第18讲 任意角和弧度制 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦“任意角和弧度制”核心知识点，从角的概念（正角、负角、零角）出发，延伸至相等角与加减运算，再到终边相同的角的集合表示，衔接角度制与弧度制的概念及互化，最终落脚于弧长与扇形面积公式，构建完整知识支架。 资料通过要点辨析（如终边相同角与相等角的区别）、表格对比（象限角集合、角度弧度互化表）及多样题型（单选、多选、解答题）设计，培养学生抽象能力（角的概念推广）、几何直观（终边位置判断）和运算能力（弧度互化、扇形计算）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过经典题型巩固知识，查漏补缺。

第18讲 任意角和弧度制 目录 知识点 1 角的概念 2 知识点 2 相等角与角的加减 2 知识点 3 终边相同的角 2 知识点 4 角度制与弧度制的概念 3 知识点 5 角度制与弧度制之间的互化 3 知识点 6 弧长与扇形面积公式 4 题型1 任意角、象限角 5 题型2 确定已知角的象限 5 题型3 求终边相同的角 6 题型4 根据图形写出角的范围 8 题型5 确定n倍角与n分角的象限 9 题型6 角度制与弧度制互化 10 题型7 扇形弧长、面积的相关计算 11 01 学习新知 知识点 1 角的概念 1、角的概念：角可以看成平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形． 2、角的表示： （1）始边：射线的起始位置． （2）终边：射线的终止位置． （3）顶点：射线的端点O． （4）记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． 3、角的分类 （1）正角：按逆时针方向旋转形成的角； （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角； （3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角． 知识点 2 相等角与角的加减 1、相等角：设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成，如果他们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称． 2、相反角：把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角的相反角记为． 3、角的加减：记，是任意两个角，我们规定：把角的终边按逆时针旋转角，这时终边所对应的角是；按顺时针旋转角，这时终边所对应的角是． 知识点 3 终边相同的角 1、终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，它们彼此相差，即. 【要点辨析】相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍，要注意角的集合的表示形式不是唯一的． 2、象限角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限； 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 3、轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，并且角的终边落在坐标轴上时，称这个角为轴线角，这时，这个角不属于任何象限． 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 知识点 4 角度制与弧度制的概念 1、角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． 2、弧度制的有关概念 为了使用方便，数学上采用另一种度量角的单位制——弧度制． （1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． （2）弧度制： ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②记法：用符号rad表示，读作弧度． 如图，在单位圆O中，的长度等于1，∠AOB就是1弧度的角． 3、弧度制与角度制的区别与联系 区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；（2）定义不同． 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值． 【注意】用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写；用角度制表示角时单位“°”不能丢． 知识点 5 角度制与弧度制之间的互化 1、角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 2、特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 3、角的集合与实数集R的关系 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系， 如图,每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应； 反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的交)与之对应． 知识点 6 弧长与扇形面积公式 1、弧长与扇形面积公式的两种表示 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 【注】扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角． 2、弧长公式与扇形面积公式的注意事项 （1）在应用公式时，要注意的单位是“弧度”； （2）在弧度制下的扇形面积公式，与三角形面积公式的形式相似，可类比记忆． 02 经典题型 题型1 任意角、象限角 1. 若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　) A.120° B.-120° C.-60° D.60° 答案　B 解析　由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数， 即为-×360°=-120°. 2. 下列说法中正确的是（    ） A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等 C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角 【答案】A 【解析】锐角是指大于小于的角，故其在第一象限，即A正确； 选项B．终边相等的角必相等，两角可以相差整数倍，故错误； 选项C．小于的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误； 选项D．根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角， 此时第二象限角小于第一象限角，故错误.故选：A 3. (多选)下列叙述不正确的是(　　) A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B.钝角是第二象限角 C.第二象限角比第一象限角大 D.小于180°的角是钝角、直角或锐角 答案　ACD 解析　直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；零角和负角也小于180°，故D不正确. 题型2 确定已知角的象限 4. (多选)下列四个角中，属于第二象限角的是(　　) A.160° B.480° C.-960° D.1 530° 答案　ABC 解析　在平面直角坐标系中分别画出各个角(图略)， 角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角，作图可知160°，480°，-960°的终边在第二象限. 5. 是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解析】因为，终边在第三象限，所以是第三象限角.故选：C. 6. 是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【解析】，故其为第四象限角.故选：D. 7. 已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解析】因为，又是第三象限角， 所以是第三象限角，故选：C. 题型3 求终边相同的角 8. 在0°~360°范围内，找出与-950°12'角终边相同的角，并判定它是第几象限角. 解　-950°12'=129°48'-3×360°，所以在0°~360°范围内，与-950°12'角终边相同的角是129°48'，它是第二象限角. 9. 写出终边在直线y=x上的角的集合S.S中满足不等式-360°≤β<720°的元素β有哪些？ 解　如图，在直角坐标系中画出直线y=x，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°~360°范围内，终边在直线y=x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y=x上的角的集合 S={β|β=45°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°，k∈Z}={β|β=45°+n·180°，n∈Z}. S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β有 45°-2×180°=-315°，45°-1×180°=-135°，45°+0×180°=45°， 45°+1×180°=225°，45°+2×180°=405°，45°+3×180°=585°. 10. 与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 与角终边相同的角是．故选：B. 11. 在内，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，而其它项对应角都不满足.故选：B. 12. 写出终边在直线y=-x上的角的集合. 解　终边在y=-x(x<0)上的角的集合是S1={α|α=120°+k1·360°，k1∈Z}； 终边在y=-x(x≥0)上的角的集合是S2={α|α=300°+k2·360°，k2∈Z}. 因此，终边在直线y=-x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=120°+k1·360°，k1∈Z}∪{α|α=300°+k2·360°，k2∈Z}， 即S={α|α=120°+2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α=120°+(2k2+1)·180°，k2∈Z}={α|α=120°+n·180°，n∈Z}. 故终边在直线y=-x上的角的集合是S={α|α=120°+n·180°，n∈Z}. 题型4 根据图形写出角的范围 13. 集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合中， 当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限； 当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限. 所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示.故选：B. 14. 集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 当时，,所以选项C满足题意.故选：C. 15. 已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围. 解　终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1={α|α=30°+k·180°，k∈Z}，终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为S2={α|α=105°+k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°，k∈Z}. 题型5 确定n倍角与n分角的象限 16. 如果是第三象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】C 【解析】是第三象限角，则， 故， 当为偶数时，在第三象限；当为奇数时，在第一象限；故选：C. 17. 已知是第一象限角，那么（    ） A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角 C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角 【答案】B 【解析】因为是第一象限角， 所以，， 所以，， 当为偶数时，是第一象限角， 当为奇数时，是第三象限角， 综上所述，第一、三象限角.故选：B. 18. （多选）已知是第二象限角，则可以是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】AC 【解析】因为是第二象限角，即，， 所以，， 当k为偶数时，是第一象限角， 当k为奇数时，是第三象限角．故选：AC． 题型6 角度制与弧度制互化 19. 下列命题中，假命题是(　　) A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1°的角是周角的1 rad的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 答案　D 解析　根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题. 20. （多选）下列说法正确的是（   ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．与的终边相同 【答案】ABD 【解析】A：对应的弧度为，所以对应的弧度为，故A正确； B：1对应的角度为，所以对应的角度为，故B正确； C：对应的弧度为，故C错误； D：，，所以这两个角的终边相同，故D正确.故选：ABD 21. （多选）下列转化结果正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 【答案】AD 【解析】因为，所以选项A正确； 因为，所以选项B不正确； 因为，所以选项C不正确； 因为，所以选项D正确，故选：AD． 题型7 扇形弧长、面积的相关计算 22. 半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解析】设圆弧所对的圆心角为， 因为半径为2的圆上圆弧长度为4，可得，所以.故选：B. 23. 已知扇形的圆心角为2rad，所对的弦长为4，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】扇形的圆心角为2rad，所对的弦长为4，如图， 设扇形的半径为，由垂径定理得，即， 故扇形的面积为.故选：D. 24. 如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为劣弧的长为，所以. 则， 所以阴影部分的面积为.故选:B 25. 已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数. 解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm， 依题意有 整理得R2-5R+4=0，解得R=1或R=4. 当R=1时，l=8，此时，θ=8>2π，舍去. 当R=4时，l=2，此时，θ=. 综上可知，扇形圆心角的弧度数为. 26. 已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S， 则l+2r=4， 所以l=4-2r 所以S=lr=×(4-2r)×r=-r2+2r=-(r-1)2+1， 所以当r=1时，S最大，且Smax=1， 此时，θ==2. 故当r=1，θ=2时，扇形的面积最大，最大值为1. 27. 如图，是轮子外边沿上的一点，轮子半径为0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为22m时，下列选项中，关于点的描述正确的是（参考数据：）（    ） A．点在轮子的右上位置，距离地面约为0.56m B．点在轮子的右上位置，距离地面约为0.45m C．点在轮子的左下位置，距离地面约为0.15m D．点在轮子的左下位置，距离地面约为0.04m 【答案】B 【解析】车轮的周长为，当滚动的水平距离为时， ，即车轮转动个周期，即点A在轮子的右上位置，如图所示， 距离地面约为，故选：B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 任意角和弧度制 目录 知识点 1 角的概念 2 知识点 2 相等角与角的加减 2 知识点 3 终边相同的角 2 知识点 4 角度制与弧度制的概念 3 知识点 5 角度制与弧度制之间的互化 3 知识点 6 弧长与扇形面积公式 4 题型1 任意角、象限角 5 题型2 确定已知角的象限 5 题型3 求终边相同的角 6 题型4 根据图形写出角的范围 8 题型5 确定n倍角与n分角的象限 9 题型6 角度制与弧度制互化 10 题型7 扇形弧长、面积的相关计算 11 01 学习新知 知识点 1 角的概念 1、角的概念：角可以看成平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形． 2、角的表示： （1）始边：射线的起始位置． （2）终边：射线的终止位置． （3）顶点：射线的端点O． （4）记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． 3、角的分类 （1）正角：按逆时针方向旋转形成的角； （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角； （3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角． 知识点 2 相等角与角的加减 1、相等角：设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成，如果他们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称． 2、相反角：把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角的相反角记为． 3、角的加减：记，是任意两个角，我们规定：把角的终边按逆时针旋转角，这时终边所对应的角是；按顺时针旋转角，这时终边所对应的角是． 知识点 3 终边相同的角 1、终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，它们彼此相差，即. 【要点辨析】相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍，要注意角的集合的表示形式不是唯一的． 2、象限角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限； 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 3、轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，并且角的终边落在坐标轴上时，称这个角为轴线角，这时，这个角不属于任何象限． 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 知识点 4 角度制与弧度制的概念 1、角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． 2、弧度制的有关概念 为了使用方便，数学上采用另一种度量角的单位制——弧度制． （1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． （2）弧度制： ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②记法：用符号rad表示，读作弧度． 如图，在单位圆O中，的长度等于1，∠AOB就是1弧度的角． 3、弧度制与角度制的区别与联系 区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；（2）定义不同． 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值． 【注意】用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写；用角度制表示角时单位“°”不能丢． 知识点 5 角度制与弧度制之间的互化 1、角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 2、特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 3、角的集合与实数集R的关系 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系， 如图,每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应； 反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的交)与之对应． 知识点 6 弧长与扇形面积公式 1、弧长与扇形面积公式的两种表示 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 【注】扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角． 2、弧长公式与扇形面积公式的注意事项 （1）在应用公式时，要注意的单位是“弧度”； （2）在弧度制下的扇形面积公式，与三角形面积公式的形式相似，可类比记忆． 02 经典题型 题型1 任意角、象限角 1. 若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　) A.120° B.-120° C.-60° D.60° 2. 下列说法中正确的是（    ） A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等 C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角 3. (多选)下列叙述不正确的是(　　) A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B.钝角是第二象限角 C.第二象限角比第一象限角大 D.小于180°的角是钝角、直角或锐角 题型2 确定已知角的象限 4. (多选)下列四个角中，属于第二象限角的是(　　) A.160° B.480° C.-960° D.1 530° 5. 是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 6. 是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 7. 已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 题型3 求终边相同的角 8. 在0°~360°范围内，找出与-950°12'角终边相同的角，并判定它是第几象限角. 9. 写出终边在直线y=x上的角的集合S.S中满足不等式-360°≤β<720°的元素β有哪些？ 10. 与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 11. 在内，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 12. 写出终边在直线y=-x上的角的集合. 题型4 根据图形写出角的范围 13. 集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（    ） A． B． C． D． 14. 集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 15. 已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围. 题型5 确定n倍角与n分角的象限 16. 如果是第三象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 17. 已知是第一象限角，那么（    ） A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角 C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角 18. （多选）已知是第二象限角，则可以是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 题型6 角度制与弧度制互化 19. 下列命题中，假命题是(　　) A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1°的角是周角的1 rad的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 20. （多选）下列说法正确的是（   ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．与的终边相同 21. （多选）下列转化结果正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 题型7 扇形弧长、面积的相关计算 22. 半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 23. 已知扇形的圆心角为2rad，所对的弦长为4，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 24. 如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 25. 已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数. 26. 已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 27. 如图，是轮子外边沿上的一点，轮子半径为0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为22m时，下列选项中，关于点的描述正确的是（参考数据：）（    ） A．点在轮子的右上位置，距离地面约为0.56m B．点在轮子的右上位置，距离地面约为0.45m C．点在轮子的左下位置，距离地面约为0.15m D．点在轮子的左下位置，距离地面约为0.04m 1 学科网（北京）股份有限公司 $