1.4 正方形的性质与判定 第1课时教案 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

本教案聚焦正方形的性质，通过回顾定义，追问与菱形、矩形的关系，梳理正方形与平行四边形的从属脉络，搭建知识支架，引导学生理解其特殊性。 该资料以问题驱动探究，通过“议一议”作图活动培养几何直观，证明性质定理发展推理能力，例题与分层练习强化应用意识。多样活动提升学生推理与应用能力，为教师提供清晰教学流程与实用练习设计。

第一章 特殊平行四边形 4 正方形的性质与判定 第1课时   一、教学目标 1.了解正方形与菱形、矩形、平行四边形之间的关系. 2.探索并证明正方形的性质定理，进一步发展推理能力. 3.会用正方形的性质进行有关的证明与计算. 4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.   二、教学重难点 重点：理解并掌握正方形的性质定理. 难点：探究证明正方形的性质定理.   三、教学过程 · 情境导入 问题：还记得正方形的定义吗？ 预设答案：一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 追问：正方形与菱形有怎样的关系？与矩形呢？ 设计意图：通过回顾正方形的定义，引出正方形与菱形、矩形的关系，引导学生思考正方形的特殊性. · 探究新知 活动：正方形的性质定理 想一想：(1)正方形是矩形吗？是菱形吗？ 预设答案：正方形既是矩形，也是菱形. 设计意图：引导学生思考正方形与菱形、矩形的关系，从而得出正方形的性质. (2)你认为正方形有哪些特殊的性质？与同伴进行交流. 预设答案：正方形的性质包括菱形的性质和矩形的性质，菱形和矩形都具有平行四边形的性质，平行四边形的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分;菱形特有的性质：对角线互相垂直，四边相等；矩形特有的性质：对角线相等，四个角是直角. 追问：你能对上面的性质进行概括吗？ 预设答案：正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 设计意图：通过说出平行四边形、菱形、矩形的性质，概括得出正方形的两个性质. 追问：你能证明这两个性质吗？ 已知：如图，四边形ABCD是正方形. 求证：∠BAD=∠ABC =∠BCD=∠ADC = 90°，AB= BC=CD=AD.AC⊥BD，AC=BD，OA=OB=OC=OD. 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠BAD=90°， AB=AD (正方形的定义). 又∵正方形ABCD是平行四边形. ∴正方形ABCD是矩形(矩形的定义)， 正方形ABCD是菱形(菱形的定义). ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90，AC=BD，OA=OB=OC=OD，AB=BC=CD=AD，AC⊥BD. 总结：正方形的性质定理： 定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分. 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90，AB=BC=CD=DA，AC=BD，AO=BO=CO=DO，AC⊥BD. 设计意图：通过归纳进一步熟悉正方形的性质，培养归纳概括能力. 议一议：如图，四边形ABCD是正方形. (1)在正方形中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点A，C重合，则菱形的另外两个顶点需要满足怎样的条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由. 预设答案：连接对角线AC、DB交于点O. 条件：另外两个顶点在正方形对角线BD上，且关于对角线AC对称. 理由：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，因此四边形AMCN是菱形. (2)在正方形中画一个矩形EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H依次在正方形ABCD的边AB，BC，CD，AD上，则矩形EFGH的四个顶点需要满足什么条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由. 预设答案：连接对角线AC、DB交于点O. 条件：点E与点G、点F与点H关于点O对称，且这四个顶点到正方形中心点的距离相等. 理由：对角线相等的平行四边形是矩形，因此EFGH为矩形. 设计意图：利用正方形的性质进行作图，进一步理解正方形的性质，并熟悉矩形、菱形的判定定理，进一步提高应用能力. · 应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【教材例题】 例1：如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. 分析：由正方形的性质可得，BC=CD，∠BCE=90°，从而∠DCF=90°.由CE = CF，可证△BCE≌△DCF.从而得证BE = DF.延长 BE 交 DF 于点 M.由(1)知△BCE ≌ △DCF，得到∠CBE = ∠CDF，再由∠CDF与∠F互余，可得∠CBE与∠F互余，最后得证BE ⊥ DF. 解：BE = DF， 且 BE⊥DF. 理由如下： (1)∵四边形 ABCD 是正方形. ∴BC = DC，∠BCE = 90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角). ∴∠DCF = 180°∠BCE =180°90°= 90°. ∴∠BCE =∠DCF. 又∵CE = CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE = DF. (2)延长BE交DF于点M. ∵△BCE ≌ △DCF. ∴∠CBE = ∠CDF. ∵∠DCF = 90°. ∴∠CDF +∠F = 90°. ∴∠CBE +∠F = 90°. ∴∠BMF = 90°. ∴BE ⊥ DF. 设计意图：让学生在探究过程中进一步加深对正方形的性质的认识和理解，培养学生的应用意识. · 课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 【教材练习】 1.如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，连接 BF， DF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明. 解：图中的全等三角形共有 3 对， 分别是 △ADC 与 △ABC， △FCD与 △FCB，△FAD 与 △FAB． 选择△FAD≌△FAB 证明，过程如下： ∵四边形 ABCD是正方形， ∴AD = AB，∠DAF =∠BAF， 又∵AF = AF， ∴△FAD≌△FAB. 2.如图，在菱形ABCD中，将A，C两点沿对角线AC分别移动到A'，C'的位置，得到正方形A'BC'D.已知菱形ABCD的面积为120cm²，正方形A'BC'D的面积为50cm²，求AC的长. 解：连接BD交A′C′于点O. ∵正方形A'BC'D的面积为50cm²， ∴C′B²=50，解得C′B=5. 由正方形的性质可得A'C'⊥BD，BO=OC′. 由勾股定理得：BO²+C′O²=C′B²，∴BO=5. ∴BD=2BO=10. ∵菱形的面积为120cm²， ∴×AC×BD=120，即×AC×10=120. 解得AC=24cm. ∴AC的长为24cm. 【自选练习】 3.如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，图中有多少个等腰三角形？ 解：图中共有 8 个等腰三角形. △OAB、△OBC、△OCD、△ODA、△ABC、△BCD、△CDA、△DAB. 4.如图，A，B，C，D 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上.仓库 P 和 Q 分别位于 AD 和 DC 上，且 PD = QC.证明两条直路 BP = AQ 且 BP⊥AQ. 证明: 如图， AQ 与 BP 交于点 O． 在正方形 ABCD 中， ∵PD=QC， ∴AP=DQ ． 又∵AB=AD ，∠PAB=∠D=90°， ∴△ABP ≌△DAQ． ∴BP=AQ，∠DAQ=∠ABP ． ∵∠ABP+∠APB＝90°＝∠DAQ+∠APB． ∴∠AOP=90°． ∴BP=AQ 且 BP⊥ AQ． 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.正方形的性质定理有哪些？ 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $