5.3 诱导公式 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦“诱导公式”核心知识点，系统梳理正弦、余弦、正切、余切函数的诱导公式（如sin(π+x)=-sinx，cos(-x)=cosx等），并构建“公式理解—化简求值步骤（负化正、大化小、小化锐、锐求值）”的学习支架，形成从基础公式到应用的知识递进脉络。 资料以题型分类（诱导公式、化简求值）为主线，通过“解题知识+典例+变式”结构化设计，培养学生数学思维（推理意识、运算能力）和应用意识。如典例结合变式题巩固公式应用，过关验收题覆盖选择、填空、解答，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识内化。

5.3 诱导公式 内 容 导 航 题型1 诱导公式 题型2 运用诱导公式化简求值 考 点 演 练 题型1 诱导公式 解｜题｜知｜识 三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益． 公式 ①正弦函数：表达式为y＝sinx； 有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx；sin（π﹣x）＝sinx，sin（x）＝sin（x）＝cosx ②余弦函数：表达式为y＝cosx； 有cos（π+x）＝cos（π﹣x）＝﹣cosx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x）＝sinx ③正切函数：表达式为y＝tanx； tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（x）＝cotx，tan（π+x）＝tanx ④余切函数：表达式为y＝cotx； cot（﹣x）＝﹣cotx，cot（x）＝tanx，cot（π+x）＝cotx． 【典例1】已知，则sin（﹣α）＝（　　） A． B． C． D． 【变式1】设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（　　） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【变式2】设角α的终边经过点P（﹣3，4），那么sin（π﹣α）+2cos（﹣α）＝（　　） A． B． C． D． 【变式3】若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是（　　） A．sin（A+B）＝sinC B．cos（A+B）＝cosC C． D．cos（2A+2B）＝cos2C 题型2 运用诱导公式化简求值 解｜题｜知｜识 利用诱导公式化简求值的思路 1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数． 2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数． 3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数． 4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得． 【典例1】已知，且α是第四象限角，则sin（α+2π）＝（　　） A． B． C． D． 【变式1】若，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知α为第二象限角，且tan（α﹣π）＝k，则sinα＝（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知角α满足，则（　　） A．﹣11 B． C． D．11 过 关 验 收 1．已知sinα＜0，cosα＞0，则下列各式的值一定为正数的是（　　） A．sin（π+α） B． C． D．cos2α 2．cos（α+45°）cos（α﹣15°）﹣sin（α+45°）sin（15°﹣α）＝ 　 　 ． 3．若α为第一象限角，则　 　 ． 4．已知． （1）化简f（α）； （2）若f（α）＝2，求sin2α﹣3sinαcosα的值； （3）若，求的值． 5．（1）求函数f（x）＝sin2x+cosx的最小值． （2）若sinθ、cosθ是关于x的方程x2﹣ax+a＝0的两个根，求． 6．已知sin（π+α）＝2cos（π﹣α），计算： （1） （2）sin2α+sinαcosα﹣2cos2α 7．下列关系式中正确的是（　　） A． B．sin168°＜sin11°＜cos10° C．tan（﹣52°）＞tan（140°）＞﹣1 D． 8．cos（﹣75°）＝（　　） A． B． C． D． 9．已知tan（π+θ）＝﹣3，则（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 10．已知α∈（0，π），且，则的值为（　　） A． B． C． D． 11．sin240°＝（　　） A． B． C． D． 12．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 13．cos495°的值是（　　） A． B． C． D． 14．cos（　　） A． B． C． D． 15．sin的值等于（　　） A． B． C． D． 16．的值是（　　） A． B． C． D． 17．下列说法正确的有（　　） A．若α的终边经过P（5k，12k），k≠0，则 B． C．函数在上单调递增 D．若角α和角β的终边关于y轴对称，则 18．下列命题，其中正确的命题是（　　） A．若角α的终边经过点P（﹣3，4），则 B．若，则 C．若，且α为第四象限角，则 D．若，且，则 19．已知角α的终边经过点（﹣1，﹣3），则　　 ． 20．已知，则sin（120°+α）+sin2（60°﹣α）＝　　 ． 21．已知，则　 　 ． 22．设tan10°＝m，则　　 （结果用含m的式子表示）． 23．化简： 　 ． 24．已知α为锐角，cos（α），则cosα＝　 　 ． 25．已知． （1）化简函数f（x）； （2）若θ，α均为锐角，且f（θ）＝﹣3，，求sin2θ和的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 诱导公式 内 容 导 航 题型1 诱导公式 题型2 运用诱导公式化简求值 考 点 演 练 题型1 诱导公式 解｜题｜知｜识 三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益． 公式 ①正弦函数：表达式为y＝sinx； 有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx；sin（π﹣x）＝sinx，sin（x）＝sin（x）＝cosx ②余弦函数：表达式为y＝cosx； 有cos（π+x）＝cos（π﹣x）＝﹣cosx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x）＝sinx ③正切函数：表达式为y＝tanx； tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（x）＝cotx，tan（π+x）＝tanx ④余切函数：表达式为y＝cotx； cot（﹣x）＝﹣cotx，cot（x）＝tanx，cot（π+x）＝cotx． 【典例1】已知，则sin（﹣α）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为， 所以． 故选：B． 【变式1】设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（　　） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【答案】C 【解答】解：由诱导公式可得b＝cos55°＝cos（90°﹣35°）＝sin35°， 由正弦函数的单调性可知b＞a， 而c＝tan35°sin35°＝b， ∴c＞b＞a 故选：C． 【变式2】设角α的终边经过点P（﹣3，4），那么sin（π﹣α）+2cos（﹣α）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣3，4），r＝|PO|5， ∴sinα， cosα， ∴sin（π﹣α）+2cos（﹣α）＝sinα+2cosα． 故选：D． 【变式3】若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是（　　） A．sin（A+B）＝sinC B．cos（A+B）＝cosC C． D．cos（2A+2B）＝cos2C 【答案】ACD 【解答】解：角A，B，C是△ABC的三个内角， 可得A+B+C＝π，故sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sinC， cos（A+B）＝cos（π﹣C）＝﹣cosC，选项A正确；选项B错误； ，选项C正确； cos（2A+2B）＝cos（2π﹣2C）＝cos2C，选项D正确． 故选：ACD． 题型2 运用诱导公式化简求值 解｜题｜知｜识 利用诱导公式化简求值的思路 1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数． 2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数． 3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数． 4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得． 【典例1】已知，且α是第四象限角，则sin（α+2π）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由于， 可得， 又由于α是第四象限角， 可得． 故选：D． 【变式1】若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为cos[（θ）]＝﹣sin（θ）， 可得sin（θ）， 则sin[π﹣（θ）]＝sin（θ）． 故选：B． 【变式2】已知α为第二象限角，且tan（α﹣π）＝k，则sinα＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由tan（α﹣π）＝tanα， 可得sinα＝kcosα， 又sin2α+cos2α＝1， 可得k2cos2α+cos2α＝1，可得， 又因为α为第二象限角，则cosα＜0，sinα＞0，k＜0， 可得，sinα． 故选：A． 【变式3】已知角α满足，则（　　） A．﹣11 B． C． D．11 【答案】A 【解答】解：因为， 所以 ． 故选：A． 过 关 验 收 1．已知sinα＜0，cosα＞0，则下列各式的值一定为正数的是（　　） A．sin（π+α） B． C． D．cos2α 【答案】AC 【解答】解：因为sinα＜0，cosα＞0，可得， A：sin（π+α）＝﹣sinα＞0，故A正确； B：，故B错误； C：，故C正确； D：令，则，故D错误． 故选：AC． 2．cos（α+45°）cos（α﹣15°）﹣sin（α+45°）sin（15°﹣α）＝ 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：cos（α+45°）cos（α﹣15°）﹣sin（α+45°）sin（15°﹣α） ＝cos（α+45°）cos（15°﹣α）﹣sin（α+45°）sin（15°﹣α） ＝cos[（α+45°）+（15°﹣α）] ＝cos60°． 故答案为：． 3．若α为第一象限角，则　 　 ． 【答案】﹣sinα． 【解答】解：sinα． 故答案为：﹣sinα． 4．已知． （1）化简f（α）； （2）若f（α）＝2，求sin2α﹣3sinαcosα的值； （3）若，求的值． 【答案】（1）f（α）＝tanα； （2）； （3）答案见详解． 【解答】解：（1）； （2）由（1）得tanα＝2， 所以sin2α﹣3sinαcosα． （3）由（1）得，令，则， 则， ∴，又， 得cosθ＝﹣3sinθ，代入sin2θ+cos2θ＝1，计算得：， 当θ为第二象限角时，，即； 当θ为第四象限角时，，即． 5．（1）求函数f（x）＝sin2x+cosx的最小值． （2）若sinθ、cosθ是关于x的方程x2﹣ax+a＝0的两个根，求． 【答案】（1）﹣1；（2）． 【解答】解：（1）由函数， 因为cosx∈[﹣1，1]， 所以当cosx＝﹣1时，函数f（x）取最小值﹣1． （2）因为sinθ，cosθ是关于x的方程x2﹣ax+a＝0的两个根， 由Δ＝（﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣4a＞0，解得a≤0或a≥4， 且sinθ+cosθ＝a，sinθcosθ＝a， 因为（sinθ+cosθ）2＝1+2sinθcosθ，即a2＝1+2a， 解得或（舍去）， 所以， 所以 ． 6．已知sin（π+α）＝2cos（π﹣α），计算： （1） （2）sin2α+sinαcosα﹣2cos2α 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵sin（π+α）＝2cos（π﹣α），∴﹣sinα＝﹣2cosα，∴tanα＝2． （1）原式． （2）原式． 7．下列关系式中正确的是（　　） A． B．sin168°＜sin11°＜cos10° C．tan（﹣52°）＞tan（140°）＞﹣1 D． 【答案】A 【解答】解：对于A，，A正确； 对于B，sin168°＝sin12°＞sin11°，B错误； 对于C，tan（﹣52°）＝tan（128°）＜tan（140°），C错误； 对于D，，D错误． 故选：A． 8．cos（﹣75°）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：cos（﹣75°） ＝cos（45°+30°） ＝cos45°cos30°﹣sin45°sin30° ． 故选：C． 9．已知tan（π+θ）＝﹣3，则（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【答案】B 【解答】解：因为tan（π+θ）＝tanθ＝﹣3， 所以5． 故选：B． 10．已知α∈（0，π），且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由于α∈（0，π）， 可得， 又因为0， 所以∈（，π）， 又因为sin， 所以， 所以， 所以． 故选：D． 11．sin240°＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：sin240°＝sin（180°+60°）＝﹣sin60°， 故选：A． 12．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵， ∴． 故选：C． 13．cos495°的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：cos495°＝cos（495°﹣360°）＝cos135°＝﹣cos45°． 故选：D． 14．cos（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：coscos（2）＝﹣cos． 故选：C． 15．sin的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：sin． 故选：C． 16．的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：tan（11π）＝tan． 故选：A． 17．下列说法正确的有（　　） A．若α的终边经过P（5k，12k），k≠0，则 B． C．函数在上单调递增 D．若角α和角β的终边关于y轴对称，则 【答案】BCD 【解答】解：对于选项A，由题意，α的终边经过P（5k，12k），k≠0， 可知当k＜0时，，故A错误； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，当， 则， 则在上单调递增，故C正确； 对于选项D，若角α和角β的终边关于y轴对称， 则α+β＝π+2kπ，k∈Z， 则α＝π﹣β+2kπ，k∈Z， 可得cosα＝cos（π﹣β+2kπ）＝﹣cosβ， 故，故D正确． 故选：BCD． 18．下列命题，其中正确的命题是（　　） A．若角α的终边经过点P（﹣3，4），则 B．若，则 C．若，且α为第四象限角，则 D．若，且，则 【答案】ACD 【解答】解：对于选项A：，所以，故A正确； 对于选项B：因为sin2α+cos2α＝1，易知，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D正确． 故选：ACD． 19．已知角α的终边经过点（﹣1，﹣3），则　　 ． 【答案】2． 【解答】解：由题意，可得tanα＝3， 所以． 故答案为：2． 20．已知，则sin（120°+α）+sin2（60°﹣α）＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：因为cos（30°+α）， 所以sin（120°+α）+sin2（60°﹣α） ＝sin（90°+30°+α）+sin2[90°﹣（30°+α）] ＝cos（30°+α）+cos2（30°+α） ． 故答案为：． 21．已知，则　 　 ． 【答案】﹣7． 【解答】解：原式7． 故答案为：﹣7． 22．设tan10°＝m，则　　 （结果用含m的式子表示）． 【答案】． 【解答】解： ． 故答案为：． 23．化简： 　 ． 【答案】cosx． 【解答】解：原式cosx． 故答案为：cosx． 24．已知α为锐角，cos（α），则cosα＝　 　 ． 【答案】． 【解答】解：因为α为锐角，cos（α）＝sinα， 所以cosα． 故答案为：． 25．已知． （1）化简函数f（x）； （2）若θ，α均为锐角，且f（θ）＝﹣3，，求sin2θ和的值． 【答案】（1）﹣tanx； （2），． 【解答】解：（1）由题意得 ； （2）由（1）得f（θ）＝﹣tanθ＝﹣3，解得tanθ＝3， 所以， 由，结合θ是锐角，解得， 根据α是锐角，可得， 结合，可得， 所以 学科网（北京）股份有限公司 $