第一章空间向量与立体几何单元测试-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（基础版）

**基本信息** 本试卷为高二上学期数学人教A版选择性必修第一册空间向量与立体几何单元测试，90分钟100分，覆盖向量坐标运算、线面关系证明等核心知识，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|空间向量坐标、线面垂直判定、异面直线夹角|基础概念辨析，如点关于x轴对称坐标| |多选题|3/12|向量共面判定、数量积运算|多选项设计考查概念准确性，如向量共面条件| |填空题|3/12|投影向量、向量垂直坐标表示|聚焦运算能力，如向量在另一向量上的投影| |解答题|5/52|向量线性运算、线面角向量求法|综合应用，如正方体中用向量证明垂直及求线面角，体现数学思维与空间观念|

第一章空间向量与立体几何单元测试-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 （时间：90分钟 满分：100分 ） 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则点A关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（    ） A． B．1 C． D． 3．已知点，若向量，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．如图所示，在正方体中，若为的中点，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则以下与平面平行的向量是 （    ） A． B． C． D． 6．在正方体中，是BD的中点，则直线和夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．向量＝(1，2，x)，＝(2，y，－1)，若＝，且，则x＋y的值为（    ） A．－2 B．2 C．－1 D．1 8．下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 二、多选题（本题共3小题，每小题4分，共12分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．已知，，，则（    ） A． B． C．为钝角 D．在方向上的投影向量为 10．（多选）下列说法正确的是（    ） A．空间的任意三个向量都不共面 B．空间的任意两个向量都共面 C．三个向量共面，即它们所在的直线共面 D．若三个向量两两共面，但这三个向量不一定共面 11．已知向量，则（    ） A． B．与同向的单位向量为 C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 12．向量，，且，则向量在上的投影向量的坐标为__________． 13．已知向量，，若，则__________． 14．已知空间向量 ，则 ___________． 四、解答题（本题共5小题，共52分） 15．已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：（共12分） (1)； (2)； (3). 16．已知向量，，．（共8分） (1)求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值； 17．化简下列算式：（共8分） (1)； (2)． 18．已知向量.（共12分） (1)若，求实数的值； (2)求； (3)若不能构成空间向量的一个基底，求实数的值. 19．如图，正方体的棱长为，为的中点.（请用空间向量的知识解答下列问题）（共12分） (1)证明：. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第一章空间向量与立体几何单元测试-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册答案与解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D A A A C B BCD BD 题号 11 答案 ABD 1．C 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据空间直角坐标系的坐标的概念即得. 【详解】因为， 所以点A关于x轴对称的点的坐标为. 故选：C. 2．A 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】由线面垂直得直线的方向向量和平面的法向量平行，进而求解. 【详解】因为，所以直线的方向向量和平面的法向量平行， 则，解得， 故选：A. 3．D 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】利用空间向量坐标运算中“向量等于终点的坐标减去起点的坐标”，即可计算出点B的坐标. 【详解】设点的坐标为，已知，， 所以 ，，，解得，，. 因此点的坐标为. 4．A 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法 【分析】以，，为基底，表示出，，利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】设正方体的棱长为1， 记，，，则，． 因为， ， 所以． 又因为，， 所以， 所以与所成角的余弦值为． 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，数量积的运算，夹角公式，考查了运算能力，属于中档题. 5．A 【知识点】判定空间向量共面、空间向量的坐标运算 【分析】要使平面平行，则. 【详解】, 若，则平面平行. A选项中，则平面平行. B,C,D选项中，都不能表示成的形式，则平面不平行. 故选：A 6．A 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法 【分析】由空间向量求解异面直线夹角即可. 【详解】以点为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）， 设正方体的棱长为2， 则，，，，则， 所以，， 设直线和夹角为， 所以. 故选：A. 7．C 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【解析】利用向量模的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，列方程组即可求解. 【详解】∵向量＝(1，2，x)，＝(2，y，－1)，＝，且， ∴，＝2＋2y－x＝0， 解得x＝0，y＝－1，∴x＋y＝－1. 故选：C 【点睛】本题考查了向量模的坐标表示、向量数量积的坐标表示，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 8．B 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 9．BCD 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据空间向量的数量积公式可判断AC选项；根据共线向量的关系可判断B选项；根据投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为， 所以，所以为钝角，故C正确； 对于D，在方向上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD. 10．BD 【知识点】判定空间向量共面 【分析】根据共面向量判断即可． 【详解】对于A，若，则共面，故A错误； 对于B，通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故B正确； 对于C，如图所示，在正方体中三个向量共面，但它们所在的直线不共面，故C错误；    对于D，如图所示，在正方体中三个向量两两共面，则这三个向量可以共面； 在正方体中三向量两两共面，但这三个向量不共面，故D正确；    故选：BD． 11．ABD 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、空间向量的有关概念、求空间向量的数量积 【分析】由点坐标求向量的模，单位向量的定义求与同向的单位向量，坐标运算求数量积、夹角判断各项正误. 【详解】由题设，与同向的单位向量为，A、B正确； 由数量积的坐标运算得，C错误； 由，则，D正确． 故选：ABD 12． 【知识点】空间向量的坐标运算、求投影向量 【分析】向量在上的投影向量为，利用公式求解. 【详解】因为向量，，且， 所以向量在上的投影向量的坐标为 , 则向量在上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 13． 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量的垂直的数量积运算求解. 【详解】因为， 所以， 解得， 故答案为： 14． 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量的坐标运算，即可求得答案. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 15．(1) (2) (3) 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量的加减运算 【分析】（1）根据，结合向量减法法则求解； （2）根据向量加法法则求解即可； （3）根据向量加法法求解即可. 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 16．(1) (2)， 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）根据题意，由向量模长的坐标公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由向量模长的坐标公式即可得到，再由向量垂直的坐标公式，代入计算，即可得到. 【详解】（1）因为，，则， 所以. （2）因为，即，解得，所以， 又，且向量与垂直， 所以，即，解得， 所以实数和的值分别为和. 17．(1) (2) 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】（1）根据向量数乘运算即可求得答案； （2）根据向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】（1） . （2） . 18．(1)； (2)； (3). 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量共面求参数、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）利用空间向量的数量积的坐标公式计算即可； （2）利用空间向量夹角的坐标公式计算即可； （3）利用空间向量共面定理结合待定系数法计算即可. 【详解】（1）由得 解得； （2）因为， ， 所以； （3）若不能构成空间向量的一个基底，则向量共面， 则存在， 使得， 所以，解得， 所以实数的值为. 19．(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面角的向量求法、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出，即可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，，则，所以，. （2）解：易知平面的一个法向量为， 所以，. 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $