26.2.2 第2课时 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\( y=a(x-h)^2 \)的图象和性质，核心知识点包括平移规律、顶点坐标、对称轴及增减性。课堂导入通过回顾\( y=ax^2 + k \)与\( y=ax^2 \)的上下平移关系，搭建新旧知识桥梁，引导学生探究左右平移规律。 其特色在于以探究式学习为主，通过列表描点画图、对比分析培养学生几何直观与推理意识，如让学生动手绘制函数图象并观察平移规律。专项练习、当堂检测及举一反三设计强化应用意识，课堂小结用表格系统梳理性质。学生能深化对函数的理解，教师可直接利用结构化资源提升教学效率。

人教版（新教材）数学九年级上册 第26章 二次函数 26.2.2 第2课时 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/17 人教版九年级上册26.2.2第2课时 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质专项练习 核心知识点梳理 二次函数$$y=a(x-h)^2$$（$$a eq0$$）是由基础抛物线$$y=ax^2$$左右平移得到的抛物线，图象形状、开口大小、开口方向与$$y=ax^2$$完全一致，仅对称轴和顶点位置发生改变。该函数图象的顶点坐标为$$(h,0)$$，对称轴为直线$$x=h$$。平移遵循“左加右减”规律：$$h>0$$时，抛物线由$$y=ax^2$$向右平移$$h$$个单位；$$h<0$$时，抛物线由$$y=ax^2$$向左平移$$|h|$$个单位。当$$a>0$$时，开口向上，顶点为最低点，在对称轴左侧（$$x<h$$）$$y$$随$$x$$增大而减小，在对称轴右侧（$$x>h$$）$$y$$随$$x$$增大而增大；当$$a&lt;0$$时，开口向下，顶点为最高点，增减性恰好相反。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 抛物线$$y=3(x-2)^2$$的顶点坐标是（） A. $$(2,0)$$ B. $$(-2,0)$$ C. $$(0,2)$$ D. $$(0,-2)$$ 2. 抛物线$$y=-2(x+1)^2$$的对称轴是（） A. 直线$$x=1$$ B. 直线$$x=-1$$ C. $$y$$轴 D. $$x$$轴 3. 将抛物线$$y=4x^2$$向左平移3个单位，所得抛物线解析式是（） A. $$y=4(x-3)^2$$ B. $$y=4(x+3)^2$$ C. $$y=4x^2-3$$ D. $$y=4x^2+3$$ 4. 对于抛物线$$y=-(x-4)^2$$，下列说法正确的是（） A. 开口向上 B. 顶点坐标为$$(-4,0)$$ C. 当$$x=4$$时，函数有最大值0 D. 当$$x>4$$时，$$y$$随$$x$$增大而增大 5. 已知点$$(3,y_1)$$、$$(5,y_2)$$在抛物线$$y=2(x-4)^2$$上，则$$y_1、y_2$$的大小关系是（） A. $$y_1>y_2$$ B. $$y_1<y_2$$ C. $$y_1=y_2$$ D. 无法判断 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 抛物线$$y=5(x-1)^2$$的开口方向为________，顶点坐标为________。 7. 抛物线$$y=-\frac{1}{2}(x+4)^2$$是由$$y=-\frac{1}{2}x^2$$向________平移________个单位得到。 8. 二次函数$$y=6(x-3)^2$$的最小值为________。 9. 若抛物线$$y=a(x-2)^2$$经过点$$(3,4)$$，则$$a=$$________。 10. 已知抛物线$$y=-3(x-m)^2$$的对称轴为直线$$x=-2$$，则$$m=$$________。 三、解答题（共60分） 11.（18分）分别写出抛物线$$y=4(x-5)^2$$与$$y=-\frac{1}{3}(x+2)^2$$的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及函数增减性。 12.（20分）已知抛物线$$y=(k+1)(x-3)^2$$。 （1）若抛物线开口向上，求$$k$$的取值范围；（2）若抛物线开口向下，写出该抛物线的最大值和增减性。 13.（22分）已知抛物线$$y=2(x-h)^2$$经过点$$A(1,8)$$。 （1）求该抛物线的函数解析式；（2）求抛物线的对称轴、顶点坐标和最小值；（3）判断点$$B(5,8)$$是否在该抛物线上。 参考答案及解析 1. A 解析：$$y=a(x-h)^2$$顶点坐标为$$(h,0)$$，本题中$$h=2$$，故顶点为$$(2,0)$$。 2. B 解析：抛物线$$y=a(x-h)^2$$对称轴为直线$$x=h$$，原式可化为$$y=-2(x-(-1))^2$$，即$$h=-1$$，对称轴为直线$$x=-1$$。 3. B 解析：根据平移规律“左加右减”，向左平移3个单位，需在$$x$$上加3，解析式为$$y=4(x+3)^2$$。 4. C 解析：$$a=-1<0$$，开口向下，顶点$$(4,0)$$为最高点，$$x=4$$时函数有最大值0；$$x>4$$时$$y$$随$$x$$增大而减小。 5. C 解析：抛物线对称轴为直线$$x=4$$，点$$(3,y_1)$$和$$(5,y_2)$$到对称轴的距离相等，因此函数值相等。 6. 向上；$$(1,0)$$ 解析：$$a=5>0$$开口向上，由解析式可直接读出顶点坐标$$(1,0)$$。 7. 左；4 解析：$$h=-4$$，依据“左加右减”原则，抛物线向左平移4个单位。 8. 0 解析：$$a=6>0$$开口向上，顶点$$(3,0)$$为最低点，函数最小值为0。 9. 4 解析：将点$$(3,4)$$代入解析式，$$4=a(3-2)^2$$，解得$$a=4$$。 10. -2 解析：抛物线对称轴为直线$$x=m$$，结合题意得$$m=-2$$。 11. 解析：$$y=4(x-5)^2$$：开口向上，对称轴为直线$$x=5$$，顶点$$(5,0)$$，最小值为0；$$x<5$$时$$y$$随$$x$$增大而减小，$$x>5$$时$$y$$随$$x$$增大而增大。$$y=-\frac{1}{3}(x+2)^2$$：开口向下，对称轴为直线$$x=-2$$，顶点$$(-2,0)$$，最大值为0；$$x<-2$$时$$y$$随$$x$$增大而增大，$$x>-2$$时$$y$$随$$x$$增大而减小。 12. 解析：（1）抛物线开口向上，则二次项系数$$k+1>0$$，解得$$k>-1$$；（2）抛物线开口向下时$$k+1<0$$，函数顶点为$$(3,0)$$，最大值为0；当$$x<3$$时，$$y$$随$$x$$增大而增大，当$$x>3$$时，$$y$$随$$x$$增大而减小。 13. 解析：（1）将$$A(1,8)$$代入$$y=2(x-h)^2$$，得$$8=2(1-h)^2$$，化简得$$(1-h)^2=4$$，解得$$h=-1$$或$$h=3$$，解析式为$$y=2(x+1)^2$$或$$y=2(x-3)^2$$；（2）当解析式为$$y=2(x+1)^2$$时，对称轴为直线$$x=-1$$，顶点$$(-1,0)$$，最小值为0；当解析式为$$y=2(x-3)^2$$时，对称轴为直线$$x=3$$，顶点$$(3,0)$$，最小值为0；（3）将$$x=5$$代入两个解析式，$$y=2\times(5+1)^2=72 eq8$$，$$y=2\times(5-3)^2=8$$，故点$$B(5,8)$$在抛物线$$y=2(x-3)^2$$上，不在$$y=2(x+1)^2$$上。 情境导入 1. 会画二次函数 y = a(x − h)2 的图象；（重点） 2. 掌握二次函数 y = a(x − h)2 的性质；（难点） 3. 比较函数 y = ax2 与 y = a(x − h)2 的联系和区别. 学习目标 问题1 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 与 y = ax2 的图象有何关系？ 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象可以由 y = ax2 (a≠0)的图象平移得到： 当 k＞0 时，向上平移 k 个单位长度得到. 当 k＜0 时，向下平移 -k 个单位长度得到. 问题2 函数 的图象，能否由函数 的 图象平移得到？ 形状开口均相同，应该也能. 情境导入 再来讨论当h≠0，k=0时，二次函数 y=a(x-h)2 的图象和性质. 探究新知 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=﹣(x+1)2，y=﹣(x-1)2 的图象，并分别指出它的开口方向、对称轴和顶点. 先分别列表： x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 … y=﹣(x+1)2 … −4.5 −2 −0.5 0 −0.5 −2 −4.5 … x … −2 −1 0 1 2 3 4 … y=﹣(x-1)2 … −4.5 −2 −0.5 0 −0.5 −2 −4.5 … 然后描点画图，得到 y=﹣(x+1)2，y=﹣(x-1)2 的图象（如图）. y=﹣(x+1)2 y=﹣(x-1)2 探究新知 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=﹣(x+1)2，y=﹣(x-1)2 的图象，并分别指出它的开口方向、对称轴和顶点. y=﹣(x+1)2 y=﹣(x-1)2 可以看出，抛物线  的开口向下，对称轴是经过点 (-1,0) 且与  轴垂直的直线，把它记作 ，顶点是(-1,0)； 抛物线 的开口向下，对称轴是x=1，顶点是(1，0). 探究新知 探究 (2) 抛物线y=﹣(x+1)2，y=﹣(x-1)2 与抛物线 y=﹣x2有什么关系？ y=﹣(x+1)2 y=﹣(x-1)2 可以发现，把抛物线 （图中的虚线图形）向左平移 1 个单位长度，就得到抛物线 ； 把抛物线  向右平移 1 个单位长度，就得到抛物线 . 探究新知 也可以利用信息技术工具画函数 y=a(x-h)2 的图象. 改变h的值，可以发现，随着h的变化，二次函数 y=a(x-h)2 的图象向左或向右平移，即把抛物线 y=ax2 向左 (h<0) 或向右 (h>0) 平移 |h| 个单位长度，就可以得到抛物线y=a(x-h)2 . 探究新知 1. 返回 已知二次函数y＝(x－1)2，则它的图象大致为(　　) B 举一反三 9 返回 2. [张家口期末]若抛物线y＝m(x＋2)2的开口向下，则m的值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 A 举一反三 思考：你能归纳出二次函数 y=a(x-h)2 的图象特征和性质吗？ 抛物线 y=a(x-h)2 抛物线y=a 沿 x 轴向左平移|h|个单位长度 抛物线 y=a(x-h)2 抛物线y=a 沿 x 轴向右平移 h 个单位长度 （1）当h>0时： （2）当h<0时： 简记为“左加右减自变量” 探究新知 函数 y=a(x-h)2 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h,0) 增减性 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=h 时，y最小值​=0 当 x=h 时，y最大值​=0 二次函数 y=a(x-h)2 的图象和性质 探究新知 在同一平面直角坐标系中，画出函数  与  的图象，并根据图象回答下列问题： 例1 x … -2 -1 0 1 2 …   … -2 -0.5 0 -0.5 -2 … 解：分别列表： x … 0 1 2 3 4 …  y= … -2 -0.5 0 -0.5 -2 … 描点连线，得函教 y= 与 y=的图象，如图所示. 探究新知 (1)抛物线 y=﹣(x-2)2 可以由抛物线 y=﹣ 怎样平移得到？ (2)抛物线 y=﹣(x-2)2 的开口向______，对称轴是_________，顶点坐标是______，除顶点外，抛物线上的点都在  轴的______方. (3)对于函数 y=﹣(x-2)2，当 x> ____ 时，y 随 x 的增大而减小；当 x= ____ 时，y 有最大值，最大值是______. 解：(1)抛物线 y=﹣(x-2)2 可以由抛物线 y=﹣ 向右平移2个单位得到. 下 直线x=2 (2,0) 下 2 2 0 探究新知 1. 下列抛物线中，顶点坐标是(－2，0)的是(　C　) A. y＝x2＋2 B. y＝x2－2 C. y＝(x＋2)2 D. y＝(x－2)2 C 2. 将抛物线y＝2x2向左平移3个单位长度得到的抛物线的解析式为(　C　) A. y＝2x2＋3 B. y＝2x2－3 C. y＝2(x＋3)2 D. y＝2(x－3)2 C 当堂检测 3. 抛物线y＝－(x－3)2的开口向 ，y的 最大值是 ，对称轴是直线 .当x ⁠ 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的 增大而减小. 4. 已知二次函数y＝(x－1)2，当点(－1，y1)， (0，y2)，(，y3)在函数图象上时，则y1，y2，y3的大 小关系是 (用“＞”连接). 下　 0　 x＝3　 ＜3 ＞3　 y1＞y2＞y3　 当堂检测 草图通关 顶点坐标： ，a 0，对称轴： ⁠ ⁠. 函数值大小比较关键：对称轴位置，开口方向. (1，0)　 ＞　 直 线x＝1　 当堂检测 5. 已知二次函数y＝－2(x＋b)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小. (1)b＝ ⁠； 3　 (2)若点P(1，m)在该二次函数的图象上，求点P 的坐标.1，－32). 解：由(1)可得y＝－2(x＋3)2， ∵点P(1，m)在该函数的图象上， ∴m＝－2(1＋3)2＝－32.∴点P的坐标为(1，－32). 当堂检测 草图通关 a 0， 顶点坐标： ⁠， 对称轴： ⁠. ＜　 (－3，0)　 直线x＝－3　 当堂检测 返回 3. 【新考法 逐项判断法】下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝2的是(　　) A．y＝x2－2 B．y＝－x2＋2 C．y＝－(x－2)2 D．y＝(x＋2)2 C 举一反三 返回 4. 对于二次函数y＝3(x＋4)2，其图象的顶点坐标为(　　) A．(0，4) B．(0，－4) C．(4，0) D．(－4，0) D 举一反三 二次函数y＝－5(x＋3)2的最大值是(　　) A．0 B．－5 C．3 D．－3 返回 5. A 举一反三 [秦皇岛校级期末]若点A(－1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝(x＋2)2上，则y1，y2的大小关系是(　　) A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2 返回 6. C 举一反三 返回 7. 已知二次函数y＝ (x＋3)2，当x________时，y随x的增大而减小，当x＝________时，函数有最________值，为________． ＜－3 －3 小 0 举一反三 返回 8. 把抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是(　　) A．y＝(x＋2)2 B．y＝(x－2)2 C．y＝x2＋2 D．y＝x2－2 A 举一反三 增减性结合开口方向和对称轴才能确定 二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质 图象 性质 与抛物线y=ax2的关系 1.开口方向由a的符号决定； 2.h决定对称轴的位置； 3.顶点坐标 (h，0) 平移规律： 左加右减自变量 课堂小结 谢谢观看 THANKS Lavf57.25.100 $