26.2.2 第2课时 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次函数\(y = a(x - h)^2\)的图象和性质，通过复习\(y = ax^2 + k\)与\(y = ax^2\)的平移关系，提出新函数图象能否由\(y = ax^2\)平移得到的问题，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于通过列表描点画图象、归纳开口方向等性质，结合平移规律探究，培养几何直观与推理意识。采用探究式教学，学生通过实例分析提升数学思维，教师可借助当堂反馈高效巩固教学效果。

第2课时 二次函数 y = a(x − h)2 的图象和性质 26.2.2 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质 第26章 二次函数 人教版 九年级（上） 1 1. 会画二次函数 y = a(x − h)2 的图象；（重点） 2. 掌握二次函数 y = a(x − h)2 的性质；（难点） 3. 比较函数 y = ax2 与 y = a(x − h)2 的联系和区别. 素养目标 问题1 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 与 y = ax2 的图象有何关系？ 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象可以由 y = ax2 (a≠0)的图象平移得到： 当 k＞0 时，向上平移 k 个单位长度得到. 当 k＜0 时，向下平移 -k 个单位长度得到. 问题2 函数 的图象，能否由函数 的 图象平移得到？ 形状开口均相同，应该也能. 复习导入 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. y =(x + 1)2，y = (x - 1)2 (2) 抛物线 y = (x + 1)2，y = (x - 1)2与抛物线 y = x2 有什么关系？ 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 新知探究 x ··· −4 −3 −2 −1 0 1 2 ··· ··· ··· −4.5 0 −2 −0.5 列表如下： y=(x + 1)2 −4.5 −2 −0.5 x ··· −2 −1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· y=(x - 1)2 −4.5 0 −2 −0.5 −4.5 −2 −0.5 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 新知探究 -2 2 -2 -4 -6 4 -4 O x y 描点、连线，如图所示： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 x = -1 (−1，0) 直线 x = 1 向下 (1，0) 想一想：通过上述例子，得出函数 y = a(x - h)2 (a＜0)的图象特征和性质是什么？ 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 新知探究 (1) 顶点都是最____点，函数都 有最____值，都为_______； (2) 函数的增减性： 根据图象回答下列问题: 【做一做】 高 大 0 当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小 想一想：函数 y = a(x - h)2 (a＜0) 的性质是什么？ 当 x＜-1 时，y 随 x 增大而增大 当 x＞1 时，y 随 x 增大而减小 当 x＜1 时，y 随 x 增大而增大 -2 2 -2 -4 4 -4 O x y 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 新知探究 例1 画出二次函数 y = 2(x + 1)2，y = 2(x - 1)2 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点． 解：列表如下： x ··· −2 −1 −0.5 0 0.5 1 2 ··· ··· ··· ··· ··· 0 2 8 8 0 2 2 18 18 2 y = 2(x + 1)2 y = 2(x - 1)2 0.5 4.5 4.5 0.5 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 新知探究 y = 2(x + 1)2 y = 2(x - 1)2 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 从左到右对称轴分别是都 是 ； (4) 从左到右顶点坐标分别是 _________________； 抛物线 向上 x = -1，x = 1 (1，0) (−1，0)， 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 新知探究 (5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，都为_______； (6) 两个函数增减性的共性 ： ___________________________ ___________________________； 低 小 y = 0 对称轴左侧，y 随 x 增大而减小， 对称轴右侧，y 随 x 增大而增大 想一想：函数 y = a(x - h)2 (a＞0) 的性质是什么？ 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 新知探究 【归纳总结】 y=a(x-h)2 a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线 x = h 直线 x = h (h，0) (h，0) 当 x = h 时，y最小值 = 0 当 x = h 时，y最大值 = 0 当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而增大；x＞h 时，y随 x 的增大而减小. 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 新知探究 例2 已知二次函数 y＝ (x﹣1)2． (1) 画出图象，并写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； (2) 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？ 解：对称轴为直线 x = 1. 顶点坐标为 (1，0). 解：当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大. O -1 2 2 4 4 -2 x y 3 1 y＝(x﹣1)2 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 新知探究 (3) 若 3≤x≤5，求 y 的取值范围； 想一想：若 −1≤x≤5，y 的取值范围是什么？ 解：∵当x＞1时，y 随 x 的增大而增大，当x = 3时，y = 2；当 x = 5 时，y = 8， ∵当−1≤x≤5时，y 的最小值为 0， ∴当−1≤x≤5时，y 的取值范围是 0≤y≤8. 注意：限定了自变量的取值范围求函数值的范围时，应结合图象根据增减性在自变量取值范围内取最值 ∴当 3≤x≤5 时，y 的取值范围是 2≤y≤8. O -1 2 2 4 4 x y 3 1 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 新知探究 (4)若抛物线上有两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2＜1， 试比较 y1 与 y2 的大小． 解：∵ m＞1，∴ 1＜m＜m + 1. 变式：若点 A(m，y1)，B(m + 1，y2) 在抛物线的图象上，且 m＞1，试比较 y1，y2 的大小，并说明理由． 解：∵ 当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x1＜x2＜1 时，y1＞y2. ∵ 当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大， ∴ y1＜y2. O -1 2 2 4 4 x y 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 新知探究 探究点2: 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2(a≠0)的图象的关系 想一想 抛物线 y = 2(x + 1)2， y = 2(x - 1)2 与抛物线 y = 2x2 有什么样的关系？ 形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同. 新知探究 (1，2 ) (2，8 ) y = 2x2 从平移后对应点的坐标的角度探究 (1，8 ) (2，8 ) (0，2 ) 类似地，可以说下抛物线 y = 2(x - 1)2 与抛物线 y = 2x2 的关系. (1，2 ) 横坐标减 1 (1，8 ) (0，2 ) y=2(x+1)2 向左平移 1 个单位长度 y = 2(x + 1)2 y = 2x2 探究点2: 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2(a≠0)的图象的关系 新知探究 y = 2(x + 1)2 y = 2(x - 1)2 y = 2(x + 1)2 y = 2(x - 1)2 y = 2x2 向右平移 1 个单位 向左平移 1 个单位 向 x 轴正方向平移 向 x 轴负方向平移 从形的角度探究 y = 2x2 探究点2: 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2(a≠0)的图象的关系 新知探究 向左平移 1 个单位 形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同. 抛物线 与抛物线 有什么关系？ 向右平移 1 个单位 O −2 2 -2 -4 -6 4 −4 x y 【想一想】 y=(x+1)2，y =(x-1)2 y=x2 探究点2: 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2(a≠0)的图象的关系 新知探究 【归纳总结】 y = ax2 向右平移 h 个单位 y = a(x - h)2 向左平移 h 个单位 y = a(x + h)2 左右平移规律： 自变量左加右减，括号外不变. 当 h > 0： 探究点2: 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2(a≠0)的图象的关系 新知探究 【链接中考】 1. 将二次函数 y＝－2x2 的图象平移后，可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2 的图象，平移的方法是 (　　) A. 向上平移 1 个单位长度 B. 向下平移 1 个单位长度 C. 向左平移 1 个单位长度　 D. 向右平移 1 个单位长度 C 探究点2: 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2(a≠0)的图象的关系 新知探究 探索 y =a(x±h)2的图象及性质 开口方向及增减性 对称轴 直线 x = h (h，0) a > 0，开口向上 a < 0，开口向下 a 的符号和 h 的值决定增减性 y = ax2 左右平移 h 个单位 顶点坐标 平移规律： 自变量 左加右减， 括号外 保持不变. 课堂小结 1. 下列抛物线中，顶点坐标是(－2，0)的是(　C　) A. y＝x2＋2 B. y＝x2－2 C. y＝(x＋2)2 D. y＝(x－2)2 C 2. 将抛物线y＝2x2向左平移3个单位长度得到的抛物线的解析式为(　C　) A. y＝2x2＋3 B. y＝2x2－3 C. y＝2(x＋3)2 D. y＝2(x－3)2 C 当堂反馈 3. 抛物线y＝－(x－3)2的开口向 ，y的 最大值是 ，对称轴是直线 .当x ⁠ 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的 增大而减小. 4. 已知二次函数y＝(x－1)2，当点(－1，y1)， (0，y2)，(，y3)在函数图象上时，则y1，y2，y3的大 小关系是 (用“＞”连接). 下　 0　 x＝3　 ＜3 ＞3　 y1＞y2＞y3　 当堂反馈 草图通关 顶点坐标： ，a 0，对称轴： ⁠ ⁠. 函数值大小比较关键：对称轴位置，开口方向. (1，0)　 ＞　 直 线x＝1　 当堂反馈 5. 已知二次函数y＝－2(x＋b)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小. (1)b＝ ⁠； 3　 (2)若点P(1，m)在该二次函数的图象上，求点P 的坐标.1，－32). 解：由(1)可得y＝－2(x＋3)2， ∵点P(1，m)在该函数的图象上， ∴m＝－2(1＋3)2＝－32.∴点P的坐标为(1，－32). 当堂反馈 草图通关 a 0， 顶点坐标： ⁠， 对称轴： ⁠. ＜　 (－3，0)　 直线x＝－3　 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $