似满足图中的曲线，其中OA是线段，曲线ABC是函数y＝kat(t≥1，a>0，且k与a是常数)的图象． (1)写出服药后y关于t的函数关系式； (2)据测定，每毫升血液中含药量不少于2 μg时治疗疾病有效，假如某病人第一次服药为早上6：00，为了保持疗效，第二次服药最迟应在当天几时？ 解：(1)当0≤t<1时，y＝8t； 当t≥1时，将A(1,8)，B(2,4)代入y＝kat， 得a＝，k＝8. 所以y＝ (2)设第一次服药后最迟经过t h第二次服药， 依题意有t≥1. 所以8×t＝2， 解得t＝5. 因此第二次服药最迟应在第一次服药后5 h，即当天上午11：00服药． 　　　建立拟合函数模型解决实际问题 [例4] 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如下表所示. 年序 最大积雪深度x(cm) 灌溉面积y(公顷) 1 15.2 28.6 2 10.4 21.1 3 21.2 40.5 4 18.6 36.6 5 26.4 49.8 6 23.4 45.0 7 13.5 29.2 8 16.7 34.1 9 24.0 45.8 10 19.1 36.9 (1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象； (2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象； (3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？ [思路点拨]　解答本题可首先根据表中数据作出散点图，然后通过观察图象判断问题所适用的函数模型． [解]　(1)描点、作图如图(甲)所示． (2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)． 取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)， 代入y＝a＋bx，得 用计算器可得a≈2.2，b≈1.8. 这样，我们得到一个函数模型：y＝2.2＋1.8x. 作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系． (3)由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.2公顷． 对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤是： (1)能够根据原始数据、表格、绘出散点图． (2)通过观察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般是不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． [变式训练] 4．舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度．对于舆论事件出现的第x天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于t×9x，则认为本次舆情是严重的．某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现的第1,2,3天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①y＝ax＋＋c；②y＝plogqx＋g；③y＝m×nx＋s其中含x的项的系数均不为0. (1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型(直接写结果，不用证明)； (2)运用(1)中选取的函数模型，预测第4天的舆论场指数； (3)若本次舆情不是严重的，求t的最小值． 解：(1)选③， 根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快，符合指数函数性质，故选③. (2)将表格数据代入y＝m×nx＋s，得解得 故函数模型为y＝6×3x－6， 则第4天的舆论场指数为6×34－6＝480. (3)若本次舆情不是严重的，则6×3x－6≤t×9x恒成立， 则6×3x－6≤t×32x，故两边同时除以32x，得－≤t， 不妨设k＝，k∈，则－≤t可化为6k－6k2≤t，整理得6k2－6k＋t≥0， 由于y＝6k2－6k＋t在k∈上单调递减，故只需要当k＝时，6k2－6k＋t≥0成立即可， 代入得－2＋t≥0，解得t≥， 故t的最小值为. 1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是(　　) A．y＝2x　　　　　 B．y＝2x－1 C．y＝2x D．y＝2x＋1 答案：D 2．已知函数t＝－144lg(1－)的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(h)表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N表示打字速度(字/min)，则按此曲线要达到90字/min的水平，所需的学习时间是(　　) A．144 h B．90 h C．60 h D．40 h 答案：A 3．光线经过一块玻璃，强度损失10%，那么至少经过　________　块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下．(lg 3≈0.477，lg 2≈0.3) 答案：16 4．目前我国一些高耗能产业的产能过剩，严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务．某行业计划从2026年开始，每年的年产能比上一年的年产能减少的百分比为x(0<x<1)． (1)设第n(n∈N*)年(2026年记为第1年)的年产能为2025年的a倍，请用a，n表示x； (2)若x＝10%，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2025年的年产能的25%? (参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) 解：(1)依题意得(1－x)n＝a，则1－x＝， 所以x＝1－(n∈N*)． (2)设第m年的年产能不超过2025年的年产能的25%，则(1－10%)m≤25%， 即()m≤，mlg≤lg ，m(2lg 3－1)≤－2lg 2， m≥. 因为≈＝，所以m≥. 因为13<<14，且m∈N*， 所以m的最小值为14， 所以至少要到2039年才能使年产能不超过2025年的产能的25%. 1.某种新药服用x h后血液中的残留量为y mg，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240 mg时，治疗有效．设某人上午8点第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为(　　) A．上午10点　　　　　 B．中午12点 C．下午4点 D．下午6点 答案：C 2．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0·e－kt(其中P0，k是正常数)，如果在前5 h消除了10%的污染物，那么污染物减少50%需要花费的时间约为(　　) (参考数据：ln 0.5≈－0.693，ln 0.9≈－0.105) A．6 h B．10 h C．15 h D．0.33 h 答案：D 3．据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)，观测发现第2年有越冬白鹭1 000只，估计第5年有越冬白鹭(ln 2≈0.7，ln 3≈1.1) A．1 530只 B．1 630只 C．1 830只 D．1 930只 答案：B 4．中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本(LCOE)也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数ICRF对计算度电成本具有重要影响．等年值系数ICRF和设备寿命周期N具有如下函数关系：ICRF＝，r为折现率，寿命周期为10年的设备的等年值系数约为0.13，则对于寿命周期约为20年的光伏—储能微电网系统，其等年值系数约为(　　) A．0.03 B．0.05 C．0.07 D．0.08 答案：D 5．(多选)有一组实验数据如表所示： x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 则下列所给函数模型较不适合的有(　　) A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1) C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1) 解析：ABD　[由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选A、B、D.] 6.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是(　　) A．浮萍每月的增长率为1 B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3 解析：ABD　[图象过(1,2)点，∴2＝a1，即a＝2，∴y＝2t， ∵＝＝1， ∴每月的增长率为1，A正确． 当t＝5时， y＝25＝32>30，∴B正确． ∵第二个月比第一个月增加y2－y1＝22－2＝2(m2)，第三个月比第二个月增加y3－y2＝23－22＝4(m2)≠y2－y1，∴C不正确． ∴t1＋t2＝log22＋log23＝log26＝t3，D正确．故选A、B、D.] 7．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)、放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝Im·t，其中n为Peukert常数．为测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝60 A时，放电时间t＝30 h；当放电电流I＝80 A时，放电时间t＝16 h．若计算时取lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，则该蓄电池的Peukert常数n大约为　________　.(精确到0.01) 解析：由题意知C＝60n×30＝80n×16， 所以n＝n＝＝，两边取以10为底的对数，得nlg＝lg ， 所以n＝＝＝≈≈2.25. 答案：2.25 8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了　________　km. 解析：设出租车行驶x km时，付费y元， 则y＝ 由y＝22.6，解得x＝9. 答案：9 9．里氏震级M的计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为　________　级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的　________　倍． 解析：由题意，M＝lg 1 000－lg 0.001＝6. 9＝lg A1－lg 0.001，∴A1＝106. 5＝lg A2－lg 0.001，∴A2＝102，∴＝104. 答案：6　10 000(或104) 10．某人第一天8：00从A地开车出发，6小时后到达B地，第二天8：00从B地出发，沿原路6小时后返回A地．则在此过程中，以下说法中 ①一定存在某个位置E，两天经过此地的时刻相同 ②一定存在某个时刻，两天中在此刻的速度相同 ③一定存在某一段路程EF(不含A、B)，两天在此段内的平均速度相同． (以上速度不考虑方向) 正确说法的序号是　________　. 解析：①设函数s(t)表示此人第一天距离A地的路程，则是一个不减的函数，设函数l(t)表示此人第二天距离A地的路程，则是一个不增的函数，其中t表示时间，s(t)、l(t)的定义域都是[0,6]，值域相同．同一坐标系画出s(t)、l(t)的图象，必有一个交点，即两天中在此刻经过此点(如图1)，故①正确； ②画出两天的速度(自变量为时间t)函数图象并求与x轴围成的面积，就是路程，不可能一个总在另一个下方．在交点处时刻，他们的速度相等(如图2)，故②正确； ③在某个路程函数s(t)中，过s(t) 上一点作平行于t，s轴的矩形，如果四个顶点都在曲线上，则意味着速度的绝对值相等，(对角线就是割线，斜率就是平均速度)，但不是每种函数曲线都能成功，图3 显示可以，函数模型就是两个一次函数，图4显示不成功，可以构造函数模型为(这里假定时间t∈(0,6)，AB之间距离为4)，s(t)＝，l(t)＝.在这个图象上经计算，找不到这样的矩形，故③错误． ∴正确的说法是①②. 答案：①② 11．为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，某省决定净化闽江上游水域的水质．省环保局于2025年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2026年2月底测得蒲草覆盖面积为36 m2,2026年3月底测得蒲草覆盖面积为48 m2，蒲草覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模型y＝kax(k＞0，a＞1)与y＝mx2＋n(m＞0)可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若2025年年底测得蒲草覆盖面积为20 m2，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到810 m2.(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) 解：(1)若选择模型y＝kax(k＞0，a＞1)， 则解得a＝，k＝， 故函数模型为y＝·x. 若选择模型y＝mx2＋n(m＞0)，则 解得m＝，n＝， 故函数模型为y＝x2＋. (2)把x＝0代入y＝·x，可得y＝＝20.25， 把x＝0代入y＝x2＋，可得y＝，可知与20相差比较大， 故选择函数模型y＝·x更合适． 令·x≥810，可得x≥40，两边取常用对数可得xlg≥lg 40， 即x≥＝≈≈13.33， 故至少到2027年2月底蒲草覆盖面积能达到810 m2. 12．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数y＝log3(单位：m/s)，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数． (1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是多少？ (2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数； (3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由． 解：(1)将x＝8 100代入函数关系式，得y＝log381＝×4＝2，所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是2 m/s. (2)令y＝0，得log3＝0，即＝1，则x＝100，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位． (3)鲑鱼A的耗氧较大，理由如下： 由yA＞yB，得log3＞log3，即log3xA＞log3xB，则xA＞xB，所以鲑鱼A的耗氧量较大． 13．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如下表所示： x/天 10 20 25 30 Q(x)/件 110 120 125 120 已知第10天的日销售收入为121元． (1)求k的值； (2)给出以下四种函数模型： ①Q(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a|x－25|＋b；③Q(x)＝a·bx；④Q(x)＝a·logbx. 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)求该小物品的日销售收入(单位：元)f(x)的最小值． 解：(1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)·Q(10)＝×110＝121，解得k＝1. (2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)． (3)由(2)知Q(x)＝125－|x－25| ＝ 所以f(x)＝P(x)·Q(x) ＝ 当1≤x<25时，y＝x＋在[1,10]上单调递减，在[10,25)上单调递增，所以当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121； 当25≤x≤30时，y＝－x为减函数，所以当x＝30时，f(x)取得最小值，f(x)min＝124. 综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121. 所以该小物品的日销售收入的最小值为121元. 学科网（北京）股份有限公司 $