1.4 正方形的性质与判定（第1课时）教学设计 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦正方形的性质，通过复习正方形定义及平行四边形、菱形、矩形的性质，引导学生建立正方形与菱形、矩形的双重关系，搭建知识支架梳理性质。 资料特色在于通过表格对比归纳性质，结合双重身份推理证明，如菱形变正方形问题培养几何直观与推理能力，综合练习提升模型意识，助力学生深化理解，为教师提供结构化教学思路。

第一章 特殊平行四边形 1.4 正方形的性质与判定（第1课时） 一 教学目标 1. 基础知识与基本技能：掌握正方形的性质（四条边相等、四个角都是直角、对角线相等且互相垂直平分），能综合运用这些性质进行计算和证明。 2. 基本思想与基本活动经验：通过正方形既是菱形又是矩形的双重身份，体会特殊与一般的关系，积累综合运用的经验。 3. 发现问题与提出问题能力：能从正方形与菱形、矩形的关系中发现正方形性质的猜想。 4. 分析与解决问题能力：能运用正方形的性质解决线段相等、垂直、全等三角形等综合问题。 二 教学重点与难点 教学重点：正方形的性质（四条边相等、四个角都是直角、对角线相等且互相垂直平分）。 教学难点：综合运用正方形既是菱形又是矩形的双重性质解决问题。 学情分析：学生已掌握菱形和矩形的性质，能理解正方形的双重身份，但综合运用能力需培养。 突破策略：通过表格对比菱形、矩形、正方形的性质，引导学生自主归纳正方形性质。 三 教学过程 （一）复习引入 1.正方形的定义是什么？ 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 2.平行四边形、菱形、矩形的性质是什么？你是从哪些角度进行梳理总结的？ 3.正方形与菱形有怎样的关系？与矩形呢？ 思考•交流 1.正方形是菱形吗？正方形是矩形吗？ 2.你认为正方形有哪些特殊的性质？与同伴进行交流。 通过前面知识点的梳理和总结，请回答以下问题： 思考•交流 由正方形的定义可知： 正方形既是菱形，又是矩形。 正方形具有菱形和矩形的所有性质。 定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等。 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分。 已知：如图，在正方形 ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点 O。 求证：∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD。 证明：∵正方形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交于点 O， ∴AB∥CD，BC∥DA，OA＝OC，OB＝OD。 ∵正方形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD。 ∵正方形 ABCD 是矩形， ∴AC＝BD， ∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90° 。 归纳小结 （五）巩固练习 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 CD 上的一点，F 是 BC 延长线上的一点，且 CE＝CF。BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由。 解：BE＝DF，且 BE⊥DF。理由如下： （1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BC＝CD，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角）。 ∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°。 ∴∠BCE＝∠DCF。 又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF。 ∴BE＝DF。 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE＝CF。BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由。 （2）如图，延长 BE，交 DF 于点 M。 ∵△BCE≌△DCF， ∴∠CBE＝∠CDF。 ∵∠DCF＝90°， ∴∠CDF＋∠F＝90°。 ∴∠CBE＋∠F＝90°。 ∴∠BMF＝180°－(∠CBE＋∠F)＝180°－90°＝90°。 ∴BE⊥DF。 1.如图，在正方形 ABCD 中，F 为对角线 AC 上的一点，连接 BF，DF。请找出图中的全等三角形，并选择其中一对进行证明。 分析: 可证△ABC≌△ADC， △ABF≌△ADF， △CBF≌△CDF。 2. 如图，在菱形 ABCD 中，将 A，C 两点沿对角线 AC 分别移动到 A'，C'的位置，得到正方形 A'BC'D。已知菱形 ABCD 的面积为 120 cm2，正方形 A'BC'D 的面积为 50 cm2， 求 AC 的长。 解：如图，连接BD， ∵在正方形 A'BC'D 中，A'C'＝ BD，A'C'⊥BD， ∴S正方形 A'BC'D＝=50cm2 ， ∴BD＝10 cm。 ∵在菱形 ABCD 中，AC⊥BD， ∴S菱形ABCD＝AC×BD=10×AC=120 cm2。 ∴AC＝24 cm。 S菱形ABCD=底×高=对角线乘积的一半 S正方形A’BC’D=A'B2=对角线乘积的一半 思考1：本题中，将A，C 两点沿对角线 AC 分别移动到 A'，C' 的位置，得到正方形 A'BC'D。要想得到这个结论，需要满足什么条件？试一试，并与同伴交流你的想法。 分析：正方形和菱形的对角线都互相垂直平分，而且正方形是对角线相等的菱形，如将菱形变成正方形，只需要增加“对角线相等”这个条件即可。所以，如将菱形 ABCD 变成正方形A'BC'D，只需满足条件 OA＝OB 。 思考2：反过来，你能把正方形 A'BC'D 变成菱形 ABCD 吗？变化过程中需要注意什么？ 分析：逆向思考，如将正方形 A'BC'D 变成菱形 ABCD ，只需去掉“对角线相等”的条件，保留“对角线互相垂直平分” 即可。 尝试•交流 如图，四边形 ABCD 是正方形。 （1）在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点 A，C 重合，则菱形的另外两个顶点需要满足怎样的条件？试一试，并与同伴交流你的思考过程。 分析：菱形 AMCN 的两个顶点分别与点 A，C 重合，它 的另外两 个顶点 M，N 一定在 BD 上，且到对角线的交点 O 的距离相等。 如图，四边形 ABCD 是正方形。 （2）在图中画一个矩形 EFGH，使矩形的四个顶点 E，F，G，H 依次在正方形 ABCD 的边 AB，BC，CD，AD 上，则矩形 EFGH 的四个顶点需要满足什么条件？试一试，并与同伴交流你的思考过程。 分析：本题的重点是矩形的判定和正方形的性质的应用， 不易找到切入点，可采用动手操作，较形象直观。 经历“探索—发现—猜想—证明”的过程。 分析：结论是开放的，可以是 1.AE＝AH 且 CF＝CG； 2.BE＝BF 且 DH＝DG； 3.△AEH，△CFG 是等腰直角三角形且 △AEH≌△CGF； 4.△BEF，△DHG 是等腰直角三角形且 △BFE≌△DHG； 5.△AEH≌△CGF 且 ∠AEH＋∠BEF＝90°；6.△BFE≌△DHG 且 ∠AEH＝∠BFE； （六）课堂小结 （1）平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有怎样的关系？它们各有哪些性质？ （2）本节课你是如何得到正方形的性质的？你积累了哪些研究图形性质的经验？ 总结反思 四 板书设计 1.4 正方形的性质与判定（第1课时） 正方形的定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 性质1 正方形的四条边相等，四个角都是直角 性质2 正方形的对角线相等且互相垂直平分 对称性 轴对称（4条对称轴），中心对称 应用 综合运用菱形和矩形的性质解决问题 五 知识总结 核心知识点： 正方形四条边相等，四个角都是直角 正方形对角线相等且互相垂直平分 正方形是轴对称图形（4条对称轴），中心对称图形 正方形兼具菱形和矩形的所有性质 数学思想方法：综合思想、特殊与一般的关系、类比迁移 知识网络图：矩形──邻边等/对角线垂直──→正方形 菱形──直角/对角线相等──→正方形 易错易混警示：①正方形须同时满足菱形和矩形的所有条件；②对角线不仅相等还互相垂直；③综合题注意灵活选用菱形或矩形性质。 六 课后作业 基础性作业：教科书习题1.4 第 1，2，3，5 题。 拓展性作业：教科书习题1.4 第 6，7 题。 2 学科网（北京）股份有限公司 $