第5章 5.3 第2课时 诱导公式五、六（Word教参）-【优化指导】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　诱导公式五、六 学习目标 1.理解诱导公式五、六的推导过程并识记诱导公式，理解公式的内涵及结构特征． 2．会初步运用诱导公式五、六求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简． 知识点　诱导公式五、六 观察如图单位圆及角α与－α的终边． 1．角α的终边与－α的终边有何关系？ 2．若设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x，y)，那么角－α的终边与单位圆的交点P2的坐标是什么？ 　文字语言：角±α的三角函数值等于α的异名三角函数值，前面放上把α看成锐角时原函数值的符号． 诱导公式五、六： (1)“诱导公式五、六”的特点：函数名改变，符号看象限，实现了正弦和余弦的相互转化； (2)运用公式时，把α“看成”锐角； (3)符号的变化要看把α看成锐角时所在的象限． 角度1　利用诱导公式求值 [例1] (1)已知cos (π＋α)＝，则sin (＋α)的值为 (　　) A． B．－ C． D．－ (2)已知sin (－α)＝，则cos (＋α)的值为________________________________________________________________________． (1)C　(2)　解析：(1)因为cos (π＋α)＝－cos α＝，所以sin (＋α)＝－cos α＝.故选C. (2)cos (＋α)＝cos [－(－α)]＝ sin (－α)＝. 用诱导公式五、六的两个关注点 常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α等；常见的互补关系有＋θ与－θ，＋θ与－θ等． [练1](2025·天津高一期末)已知sin (π＋α)＝－，则cos ＝ (　　) A． B．－ C． D．－ B　解析：由sin (π＋α)＝－，得－sin α＝－，则sin α＝. 故cos ＝cos ＝－sin α＝－. 角度2　诱导公式的综合应用 [例2] (2025·包头高一期末)已知f(α)＝ . (1)化简f(α)； (2)若cos (2π－α)＝－，且α为第三象限角，求f(α)的值． 解：(1)由诱导公式可得 f(α)＝ ＝ ＝－tan α. (2)因为cos (2π－α)＝－， 所以cos α＝－， 又α为第三象限角， 所以sin α＝－＝－， 所以tanα＝＝，所以f(α)＝－tan α＝－. 利用公式解题的注意点 (1)将同角三角函数基本关系式和诱导公式联系起来化简三角函数式是常见的题型，利用诱导公式解题时，要注意灵活运用公式． (2)在利用诱导公式对解题过程进行简化时，容易误认为是π的奇、偶倍而犯错，要牢记“奇变偶不变”中奇、偶指的是的奇、偶倍． [练2] (2025·兰州高一期末)已知α角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(5，－12). (1)求sin α，cos α，tan (π－α)； (2)求f(α)＝的值． 解：(1)由题意α角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(5，－12)， 所以sin α＝＝＝－， 可得cos α＝＝＝， 可得tan α＝＝－， tan (π－α)＝－tan α＝. (2)f(α)＝ ＝ ＝ ＝. 1．知识清单：利用诱导公式进行化简、求值与证明． 2．方法归纳：公式法、角的构造． 3．常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造． ◎随堂演练 1．已知sin α＝，则cos (＋α)＝ (　　) A． B． C．－ D．－ C　解析：cos (＋α)＝－sin α＝－. 2．(2025·南京师大附中高一期末)已知sin ＝，则cos ＝ (　　) A． B． C．－ D．－ C　解析：∵sin ＝，∴cos ＝cos ＝－sin ＝－. 3．(多选)(2025·梅州高一期末)下列等式正确的为 (　　) A．sin (α＋3π)＝－sin α B．cos (α＋)＝－sin α C．cos (－α)＝sin α D．tan (＋α)＝－ ACD　解析：对于A, sin (α＋3π)＝sin (α＋π)＝－sin α，正确； 对于B，cos (α＋)＝cos (α－)＝sin α，错误； 对于C，cos (－α)＝cos (－α)＝sin α，正确； 对于D，tan (＋α)＝＝＝－，正确． 4．(2025·重庆高一检测)化简tan (＋α)tan (π＋α)＝________． 答案：－1　解析：tan (＋α)tan (π＋α)＝×tan α＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$