1.4 正方形的性质与判定 同步讲义 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

本讲义聚焦初中数学“正方形的性质与判定”核心知识点，系统梳理其与平行四边形、矩形、菱形的联系，以定义为起点，通过边、角、对角线及对称性构建性质体系，结合“矩形+邻边相等”“菱形+直角”等判定方法形成学习支架。 资料以题型分层设计为特色，含性质应用、判定方法及综合运用三类题型，典例与变式题结合，培养学生推理能力与几何直观。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过过关验收查漏补缺，提升应用意识。

1.4 正方形的性质与判定 内 容 导 航 题型1 正方形的性质 题型2 正方形的判定 题型3 正方形的判定与性质 考 点 演 练 题型1 正方形的性质 解｜题｜知｜识 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 【典例1】如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E、F分别为BC、AD上一点，，OA＝10，则DF的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC与BD相交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝OD， ∴OA＝OD＝10， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠FAO＝∠ECO， ∵在△OFA和△OEC中， ∴△OFA≌△OEC（ASA）， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，在正方形ABCD中，O为对角线BD的中点，E为边CD上一点，CF⊥BE于点F，，CF＝2，则正方形的边长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：连接AC，AC交BE于M，作ON⊥OF交BE于N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OB＝OC＝OD＝OA， ∴∠FON＝∠BOC＝90°， ∴∠COF＝∠BON＝90°﹣∠CON， ∵CF⊥BE， ∴∠CFM＝90°＝∠BOM，° ∵∠CMF＝∠BMO， ∴∠OBN＝∠OCF， 在△CFO与△BNO中， ， ∴△CFO≌△BNO（ASA）， ∴BN＝CF＝2，， 由勾股定理考点，， ∴BF＝FN+BN＝4+2＝6， 由勾股定理考点，， 即正方形ABCD的边长是． 故选：D． 【变式2】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是边BC的中点，连结AE，DE，分别交BD，AC于点P，Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于点F．下列结论： ①； ②AP＝FP； ③若△CQD的面积为8，则正方形ABCD的面积为36； ④CE•EF＝EQ•DE． 其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【解答】解：如图，过点P作PI⊥AB于I，PH⊥BC于H， ∴∠PIA＝∠PHB＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，∠ABD＝45°， ∴四边形BIPH是矩形，BI＝PI， ∴四边形BIPH是正方形， ∴PI＝PH， ∵PF⊥AE， ∴∠API+∠IPF＝90°＝∠IPF+∠HPF， ∴∠API＝∠HPF， 在△AIP和△FHP中， ， ∴△AIP≌△FHP（ASA）， ∴AP＝FP， 故②正确； 设正方形边长为1， ∵E是边BC的中点， ∴， 在直角三角形ABE中，由勾股定理得：， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 故①正确； ∵AD∥CE， ∴△ADQ∽△CEQ， ∵E是边BC的中点， ∴BE＝CE， ∴， ∴， ∵△CQD的面积为8， ∴S△CED＝12， ∵S正方形ABCD＝BC•CD ＝2CE•CD ∴S△CED＝12， ∴S正方形ABCD＝4×12＝48， 故③错误； ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°， ∵PF⊥AE， ∴∠EPF＝90°， ∵BE＝CE，∠ABC＝∠DCB，AB＝CD， ∴△ABE≌△DCE（SAS）， ∴∠FEP＝∠DEC， 又∵∠EPF＝∠ECD＝90°， ∴△FPE∽△DCE， ∴， ∵∠BEP＝∠DEC，BE＝CE，∠DBC＝∠ACB， ∴△BEP≌△CEQ（ASA）， ∴PE＝QE， ∵， ∴， 即CE•EF＝EQ•DE， 故④正确， 综上所述，结论正确的是①②④， 故选：C． 【变式3】如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　） A．当∠ABC＝90°，▱ABCD是矩形 B．当AC＝BD，▱ABCD是矩形 C．当AB＝BC，▱ABCD是菱形 D．当AC⊥BD，▱ABCD是正方形 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 题型2 正方形的判定 解｜题｜知｜识 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 【典例1】小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　） A．（1）处可填∠A＝90° B．（2）处可填AD＝AB C．（3）处可填DC＝CB D．（4）处可填∠B＝∠D 【答案】D 【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴（1）处可填∠A＝90°是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形， ∴（2）处可填AD＝AB是正确的，故该选项不符合题意； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴（3）处可填DC＝CB是正确的，故该选项不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形， ∴∠B＝∠D无法判定两角是不是直角，故该选项不符合题意； 故选：D． 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．四边相等的四边形是正方形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解答】解：A、四边相等的四边形是菱形，故不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故不符合题意； 故选：B． 【变式2】下列说法中，不正确的是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】B 【解答】解：A、正确．两组对边分别平行的四边形是平行四边形； B、错误．比如等腰梯形，满足条件，不是平行四边形； C、正确．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形； D、正确．有一组邻边相等的矩形是正方形； 故选：B． 【变式3】已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，下列结论正确的有（　　） ①当AB＝DC时，它是菱形；②AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 当AB＝DC时，无法证明平行四边形ABCD是菱形，故①结论错误； 当AC⊥BD时，即平行四边形ABCD是菱形，故②结论正确； 当∠ABC＝90°时，即平行四边形ABCD是矩形，故③结论正确； 当AC＝BD时，即平行四边形ABCD是矩形，故④结论错误； 故选：C． 题型3 正方形的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 【典例1】如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③FO＝FG；④四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；⑤OF2+OE2＝EF2．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°， ∵∠EOF＝90°， ∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF， ∴∠COE＝∠DOF， 在△COE和△DOF中， ， ∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确； ②∵△COE≌△DOF， ∴CE＝DF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD， ∴BE＝CF，故②正确； ③∵△COE≌△DOF， ∴FO＝EO， ∵∠OFE＝∠ODF＝45°， ∴∠DOF＝∠CFE， 设∠DOF＝α， ∴∠OGF＝45°+α， ∵∠COF＝90°﹣α， 当45°+α＝90°﹣α时，α＝22.5°，OF＝FG， 故③不正确； ④由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等， ∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的， 故④正确； ⑤在Rt△ECF中，∠EOF＝90°， 根据勾股定理，得：OE2+OF2＝EF2， 故⑤正确； 综上所述，正确的是①②④⑤， 故选：C． 【变式1】如图，已知四边形ABCD为正方形，，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：①矩形DEFG是正方形；②CE＝CF；③AE＝CG；④CE+CG＝6．其中结论正确的序号有（　　） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【解答】解：①如图，过E作EM⊥BC于点M，过E作EN⊥CD于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∴EM＝EN， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形；故①正确； ②当DE⊥AC时，点C与点F重合， ∴CE不一定等于CF，故②错误； ③由①知：DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， 故③正确； ④∵AB＝BC＝3，∠B＝90°， ∴ACAB6， ∴AC＝AE+CE＝CG+CE＝6． 故④正确； 故选：B． 【变式2】下列说法不正确的是（　　） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．正方形是轴对称图形，且有四条对称轴 D．正方形的对角线平分一组对角 【答案】B 【解答】解：对于选项A， ∵一组邻边相等的矩形是正方形， ∴该选项正确，不符合题意； 对于选项B， ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形， ∴该选项不正确，符合题意； 对于选项C， ∵正方形是轴对称图形，且有四条对称轴， ∴该选项正确，不符合题意； 对于选项D， ∵正方形的对角线平分一组对角， ∴该选项正确，不符合题意． 故选：B． 【变式3】如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝2OE2．其中正确的是 　 　 ． 【答案】①②③④． 【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°， ∵∠EOF＝90°， ∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF， ∴∠COE＝∠DOF， 在△COE和△DOF中， ， ∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确； ②∵△COE≌△DOF， ∴CE＝DF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD， ∴BE＝CF，故②正确； ③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等， ∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故③正确； ④在Rt△EOF中，∠EOF＝90°，根据勾股定理，得OE2+OF2＝EF2， ∵OE＝OF， ∴2OE2＝EF2， ∴DF2+CF2＝CE2+CF2＝EF2＝2OE2， ∵BE＝CF， ∴DF2+BE2＝2OE2．故④正确； 综上所述，正确的是①②③④， 故答案为：①②③④． 过 关 验 收 1．如图，正方形ABCD的边长为，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：过点E作EF⊥CD于点F，设AC与BD交于点O，如图所示： 设EF＝a， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°，ODBD，∠CDB＝45°，AC⊥BD， ∵CE平分∠ACD，EF⊥CD，EO⊥AC， ∴EO＝EF＝a， ∵∠CDB＝45°， ∴△EFD是等腰直角三角形， ∴EF＝DF＝a， 由勾股定理得：DE， ∴OD＝DE+OE， 在Rt△BCD中，BD2， ∴ODBD＝1， ∴， ∴a， ∴DE． 故选：A． 2．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解答】解：连接AG并延长交CD于M，连接FM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°， ∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG， ∵G为DE的中点， ∴GE＝GD， 在△AGE和MGD中， ， ∴△AGE≌△MGD（AAS）， ∴AG＝MG，AE＝DMABCD， ∴CMCD＝2， ∵点H为AF的中点， ∴GHFM， ∵F为BC的中点， ∴CFBC＝2， ∴FM2， ∴GH， 故选：C． 3．如图，边长为4的正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，且BE＝BC，点P在EC上．PM⊥BD于点M，PN⊥BC于点N，则PM+PN的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【解答】解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为h， 则S△BCE＝S△BCP+S△BEP， 即BE•hBC•PNBE•PM， ∵BE＝BC， ∴h＝PN+PM， ∵正方形ABCD的边长为4， ∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°， ∴， 在Rt△BCD中，， ∴ ∴， 故选：B． 4．如图，正方形ABCD的边长为5，点M是边BC上的点，DE⊥AM于点E，BF∥DE，交AM于点F．若E是AF的中点，则DE的长为（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠BAD＝90° ∵DE⊥AG， ∴∠DEM＝∠AED＝90° ∴∠ADE+∠DAE＝90° 又∵∠BAF+∠DAE＝∠BAD＝90°， ∴∠ADE＝∠BAF． ∵BF∥DE， ∴∠AFB＝∠DEG＝∠AED． 在△ABF与△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（AAS）． ∴BF＝AE， ∵BF∥DE，∠AED＝90° ∴∠AFB＝90°， ∵E是AF的中点， ∴AE＝EF， 又∵BF＝AE， ∴BF＝EF＝AE， 设BF为x，则AF为2x， ∵AB2＝AF2+BF2， ∴52＝（2x）2+x2， 解得x（舍去）， ∴AF＝2x， ∵DE＝AF， ∴DE， 故选：B． 5．如图，已知正方形ABCD的边长为4，以AB为一边作等边△ABE，使点E落在正方形ABCD的内部，连接AC交BE于点F，连接CE、DE，则△CEF的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：过点E作EJ⊥BC于点J，过点F作FK⊥BC于点K． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∠ACB＝45°， ∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°，BE＝AB＝4， ∴∠EBC＝90°﹣60°＝30°， ∴EJBE＝2， ∴△BEC的面积•BC•EJ4×2＝4， 设FK＝CK＝m，则BKm， ∵CK+BK＝4， ∴mm＝4， ∴m＝22， ∴△BCF的面积•BC•FK4×（22）＝44， ∴△ECF的面积＝△ECB的面积﹣△BCF的面积＝4﹣（44）＝8﹣4． 故选：D． 6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为4，点C的坐标为（1，2），点D在第二象限，点A在第三象限．若CD∥x轴，则点A的坐标为（　　） A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（3，2） D．（﹣3，2） 【答案】A 【解答】解：设AB、BC，CD，DA分别与坐标轴交于E，F，H，T，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，CD∥x轴， ∴CD⊥y轴，AB⊥y轴，BC⊥x轴，AD⊥x轴， ∵点C（1，2）， ∴CH＝BE＝1，CF＝BF＝2， ∵正方形ABCD的边长为4， ∴AE＝4﹣1＝3，AT＝BF＝4﹣2＝2， 又∵点A在第三象限， ∴点A的坐标为（﹣3，﹣2）， 故选：A． 7．如图，边长为1的正方形ABCD绕点C逆时针旋转45°后得到正方形A′B′CD′，边A′D′与AB交于点E，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：连接A′C， ∵边长为1的正方形ABCD绕点C逆时针旋转45°后得到正方形A′B′CD′， ∴BC＝1，∠BCD＝90°，∠DCD′＝45°，∠A′CD′＝∠D′A′C＝45°，A′D′＝CD′＝1， ∴∠BCD′＝∠BCD﹣∠DCD′＝45°，， ∵∠BCD′＝∠A′CD′＝45°， ∴A′，B，C三点共线， ∴，∠A′BE＝90°， ∵∠D′A′B＝45°， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠EFC—定等于（　　） A．2α B．90°﹣2α C．45°﹣α D．90°﹣α 【答案】B 【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°， 将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，G、B、E三点共线，如图所示： 则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠GAE＝∠FAE＝45°， 在△GAE和△FAE中， ， ∴△GAE≌△FAE（SAS）， ∴∠AEF＝∠AEG， ∵∠BAE＝α， ∴∠AEB＝90°﹣α， ∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α， ∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB＝180°﹣2×（90°﹣α）＝2α， ∴∠EFC＝180°﹣90°﹣∠FEC＝90﹣2a， 故选：B． 9．如图，直线l上方有三个正方形a，b，c，且正方形a和c的一边在直线1上，正方形b的一个顶点在直线l上，有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合．若a，b的面积分别为1和9，则c的面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解答】解：标记G、E、G、H、M如图所示，直线l上方有三个正方形a，b，c，a，b的面积分别为1和9， ∴∠EFG＝∠EGH＝∠HMG＝90°，EG＝GH， ∵∠FEG+∠EGF＝90°，∠EGF+∠HGM＝90°， ∴∠FEG＝∠HGM， 在△EFG和△GMH中， ， ∴△EFG≌△GMH（AAS）， ∴FG＝MH，GM＝EF， ∴EF2＝1，EG2＝9， ∴c的面积为：HM2＝FG2＝EG2﹣EF2＝9﹣1＝8， 故选：C． 10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS）， ∴AE＝AF； ∵AM平分∠EAF， ∴∠EAM＝∠FAM， 在△AEM和△AFM中， ， ∴△AEM≌△AFM（SAS）， ∴EM＝FM； ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°， 设DM＝x，则MC＝CD﹣DM＝4﹣x，CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，EM＝FM＝FD+DM＝1+x， 在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM2＝MC2+CE2，即（1+x）2＝（4﹣x）2+32， 解得x． 故选：D． 11．如图，在正方形ABCD的边长为6，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在BC、CD的延长线上，且CE＝3，DF＝2，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为 　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，连接OF，过点O作OM⊥CD交CD于M， ∵O为正方形对角线AC和BD的交点， ∴OM＝CM＝DM＝CE＝3， 在△OHM与△EHC中， ， ∴△OHM≌△EHC（AAS）， ∴点H、点G分别为OE、FE的中点， ∴GH为△OEF的中位线， ∴GHOF， 在Rt△OMF中，FM＝DM+DF＝3+2＝5， 由勾股定理可得OF， ∴GHOF， 故答案为：． 12．如图，正方形OABC的边长为6，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为 　 　 ． 【答案】 【解答】解：如图，连接OB，过B作BD⊥x轴于D； ∵四边形OABC是正方形， ∴∠BOA＝45°， ∵OA与x轴负半轴的夹角为15°， ∴∠BOD＝30°， ∵正方形的边长为6， ∴； Rt△OBD中，，∠BOD＝30°， 则； 故， 将点B坐标代入抛物线的解析式得：， 解得， 故答案为：． 13．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，过点E作EP⊥BD交CD于点P，连接AE，EC，BP． （1）求证：AE＝CE； （2）若∠PBC＝15°，DP＝2，求正方形ABCD的边长． 【答案】（1）∵正方形ABCD， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°， ∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝CE； （2）． 【解答】（1）证明：∵正方形ABCD， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°， ∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝CE； （2）解：∵正方形ABCD， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∠DBC＝∠CDB＝45°， ∵∠PBC＝15°，EP⊥BD， ∴∠EBP＝30°，∠EPD＝45°＝∠EDP， ∴BP＝2EP，DE＝EP， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， 设正方形ABCD的边长为x，则BC＝x，CP＝x﹣2， 由勾股定理得，BP2＝BC2+CP2，即， 解得，或（舍去）， ∴正方形ABCD的边长为． 14．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（　　） A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形 【答案】C 【解答】解：A、错误，有一个角为90°的平行四边形是矩形 B、错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形； C、正确，对角线相等的平行四边形是矩形； D、错误，一组邻边相等的平行四边形是菱形； 故选：C． 15．下列说法正确的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．菱形一条对角线平分一组对角 C．有两个角是直角，有一组对边平行的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、菱形的对角线平分一组对角，故本选项符合题意； C、有两个角是直角，有一组对边平行的四边形也可能是直角梯形，故本选项不符合题意； D、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故本选项不符合题意； 故选：B． 16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 　　　 ，使得菱形ABCD为正方形． 【答案】AC＝BD（答案不唯一）． 【解答】解：添加AC＝BD， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD， ∴菱形ABCD为正方形． 故答案为：AC＝BD（答案不唯一）． 17．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点． （1）证明：四边形EGFH是平行四边形； （2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EFBC，证明：平行四边形EGFH是正方形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵G，F分别是BE，BC的中点， ∴GF∥EC且GFEC． 又∵H是EC的中点，EHEC， ∴GF∥EH且GF＝EH． ∴四边形EGFH是平行四边形． （2）连接GH，EF． ∵G，H分别是BE，EC的中点， ∴GH∥BC且GHBC． 又∵EF⊥BC且EFBC， 又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位线， ∴GH∥BC， ∴EF⊥GH， 又∵EF＝GH． ∴平行四边形EGFH是正方形． 18．已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G． （1）求证：AF＝CG； （2）连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？ 【答案】（1）证明过程见解答； （2）当ADAB，四边形BEDH是正方形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD， ∴∠AEF＝∠CHG， ∵BE＝2AB，DH＝2CD， ∴BE＝DH， ∴BE﹣AB＝DH﹣DC， ∴AE＝CH， ∵∠BAD+∠EAF＝180°，∠BCD+∠GCH＝180°， ∴∠EAF＝∠GCH， ∴△EAF≌△HCG（ASA）， ∴AF＝CG； （2）当ADAB时，四边形BEDH是正方形， 理由：∵BE∥DH，BE＝DH， ∴四边形EBHD是平行四边形， ∵EH⊥BD， ∴四边形EBHD是菱形， ∴ED＝EB＝2AB， 当AE2+DE2＝AD2时， 则∠BED＝90°， ∴四边形BEDH是正方形， 即AB2+（2AB）2＝AD2， ∴ADAB， ∴当ADAB，四边形BEDH是正方形． 19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，过点C作DA的平行线CE，且CE＝CD，连接AE． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）当△ABC满足　　 时，四边形ADCE是正方形．请说明理由． 【答案】（1）∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线， ∴CD＝AD， ∵CE＝CD， ∴AD＝CE（等量代换）， ∵AD∥CE， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵CE＝CD， ∴四边形ADCE是菱形； （2）AB＝AC， ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°（垂直的定义）， ∴菱形ADCE是正方形， 故答案为：AB＝AC． 【解答】（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线， ∴CD＝AD， ∵CE＝CD， ∴AD＝CE（等量代换）， ∵AD∥CE， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵CE＝CD， ∴四边形ADCE是菱形； （2）解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形ADCE是正方形，理由如下： ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°（垂直的定义）， ∴菱形ADCE是正方形， 故答案为：AB＝AC． 20．已知：如图△ABC中，在AB上截取BD＝BC，连接DC，取DC的中点E，过点C作CF∥AB，交线段BE的延长线于点F，连接DF． （1）求证：FC＝BD； （2）请你给△ABC添加一个条件，使四边形FDBC成为正方形，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）△ABC添加一个条件为∠ABC＝90°，理由见解析． 【解答】（1）证明：∵BD＝BC，点E是CD的中点， ∴∠DBE＝∠CBE， ∵CF∥AB， ∴∠CFB＝∠DBF， ∴∠CFB＝∠CBF， ∴CF＝BC， ∴CF＝BD； （2）解：△ABC添加一个条件为∠ABC＝90°， 理由：∵CF∥AB， ∴CF∥BD， ∵CF＝BD， ∴四边形FDBC是平行四边形， ∵BD＝BC，点E是CD的中点， ∴BE⊥CD， ∴四边形FDBC为菱形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形FDBC为正方形． 21．已知：如图，在▱ABCD中，AB＝BD，点E，F分别是BC，AD的中点． （1）求证：△ABF≌△CDE； （2）当∠A＝　　 °时，四边形BEDF是正方形？请证明你的结论． 【答案】（1）见解析； （2）45． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C， ∵AB＝BD， ∴CD＝BD， ∵E，F分别是BC，AD的中点， ∴BF⊥AD，DE⊥BC， ∴∠AFB＝∠CED＝90°， 在△ABF与△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（AAS）； （2）解：当∠A＝45°时，四边形BEDF是正方形， 证明：∵点E，F分别是BC，AD的中点， ∴DF， ∵AD＝BC， ∴DF＝BE， ∵DF∥BE， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵BF⊥AD， ∴∠BFD＝90°， ∴四边形BEDF是矩形， ∵∠A＝45°，AB＝BD， ∴∠A＝∠ADB＝45°， ∴∠ABD＝90°， ∴BF＝DFAD， ∴四边形BEDF是正方形， 故答案为：45． 22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF． （1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （2）四边形BEDF能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）四边形AEFD能够成为菱形，t＝10； （2）四边形BEDF不能为正方形，理由见解答． 【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°， ∴∠C＝90°﹣∠A＝30°． 在Rt△CDF中，∠C＝30°，CD＝4tcm， ∴DFCD＝AE＝2t， ∵DF∥AB，DF＝AE， ∴四边形AEFD是平行四边形， 当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形， 即60﹣4t＝2t，解得：t＝10， 即当t＝10时，四边形AEFD是菱形； （2）四边形BEDF不能为正方形，理由如下： 当∠EDF＝90°时，DE∥BC． ∴∠ADE＝∠C＝30° ∴AD＝2AE ∵CD＝4t， ∴DF＝2t＝AE， ∴AD＝4t， ∴4t+4t＝60， ∴t时，∠EDF＝90° 但BF≠DF， ∴四边形BEDF不可能为正方形． 23．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是三角形ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）当三角形ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？（不用证明） 【答案】（1）见解析； （2）△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE为正方形，理由见解答过程． 【解答】（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC， ∴， ∵AN是△ABC外角∠MAC的角平分线， ∴， ∵∠BAC+∠CAM＝180°， ∴， ∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠AEC＝∠DAE＝90°， ∴四边形ADCE为矩形； （2）解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE为正方形，理由如下： ∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC， ∴AD＝CD， 由（1）知，四边形ADCE为矩形， ∴四边形ADCE为正方形． 24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE． （1）求证：CE＝AD； （2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由） 【答案】（1）见解析； （2）菱形，理由见解析； （3）∠A＝45°，理由见解析． 【解答】（1）证明：∵DE⊥BC， ∴∠DFB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠DFB， ∴AC∥DE， ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴CE＝AD； （2）解：四边形BECD是菱形， 理由是：∵D为AB中点， ∴AD＝BD， ∵CE＝AD， ∴BD＝CE， ∵BD∥CE， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵∠ACB＝90°，D为AB中点， ∴CD＝BD， ∴四边形BECD是菱形； （3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形， 理由：∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝45°， 由（2）可知，四边形BECD是菱形， ∴∠ABC＝∠CBE＝45°， ∴∠DBE＝90°， ∴四边形BECD是正方形． 25．已知：正方形ABCD的边长为a，P是边CD上一个动点不与点C、点D重合，CP＝b，以CP为一边在正方形ABCD外作正方形PCEF，连接BF、DF． 观察计算：（1）如图1，当a＝4，b＝1时，四边形ABFD的面积为　 　 ； （2）如图2，当a＝4，b＝2时，四边形ABFD的面积为　　 ； （3）如图3，当a＝m，b＝n时，四边形ABFD的面积为　　； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形ABFD的面积与正方形ABCD的面积之间有怎样的关系？ 【答案】（1）16； （2）16； （3）m2； （4）相等． 【解答】解：（1）四边形ABFD的面积＝42（4+1）×1（4+1）×1＝16； 故答案为：16； （2）四边形ABFD的面积； 故答案为：16； （3）四边形ABFD的面积； 故答案为：m2； （4）∵正方形ABCD的面积＝a2；四边形ABFD的面积； 故四边形ABFD的面积等于正方形ABCD的面积． 26．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求AG+AE的值； （3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EAD＝∠EAB， ∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N， ∴EM＝EN， ∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°， ∴四边形ANEM是矩形， ∵EF⊥DE， ∴∠MEN＝∠DEF＝90°， ∴∠DEM＝∠FEN， ∵∠EMD＝∠ENF＝90°， ∴△EMD≌△ENF（ASA）， ∴ED＝EF， ∵四边形DEFG是矩形， ∴四边形DEFG是正方形； （2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形， ∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝3，∠GDE＝∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝∠CDE， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， ∴AG＝CE， ∴AE+AG＝AE+EC＝ACAD＝6； （3）解：连接DF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝3，AB∥CD， ∵F是AB中点， ∴AF＝FB， ∴DF， ∴正方形DEFG的面积DF2（）2． 27．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF、∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）∠EAF＝　　 °（直接写出结果不写解答过程） （2）①求证：四边形ABCD是正方形． ②若BE＝EC＝3，求△AEF的面积． （3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝7，QH＝3，则HR的长度是 　　 （直接写出结果不写解答过程）． 【答案】（1）45； （2）①证明见解析；②15； （3）2.8． 【解答】（1）解：∵∠C＝90°， ∴∠CEF+∠CFE＝90°，∴∠BEF+∠DFE＝180°+180°﹣90°＝270°， ∵AE平分∠BEF，AF平分∠DFE， ∴，， ∴， ∴∠EAF＝180°﹣135°＝45°， 故答案为：45； （2）①证明：过点A作AG⊥EF于G， ∵AE平分∠BEF，AB⊥EB，AG⊥EF， ∴AB＝AG， 同理可得AD＝AG， ∴AB＝AD， ∵AB⊥BC，AD⊥CD， ∴∠B＝∠D＝90°， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形； ②∵AG⊥EF， ∴∠AGE＝∠AGF＝90°， 在Rt△ABE和Rt△AGE中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）， ∴BE＝GE＝3， 同理可得DF＝GF， 设DF＝GF＝x， ∴EF＝3+x， ∵BE＝EC＝3， ∴BC＝3+3＝6， ∴CD＝AB＝AG＝6， ∴CF＝6﹣x， 在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2， ∴32+（6﹣x）2＝（3+x）2， 解得x＝2， ∴EF＝3+2＝5， ∴； （3）解：如图2所示，把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G， 由折叠可得PD＝PH＝PM＝7，QD＝QH＝3，MR＝HR，∠DPQ＝∠HPQ，∠MPR＝∠HPR，∠D＝∠PHQ＝90°，∠M＝∠PHR＝90°， ∴∠DPM＝2∠HPQ+2∠HPR＝2（∠HPQ+∠HPR）＝2∠QPR＝90°， ∴∠D＝∠DPM＝∠M＝90°， ∴四边形PMGD是矩形， ∵PD＝PM， ∴四边形PMGD是正方形， ∴DG＝MG＝PD＝7， ∴GQ＝DG﹣QD＝7﹣3＝4， 设MR＝HR＝a，则QR＝3+a，GR＝7﹣a， 在Rt△GQR中，GQ2+GR2＝QR2， ∴42+（7﹣a）2＝（3+a）2， 解得a＝2.8， ∴HR＝2.8， 故答案为：2.8． 28．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， 得矩形EMCN， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； ②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∴CE⊥CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9． ∵CG＝3， ∴CE＝6， 连接EG， ∴EG3， ∴DEEG＝3． ∴正方形DEFG的边长为3． 29．如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求点F到线段AE的距离． 【答案】（1）见解析； （2）点F到线段AE的距离为． 【解答】（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O， ∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF， ∵BE＝DF， ∴BO＝DO， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∵∠ADO＝45°， ∴∠DAO＝∠ADO＝45°， ∴AO＝DO， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形； （2）解：∵正方形ABCD的面积为72， ∴AC•BD＝72， ∴4BO2＝72， ∴BO＝DO＝CO＝AO＝6， ∴AC＝12， ∵BF＝4， ∴OF＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴EF＝2EO＝2OF＝4，AC⊥EF， ∴菱形AFCE的面积AC•EF＝24， 在Rt△AOE中，AE2， 设点F到线段AE的距离为h， ∴AE•h＝24， 即2h＝24， ∴h． 即点F到线段AE的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 正方形的性质与判定 内 容 导 航 题型1 正方形的性质 题型2 正方形的判定 题型3 正方形的判定与性质 考 点 演 练 题型1 正方形的性质 解｜题｜知｜识 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 【典例1】如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E、F分别为BC、AD上一点，，OA＝10，则DF的长度是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在正方形ABCD中，O为对角线BD的中点，E为边CD上一点，CF⊥BE于点F，，CF＝2，则正方形的边长为（　　） A．4 B． C． D． 【变式2】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是边BC的中点，连结AE，DE，分别交BD，AC于点P，Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于点F．下列结论： ①； ②AP＝FP； ③若△CQD的面积为8，则正方形ABCD的面积为36； ④CE•EF＝EQ•DE． 其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式3】如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　） A．当∠ABC＝90°，▱ABCD是矩形 B．当AC＝BD，▱ABCD是矩形 C．当AB＝BC，▱ABCD是菱形 D．当AC⊥BD，▱ABCD是正方形 题型2 正方形的判定 解｜题｜知｜识 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 【典例1】小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　） A．（1）处可填∠A＝90° B．（2）处可填AD＝AB C．（3）处可填DC＝CB D．（4）处可填∠B＝∠D 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．四边相等的四边形是正方形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【变式2】下列说法中，不正确的是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 【变式3】已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，下列结论正确的有（　　） ①当AB＝DC时，它是菱形；②AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型3 正方形的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 【典例1】如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③FO＝FG；④四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；⑤OF2+OE2＝EF2．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】如图，已知四边形ABCD为正方形，，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：①矩形DEFG是正方形；②CE＝CF；③AE＝CG；④CE+CG＝6．其中结论正确的序号有（　　） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④ 【变式2】下列说法不正确的是（　　） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．正方形是轴对称图形，且有四条对称轴 D．正方形的对角线平分一组对角 【变式3】如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝2OE2．其中正确的是 　 　 ． 过 关 验 收 1．如图，正方形ABCD的边长为，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE的长是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（　　） A． B．1 C． D．2 3．如图，边长为4的正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，且BE＝BC，点P在EC上．PM⊥BD于点M，PN⊥BC于点N，则PM+PN的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 4．如图，正方形ABCD的边长为5，点M是边BC上的点，DE⊥AM于点E，BF∥DE，交AM于点F．若E是AF的中点，则DE的长为（　　） A． B．2 C．4 D． 5．如图，已知正方形ABCD的边长为4，以AB为一边作等边△ABE，使点E落在正方形ABCD的内部，连接AC交BE于点F，连接CE、DE，则△CEF的面积为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为4，点C的坐标为（1，2），点D在第二象限，点A在第三象限．若CD∥x轴，则点A的坐标为（　　） A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（3，2） D．（﹣3，2） 7．如图，边长为1的正方形ABCD绕点C逆时针旋转45°后得到正方形A′B′CD′，边A′D′与AB交于点E，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠EFC—定等于（　　） A．2α B．90°﹣2α C．45°﹣α D．90°﹣α 9．如图，直线l上方有三个正方形a，b，c，且正方形a和c的一边在直线1上，正方形b的一个顶点在直线l上，有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合．若a，b的面积分别为1和9，则c的面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　） A．2 B． C． D． 11．如图，在正方形ABCD的边长为6，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在BC、CD的延长线上，且CE＝3，DF＝2，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为 　 ． 12．如图，正方形OABC的边长为6，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为 　 　 ． 13．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，过点E作EP⊥BD交CD于点P，连接AE，EC，BP． （1）求证：AE＝CE； （2）若∠PBC＝15°，DP＝2，求正方形ABCD的边长． 14．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（　　） A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形 15．下列说法正确的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．菱形一条对角线平分一组对角 C．有两个角是直角，有一组对边平行的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 　　　 ，使得菱形ABCD为正方形． 17．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点． （1）证明：四边形EGFH是平行四边形； （2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EFBC，证明：平行四边形EGFH是正方形． 18．已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G． （1）求证：AF＝CG； （2）连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？ 19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，过点C作DA的平行线CE，且CE＝CD，连接AE． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）当△ABC满足　　 时，四边形ADCE是正方形．请说明理由． 20．已知：如图△ABC中，在AB上截取BD＝BC，连接DC，取DC的中点E，过点C作CF∥AB，交线段BE的延长线于点F，连接DF． （1）求证：FC＝BD； （2）请你给△ABC添加一个条件，使四边形FDBC成为正方形，并说明理由． 21．已知：如图，在▱ABCD中，AB＝BD，点E，F分别是BC，AD的中点． （1）求证：△ABF≌△CDE； （2）当∠A＝　　 °时，四边形BEDF是正方形？请证明你的结论． 22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF． （1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （2）四边形BEDF能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 23．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是三角形ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）当三角形ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？（不用证明） 24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE． （1）求证：CE＝AD； （2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由） 25．已知：正方形ABCD的边长为a，P是边CD上一个动点不与点C、点D重合，CP＝b，以CP为一边在正方形ABCD外作正方形PCEF，连接BF、DF． 观察计算：（1）如图1，当a＝4，b＝1时，四边形ABFD的面积为　 　 ； （2）如图2，当a＝4，b＝2时，四边形ABFD的面积为　　 ； （3）如图3，当a＝m，b＝n时，四边形ABFD的面积为　　； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形ABFD的面积与正方形ABCD的面积之间有怎样的关系？ 26．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求AG+AE的值； （3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积． 27．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF、∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）∠EAF＝　　 °（直接写出结果不写解答过程） （2）①求证：四边形ABCD是正方形． ②若BE＝EC＝3，求△AEF的面积． （3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝7，QH＝3，则HR的长度是 　　 （直接写出结果不写解答过程）． 28．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 29．如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求点F到线段AE的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $