4.3 对数 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“对数”核心知识点，衔接指数函数，系统梳理对数的定义、常见对数（常用、自然）、指数式与对数式互化、运算性质、换底公式及方程求解，通过题型递进构建从概念到应用的学习支架。 资料以情境化例题（如污染治理、光照强度）培养数学眼光，用定义法、换底法等系统方法提升数学思维，分层设计典例、变式及过关验收强化数学语言表达。课中辅助教学高效，课后助力学生查漏补缺。

4.3 对数 内 容 导 航 题型1 对数的概念 题型2 指数式与对数式的互化 题型3 对数运算求值 题型4 对数方程求解 题型5 分式的基本性质 考 点 演 练 题型1 对数的概念 解｜题｜知｜识 1．对数的定义 如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． （2）几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a（a＞0且a≠1） logaN 常用对数 底数为10 lgN 自然对数 底数为e lnN 【典例1】记对数log23的整数部分为a，第一位小数的值为b，则a+b＝（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】已知符号[x]表示“不超过x的最大整数”，如[﹣2]＝﹣2，[﹣1.5]＝﹣2，[2.5]＝2，则[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1 【变式2】若4x＝9y＝6，则　　 ． 【变式3】已知a＞0，且a≠1，设p：函数y＝loga（x+1）在x∈（0，+∞）内单调递减；q：函数y＝x2+（2a﹣3）x+1有两个不同零点，如果p和q有且只有一个正确，求a的取值范围． 题型2 指数式与对数式的互化 解｜题｜知｜识 ab＝N⇔logaN＝b； alogaN＝N；logaaN＝N 指数方程和对数方程主要有以下几种类型： （1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法） （2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法） （3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法） （4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）；（换底法） （5）\;Alog4{a}^{2}$x+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝logax或t＝ax）（换元法） 【典例1】某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn（g/m3）满足函数模型（n∈N*），其中n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过0.25g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（　　）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48） A．14次 B．15次 C．16次 D．17次 【变式1】当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中K是消光系数，D（单位：米）是海水深度，ID（单位：坎德拉）和I0（单位：坎德拉）分别表示在深度D处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K的值约为（　　） （参考数据：ln2≈0.7，ln5≈1.6） A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.14 【变式2】荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把（1+1%）365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把（1﹣1%）365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255．若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过（　　）天 （参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956） A．200天 B．210天 C．220天 D．230天 【变式3】若9a＝5，log34＝b，则32a+b＝（　　） A．10 B．20 C．50 D．100 题型3 对数运算求值 解｜题｜知｜识 对数的性质：①N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）． loga（MN）＝logaM+logaN；logalogaM﹣logaN； logaMn＝nlogaM；logalogaM． 【典例1】人类已进入大数据时代，数据量已经从TB（1TB＝1024GB）级别跃升到PB（1PB＝1024TB），EB（1EB＝1024PB），ZB（1ZB＝1024EB）级别．国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2009年全球产生的数据量为0.8ZB，并正以约50%的年增长率递增．据此估计，全球产生的数据量经过（　　）年将首次突破60ZB（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）． A．10 B．11 C．12 D．13 【变式1】已知函数，则f（log25）＝（　　） A． B．3 C．4 D． 【变式2】正数x，y满足log4x+log4y＝log2（x﹣2y），则log2x﹣log2y的值为（　　） A．0 B．2 C．0或2 D．0或﹣2 【变式3】某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+b+2（e为自然对数的底数．k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是202小时，在20℃的保鲜时间是52小时，则该食品在30℃的保鲜时间是（　　） A．25小时 B．26小时 C．27小时 D．28小时 题型4 对数方程求解 解｜题｜知｜识 对数的性质：①N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）． loga（MN）＝logaM+logaN；logalogaM﹣logaN； logaMn＝nlogaM；logalogaM． 【典例1】已知方程ln2x﹣3lnx+1＝0的两个根分别为m，n，则logmn+lognm的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】若对任意的x∈[2，8]，总存在y∈[1，2]，使得成立，则数m的取值范围是 　 　 ． 【变式2】方程lg（﹣2x）＝lg（3﹣x2）的解集为 　 　 ． 【变式3】1）计算：； （2）求下列式中的x的值：． 题型5 化换底公式的应用 解｜题｜知｜识 换底公式及换底性质： （1）logaN（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）． （2）logab， （3）logab•logbc＝logac， （4）loganbmlogab． 【典例1】若lg2＝a，lg3＝b，则log4512等于（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知2a＝5b＝M，且2，则M的值是（　　） A．20 B．2 C．±2 D．400 【变式2】log29×log34＝（　　） A． B． C．2 D．4 【变式3】已知a＝lg2，b＝lg3，则log36＝　 　 （用a、b表示）． 过 关 验 收 1．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，成为历史上的珍闻．若，lg2＝0.3010，则x的值约为（　　） A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669 2．当强度为x的声音对应的等级为f（x）分贝时，有（其中A0为常数），某挖掘机的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为50分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（　　） A．e4 B．104 C． D．105 3．已知2m＝3n＝6，则下列说法正确的是（　　） A．m+n＝mn B．m2+n2＝8 C．m+n＞4 D．（m﹣1）2+（n﹣1）2＞2 4．已知2x＝32y＝λ，其中，则λ＝　 　 ． 5．已知实数m，n满足2m＝5n＝10，则的值为 　　 ． 6．若2m＝3n＝k，且，则实数k的值为 　　 ． 7．已知2a＝5，log89＝b，则43b﹣3•4a＝（　　） A．6 B．4 C．2 D．1 8．努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：1.01365＝37.8，0.99365＝0.03．我们可以把（1+1%）365看作每天的进步率都是1%，而把（1﹣1%）365看作每天的落后率都是1%，大约经过（　　）天后进步的是落后的200倍． A．264 B．266 C．268 D．270 9．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每过滤一次可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的2%以下，则至少需要过滤（　　） A．4次 B．5次 C．6次 D．7次 10．已知0＜a＜b＜c＜1，则（　　） A．ab＜ac B．ac＜bc C．logab＞0 D．logbc＜1 11．计算：　 ． 12．设方程3x+x﹣4＝0的根为α，方程log3x+x﹣4＝0的根为β，则3α+log3β+3的值为　　 ． 13．计算：　　 ． 14．　　 ． 15．（1）证明对数换底公式：（其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，N＞0）． （2）已知log32＝m，试用m表示log3218． （3）化简：． 16．（1）计算：． （2）计算：． （3）已知，求的值． 17．求下列各式的值： （1）； （2）2（log43+log83）（log32+log92）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 对数 内 容 导 航 题型1 对数的概念 题型2 指数式与对数式的互化 题型3 对数运算求值 题型4 对数方程求解 题型5 分式的基本性质 考 点 演 练 题型1 对数的概念 解｜题｜知｜识 1．对数的定义 如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． （2）几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a（a＞0且a≠1） logaN 常用对数 底数为10 lgN 自然对数 底数为e lnN 【典例1】记对数log23的整数部分为a，第一位小数的值为b，则a+b＝（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解答】解：∵1＜log23＜2， ∴a＝1， 设第二位小数及以后的值为c，则有log23＝1+0.1b+0.01c， ∴log23﹣1＝0.1b+0.01c， ∵0.1b+0.01c＝log23﹣1＝log23﹣log22， ∴b+0.1c＝10， 而57.7，32， ∴， ∴， ∴5＜b+0.1c＜6， ∴b＝5， ∴a+b＝6， 故选：C． 【变式1】已知符号[x]表示“不超过x的最大整数”，如[﹣2]＝﹣2，[﹣1.5]＝﹣2，[2.5]＝2，则[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1 【答案】A 【解答】解：由题意可得：[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24] ＝﹣2+（﹣2）+（﹣1）+0+1+1+2 ＝﹣1 故选：A． 【变式2】若4x＝9y＝6，则　　 ． 【答案】2 【解答】解：∵4x＝9y＝6，∴x，y． 则2． 故答案为：2． 【变式3】已知a＞0，且a≠1，设p：函数y＝loga（x+1）在x∈（0，+∞）内单调递减；q：函数y＝x2+（2a﹣3）x+1有两个不同零点，如果p和q有且只有一个正确，求a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意易知p：0＜a＜1，q：（2a﹣3）2﹣4＞0，即或． 又因为p和q有且只有一个正确， 所以若p真q假，即，得； 若p假q真，即，得， 综上可得a的取值范围是a＜1或． 题型2 指数式与对数式的互化 解｜题｜知｜识 ab＝N⇔logaN＝b； alogaN＝N；logaaN＝N 指数方程和对数方程主要有以下几种类型： （1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法） （2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法） （3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法） （4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）；（换底法） （5）\;Alog4{a}^{2}$x+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝logax或t＝ax）（换元法） 【典例1】某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn（g/m3）满足函数模型（n∈N*），其中n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过0.25g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（　　）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48） A．14次 B．15次 C．16次 D．17次 【答案】C 【解答】解：，由rn≤0.25，得30.25（n﹣1）≥50，即， 得，又n∈N*，所以n≥16， 故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次． 故选：C． 【变式1】当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中K是消光系数，D（单位：米）是海水深度，ID（单位：坎德拉）和I0（单位：坎德拉）分别表示在深度D处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K的值约为（　　） （参考数据：ln2≈0.7，ln5≈1.6） A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.14 【答案】C 【解答】解：某海域6米深处的光强是海面光强的40%， 依题意得，， 化成对数式，， 则该海域消光系数K的值约为K≈0.15． 故选：C． 【变式2】荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把（1+1%）365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把（1﹣1%）365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255．若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过（　　）天 （参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956） A．200天 B．210天 C．220天 D．230天 【答案】D 【解答】解：设经过x天“进步“的值是“退步”的值的100倍． 则100×0.99x＝1.01x， 即（）x＝100， ∴x＝log100230． 故选：D． 【变式3】若9a＝5，log34＝b，则32a+b＝（　　） A．10 B．20 C．50 D．100 【答案】B 【解答】解：∵9a＝5，∴32a＝5，∵log34＝b，∴3b＝4， 则32a+b＝32a3b＝5×4＝20． 故选：B． 题型3 对数运算求值 解｜题｜知｜识 对数的性质：①N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）． loga（MN）＝logaM+logaN；logalogaM﹣logaN； logaMn＝nlogaM；logalogaM． 【典例1】人类已进入大数据时代，数据量已经从TB（1TB＝1024GB）级别跃升到PB（1PB＝1024TB），EB（1EB＝1024PB），ZB（1ZB＝1024EB）级别．国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2009年全球产生的数据量为0.8ZB，并正以约50%的年增长率递增．据此估计，全球产生的数据量经过（　　）年将首次突破60ZB（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【解答】解：设全球产生的数据量经过n年将首次突破60ZB， 由题意得0.8（1+0.5）n＞60，即（1+0.5）n＞75，两边取对数得， 故， 又n∈N*，故经过11年将首次突破60ZB． 故选：B． 【变式1】已知函数，则f（log25）＝（　　） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【解答】解：， 由题可知，3＞log25＞log24＝2，f（log25）＝f（log25﹣1）， log25﹣1＜2，． 故选：A． 【变式2】正数x，y满足log4x+log4y＝log2（x﹣2y），则log2x﹣log2y的值为（　　） A．0 B．2 C．0或2 D．0或﹣2 【答案】B 【解答】解：正数x，y满足log4x+log4y＝log2（x﹣2y）， 则，即xy＝（x﹣2y）2，解得x＝y或x＝4y， 又x﹣2y＞0，故x＝y舍去， log2x﹣log2ylog24＝2． 故选：B． 【变式3】某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+b+2（e为自然对数的底数．k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是202小时，在20℃的保鲜时间是52小时，则该食品在30℃的保鲜时间是（　　） A．25小时 B．26小时 C．27小时 D．28小时 【答案】C 【解答】解：由食品在0℃的保鲜时间是202小时， 将x＝0，y＝202代入函数y＝ekx+b+2，得202＝eb+2，∴eb＝200， 由在20℃的保鲜时间是52小时，得52＝e20k+b+2， 即e20k+b＝50，且eb＝200， ∴e20k×200＝50，则e20k， 对e20k两边同时取自然对数，得20k＝ln，即kln， 当x＝30时，代入函数y＝ekx+b+2，即y＝e30k+b+2，eb＝200． ∴e30k， ∴y＝e30k×eb+2200+2＝25+2＝27（小时）， 该食品在30℃的保鲜时间是27小时． 故选：C． 题型4 对数方程求解 解｜题｜知｜识 对数的性质：①N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）． loga（MN）＝logaM+logaN；logalogaM﹣logaN； logaMn＝nlogaM；logalogaM． 【典例1】已知方程ln2x﹣3lnx+1＝0的两个根分别为m，n，则logmn+lognm的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解答】解：由题意方程ln2x﹣3lnx+1＝0的两个根分别为m，n， 可知， 即lnm，lnn是方程x2﹣3x+1＝0的两个根， 则Δ＝9﹣4＝5＞0，可得， 所以． 故选：D． 【变式1】若对任意的x∈[2，8]，总存在y∈[1，2]，使得成立，则数m的取值范围是 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：设t＝log2x， 又x∈[2，8]， 即t∈[1，3]， 则对任意的t∈[1，3]，总存在y∈[1，2]，使得， 又当t∈[1，3]时，， 又当y∈[1，2]时，2y+m∈[2+m，4+m]， 则， 则， 即． 故答案为：． 【变式2】方程lg（﹣2x）＝lg（3﹣x2）的解集为 　 　 ． 【答案】{x|x＝﹣1}． 【解答】解：因为lg（﹣2x）＝lg（3﹣x2）， 则，解得x＝﹣1， 所以方程lg（﹣2x）＝lg（3﹣x2）的解集为{x|x＝﹣1}． 故答案为：{x|x＝﹣1}． 【变式3】1）计算：； （2）求下列式中的x的值：． 【答案】（1）5；（2）﹣2． 【解答】解：（1）原式＝（lg5+lg2）（lg5﹣lg2）+（22） ＝lg5﹣lg2+2g2﹣1+5 ＝lg5+lg2+4 ＝1+4 ＝5． （2）由 （3x2+2x﹣1）＝1， 得， 解得x＝﹣2． 题型5 化换底公式的应用 解｜题｜知｜识 换底公式及换底性质： （1）logaN（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）． （2）logab， （3）logab•logbc＝logac， （4）loganbmlogab． 【典例1】若lg2＝a，lg3＝b，则log4512等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵lg2＝a，lg3＝b， ∴log4512， 故选：D． 【变式1】已知2a＝5b＝M，且2，则M的值是（　　） A．20 B．2 C．±2 D．400 【答案】B 【解答】解：∵2a＝5b＝M＞0， ∴a＝log2M，． ∵2， ∴， ∴M2＝20． ∴2． 故选：B． 【变式2】log29×log34＝（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解答】解：原式4． 故选：D． 【变式3】已知a＝lg2，b＝lg3，则log36＝　 　 （用a、b表示）． 【答案】 【解答】解：∵a＝lg2，b＝lg3， ∴log36． 故答案为：． 过 关 验 收 1．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，成为历史上的珍闻．若，lg2＝0.3010，则x的值约为（　　） A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669 【答案】A 【解答】解：由，lg2＝0.3010， 所以x＝log21.322； 即x的值约为1.322． 故选：A． 2．当强度为x的声音对应的等级为f（x）分贝时，有（其中A0为常数），某挖掘机的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为50分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（　　） A．e4 B．104 C． D．105 【答案】D 【解答】解：记该挖掘机与普通室内谈话的声音强度分别为x1，x2， 由题知，， 解得， 所以． 故选：D． 3．已知2m＝3n＝6，则下列说法正确的是（　　） A．m+n＝mn B．m2+n2＝8 C．m+n＞4 D．（m﹣1）2+（n﹣1）2＞2 【答案】ACD 【解答】解：因为2m＝3n＝6，所以m＝log26＞0，n＝log36＞0， 即，故m+n＝mn（m≠n），故A正确； 因为m＞0，n＞0，， 所以m+n＞4成立，故C正确； ， 故m2+n2＞8，故B错误； （m﹣1）2+（n﹣1）2＝m2+1﹣2m+n2+1﹣2n＝m2+n2﹣2（m+n）+2＝m2+n2﹣2mn+2＝（m﹣n）2+2＞2成立，故D正确． 故选：ACD． 4．已知2x＝32y＝λ，其中，则λ＝　 　 ． 【答案】． 【解答】解：由2x＝32y＝λ可得x＝log2λ，， 由可得，即logλ2+logλ9＝logλ18＝2， 解得． 故答案为：． 5．已知实数m，n满足2m＝5n＝10，则的值为 　　 ． 【答案】1． 【解答】解：实数m，n满足2m＝5n＝10， ∴m＝log210，n＝log510， 则lg2+lg5＝1． 故答案为：1． 6．若2m＝3n＝k，且，则实数k的值为 　　 ． 【答案】12． 【解答】解：由2m＝3n＝k，得m＝log2k，n＝log3k， 又，∴， 可得2logk2+logk3＝1，则logk12＝1，即k＝12． 故答案为：12． 7．已知2a＝5，log89＝b，则43b﹣3•4a＝（　　） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【解答】解：因为log89b， 所以log29＝3b，所以23b＝9， 所以43b＝（23b）2＝81， 又因为4a＝（2a）2＝25， 所以43b﹣3•4a＝81﹣75＝6． 故选：A． 8．努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：1.01365＝37.8，0.99365＝0.03．我们可以把（1+1%）365看作每天的进步率都是1%，而把（1﹣1%）365看作每天的落后率都是1%，大约经过（　　）天后进步的是落后的200倍． A．264 B．266 C．268 D．270 【答案】A 【解答】解：由题意可得，（1+1%）n＝200（1﹣1%）n， 则nlg1.01＝lg200+nlg0.99＝2+lg2+nlg0.99， 所以n（lg1.01﹣lg0.99）＝2+lg2， 所以n264． 故选：A． 9．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每过滤一次可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的2%以下，则至少需要过滤（　　） A．4次 B．5次 C．6次 D．7次 【答案】C 【解答】解：设至少需要过滤n次（n∈N）， 每过滤一次可使水中杂质减少50%，要使水中杂质减少到原来的2%以下， 则，即2n≥50，解得n≥6． 故选：C． 10．已知0＜a＜b＜c＜1，则（　　） A．ab＜ac B．ac＜bc C．logab＞0 D．logbc＜1 【答案】BCD 【解答】解：因为0＜a＜1，所以函数y＝ax在R上单调递减，又b＜c，所以ab＞ac，故A选项不正确； 因为幂函数y＝xc（0＜c＜1）在（0，+∞）上单调递增，且0＜a＜b＜1，所以ac＜bc，故B选项正确； 因为0＜a＜1，所以函数y＝logax在（0，+∞）上单调递减，且0＜b＜1，所以logab＞loga1＝0，故C选项正确； 因为0＜b＜1，所以函数y＝logbx在（0，+∞）上单调递减，且0＜b＜c＜1，所以logbb＞logbc，即logbc＜1，故D选项正确． 故选：BCD． 11．计算：　 ． 【答案】． 【解答】解：原式＝5log22 ＝5+4． 故答案为：． 12．设方程3x+x﹣4＝0的根为α，方程log3x+x﹣4＝0的根为β，则3α+log3β+3的值为　　 ． 【答案】7． 【解答】解：方程3x+x﹣4＝0的根为α，方程log3x+x﹣4＝0的根为β， 设函数y＝3x与y＝﹣x+4的交点为（α，4﹣α）， 由方程log3x+x﹣4＝0的根为β， 设函数y＝log3x与y＝﹣x+4的交点为（β，4﹣β）， ∵函数y＝3x与函数y＝log3x互为反函数，∴两者图象关于y＝x对称， ∵直线y＝﹣x+4与直线y＝x互相垂直， ∴点（α，4﹣α）与（β，4﹣β）关于y＝x对称，则α＝4﹣β，∴α+β＝4， 由题意得到3α+α﹣4＝0，log3β+β﹣4＝0则3α＝4﹣α，log3β＝4﹣β； ∴3α+log3β+3＝4﹣α+4﹣β+3＝8﹣（α+β）+3＝8﹣4+3＝7． 故答案为：7． 13．计算：　　 ． 【答案】3． 【解答】解： ． 故答案为：3． 14．　　 ． 【答案】8． 【解答】解：原式＝1lg（6）+2＝1+4+lg10+2 ＝1+4+1+2＝8． 故答案为：8． 15．（1）证明对数换底公式：（其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，N＞0）． （2）已知log32＝m，试用m表示log3218． （3）化简：． 【答案】（1）设logbN＝x，则bx＝N， 得xlogab＝logaN． 因为b＞0，b≠1，logab≠0， 得． 所以． （2）； （3）． 【解答】解：（1）证明：设logbN＝x，则bx＝N， 得xlogab＝logaN． 因为b＞0，b≠1，logab≠0， 得． 所以． （2）因为log32＝m， 因此． （3） ． 16．（1）计算：． （2）计算：． （3）已知，求的值． 【答案】（1）2； （2）7； （3）． 【解答】解：（1） 1+2＝2； （2） ＝4+log5log550 ＝4+log5（）＝4+log5125＝4+3＝7； （3）因为， 所以a+a﹣1﹣2＝1，即a+a﹣1＝3， 所以a2+a﹣2+2＝9，即a2+a﹣2＝7， ． 17．求下列各式的值： （1）； （2）2（log43+log83）（log32+log92）． 【答案】（1）107.5； （2）． 【解答】解：（1） ＝4×27+1+0.5﹣2 ＝107.5． （2）2（log43+log83）（log32+log92） ＝2（）（） ＝2（）（） ． 学科网（北京）股份有限公司 $