2.2基本不等式 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学基本不等式核心知识点，以“基础理解—核心计算—综合应用”为学习支架，系统梳理不等式推导、“一正二定三相等”使用前提，区分重要不等式与均值不等式适用范围，详解和定积最大、积定和最小模型及配凑系数、分离常数、“1的代换”变形技巧，延伸至双变量条件式、分式函数最值等综合应用。 资料特色在于六大题型分类配套标准作答模板与解题技巧，结合北京期中期末真题强化训练，通过高频易错点分析培养学生严谨数学思维，规范书写等号成立条件提升数学语言表达能力。课中助力教师高效授课，课后学生可通过题型专练查漏补缺，深化对知识的理解与应用。

基本不等式（解析版） 一、北京考纲考察要求 1. 基础理解：掌握基本不等式的推导，牢记一正、二定、三相等三大使用前提，区分（全体实数适用）与均值不等式的适用范围。 2. 核心计算：熟练两类基础最值模型：和定积最大、积定和最小；掌握配凑系数、分离常数、“1 的代换” 三大变形技巧。 3. 综合应用 （1）双变量条件式求最值（、两类经典条件）； （2）分式型函数最值（一次 / 二次分式，配凑模型）； （3）恒成立问题：恒成立等价于，反之同理； （4）实际应用题（成本、产量、平均造价最值，北京期中解答高频）。 4. 逻辑考点：结合充分必要条件判断（是充分不必要条件，北京选择常考）。 5. 能力要求：分类讨论负数转化、等号取不到改用单调性，规范书写等号成立条件（大题得分点）。 二、基础核心知识点 （一）两大核心不等式 1. 重要不等式（全体实数通用） ，当且仅当取等； 拓展变形：，用于平方和、线性和互化。 2. 基本均值不等式（一正限制） 若\(a>0，b>0\)，则，文字：算术平均数≥几何平均数； 变形 1（和定积最大）：； 变形 2（积定和最小）：。 （二）三大硬性使用条件（缺一不可，阅卷扣分重灾区） 1. 一正：参与运算两个代数式必须均为正数； 处理负数：时，提取负号转化为正数，，整体求最大值。 2. 二定 1. 求和最小值：两项乘积为定值； 2. 求积最大值：两项和为定值； 无定值必须配凑系数、乘 “1” 构造定值。 3. 三相等：求出最值后，必须验证的解在自变量取值范围内；若等号取不到，改用对勾函数单调性求解。 （三）四类通用变形解题技巧 1. 配凑系数法 两项系数不匹配时，提取常数构造相同系数； 例：已知，，配凑为定值。 2. 分离常数配凑（分式专用） 分子二次、分母一次：拆分出结构，分母，； 例：。 3. “1 的代换”（双变量线性条件必考） 已知，求，目标式整体乘展开，交叉项积为定值。 4. 消元转化法 条件式为，变形因式分解，构造积定值。 （四）高频二级模型 1. 单分式型：； 2. 区间一次乘积：，配凑和定值； 3. 恒成立逻辑：对定义域内所有x成立。 三、六大题型分类 + 标准作答模板、解题技巧 题型一：和定求积最大值（单变量一次乘积、双线性和） 题型特征 已知正数和为定值，求两式乘积最大值；含区间限制的二次型。 通用作答步骤 1. 判定t>0，m-nt>0，满足一正； 2. 提取系数，配凑两项相加为固定常数； 3. 套计算最大值； 4. 验证时自变量在区间内。 解题技巧 区间类，无需联立二次函数，直接均值 10 秒出结果；系数不统一先提常数再放缩。 易错点 忘记配系数直接套用，导致定值不成立。 题型二：积定求和最小值（单分式、xy定值双变量） 题型特征 已知乘积为定值，求两式相加最小值；型。 通用作答步骤 1. 确定分母、自变量均为正数； 2. 直接套用； 3. 解方程，验证取值范围； 4. 负数先变号，求最大值。 细分考法：类 如a>4，a+，先配凑整体，注意取不到等号，值域开区间。 技巧口诀 积定直接开根号，负数整体加负号。 题型三：条件等式最值（因式分解型） 题型特征 正数满足类等式，求ab或最值。 标准步骤 1. 等式左右加常数，因式分解，构造积定值； 2. 均值不等式放缩，设换元解二次不等式； 3. 舍去负根，验证等号条件。 例题模板 ，再表示。 题型四：“1 的代换” 题型特征 已知或，求分式和、最值。 万能四步模板 1. 目标代数式整体乘以条件式（整体乘 “1”）； 2. 展开拆分，得到交叉项； 3. 交叉项用积定求和放缩； 4. 联立方程解\(x、y\)，验证正数范围。 解题技巧 条件分母含，统一换元再乘 1 代换，简化计算。 题型五：分式函数最值（分离常数法） 题型特征 分子二次、分母一次：。 标准步骤 1. 分子配方，拆分出分母整体； 2. 分离常数，化为常数（分母）； 3. 均值求最值，验证等号； 实际应用 成本、每吨平均造价应用题，统一拆分分式再求最低成本。 题型六：恒成立、充分必要判断（选择难点） 考法 1 恒成立参数范围 1. 先用均值求出式子最值； 2. 恒大于等于：参数≤最小值；恒小于等于：参数≥最大值。 考法 2 充分必要条件 如 “” 是充分不必要； 技巧：举负值反例推翻必要性。 四、全模块高频易错扣分点（北京阅卷标准） 1. 忽略一正：直接套用，符号完全相反； 2. 缺少二定：两项和、积均不为定值直接放缩，无固定最值； 3. 省略三相等验证：等号不在定义域，均值失效，必须改用单调性； 4. 多次连用不等式，前后取等条件不一致，答案无效； 5. 配凑系数漏乘常数，如直接当作计算； 6. “1 代换” 展开交叉项系数计算错误； 7. 分式分离常数配方出错，无法构造； 8. 恒成立不等号搞反：恒成立求； 9. 区间边界导致等号取不到，值域写成闭区间扣分； 10. 重要不等式无正负限制，均值必须正数，二者混淆。 五、通用应试答题技巧 1. 选择填空优先判断正负、观察和 / 积是否定值，30 秒秒杀； 2. 和定求积统一提取系数配凑，积定求和直接开根号； 3. 看到线性等式，第一反应 “1 的代换”； 4. 分式函数先分离常数，不联立二次方程； 5. 解答题规范踩点书写：先写，再写不等式，最后验证取等条件； 6. 等号取不到题型，答题补充：因不在定义域，改用对勾函数单调性； 7. 实际应用题先设变量、标注取值范围，再用均值； 8. 恒成立题目先求函数最值，再列参数不等式，步骤清晰分步得分。 六、题型专练 题型一：已知和为定值求积的最值 1．（20-21高一上·北京朝阳·期末）已知，则的最大值为___________． 【答案】1 【分析】利用基本不等式可得. 【详解】由，则， 当且仅当时取等号． 故答案为：1 2．（24-25高一上·上海静安·期中）已知为正实数，且满足，则的最大值是______． 【答案】100 【分析】利用基本不等式的变形，得到，即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 即的最大值为. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课前预习）设、满足，且、都是正数，则的最大值为________． 【答案】25 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于、都是正数，故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为25， 故答案为：25 4．（23-24高一上·北京东城·期中）若，则的最_____值是_________，此时_______，________. 【答案】 大 81 9 9 【分析】根据基本不等式易得. 【详解】因x>0，y>0，且x+y=18，由可得，当且仅当时取等号，即xy的最大值是81，此时. 故答案为：大；81；9；9. 5．（23-24高一上·北京·期中）已知，，，则xy的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，，，所以，故， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B 6．（23-24高一上·北京·期中）已知正数满足，则的最大值是______． 【答案】 【分析】依题意由基本不等式即可求得当时，取得最大值. 【详解】根据题意，利用基本不等式可得， 即可得， 当且仅当，即时，等号成立； 因此的最大值是. 故答案为： 7．（23-24高一上·北京大兴·期中）已知，则函数的最大值等于______，取最大值时______. 【答案】 /0.25 /0.5 【分析】先求的取值范围，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由得，因为，， 所以利用基本不等式可得，整理得， 当且仅当即时，等号成立. 故当时，的最大值为. 故答案为：；. 8．（23-24高一上·北京海淀·期中）已知x，，若，则（    ） A．xy的最大值为1 B．xy的最大值为2 C．xy的最小值为1 D．xy的最小值为2 【答案】A 【分析】利用重要不等式求解. 【详解】由不等式可知，，所以， 当且仅当时取得等号，所以xy的最大值为1，A正确，B错误； 由不等式可知，，所以， 当且仅当或时取得等号， 所以xy的最小值为，CD错误； 故选:A. 9．（22-23高一·全国·课堂例题）函数的最大值是__________． 【答案】/ 【分析】方法一：将函数变形为，然后利用基本不等式可求出其最大值，方法二：将函数变形为，然后利用基本不等式可求出其最大值. 【详解】方法一：， ∵，∴，， ∴，当且仅当，即时取等号． 故当时，． 方法二：由知，∴， 当且仅当，即时取等号． 故当时，． 故答案为： 10．（2023高二·河北·学业考试）已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用基本不等式求解即可 【详解】∵，，， ∴由基本不等式有： ， 当且仅当，即，时，等号成立. ∴当且仅当，时，的最大值为. 故选：B. 11．（20-21高一上·北京顺义·阶段检测）已知，则当_________时，取最大值为_________. 【答案】 / / 【分析】利用基本不等式即可得出最值． 【详解】， ，当且仅当时取等号． 取最大值时的值为． 故答案为：，． 12．（21-22高一上·北京大兴·期末）当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式直接求解. 【详解】，，又 ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为 故选：B 13．（北京市首都师范大学附属中学（通州校区）2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题）已知0＜x，则x（1﹣2x）的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式求得最大值． 【详解】因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 故选：C． 14．（20-21高一上·北京·期中）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知，结合基本不等式，可得，从而可求出的最大值. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，整理得，即. 所以的最大值为. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等”. （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 15．（23-24高一·全国·课后作业）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由，结合基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为，故， 则， 当且仅当，即时，等号成立； 故选：A. 【点睛】本题主要考查由基本不等式求积的最大值，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 16．（22-23高一上·北京·期中）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）由，再利用基本不等式可得到答案. （2）由，再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】（1）因为， 又因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以. （2）因为，所以. 所以. 当且仅当，即时取等号. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，要注意和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值的应用，属于简单题. 题型二：已知积为定值求和的最值 1．（23-24高一下·北京昌平·期末）若，则函数的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知，则函数， 当且仅当，即时取得等号， 故函数的最小值为4， 故选：D 2．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知，则的最小值为________，此时________． 【答案】 5； 2. 【分析】直接利用基本不等式即可得到答案. 【详解】因为，则， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：5；2. 3．（24-25高一上·北京·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用基本不等式和充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，，当且仅当时，即时取等号，故充分性成立； 当时，也成立，不满足，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 4．（25-26高一上·北京·期中）已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】，当且仅当时取等号，而已知条件为，所以等号取不到， 所以的取值范围是. 故选：D 5．（25-26高一上·北京·期中）已知，则函数的最小值是______，此时______. 【答案】 7 【分析】根据题意利用基本不等式求最值，并求等号成立的条件. 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值是7，此时. 故答案为：7；. 6．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】直接使用基本不等式求解即可. 【详解】由于，， 当时，上式取等号，即时，的最小值是. 故选：B 7．（24-25高一上·北京延庆·期末）已知，则的最大值为______，当且仅当______时，等号成立. 【答案】 【分析】利用基本不等式可得何时取何最大值. 【详解】， 当且仅当即时等号成立， 故的最大值为，此时， 故答案为：，. 8．（24-25高一上·北京东城·阶段检测）若 在处取得最小值，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值2，因此. 故选：B 9．（24-25高一上·北京·期中）已知为正数，则（    ） A．有最小值，为2 B．有最小值，为 C．有最小值，为4 D．不一定有最小值 【答案】B 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为为正数，所以，， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以有最小值. 故选：B 10．（24-25高一上·北京·期中）使“函数的最小值为2”为假命题的的一个值可以是（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】D 【分析】利用基本不等式求出取得最小值的条件，进而求出的范围，再利用其否定为真命题即可得解. 【详解】依题意，， 当且仅当，即时取等号，而，则， 由“函数的最小值为2”为假命题，所以. 故选：D 11．（24-25高一上·北京大兴·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】对条件变形，结合基本不等式计算即可. 【详解】因为，所以，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立. 所以的最小值为. 故选：C. 12．（23-24高一下·广东汕头·阶段检测）已知，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由，得，将变形为，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取最小值为. 故答案为：. 13．（24-25高三上·北京顺义·阶段检测）已知，，且，则的最小值为______. 【答案】4 【分析】应用基本不等式即可得出最小值. 【详解】因为且, 所以, 当且仅当，即时取等最小值. 故答案为： 14．（23-24高三上·北京·阶段检测）若关于x的不等式 对于任意恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】变换得到，利用均值不等式计算，得到答案. 【详解】，即，，故， 则，，当且仅当，时等号成立，故. 故选：A 15．（22-23高一上·北京西城·期末）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心．已知仓储中心建造费用C（单位：万元）与仓储中心到机场的距离s（单位：）之间满足的关系为，则当C最小时，s的值为（    ） A．20 B． C．40 D．400 【答案】A 【分析】根据均值不等式求解即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当C最小时，s的值为20. 故选：A 16．（25-26高一上·北京朝阳·阶段检测）已知为正实数且满足，则的最大值是____________，的最大值为____________. 【答案】 / 【分析】直接根据基本不等式得，进而得即可得的最大值；再根据得，进而得的最大值. 【详解】由为正实数且满足， 故根据基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是； 因为，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以当且仅当时等号成立， 所以的最大值为 故答案为：； 17．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为________. 【答案】4 【分析】由题设将所求化为，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题a，b为正实数，且满足， 则，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为4. 故答案为：4 题型三：条件等式求最值 1．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 【答案】C 【分析】由a，，结合，可得a，.随后注意到由可得，最后将化为，再利用基本不等式可得答案. 【详解】，因a，， 则，同理易得. 则. 从而， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 2．（24-25高一上·北京·阶段检测）已知为正实数且满足，则的最小值是______，的最大值为______． 【答案】 【分析】利用基本不等式结合相关变式即可求解，注意等号成立的条件. 【详解】由，，则，当且仅当取等号， 故，即的最小值为； 由，， 则, 所以， 所以的最大值为，当且仅当取等号. 故答案为：；. 3．（23-24高一上·北京昌平·期中）正实数满足，则的最小值是______，的最小值是_______ 【答案】 【分析】根据基本不等式结合一元二次不等式求法即可得到答案. 【详解】①正实数满足，则， 令，则， 解得（舍去）或， 即，当且仅当时等号成立，故的最小值是. ②正实数满足，则， 令，则， 则（舍去）或， 即，当且仅当时等号成立，故的最小值是. 故答案为：； 4．（22-23高一上·北京·期中）已知正实数，满足，则当_________时，的最小值为_________. 【答案】 【分析】直接根据基本不等式求解即可. 【详解】根据基本不等式可得，， 当且仅当，且，即，时，等号成立. 故答案为：；. 5．（22-23高一上·北京通州·期末）已知，则的最大值为__________，最小值为__________． 【答案】 【分析】由可推出，即得，即可得到最值. 【详解】因为成立，当且仅当时，等号成立. 所以， 即，解得. 所以，当且仅当时，有最大值；当且仅当时，有最小值. 故答案为：；. 6．（22-23高一上·北京·期中）已知，且，则的最小值是___________；取到最小值时，__________． 【答案】 【分析】依题意可得，且，再利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】解：∵，且，∴，且， 所以，当且仅当，即时取等号. 故答案为：； 7．（21-22高一上·北京·期中）若正实数满足，则的最小值是___. 【答案】 【分析】由基本不等式放缩得出关于的不等式，然后解不等式得结论． 【详解】由已知，解得，当且仅当即，时等号成立， 故答案为：． 8．（21-22高一上·北京·期中）已知，，，则的最小值为________． 【答案】2 【分析】由基本不等关系，求得的最小值. 【详解】由题知，， 解得，当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值为2. 故答案为：2 9．（23-24高一下·北京·期中）已知正数、满足，则： （1）的最小值为________． （2）若恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】(1)将变形为,然后利用基本不等式求解即可; (2)利用“乘1法”求出的最小值,即可得出结论. 【详解】(1)因为正数､满足, 所以,当且仅当时取等号, 所以; (2)因为正数､满足, , 当且仅当,即时取等号, 所以; 故答案为: 【点睛】本题考查基本不等式的综合运用,需要学生熟练掌握基本不等式及其变形公式并能灵活运用. 10．（20-21高一上·北京·阶段检测）已知x+y=1，x，y∈R+. （1）求x2+y2+xy的最小值； （2）求的最大值； （3）求x(1-3y)的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）由题可知，则； （2）将平方即可求出最大值； （3）将代入，即可根据二次函数的性质求出最值. 【详解】（1）， ，当且仅当时等号成立， ， 的最小值为； （2）， ，即的最大值为； （3），， 则， 当时，取得最小值. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 11．（23-24高一上·北京·期中）若x,y为正实数,且,求的最小值. 【答案】18 【解析】首先已知条件变形为，再化简，利用基本不等式求最小值. 【详解】 (当时取“=”) 所以的最小值是. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，意在考查“1”的妙用，基本不等式求最值使用的三个原则“一正，二定，三相等”，缺一不可，做题时需注意. 12．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）设均为正实数，且，则的最小值为 ． 【答案】16 【详解】、y均为正实数,且,进一步化简得. ,令, , (舍去),或, 即,化简可得 , 的最小值为16. 题型四：“1”的巧用 1．（25-26高一上·湖南常德·期末）已知正实数，满足，则的最小值是_____. 【答案】 【分析】利用代换法，结合基本不等式求最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当，上式取等号， 则的最小值是, 故答案为： 2．（25-26高一上·广西贵港·阶段检测）若正数满足，则的最小值为________，此时________． 【答案】 72 【分析】由基本不等式乘“1”法即可求解. 【详解】根据题意可得， 当且仅当得，即，时，等号成立． 故答案为：72； 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）设实数，为任意的正数，且，则使恒成立的的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出，即可得解. 【详解】，，且， ， 当且仅当，即，此时联立可得，时取等号. 不等式恒成立，所以. ，即的取值范围是. 故答案为： 4．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知，，.则的最小值是______. 【答案】 【分析】由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为：. 5．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知正数满足，则的最大值是______，的最小值是______． 【答案】 /0.5 【分析】由基本不等式直接进行求解，得到，再变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，由基本不等式得， 即，解得，当且仅当，即时，等号成立， ，故，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：， 5．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据，展开根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意， ，当且仅当，即时取等号. 故选：B 6．（24-25高一上·北京·期中）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 7．（2022·全国·模拟预测）已知，若，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】将所求的式子乘以“1”,然后利用基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 8.（2024·广东惠州·一模）若，，，则的最小值为__________. 【答案】4 【分析】由基本不等式中“1”的妙用代入计算即可得出最小值为4. 【详解】易知， 当且仅当时，等号成立； 即的最小值为4； 故答案为：4 9．（23-24高一上·河北·阶段检测）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】利用基本（均值）不等式求和的最小值. 【详解】∵，，， ∴ （当且仅当即，时取“=”）. 故选：C 10．（23-24高一上·北京·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】根据基本不等式中“1”的整体代换计算即可. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：A. 11．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知，且，则的最小值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由题意得，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9， 故选：D 12．（22-23高一下·山西·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得到，再利用“1”的代换求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 故选：C 13．（22-23高一上·北京·期末）已知实数，且，则的最小值是（    ） A．21 B．25 C．29 D．33 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】∵，等式恒成立， ∴， 由于，所以 ∵， 当且仅当时，即时取等号． ∴，∴，故的最小值为21． 故选：A 14．（24-25高一下·湖北孝感·期末）若正数x，y满足，则的最小值是__________． 【答案】5 【分析】先由条件得，再利用1的代换以及基本不等式求最值. 【详解】由条件，两边同时除以，得到， 那么 等号成立的条件是，即，即. 所以的最小值是5， 故答案为： 5 ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值. 15．（22-23高一上·山东滨州·期中）已知,,且,则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为,利用基本不等式,注意等号成立的条件,即可求得答案. 【详解】 当且仅当,取等号,即,结合, 可得时,取得最小值． 故选:A. 【点睛】本题主要考查了根据均值不等式最值,解题关键是灵活使用均值不等式,注意等号验证,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 题型五：商式求最值 1．（22-23学年北京师大附中高一下学期期中考试数学）当时，函数的最小值为__________________． 【答案】5 【分析】对函数形式进行化简，得到基本不等式形式，根据基本不等式，得到答案. 【详解】 当且仅当，即时，等号成立. 【点睛】本题考查基本不等式的简单应用，属于简单题. 2．（23-24高一下·北京海淀·期中）某化工厂生产某种产品，当年产量在150吨至250吨时，每年的生产成本万元与年产量吨之间的关系可近似地表示为.求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨的最低成本. 【答案】200  10万元 【分析】利用总成本除以年产量表示出平均成本，利用基本不等式求出平均成本的最小值即可。 【详解】依题意，每吨平均成本为 当且仅当，即时取得等号，由题可知能取到。 所以年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，每吨的最低成本为10万元. 【点睛】此题考查实际问题的函数模型，运用到均值不等式，注意均值不等式的一正二定三相等的使用条件，属于较易题目。 3．（23-24高一上·全国·课后作业）某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似表示为，为使每吨的平均处理成本最低，则该厂每月的处理量应为____________吨． 【答案】400 【分析】根据条件得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设每吨的平均处理成本为元， 由题意可得，其中. 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，每吨的平均处理成本最低． 故答案为：400. 4．（25-26高三上·北京·阶段检测）若，则函数的最小值为______，此时______. 【答案】 【分析】由题设，化并应用基本不等式求其最小值，并确定取值条件即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 5．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是________. 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 6．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为______. 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 7．（21-22高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求，当且仅当时等号成立，化简已知即可求解. 【详解】解：因为， 又因为，所以， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以， 即y的最大值是. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本不等式（原卷版） 一、北京考纲考察要求 1. 基础理解：掌握基本不等式的推导，牢记一正、二定、三相等三大使用前提，区分（全体实数适用）与均值不等式的适用范围。 2. 核心计算：熟练两类基础最值模型：和定积最大、积定和最小；掌握配凑系数、分离常数、“1 的代换” 三大变形技巧。 3. 综合应用 （1）双变量条件式求最值（、两类经典条件）； （2）分式型函数最值（一次 / 二次分式，配凑模型）； （3）恒成立问题：恒成立等价于，反之同理； （4）实际应用题（成本、产量、平均造价最值，北京期中解答高频）。 4. 逻辑考点：结合充分必要条件判断（是充分不必要条件，北京选择常考）。 5. 能力要求：分类讨论负数转化、等号取不到改用单调性，规范书写等号成立条件（大题得分点）。 二、基础核心知识点 （一）两大核心不等式 1. 重要不等式（全体实数通用） ，当且仅当取等； 拓展变形：，用于平方和、线性和互化。 2. 基本均值不等式（一正限制） 若\(a>0，b>0\)，则，文字：算术平均数≥几何平均数； 变形 1（和定积最大）：； 变形 2（积定和最小）：。 （二）三大硬性使用条件（缺一不可，阅卷扣分重灾区） 1. 一正：参与运算两个代数式必须均为正数； 处理负数：时，提取负号转化为正数，，整体求最大值。 2. 二定 1. 求和最小值：两项乘积为定值； 2. 求积最大值：两项和为定值； 无定值必须配凑系数、乘 “1” 构造定值。 3. 三相等：求出最值后，必须验证的解在自变量取值范围内；若等号取不到，改用对勾函数单调性求解。 （三）四类通用变形解题技巧 1. 配凑系数法 两项系数不匹配时，提取常数构造相同系数； 例：已知，，配凑为定值。 2. 分离常数配凑（分式专用） 分子二次、分母一次：拆分出结构，分母，； 例：。 3. “1 的代换”（双变量线性条件必考） 已知，求，目标式整体乘展开，交叉项积为定值。 4. 消元转化法 条件式为，变形因式分解，构造积定值。 （四）高频二级模型 1. 单分式型：； 2. 区间一次乘积：，配凑和定值； 3. 恒成立逻辑：对定义域内所有x成立。 三、六大题型分类 + 标准作答模板、解题技巧 题型一：和定求积最大值（单变量一次乘积、双线性和） 题型特征 已知正数和为定值，求两式乘积最大值；含区间限制的二次型。 通用作答步骤 1. 判定t>0，m-nt>0，满足一正； 2. 提取系数，配凑两项相加为固定常数； 3. 套计算最大值； 4. 验证时自变量在区间内。 解题技巧 区间类，无需联立二次函数，直接均值 10 秒出结果；系数不统一先提常数再放缩。 易错点 忘记配系数直接套用，导致定值不成立。 题型二：积定求和最小值（单分式、xy定值双变量） 题型特征 已知乘积为定值，求两式相加最小值；型。 通用作答步骤 1. 确定分母、自变量均为正数； 2. 直接套用； 3. 解方程，验证取值范围； 4. 负数先变号，求最大值。 细分考法：类 如a>4，a+，先配凑整体，注意取不到等号，值域开区间。 技巧口诀 积定直接开根号，负数整体加负号。 题型三：条件等式最值（因式分解型） 题型特征 正数满足类等式，求ab或最值。 标准步骤 1. 等式左右加常数，因式分解，构造积定值； 2. 均值不等式放缩，设换元解二次不等式； 3. 舍去负根，验证等号条件。 例题模板 ，再表示。 题型四：“1 的代换” 题型特征 已知或，求分式和、最值。 万能四步模板 1. 目标代数式整体乘以条件式（整体乘 “1”）； 2. 展开拆分，得到交叉项； 3. 交叉项用积定求和放缩； 4. 联立方程解\(x、y\)，验证正数范围。 解题技巧 条件分母含，统一换元再乘 1 代换，简化计算。 题型五：分式函数最值（分离常数法） 题型特征 分子二次、分母一次：。 标准步骤 1. 分子配方，拆分出分母整体； 2. 分离常数，化为常数（分母）； 3. 均值求最值，验证等号； 实际应用 成本、每吨平均造价应用题，统一拆分分式再求最低成本。 题型六：恒成立、充分必要判断（选择难点） 考法 1 恒成立参数范围 1. 先用均值求出式子最值； 2. 恒大于等于：参数≤最小值；恒小于等于：参数≥最大值。 考法 2 充分必要条件 如 “” 是充分不必要； 技巧：举负值反例推翻必要性。 四、全模块高频易错扣分点（北京阅卷标准） 1. 忽略一正：直接套用，符号完全相反； 2. 缺少二定：两项和、积均不为定值直接放缩，无固定最值； 3. 省略三相等验证：等号不在定义域，均值失效，必须改用单调性； 4. 多次连用不等式，前后取等条件不一致，答案无效； 5. 配凑系数漏乘常数，如直接当作计算； 6. “1 代换” 展开交叉项系数计算错误； 7. 分式分离常数配方出错，无法构造； 8. 恒成立不等号搞反：恒成立求； 9. 区间边界导致等号取不到，值域写成闭区间扣分； 10. 重要不等式无正负限制，均值必须正数，二者混淆。 五、通用应试答题技巧 1. 选择填空优先判断正负、观察和 / 积是否定值，30 秒秒杀； 2. 和定求积统一提取系数配凑，积定求和直接开根号； 3. 看到线性等式，第一反应 “1 的代换”； 4. 分式函数先分离常数，不联立二次方程； 5. 解答题规范踩点书写：先写，再写不等式，最后验证取等条件； 6. 等号取不到题型，答题补充：因不在定义域，改用对勾函数单调性； 7. 实际应用题先设变量、标注取值范围，再用均值； 8. 恒成立题目先求函数最值，再列参数不等式，步骤清晰分步得分。 六、题型专练 题型一：已知和为定值求积的最值 1．（20-21高一上·北京朝阳·期末）已知，则的最大值为___________． 2．（24-25高一上·上海静安·期中）已知为正实数，且满足，则的最大值是______． 3．（24-25高一上·上海·课前预习）设、满足，且、都是正数，则的最大值为________． 4．（23-24高一上·北京东城·期中）若，则的最_____值是_________，此时_______，________. 5．（23-24高一上·北京·期中）已知，，，则xy的最大值是（    ） A． B． C． D．1 6．（23-24高一上·北京·期中）已知正数满足，则的最大值是______． 7．（23-24高一上·北京大兴·期中）已知，则函数的最大值等于______，取最大值时______. 8．（23-24高一上·北京海淀·期中）已知x，，若，则（    ） A．xy的最大值为1 B．xy的最大值为2 C．xy的最小值为1 D．xy的最小值为2 9．（22-23高一·全国·课堂例题）函数的最大值是__________． 10．（2023高二·河北·学业考试）已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 11．（20-21高一上·北京顺义·阶段检测）已知，则当_________时，取最大值为_________. 12．（21-22高一上·北京大兴·期末）当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 13．（北京市首都师范大学附属中学（通州校区）2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题）已知0＜x，则x（1﹣2x）的最大值为（    ） A． B． C． D． 14．（20-21高一上·北京·期中）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一·全国·课后作业）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高一上·北京·期中）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最大值. 题型二：已知积为定值求和的最值 1．（23-24高一下·北京昌平·期末）若，则函数的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 2．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知，则的最小值为________，此时________． 3．（24-25高一上·北京·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·北京·期中）已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·北京·期中）已知，则函数的最小值是______，此时______. 6．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D． 7．（24-25高一上·北京延庆·期末）已知，则的最大值为______，当且仅当______时，等号成立. 8．（24-25高一上·北京东城·阶段检测）若 在处取得最小值，则（    ） A． B．3 C． D．4 9．（24-25高一上·北京·期中）已知为正数，则（    ） A．有最小值，为2 B．有最小值，为 C．有最小值，为4 D．不一定有最小值 10．（24-25高一上·北京·期中）使“函数的最小值为2”为假命题的的一个值可以是（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 11．（24-25高一上·北京大兴·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 12．（23-24高一下·广东汕头·阶段检测）已知，则的最小值为______． 13．（24-25高三上·北京顺义·阶段检测）已知，，且，则的最小值为______. 14．（23-24高三上·北京·阶段检测）若关于x的不等式 对于任意恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 15．（22-23高一上·北京西城·期末）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心．已知仓储中心建造费用C（单位：万元）与仓储中心到机场的距离s（单位：）之间满足的关系为，则当C最小时，s的值为（    ） A．20 B． C．40 D．400 16．（25-26高一上·北京朝阳·阶段检测）已知为正实数且满足，则的最大值是____________，的最大值为____________. 17．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为________. 题型三：条件等式求最值 1．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 2．（24-25高一上·北京·阶段检测）已知为正实数且满足，则的最小值是______，的最大值为______． 3．（23-24高一上·北京昌平·期中）正实数满足，则的最小值是______，的最小值是_______ 4．（22-23高一上·北京·期中）已知正实数，满足，则当_________时，的最小值为_________. 5．（22-23高一上·北京通州·期末）已知，则的最大值为__________，最小值为__________． 6．（22-23高一上·北京·期中）已知，且，则的最小值是___________；取到最小值时，__________． 7．（21-22高一上·北京·期中）若正实数满足，则的最小值是___. 8．（21-22高一上·北京·期中）已知，，，则的最小值为________． 9．（23-24高一下·北京·期中）已知正数、满足，则： （1）的最小值为________． （2）若恒成立，则实数的取值范围是______． 10．（20-21高一上·北京·阶段检测）已知x+y=1，x，y∈R+. （1）求x2+y2+xy的最小值； （2）求的最大值； （3）求x(1-3y)的最小值. 11．（23-24高一上·北京·期中）若x,y为正实数,且,求的最小值. 12．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）设均为正实数，且，则的最小值为 ． 题型四：“1”的巧用 1．（25-26高一上·湖南常德·期末）已知正实数，满足，则的最小值是_____. 2．（25-26高一上·广西贵港·阶段检测）若正数满足，则的最小值为________，此时________． 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）设实数，为任意的正数，且，则使恒成立的的取值范围是______. 4．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知，，.则的最小值是______. 5．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知正数满足，则的最大值是______，的最小值是______． 5．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（24-25高一上·北京·期中）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（2022·全国·模拟预测）已知，若，则的最小值为__________. 8.（2024·广东惠州·一模）若，，，则的最小值为__________. 9．（23-24高一上·河北·阶段检测）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 10．（23-24高一上·北京·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 11．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知，且，则的最小值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 12．（22-23高一下·山西·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 13．（22-23高一上·北京·期末）已知实数，且，则的最小值是（    ） A．21 B．25 C．29 D．33 14．（24-25高一下·湖北孝感·期末）若正数x，y满足，则的最小值是__________． 15．（22-23高一上·山东滨州·期中）已知,,且,则的最小值为(    ) A． B． C． D． 题型五：商式求最值 1．（22-23学年北京师大附中高一下学期期中考试数学）当时，函数的最小值为__________________． 2．（23-24高一下·北京海淀·期中）某化工厂生产某种产品，当年产量在150吨至250吨时，每年的生产成本万元与年产量吨之间的关系可近似地表示为.求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨的最低成本. 3．（23-24高一上·全国·课后作业）某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似表示为，为使每吨的平均处理成本最低，则该厂每月的处理量应为____________吨． 4．（25-26高三上·北京·阶段检测）若，则函数的最小值为______，此时______. 5．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是________. 6．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为______. 7．（21-22高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $