湖南株洲市第一中学2026-2027学年高三上学期入学质量检测数学试卷

2026年下期高三入学质量检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．数据1，2，4，5，7，9的第60百分位数为 A．4 B．5 C．6 D．7 3．复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．平面向量，，则与的夹角为 A． B． C． D． 5．设等比数列的前项和为，若，，则 A．75 B．150 C．180 D．210 6．已知是函数的极小值点，则 A． B． C． D． 7．已知正方体的8个顶点都在球的球面上，且过，，三点的平面截球所得截面面积为，则球的体积为 A． B． C． D． 8．从如图所示的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则事件“选中方格中的4个数之和为”的概率为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱上一点（含端点），则 A．平面 B．直线，，可能相交于同一点 C．平面与平面可能平行 D．正方体表面上满足的动点的轨迹长度为 10．设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是 A． B．的解析式为 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 11．设为双曲线（，）的左焦点，经过原点且斜率大于0的直线交于，两点，与轴垂直，，则 A． B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的离心率为 D．直线的斜率为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则的展开式中的系数为________． 13．求值：________． 14．已知三个内角，，的对边，，依次成等比数列，且，，点为线段（不含端点）上的动点．设为常数，若满足的点恰好有2个，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足： ． （1）求角的大小； （2）若，，角的角平分线交于点，求的长度． 16．（15分）如图，在四棱锥中，，，，平面，． （1）求证：； （2）若，且二面角的大小为， （i）求直线与平面所成角的大小； （ii）求的长． 17．（15分）某科技公司正在研发一款新型量子计算芯片，该芯片的制造与测试流程分为三个关键阶段：量子比特制备（第1阶段）、量子纠缠校准（第2阶段）和逻辑门操作验证（第3阶段）．测试人员必须按顺序完成各阶段测试，且每个阶段的测试次数不限，只有当前阶段测试通过后才能进入下一阶段．一旦通过第3阶段测试，即视为芯片合格并结束整个测试流程．已知某工程师进行测试时，第1、2、3阶段单次测试通过的概率分别为，，，且每次测试相互独立．记事件为“该工程师第次测试后芯片合格”． （1）求，； （2）记第次测试后恰好通过量子纠缠校准测试为事件，记“第至次进行逻辑门操作验证测试没有通过且第次通过”为事件，求，并求的表达式； （3）比较与的大小． 18．（17分） 已知双曲线：，过点的直线与的上、下两支分别交于点，． （1）若点是上的动点，求的最小值； （2）设为坐标原点，直线，的斜率分别为，， （i）若，求直线的方程； （ii）求的取值范围． 19．（17分） 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若，，对任意的，恒成立，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年下期高三入学质量检测 数学参考答案 题目 2 3 4 6 7 8 9 10 11 答案 B D C 马 BD BCD ACD 12.-18 5 13.2 14.（-1,0U(1,2) sin24=sin2B+sin2C+ 2W3 sinAsinBsinC 15.【详解】(1) 3 2 a2=b2+c2+ -bcsinA 由正弦定理可得： 3 b2+c2-a2 sinA g 2bc 3 b2+c2-a2 COSA= 由余弦定理，得 2bc, 所以 3 sind 故tanA--V5 又"Ae(0π)∴A=2n 3 (2)SAARC SAMBP+SAACP 可待30aC如l2r-4份Asm60+兮P4Cs如60 1 3x2x51. 1 34Px 22 +4Px2x3 2 2 16.【详解】(1)因为PA⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以PA⊥AC, 又因为AB=1,BC=2,∠ABC=60°，所以AC=V1P+22-2x1x2×c0s60°=√3 所以AB2+AC2=BC2,所以AC⊥AB 又PA∩AB=A,PA,ABc平面PAB,所以AC⊥平面PAB, 因为PBC平面PAB,所以PB⊥AC (2)(i)因为PA⊥平面ABCD, 由线面角的定义知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成角的平面角. tan∠PBA=4P=V5 又因 AB ，故线面所成角的大小为60°： (i)因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD 所以PA⊥CD,又AD⊥CD,PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD,所以CD⊥平面PAD 过A作垂线AH⊥PD,垂足为H, 又AH⊥CD,PD∩CD=D,PD,CDc平面PCD,所以AH⊥平面PCD 过A作垂线AM⊥PC,垂足为M,则∠AMH为二面角A-PC-D的平面角. sin∠AMH=AH-V2 Γ-AM2, 因为PA=AC=V5,所以PC=V6,故=2， H=B 所以 2,又PAAD=PD·AH,PD=VPA+AD2, 解得AD=1. B 1111 17.【详解】(1)依题意， P(4)=2x2312 1121 事件A发生分两种情况，当测试失败的情况发生在第三阶段概率为2233， 1111 由于前两个测试失败的概率相同，所以当测试失败的情况发生在前两个阶段概率为2223， 所 P(A)-xix21 2233 Cxx{x是x15 2*22336 (2)先求事件B的概率， 第k次测试后恰好通过量子纠缠校准测试，表示首次通过第一阶段的测试发生在第广次(1≤j<k), 且首次通过第二阶段的测试发生在第k次，对所有可能的J求和得到 a)-) 求事件A发生分两步： 第一步，第人(2≤k≤m-)次测试后恰好通过量子纠缤校准测试，概率 P(B)=- 2 第二步，第k+1次至n-1次进行逻辑门操作验证测试没有通过，第n次通过，概率为 P)-)-别 由全概率公式得， a-+2-2.n-++a-) 两式相减得， 如 所以 =9-a+2.4=-e+2 (3)依题意， Pa)”,为 a4-.)-奇- P(4) 3 P()-P()3-2-2 所以 -3传-2m-2-x=-2 ,则 因为n≥3， 所以T1-7,>0,故数列江}在n之3时递增， ，故当n=2,3,4时，P(A)-P(Bn)<0 故P(BA)>P(AB,),当n≥5时，P(4)-P(B)>0,故P(B,A)<P(AB) 18.【】0设P）,则= 4 所以 V30 即当 5时， 5 (2)如图： 设：x=my+1 _C:y2_x2 4联立，有4-m)）少2-2m-5=0 1 由4=80-16m>0,符m∈(5，V5). 2m -5 设(，)N(,),则当+为4=m,54m<0 得m∈(-2,2) 2m 1+1=五+五=2m+1+1=2m+当+y=2m+4-=2m-2m=8m m= m kk3422 -5 5 则 4-m2 1+1=0 ()当：k时，m=0,直线I的方程为x=1: (i)因为直线OM,ON存在斜率，所以m≠士1， 故me(-2,-U(-1U(1,2) n(别g 方o台别g】 1,1 19.【详解】1)当a=0时，f()=-thx,故f'()=-lnr-l 所以'0四=-1，又因为四=0， 所以切线方程是y=一x+1, f"(x)=-Inx+4-1 (2)由题意得 x, 若f(:)不存在单调增区间，则 lnx+a-1≤0 恒成立(*)， 即a≤x+nr恒成立，令8()=x+nr.g'(x)=2+lnr 1 0<x<2 所以，当 时8'<0，当>。时g(>0 、1 递增， 所以8(x)amn=g(e2）=-e ,所以a≤-e2, (经检验当a=-e2时，(*)式成立)， 因此函数f()存在单调递增区间，可知a>-e2 可知所求实数a的取值范围是a∈(e,+∞)】 f(x)=-Inx+4-1 m(x)=-Inx+9-1 (3)由(2)知， x,令 X, -士号0，E0国)上 所以 又因为me)=1+ae2>0,me）-a+号-1<0 所以必存在正数6，使得 m(o)=-lnx,+a-1=0 故a=(（1+ln) 由(2)知，当 时，a>0. 由上知，f()在(0，x)上单调递增，在o,+0)上单调递减， 所以f)x=f,)=(a-xl血，所以a+b≥(a-)ln, 即b-2a≥(a-)ln,-3a=n,P-3xln。-3x, 4e)=a-nr-3 因为h(x)=r'-lnr-6=(nr-3)(lnx+2）) 所以当∈(e,e)时，h()单调递减，x∈(e,+切）时，h()单调造增， 所以hoan=h(e）=-3e3 因此b-2a的最小值为-3e.