精品解析：陕西汉中市东辰外国语学校2024-2025学年高二下学期第二次质量检测数学试卷

汉中东辰外国语学校高二下第二次质量检测考试 数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 命题人：周娟 审题人：李强 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 若 则 （ ） A. B. C. D. 4. 若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 函数（ ） A. 是偶函数，且在区间上单调递增 B. 是偶函数，且在区间上单调递㺂 C. 是奇函数，且在区间上单调递增 D. 既不是奇函数，也不是偶函数 7. 定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差．已知各项均为正数的数列是等方差数列，且公方差为，，则数列的前33项的和为（ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 4 8. 若对任意，恒有，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知随机变量，若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若，则函数的值域为 D. 函数的单调递减区间为 11. 已知复数满足：，，则（ ） A. 的最小值是1 B. 的最大值是2 C. 的最大值是3 D. 的最大值是4 三、填空题 12. 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____. 13. 在等差数列中，，则的值为____． 14. 已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，，若，则直线的方程为_____． 四、解答题 15. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC. （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 16. 如图，在四棱锥中，底面四边形的边长均为2，且，棱的中点为. （1）求证：平面； （2）若的面积是，求点到平面的距离. 17. 已知椭圆的离心率为，且短轴长2，O为坐标原点． （1）求椭圆C的方程； （2）设过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，当的面积最大时，求直线l的方程． 18. 已知函数． （1）当时，求的单调区间和极值； （2）若，求a的取值范围． 19. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数． （1）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； （2）设（1）中“平方递推数列”的前项积为，即，求； （3）在（2）的条件下，记，求数列的前项和，并求使 的的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉中东辰外国语学校高二下第二次质量检测考试 数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 命题人：周娟 审题人：李强 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式可求得，再结合集合的特征即可计算得出结果. 【详解】解不等式可得， 又可得只有当时，的取值分别为在集合中， 所以. 故选：C 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算以及共轭复数的定义求解即可. 【详解】，共轭复数为， 故选：C 3. 若 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可代入求解. 【详解】 故选：C 4. 若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数是定义在上的减函数，除了两段函数均为单调递减，还要考虑点要在点上方或两点重合. 【详解】若函数，是定义在上的减函数， 则解得 ， 所以的取值范围为. 5. 在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令外接球的半径为，作出图象，求出圆台的母线，即可求出圆台的侧面积，再求出球的表面积，即可得解. 【详解】令外接球的半径为，依题意，，， 过点作，则，所以， 又，所以， 所以圆台的侧面积， 球的表面积， 所以圆台的侧面积与球的表面积之比为. 故选：C 6. 函数（ ） A. 是偶函数，且在区间上单调递增 B. 是偶函数，且在区间上单调递㺂 C. 是奇函数，且在区间上单调递增 D. 既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性. 【详解】的定义域为，， 为偶函数； 当时，在区间上单调递增. 故选：A. 7. 定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差．已知各项均为正数的数列是等方差数列，且公方差为，，则数列的前33项的和为（ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列是等方差数列，且公方差为3，得到，再利用等差数列通项公式求得，从而得到求解. 【详解】解：因为数列是等方差数列，且公方差为3， 所以，又， 所以， 又数列的各项均为正数，所以， 所以，， 所以， ， 故选：A． 8. 若对任意，恒有，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式两边同时乘以，等价变形为，利用，，将不等式变形为，构造函数，不等式变形为，利用导数判断函数在上单调递增，从而确定在恒成立，即在恒成立.构造新函数，利用导数求函数的最大值，确定的取值范围，即可. 【详解】由题意可知，不等式变形为. 设， 则 . 当时，即在上单调递减. 当时，即在上单调递增. 则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最小值点. 所以，即在上单调递增. 若使得对任意，恒有成立. 则需对任意，恒有成立. 即对任意，恒有成立，则在恒成立. 设则. 当时，，函数在上单调递增 当时，，函数在上单调递减 则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最大值点. 所以，即，则实数的最小值为. 故选：D 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立，求参数取值，属于难题. 二、多选题 9. 已知随机变量，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助正态分布的对称性可得A、B，借助正态分布定义及期望与方差的性质可得C、D. 【详解】由随机变量，则，， 则， ， ， ， 故A、B、D正确，C错误. 故选：ABD. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若，则函数的值域为 D. 函数的单调递减区间为 【答案】AD 【解析】 【分析】代入验证正弦型函数的对称中心判断选项A；代入验证正弦型函数的对称轴判断选项B；求解正弦型函数在给定区间的值域判断选项C；求解正弦型函数的递减区间判断选项D. 【详解】选项A：，则函数的图象关于点对称.判断正确； 选项B：，则函数的图象不关于直线对称. 判断错误； 选项C：由，可得，则， 即若，则函数的值域为.判断错误； 选项D：由，可得， 即函数的单调递减区间为.判断正确. 故选：AD 11. 已知复数满足：，，则（ ） A. 的最小值是1 B. 的最大值是2 C. 的最大值是3 D. 的最大值是4 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，设，依题意可得，可知复数的对应点在以为圆心，1为半径的圆上，根据复数几何意义可判断A；对于B，根据题意可得，表示复数的对应点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上，根据图形和可判断B；对于C，根据复数除法运算和复数模公式证明，结合图形求得，然后可判断C；对于D，根据复数减法的几何意义可知，结合图形转化为求的最值，根据点在椭圆上，利用二次函数性质求解可得. 【详解】设， 对于A，因为，所以， 所以，复数的对应点在以为圆心，1为半径的圆上， 由图可知，点到原点的最小距离为1，即的最小值是1，A正确； 对于B，因为， 所以，复数的对应点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上， 由椭圆几何性质可知，点到原点的最大距离为2，即的最大值为2， 又，所以的最大值是2，B正确； 对于C，因为， 所以 ， 由图可知，，所以当时，取得最大值3，C正确； 对于D，因为表示的距离， 所以的最大值为，设，则，即， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取得最大值，D错误. 故选：ABC 三、填空题 12. 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案. 【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况. 若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况， 若选出的2名学生都是女生，有种情况， 所以所求的概率为. 【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”. 13. 在等差数列中，，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等差中项的性质求得，进而根据＝2，求得答案． 【详解】＝5 ∴＝24，即+7d＝24 ∴＝2+14d＝2＝48 故答案为48． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．特别是利用了等差中项的性质和等差数列的通项公式，准确计算是关键，是基础题 14. 已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，，若，则直线的方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设斜率为2的直线方程为，与抛物线进行联立可得，设，，所以，接着利用抛物线的定义即可求解. 【详解】由抛物线：，可得焦点，准线为， 设斜率为2的直线方程为， 所以消去得， ，解得， 设，，所以， 利用抛物线的定义可得，即，解得， 所以的方程为， 故答案为： 四、解答题 15. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC. （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得； （2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：， ， ，. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式 由余弦定理得：， 即. （当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. [方法二]：正弦化角（通性通法） 设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为． [方法三]：余弦与三角换元结合 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，， 所以周长的最大值为． 【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题； 方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决. 方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题. 16. 如图，在四棱锥中，底面四边形的边长均为2，且，棱的中点为. （1）求证：平面； （2）若的面积是，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：因为为菱形，所以. 又因为，平面 所以平面. 因为平面，所以. 又由已知，平面 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用三棱锥的体积关系，求解点到平面的距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为的中点， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 由（1）知，平面，所以. 又因为，所以，所以，则. 设点到平面的距离为，所以. 因为，所以. 在中，，，， 所以，又，所以， 所以，所以， 所以. 17. 已知椭圆的离心率为，且短轴长2，O为坐标原点． （1）求椭圆C的方程； （2）设过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，当的面积最大时，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆短轴长和离心率，结合，求得的值，由此求得椭圆方程； （2）设出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求得，由此求得三角形的面积的表达式，利用换元法，结合基本不等式，求得面积的最大值，以及此时直线的斜率，进而求得直线的方程. 【小问1详解】 由题意得:，解得:， 所以椭圆的方程为: 【小问2详解】 由题意得直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程:，， 联立与椭圆的方程整理得:， ，得， ，， 所以弦长 ， 原点到直线l的距离， 所以， 令，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即，满足条件，解得， 所以直线l的方程为:或 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 18. 已知函数． （1）当时，求的单调区间和极值； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，递减区间为；极大值为，无极小值； （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，利用导数的正负与原函数的增减关系，确定函数的单调区间，即可得答案； （2）由题意可得即恒成立，设，利用导数求出的最大值即可． 【小问1详解】 当时，， ， 令，则， 故在上单调递减，而， 因此0是在上的唯一零点， 即0是在上的唯一零点， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 0 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调递增区间为，递减区间为； 所以的极大值为，无极小值； 【小问2详解】 由题意知，即，即， 设，则， 令，解得， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 所以， 所以． 所以的取值范围为． 19. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数． （1）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； （2）设（1）中“平方递推数列”的前项积为，即，求； （3）在（2）的条件下，记，求数列的前项和，并求使 的的最小值． 【答案】（1）证明：由题意得：，即 ， 则是“平方递推数列”． 2分 对两边取对数得 ， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． （2） （3）2014 【解析】 【分析】（1）根据，得到，即是“平方递推数列”． 进一步对两边取对数得 ，利用等比数列的定义证明. （2）首先得到 ， 应用等比数列的求和公式即得. (3）求通项、求和，根据，得到，再根据，即得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知 5分 【小问3详解】 又，即 又，所以． 考点：等比数列的定义、通项公式及求和公式，等差数列的求和公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $