专题4.1 指数讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册《知识解读•题型专练》

本讲义聚焦高中数学指数专题，系统梳理根式与分数指数幂的核心知识点，从n次方根的定义与性质出发，衔接根式的概念与性质，进而将整数指数幂拓展到有理数指数幂，构建指数幂运算的完整逻辑链条，形成递进式学习支架。 资料以题型归纳为特色，设置根式与分数指数幂互化、化简求值等题型，例题结合变式题（如上海松江、甘肃等地期中题），培养学生数学抽象能力（数学眼光）和运算推理能力（数学思维）。课后练习分层设计，助力学生用数学语言表达问题，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题4.1 指数【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型 1·根式与分数指数幂的互化】 2 【题型 2·根式的化简求值】 3 【题型 3·指数幂的化简、求值】 6 【课后练习】 8 知识点1 根式与分数指数幂 1．根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 2．分数指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 【题型 1··根式与分数指数幂的互化】 【例1】（4.1.1有理数指数幂）用分数指数幂表示下列各式： (1)＝____;  (2)＝____；(3)＝____;  (4)＝____；(5)＝____. 【答案】 / 【分析】利用分数指数幂的定义，将根式化为分数指数幂. 【详解】（1）；（2）=；（3）=；（4）；（5） 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 【变式1-1】（25-26高一上·上海松江·期中）将写成分数指数幂的形式为___________． 【答案】 【分析】根据分数与根式的化简，以及分数指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由分数指数幂的运算公式，可得. 故答案为：. 【变式1-2】（25-26高一上·甘肃·期末）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂和根式的关系逐层转化即可. 【详解】. 故选：A 【变式1-3】（25-26高一上·山东青岛·期中）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用指数幂的运算性质，准确计算化简，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算性质，可得. 故选：D. 【题型 2·根式的化简求值】 【例2】（23-24高一上·宁夏银川·期中）计算下列各式的值 (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)3 (4) 【分析】利用根式的性质求解（1）（2）；利用指数幂的运算性质求解（3）（4）. 【详解】（1）. （2）. （3） . （4）. 【变式2-1】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段检测）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分数开方等于分子分母分别开方； （2）由得出各项结果后再合并即可得到结果. 【详解】（1） （2） 【变式2-2】（23-24高一上·云南曲靖·期中）计算； (1)； (2)； 【答案】(1)10 (2) 【分析】根据根式与有理指数幂的运算法则计算即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 【变式2-3】（23-24高一上·广东广州·期中）计算下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】利用分数指数幂和根式运算法则计算出结果. 【详解】（1） ； （2） 知识点2 指数幂的运算 指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【题型 3·指数幂的化简、求值】 【例3】（第01讲指数（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）若 ，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）由 ，且， 所以. 【变式3-1】（专题09指数六类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）化简求值：若，求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)7 (2) 或 【分析】（1）将已知等式两边平方化简可得所求； （2）由题可知，设，结合完全平方公式化简运算即可得所求. 【详解】（1）∵，∴， 即， ∴，∴； （2）由题可知，设，则， 即，∴， 又∵，∴，∴， ∴或. 【变式3-2】（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值； （2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值. 【详解】（1）因为，故， 故，而，故， 故. （2）由（1）可得，故， 故，故. 【变式3-3】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）由完全平方公式以及分数指数幂的运算即可得解. （2）由完全平方公式、立方和公式以及分数指数幂的运算即可得解. 【详解】（1）由题意，所以. （2）由题意， 所以 课后练习 【课后练习】 1．（25-26高二·全国·暑假作业）计算：（   ） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】B 【分析】根据指数运算求得正确答案. 【详解】 . 2．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则. 3．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】6是偶数，故当时，． 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 【答案】D 【详解】 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 6．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，若，则的值为（ ） A．1 B．或2 C．1或2 D．2 【答案】D 【分析】分别在各段上解方程，并检验解是否在对应区间内即可. 【详解】令，解得，不满足，舍； 令，解得， 满足，不满足，故； 令，解得，不满足，舍； 故的值为. 7．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．12 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】由题知，再根据指数幂运算求解即可. 【详解】由得， 因为，所以. 故选：B 8．（25-26高一上·天津·期末）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂和负指数幂的运算法则进行运算即可. 【详解】由题意得. 故选：A. 9．（24-25高一上·新疆·阶段检测）（多选）（多选题）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据根式运算和指数幂的运算法则判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC. 10．（25-26高一上·福建福州·期中）__________． 【答案】2 【分析】根据实数指数幂的运算法则计算即可. 【详解】 故答案为：. 11．（24-25高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）利用指数运算求解即可； （2）①对原等式两边平方即可求解；②化简即可求解. 【详解】（1）原式 ； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 指数【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型 1·根式与分数指数幂的互化】 2 【题型 2·根式的化简求值】 2 【题型 3·指数幂的化简、求值】 3 【课后练习】 4 知识点1 根式与分数指数幂 1．根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 2．分数指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 【题型 1··根式与分数指数幂的互化】 【例1】（4.1.1有理数指数幂）用分数指数幂表示下列各式： (1)＝____;  (2)＝____；(3)＝____;  (4)＝____；(5)＝____. 【变式1-1】（25-26高一上·上海松江·期中）将写成分数指数幂的形式为___________． 【变式1-2】（25-26高一上·甘肃·期末）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·山东青岛·期中）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 【题型 2·根式的化简求值】 【例2】（23-24高一上·宁夏银川·期中）计算下列各式的值 (1) ； (2)； (3)； (4)； 【变式2-1】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段检测）计算： (1)； (2). 【变式2-2】（23-24高一上·云南曲靖·期中）计算； (1)； (2)； 【变式2-3】（23-24高一上·广东广州·期中）计算下列各式： (1)； (2) 知识点2 指数幂的运算 指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【题型 3·指数幂的化简、求值】 【例3】（第01讲指数（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）若 ，求下列各式的值： (1)； (2) 【变式3-1】（专题09指数六类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）化简求值：若，求下列各式的值： (1)； (2). 【变式3-2】（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【变式3-3】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 课后练习 【课后练习】 1．（25-26高二·全国·暑假作业）计算：（   ） A．6 B．7 C．8 D． 2．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，若，则的值为（ ） A．1 B．或2 C．1或2 D．2 7．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．12 B．5 C． D． 8．（25-26高一上·天津·期末）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·新疆·阶段检测）（多选）（多选题）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·福建福州·期中）__________． 11．（24-25高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $