26.2.2 第1课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质 课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y = ax^2 + k\)的图象和性质，核心包括平移规律、开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性。课堂导入通过回顾配方法解一元二次方程，引导学生将复杂二次函数转化为\(y = a(x - h)^2 + k\)形式，从已学的\(y = ax^2\)过渡到\(y = ax^2 + k\)，搭建知识衔接的学习支架。 其亮点在于通过画图探究、对比分析培养学生几何直观与推理意识，如让学生绘制\(y = \frac{1}{2}x^2 + 2\)与\(y = \frac{1}{2}x^2 - 2\)的图象，总结平移规律。用表格系统梳理性质，规范数学语言表达，当堂检测结合作图与计算，帮助学生深化理解，教师可借助丰富例题与分层练习提升教学效率。

人教版（新教材）数学九年级上册 第26章 二次函数 26.2.2 第1课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/17 人教版九年级上册26.2.2第1课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质专项练习 核心知识点梳理 二次函数$$y=ax^2+k$$（$$a eq0$$）是$$y=ax^2$$的上下平移变式，图象依旧是抛物线，形状、开口大小、对称轴与$$y=ax^2$$完全相同，仅顶点位置发生改变。其图象对称轴为$$y$$轴，顶点坐标为$$(0,k)$$。函数平移规律为“上加下减”：$$k>0$$时，抛物线由$$y=ax^2$$向上平移$$k$$个单位；$$k<0$$时，抛物线由$$y=ax^2$$向下平移$$|k|$$个单位。当$$a>0$$时，开口向上，顶点为最低点，$$x<0$$时$$y$$随$$x$$增大而减小，$$x>0$$时$$y$$随$$x$$增大而增大；当$$a<0$$时，开口向下，顶点为最高点，增减性与$$a>0$$相反。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 抛物线$$y=2x^2+3$$的顶点坐标是（） A. $$(0,3)$$ B. $$(3,0)$$ C. $$(0,-3)$$ D. $$(-3,0)$$ 2. 抛物线$$y=-5x^2-1$$是由$$y=-5x^2$$经过怎样的平移得到的（） A. 向上平移1个单位 B. 向下平移1个单位 C. 向左平移1个单位 D. 向右平移1个单位 3. 对于抛物线$$y=3x^2-2$$，下列说法正确的是（） A. 开口向下 B. 对称轴为$$x$$轴 C. 当$$x=0$$时，$$y$$有最小值-2 D. 当$$x>0$$时，$$y$$随$$x$$增大而减小 4. 已知抛物线$$y=ax^2+k$$开口向上，且最小值为4，则下列解析式符合条件的是（） A. $$y=-2x^2+4$$ B. $$y=2x^2+4$$ C. $$y=2x^2-4$$ D. $$y=-2x^2-4$$ 5. 已知点$$(-1,y_1)$$、$$(2,y_2)$$在抛物线$$y=x^2+2$$上，则$$y_1$$、$$y_2$$的大小关系是（） A. $$y_1>y_2$$ B. $$y_1<y_2$$ C.$$y_1=y_2$$ D. 无法判断 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 抛物线$$y=-4x^2+5$$的开口方向为________，对称轴为________。 7. 抛物线$$y=6x^2-3$$由$$y=6x^2$$向________平移________个单位得到。 8. 二次函数$$y=-x^2+7$$的最大值是________。 9. 若抛物线$$y=ax^2+2$$经过点$$(1,5)$$，则$$a=$$________。 10. 已知抛物线$$y=4x^2+k$$的顶点在$$x$$轴上，则$$k=$$________。 三、解答题（共60分） 11.（18分）请分别写出抛物线$$y=2x^2+4$$与$$y=-\frac{1}{2}x^2-3$$的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及函数增减性。 12.（20分）已知抛物线$$y=(m-3)x^2+5$$。 （1）若抛物线开口向下，求$$m$$的取值范围；（2）若抛物线有最小值，求$$m$$的取值范围及最小值。 13.（22分）已知抛物线$$y=-3x^2+k$$经过点$$A(2,-7)$$。 （1）求该抛物线的函数解析式；（2）说出抛物线的开口方向、顶点坐标和最值；（3）判断点$$B(-1,-4)$$是否在该抛物线上。 参考答案及解析 1. A 解析：$$y=ax^2+k$$顶点坐标为$$(0,k)$$，该抛物线中$$k=3$$，故顶点为$$(0,3)$$。 2. B 解析：根据“上加下减”原则，$$y=-5x^2-1$$是由$$y=-5x^2$$向下平移1个单位得到。 3. C 解析：$$a=3>0$$，开口向上，对称轴为$$y$$轴；$$x=0$$时取最小值-2，$$x>0$$时$$y$$随$$x$$增大而增大。 4. B 解析：开口向上则$$a>0$$，最小值为4说明顶点纵坐标$$k=4$$，符合条件的只有$$y=2x^2+4$$。 5. B 解析：代入计算，$$y_1=(-1)^2+2=3$$，$$y_2=2^2+2=6$$，故$$y_1<y_2$$。 6. 向下；$$y$$轴 解析：$$a=-4<0$$开口向下，$$y=ax^2+k$$对称轴恒为$$y$$轴。 7. 下；3 解析：$$k=-3$$，依据平移规律，向下平移3个单位。 8. 7 解析：$$a=-1<0$$开口向下，顶点$$(0,7)$$，函数最大值为7。 9. 3 解析：将$$(1,5)$$代入解析式，$$5=a+2$$，解得$$a=3$$。 10. 0 解析：顶点$$(0,k)$$在$$x$$轴上，说明纵坐标为0，即$$k=0$$。 11. 解析：$$y=2x^2+4$$：开口向上，对称轴为$$y$$轴，顶点$$(0,4)$$；最小值为4；$$x<0$$时$$y$$随$$x$$增大而减小，$$x>0$$时$$y$$随$$x$$增大而增大。$$y=-\frac{1}{2}x^2-3$$：开口向下，对称轴为$$y$$轴，顶点$$(0,-3)$$；最大值为-3；$$x<0$$时$$y$$随$$x$$增大而增大，$$x>0$$时$$y$$随$$x$$增大而减小。 12. 解析：（1）抛物线开口向下，则二次项系数$$m-3<0$$，解得$$m<3$$；（2）抛物线有最小值，说明开口向上，$$m-3>0$$即$$m&gt;3$$，顶点为$$(0,5)$$，函数最小值为5。 13. 解析：（1）将$$A(2,-7)$$代入$$y=-3x^2+k$$，得$$-7=-3\times4+k$$，解得$$k=5$$，解析式为$$y=-3x^2+5$$；（2）$$a=-3<0$$，开口向下，顶点坐标$$(0,5)$$，函数最大值为5，无最小值；（3）当$$x=-1$$时，$$y=-3\times1+5=2 eq-4$$，故点$$B(-1,-4)$$不在该抛物线上。 情境导入 1.会画二次函数 y = ax2 + k 的图象.（重点） 2.掌握二次函数 y = ax2 + k 的性质并会应用.（难点） 3.理解 y = ax² 与 y = ax² + k 之间的联系.（重点） 学习目标 在研究了 y = ax² 的图象和性质之后，我们进一步探讨当 b，c 不全为 0 时，二次函数 y = ax² + bx + c 的图象和性质. 如何研究呢？能否将 y = ax² + bx + c 转化为类似 y = ax² 的简单形式? 情境导入 回想一下，上一章是如何通过配方法解一元二程ax² + bx + c = 0 的？由此，你得到了什么启发？ 通过配方，可以将“ax² + bx + c”转化为 “a(x - h)2 + k”的形式，即将二次函数 y = ax² + bx + c 转化为 y = a(x - h)2 + k 的形式.当分别讨论 h，k 的取值时，就可以建立起 y = a(x - h)2 + k 与 y = ax² 的联系了. 先来讨论当 h = 0，k≠0 二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质. 思考 情境导入 思考：回想一下，上一章是如何通过配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0的？由此，你得到了什么启发？ ax2+bx+c=0 a(x2+x)+c=0 a[x2+x+()2]－a()2+c=0 a(x+)2－+=0 a(x+)2+=0 探究新知 ax2+bx+c=0 a(x+)2+=0 y=ax2+bx+c  y=a(x-h)2+k 思考：用a,b,c表示，这里的h和k分别是什么？ h=﹣k=. 先来讨论当 h=0，k≠0 时，二次函数 y=ax2+k 的图象和性质. 探究新知 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=x2+2， y=x2-2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 …  y=x2+2 … 10 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 10 …  y=x2-2 … 6 2.5 0 −1.5 −2 −1.5 0 2.5 6 … 先列表： 然后描点画图，就得到 y=x2+2， y=x2-2 的图象. y=x2+2 y=x2-2 探究新知 可以看出，抛物线  y=x2+2 的开口向上，对称轴是y轴，顶点是 (0,2)； 抛物线 y=x2-2 的开口向上，对称轴是y轴，顶点是  (0,-2). y=x2+2 y=x2-2 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=x2+2， y=x2-2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 探究新知 探究 (2) 抛物线 y=x2+2， y=x2-2 与抛物线 y=x2 有什么关系？ y=x2+2 y=x2-2 可以发现，把抛物线y=x2 （图中的虚线图形）向上平移 2 个单位长度，就得到抛物线 y=x2+2； 把抛物线向下平移 2 个单位长度，就得到抛物线 探究新知 也可以利用信息技术工具画函数 y=a+k 的图象 （不妨令a为0.5）. 改变 k 的值，可以发现，随着 k 的变化，二次函数y=a+k 的图象在向上或向下平移，即把抛物线y=a 向上 (k>0) 或向下 (k<0) 平移 |k| 个单位长度，就得到抛物线 y=a+k. 探究新知 1. 返回 二次函数y＝x2＋1的图象大致是(　　) B 举一反三 11 返回 2. 抛物线y＝－3x2－2的开口(　　) A．向上 B．向右 C．向下 D．向左 C 举一反三 思考：你能归纳出二次函数 y=a+k 的图象特征和性质吗？ 抛物线y=a+k 抛物线y=a 沿 y 轴向下平移|k|个单位长度 抛物线y=a+k 抛物线y=a 沿 y 轴向上平移 k 个单位长度 （1）当k>0时： （2）当k<0时： 简记为“上加下减常数项” 探究新知 y=ax2+k (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴 (直线 x=0) 顶点坐标 (0，k) 增减性 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当x=0 时，y最小值​=k. 当 x=0 时，y最大值​=k. 二次函数y=ax²+k的图象和性质 探究新知 已知抛物线 y=2x²-3. (1)它的开口向_______,对称轴为__________________,顶点坐标为_______; (2)把抛物线 y=2x² 向_______平移_______个单位长度可得抛物线 y=2x²-3; (3)当x_______时，y随x的增大而减小，当x_______时，y随x的增大而增大，当x_______时，函数y有最小值，最小值是_______. 例1 y=2x²-3 y=2x² y轴(或直线x=0) (0,-3) 上 下 3 <0 >0 =0 -3 探究新知 1. 抛物线y＝2x2＋1的顶点坐标是(　B　) A. (2，1) B. (0，1) C. (1，0) D. (1，2) B 当堂检测 2.将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位长 度，则平移后的二次函数解析式为(　A　) A. y＝x2－1 B. y＝x2＋1 C. y＝(x－1)2 D. y＝(x＋1)2 A 当堂检测 3.关于二次函数y＝2x2＋3，下列说法正确的是( 　) 草图通关 顶点坐标： ⁠，a 0， 对称轴： ⁠. (0，3)　 ＞　 y轴　 A. 它的图象的开口方向是向下 B. 当x＜－1时，y随x的增大而减小 C. 它的图象的顶点坐标是(2，3) D. 当x＝0时，y有最大值是3 B 当堂检测 4.已知y＝(m－1)＋6是二次函数. (1)求m的值； 解：(1)由题意可知m－1≠0且m2－m＝2， 解得m1＝2，m2＝－1.即m的值为2或－1. (2)当m为何值时，该函数图象的开口向上？ 解：(2)∵函数图象的开口向上，∴m－1＞0.∴m ＞1. ∴当m＝2时，该函数图象的开口向上. 解：(1)由题意可知m－1≠0且m2－m＝2， 解得m1＝2，m2＝－1.即m的值为2或－1. 解：(2)∵函数图象的开口向上，∴m－1＞0. ∴m＞1. ∴当m＝2时，该函数图象的开口向上. 当堂检测 5.[作图通关]已知函数y＝－ax＋b的图象如图 所示，请在同一坐标系中画出函数y＝ax2－b的一种 可能的图象. 解：如图所示. 当堂检测 返回 3. 函数y＝2x2－9的图象的顶点坐标和对称轴分别是(　　) A．(－9，0)，直线x＝－9 B．(9，0)，直线x＝9 C．(0，－9)，y轴 D．(0，9)，y轴 C 举一反三 返回 4. 二次函数y＝－5x2－1的最值情况是(　　) A．有最小值－1 B．有最大值－1 C．有最小值5 D．有最大值－5 B 举一反三 [石家庄平山期中]若二次函数y＝－x2＋1的图象过点(1，y1)和(2，y2)，则y1，y2的大小关系为(　　) A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2 返回 5. B 举一反三 增减性结合开口方向和对称轴才能确定 二次函数y=ax2+k的图象和性质 图象 性质 与抛物线y=ax2的关系 1.开口方向由a的符号决定； 2. k决定顶点位置； 3.对称轴是y轴 平移规律： 上加下减常数项 课堂小结 谢谢观看 THANKS Lavf57.25.100 $