26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次函数 \( y = ax^2 \) 的图象和性质，通过类比一次函数的研究路径，从特殊形式入手，以描点法为工具，引导学生搭建从具体实例到一般性质的学习支架，帮助建立前后知识脉络。 其亮点在于采用“特殊到一般”探究法，结合描点作图、小组讨论培养抽象能力与几何直观（数学眼光），通过例题解析和中考链接发展推理意识（数学思维），用表格归纳性质强化数学语言表达。视频辅助教学，学生能主动参与探究，教师可提升教学效率。

26.2.1 二次函数 y = ax2 的图象和性质 第26章 二次函数 26.2 二次函数的图象和性质 人教版 九年级（上） 1 1. 正确理解抛物线的有关概念；（重点） 2. 会用描点法画出二次函数 y = ax² 的图象，概括图象的特点；（难点） 3. 掌握二次函数 y = ax² 的图象和性质，并会应用. （难点） 素养目标 问题：上节课我们从实际问题中又认识了函数家族的一位新成员——二次函数，如果我们继续研究，你觉得可以研究二次函数的哪一方面？ 追问1：你是怎么想到的？ 图象和性质 类比一次函数 通过具体实例认识这种函数 研究图象和性质 解决实际问题 探索与相应方程的联系 复习导入 追问2：怎样研究二次函数的图象和性质？ 一次函数的图象和性质 图象 特殊 y = kx(k≠0) 一般 y = kx + b(k≠0) 描点法： 列表，描点，连线 二次函数的图象和性质 图象 特殊 一般 复习导入 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 问题1：二次函数 y = ax² + bx + c 定义中系数 a≠0， b、c 呢？ 都可以为 0 最特殊： y = ax² (a≠0) 从特殊到一般 y = ax² + bx + c (a≠0) 问题2：怎么研究 y = ax² (a≠0) 的图象和性质？ a 的具体数值 从特殊到一般 y = ax² (a≠0) 新知探究 操作与思考：画出 y = x2 的图象，并观察图象的特征. 探究1：从函数解析式研究图象和性质. (1) 自变量 x 的取值范围是什么？ (2) 函数值 y 的取值范围是什么？ (3) 根据 x 取一对相反数时，函数值相等吗？ 可以猜测图象的对称性吗？ 全体实数 ( y≥0 ) 相等. 如： x =±2 时， y = 4. 猜想：关于 y 轴对称. 如： (2，4) 与 (-2，4) 等. 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 新知探究 探究2：用“描点法”法作图 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以取任意实数. 列表表示几组对应值： 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 新知探究 2 4 -2 -4 O 2 4 6 x y 2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点 (x，y). 3. 连线：如图，再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象．(能用直线连接吗？) 同学们展示下自己的结果，并交流下做法？ 8 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 新知探究 思考：二次函数 y = x2 的图象有什么特征？ (可以从以下几个方面考虑) (1) 你能描述图象的形状吗？ (2) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 请你找出几对对称点，并与同伴进行交流. (3) 当 x＜0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化？ 当 x＞0 时呢？ (4) 当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？ 你是如何知道的？ 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 新知探究 (1) 你能描述图象的形状吗？ 类似 抛物线 y = x2 2 4 -2 -4 O 2 4 6 x y 8 二次函数 y =x2 的图象是一条曲线，形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫作抛物线 y = x2. 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 新知探究 2 4 -2 -4 O 2 4 6 x y 8 (2) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 请你找出几对对称点，并与同伴进行交流. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 这条抛物线关于 y 轴对称，y 轴就是它的对称轴. 图象是轴对称图形 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 新知探究 (3) 当 x＜0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化？ 当 x＞0 时呢？ 观察图象可以发现： 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大. 1 2 -2 O -1 1 4 x y (-2，4) (-1，1) (2，4) (1，1) 3 2 y = x2 点击 开始播放 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 新知探究 (4) 当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？ 你是如何知道的？ 对称轴与抛物线的交点叫作抛物线的顶点，它是抛物线的最低点，为 (0，0). 1 2 -2 O -1 1 4 x y 3 2 顶点 y = x2 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 新知探究 例1 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 解：列表如下： x ··· −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 y = ，y = 2x2 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 新知探究 O -2 2 2 4 6 4 -4 8 描点、连线，如图所示： x y y = 2x2 思考：(1) 函数 ，y = 2x2 的图象与函数 y = x2 的图象相 比，有什么共同点和不同点？ 【想一想】 y = 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 新知探究 点击视频开始播放 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 新知探究 共同点：是开口向上，对称轴是 y 轴， 顶点是原点，也是抛物线的最低点； 不同点：是开口大小不同. (2) 当 a＞0 时，二次函数 y = ax2 的图象开口大小有什么规律？ 当 a＞0 时，a 越大，开口越小. O -2 2 2 4 6 4 -4 8 x y y = 2x2 y = x2 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 新知探究 y＝ax2 a > 0 开口方向与大小 对称性 顶点与最值 增减性 开口向上 a 越大，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0 顶点坐标是原点(0，0) 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当 x < 0 时，y 随 x 增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 增大而增大. 【归纳总结】 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 新知探究 【练一练】 1. 函数 y = 4x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点； 在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 ， 在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 ； 点 A(2，y1) 在抛物线上，则 y1 = ________. 点 B(3，36) 关于对称轴的对称点的坐标是_________. 向上 y 轴 (0，0) 低 减小 增大 (−3，36) 16 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 新知探究 【链接中考】 1.已知抛物线 y = ax2 (a＞0) 过点 A(-2，y1)，B(1，y2) 两点，则下列关系式一定正确的是 ( ) A. y1＞0＞y2 B. y2＞0＞y1 C. y1＞y2＞0 D. y2＞y1＞0 C 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 新知探究 y＝ax2 a ＜ 0 开口方向与大小 对称性 顶点与最值 增减性 小组讨论，如何归纳总结出下表？ 探究点2： 二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质 【合作探究】 新知探究 点击视频开始播放 (1) 在同一直角坐标系中，画出函数 y= -2x2 观察图象，思考这些抛物线有什么相同点和不同点？ 【想一想】 y = -x2， y = ， 探究点2： 二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质 新知探究 当 a＜0 时，a 越小，抛物线的开口越小. 共同点是开口向下，对称轴是 y 轴，顶点是原点； 不同点是开口大小不同. (2) 当 a＜0 时，二次函数 y = ax2 的图象开口大小有什么规律？ −2 2 -2 -4 -6 4 −4 -8 x y y = -2x2 O y = -x2 探究点2： 二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质 新知探究 问题：观察图象，y 随 x 的变化如何变化？ y 2 4 -2 -4 O -2 -4 -6 x (2，−4) (−2，−4) (3，−9) (−3，−9) y = -x2 -8 观察图象可以发现： 当 x＜0 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x＞0 时， y 随 x 的增大而减小. 顶点是抛物线的最高点，为 (0，0). 顶点 探究点2： 二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质 新知探究 【归纳总结】 y＝ax2 a＜0 开口方向与大小 对称性 顶点与最值 增减性 开口向下 当 x = 0 时，y最大值 = 0 a 越小，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0 顶点坐标是原点(0，0) 当 x < 0 时，y 随 x 增大而增大；当 x > 0 时，y 随 x 增大而减小. 探究点2： 二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质 新知探究 观察下列图象，抛物线 y = ax2 与 y = −ax2 (a＞0) 的关系是什么？ 二次项系数互为相反数时， 开口方向相反，开口大小相同，它们关于 x 轴对称. x y O y = ax2 y = −ax2 【想一想】 探究点2： 二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质 新知探究 分析：(1)将 x = -2，3 分别代入 y = 2x2，得出 y1，y2 的值，再比较大小. 例2 已知二次函数 y＝ax2. (1) 若 a = 2，点(−2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2 (填“> ”“＝”或“< ”)； ＜ (2) 若 a＞0，点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2 (填“> ”“＝”或“< ”)； ＜ (2)根据 a＞0，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大得出结论. 探究点2： 二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质 新知探究 (3) 若 a＜0，点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________. y1＞y2＞y3 (3)画出草图，在图象上标出 y1，y2，y3，直观得出结论. 探究点2： 二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质 新知探究 二次函数 y = ax2 的图象及性质 画法 描点法 在对称轴两侧对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4 个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 课堂小结 y＝ax2 a > 0 a < 0 图象 开口方向与大小 对称性 顶点与最值 增减性 开口向上 开口向下 | a | 越大，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0 顶点坐标是原点(0，0) 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当 x = 0 时，y最大值 = 0 y O x y O x 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0 时，y随x增大而增大 当x<0 时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小 课堂小结 1. 二次函数 y＝x2 的图象的顶点坐标是(　B　) A. (1，0) B. (0，0) C. (－1，0) D. (0，) 2.如果抛物线 y＝(m－1)x2 的开口向上，那么 m 的取值范围是(　A　) A. m＞1 B. m≥1 C. m＜1 D. m≤1 B A 当堂反馈 3. 抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2共有的性 质是(　B　) A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 都有最高点 D. y随x的增大而增大 B 当堂反馈 4.已知抛物线y＝ax2的图象如图所示，下列说 法错误的是(　D　) A. a＜0 B. y的最大值为0 C. 抛物线有最高点 D. a越大，抛物线开口越小 D 当堂反馈 5.已知点 (x1，y1)，(x2，y2) 是函数 y＝(m－3)x2 的图象上的两点，且当 0＜x1＜x2 时，有 y1＞y2， 则 m 的取值范围是 ⁠. m＜3　 　草图通关：y＝(m－3)x2 √ m－3＜0 是否符合(　√　) × m－3＞0 是否符合(　×　) 当堂反馈 6. 已知抛物线y＝ax2经过点A(－1，－3). (1)判断点B(1，－3)是否在此抛物线上； 解：(1)∵点A(－1，－3)在抛物线上， ∴由对称性可知点B在此抛物线上. (2)若点P(m，－6)在此抛物线上，求点P的坐标. (2)由题意得a＝－3， ∴抛物线的解析式为y＝－3x2. 将点P(m，－6)代入，得－3m2＝－6， 解得m1＝，m2＝－， ∴点P的坐标为(，－6)或(－，－6). 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $