第三章 图形的相似 章节测试 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦图形的相似，融合中考真题与文化科技情境，覆盖比例线段、相似判定与性质等核心知识，适配单元复习，通过几何直观与推理能力提升综合应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|10|比例线段（1）、相似三角形判定（2）、位似（5）|结合2025绥化中考（4）、墨子小孔成像（6）考相似应用| |填空|6|平行线分线段成比例（11）、《九章算术》问题（14）|以正方形网格位似（12）、五边形相似条件（13）考空间观念| |解答|6|相似证明（18）、光的反射模型（20）|设计旋转探究（21）、机械连杆综合题（22），体现创新意识与模型应用|

第三章图形的相似章节测试 一、选择题 1.下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是() A.a=4,b=5,c=6,d=10 B.a=2,b=3,c=4,d=6 c.a=2,b=V5,c=2W5,d=10 D.a=0.8,b=3,c=1,d=10 【答案】B 【解析】 a c 【分析】若四条线段a,b,C,d满足bd,则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验 证即可 【i详解】解：Aa=4,6=5,c=6,d=10 :9=4c-63 b5,d105, 4,3 一丰 .55, 这组线段不成比例，故本选项错误. B、a=2,b=3,c=4,d=6 a2c42 一三一三 b3,d63, a c ..b d, ∴·这组线段成比例，故本选项正确。 C、a=2,b=5,c=2W5,d=10 .a2_25c2W5_5 b55,a=10 5: 2W5V5 丰 :55· ∴这组线段不成比例，故本选项错误。 a=0.8,b=3,c=1,d=10 D、 9=08-4c1 “b315,d10, 4.1 1510, ∴这组线段不成比例，故本选项D错误， 2.如图，△ABC中，∠A=65°，AB=6,AC=3,将△ABC沿下图中的虚线剪开，剪 下的三角形与原三角形不相似的是() 65 65 B 65 652 65 D 65 B 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等(65°的两个角是对应角， ∠B是公共角)，故两三角形相似，故本选项不符合题意： B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等(65°的两个角是对应角，∠B是公共角)， 故两三角形相似，故本选项不符合题意： C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意： / D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为2，夹角为公共角），故两三角形相 似，故本选项不符合题意. 3.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH,相似比为k，,点B,F,C,G四点共线， 则下列说法不一定正确的是() H E D B G F A ∠A=∠E B.DC∥HG C.BC LEF D.AD=kEH 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应角相等，对应边成比例，逐项 判断即可 【详解】解：，四边形ABCD∽四边形EFGH,相似比为k, ∴.∠A=∠EAD=kEH∠DCB=∠HGF ∴选项A,D说法正确，不合题意： .·∠DCB=∠HGF ∴.DC∥HG ∴·选项B说法正确，不合题意； 现有条件不能得出BC⊥EF, ∴·选项C说法不一定正确，符合题意： 故选：C. 4.(2025绥化中考)两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm,并且它们的周长之和 为48cm,那么较小三角形的周长是() 14cm 18cm 30cm 34cm A. B. D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为10cm和6cm确定相似比，相似 三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为48cm即可求解. 【详解】解：，两个相似三角形的最长边分别为l0cm和6cm, ·相似比为 0:6=5:3 5:3 「较大三角形与较小三角形的周长比为： 48cm 它们的周长之和为 48×3 5+3 =18(cm) 较小三角形的周长为： 故选：B 5.(2026武威中考)如图，四边形ABCD与四边形AB'C'D'是以原点O为位似中心的位 似图形.若B2,0,B(4,0),AB=R5,则AB=《) D B A A.3 B.2V5 D.3V5 【答案】B 【解析】 【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可. 【详解】解：B2,0,B4,0, ∴OB=2,OB=4, :四边形ABCD与四边形AB'CD'是以原点O为位似中心的位似图形， :月B OB V5_2 AB OB 即AB4' .AB=25 6.(2026南充中考)中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔 成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P,物体AB在幕布上形成倒立的实像 A'B (点4，B的对应点分别是，B),且BLAB,AB"LAB,若B=10cm P到4'B的距离 PO=6cm ，则AB 为() B D (图1) (图2) 12cm 13.5cm C.15cm 18cm A. B. D 【答案】C 【解析】 AB∥PQ∥A'B △A'PQn△A'AB,△BPQ∽△BBA 【分析】由题意易得 ,则 ，然后可得 A'O PO 6 3 BO 2 ABAB105,则BA5,进而根据△BPQ∽aBB'A'进行求解即可. 【详解】解：AB⊥AB.A'B⊥ABPQ⊥A'B AB∥PQ∥A'B' △A'PQn△A'AB,△BPOABB'A' A'9_P2_6_3 .A'BAB105, BO2 .BA5, ABPO6BB4 OP BO 2 .A'B'BA'5, B5PO=15em 2 7.黄金分割是汉字结构最基本的审美规律.如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观.横竖笔 画交点C恰好是线段AB的黄金分割点(4C<BC),若AB=2cm,则AC的长为( C B A.(5-小cm B.(5+1)cm c.(3-V5)cm D.(V5-2)cm 【答案】C 【解析】 而由费金分的定义求8C号B=不5-m,再由C2 2 算即可得出结果. 【详解】解：：点C恰好是线段AB的黄金分制点(AC<BC),AB=2Cm, :8c=5B=5-m 2 :AC=AB-BC=2-(N5-=(3-V5)cm 8.(2026河北中考)如图，在四边形 BCD中.1DBC,BC=3AD,过点4作 EDC交BC于点E,将△MBE沿ME甜折，得到△MBE.B1.BE分别与直线 DC M N 交于 ”两点，则 △MB'N,△ABE 的面积之比为() A D M 1 1 A.2 B.3 C.4 D.8 【答案】C 【解析】 【分析】首先证明四边形AECD是平行四边形，得到AD=EC,推出BE=2EC,由折 叠得，BE=BE,SABE=SABE,∠BEA=∠B'EA,得 EN-B'N-IBE ，证明 △B'MN∽△B'AE ,然后利用相似三角形的性质求解. 【i详解】解：·D∥BC AENDC .四边形AECD是平行四边形 AD=EC 、BC=3AD=3EC=BE+EC BE=2EC 由折叠得，BE=BE,S=SE,∠BEA=∠B'EA .AE Il DC :∠ENC=∠B'EA∠BEA=∠C .∴.∠ENC=∠C EN=EC B'E=BE=2EN EN-BN-IBE 2 AE Il DC ∠B'MN=∠BAE∠B'MM=∠B'EA △B'MN∽△B'AE S MN BN :.S BAE B'E 1 S.BAE 4 9.如图，在△ABC中，按如下步骤作图： ①在AB和AC上分别截取AM,AN,使AM=AN,分别以点M和N为圆心，以大于 LMN 的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点D,作射线AD交BC于点E: 1 AE ②分别以点A和E为圆心，以大于2的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q,作直线 PO BC 交的延长线于点F. 若BC=6,CF=3,则线段EF的长为(). 5√5 A.5 B.3V3 C.27 D.2 【答案】B 【解析】 AF CF 【分析】连接AF,由作图可知AF=EF,证明△AFC∽△BFA,则BFAF,即 AF2=CF·BF,代入数值即可求出答案， 【详解】解：连接AF, 由作图可知，PF垂直平分AE, ∴.AF=EF, .∠AEF=∠EAF, 由作图可知，AD平分∠BAC, .∴∠BAE=∠CAE '∠AEF=∠BAE+∠B∠EAF=∠CAE+∠CAF .∠B=∠CAF :∠AFC=∠BFA ∴.△AFCP△BFA AFCF ..BF AF 即AF2=CFBF BC=6,CF=3, .BF=BC+CF=9. AF2=CF.BF=3x9=27 :AF=35或F=-3W5(不合题意，合去) EF=AF=33 10.如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案.若OA=1,则OG=() B E D 125V5 125 64 32√5 A. 64 B.64 c.27 D.27 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解 ∠BOA=∠BOC== 360° =30° OA OB OC 12 ,可得OB OC OD ==c0s30°=V5 2,再进 一步探究即可： 【详解】解：：12个相似的直角三角形， 360° ∠BOA=∠BOC=·= =30° 12 OA OB OC OB OC OD ==c0s30°= 2, OA=1, 3 3 oc-15 6 0G=1x 64 7 故选C 二、填空题 1.(2026眉山中考)如图， LIAB=3,DE=5,BC=6,则DF的长度是 D B 【答案】15 【解析】 AB_DE 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由l4,l可得BC,求出EF的长，再 根据DF=DE+EF即可求解. 【详解】解：1l2‖1 勰器 DE=5 ,AB=3,BC=6, 35 ·6EF ∴.EF=10 ∴.DF=DE+EF=5+10=15 12.如图，在正方形网格图中，△ABC与△AB'C'是位似图形，且△ABC和△A'B'C的顶点均 在格点上，则位似中心是点· 【答案】O 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似 中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键， 【详解】解：如图，连接AA'、CC,交点即为位似中心， 由图形可得位似中心是点O 13.如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点M, N △MAE∽△DCN 若添加下列一个条件后，仍无法判定 ,则这个条件是 (填序号) M A E 2 D 4 B ①∠B+∠4=180°：②CD∥AB:③∠1=∠4：④∠2=∠3 【答案】④ 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当∠B+∠4=180° 时，可证明CD∥BM,由平行线的性质得到∠CDN=∠AME,∠AEM=∠CND, 则可证明△MAE∽△DCV,据此可判断A、B;由平行线的性质可得∠I+∠B=180°， 则∠B+∠4=180°，同理可判断C;D中条件结合己给条件不能证明△MAE∽△DCV. 【详解】∠B+∠4=180°， .CD∥BM. ∴.∠CDN=∠AME, :AE∥BC, .∠AEM=∠CND. ∴.△MAE∽△DCN,故①不符合题意： CD∥AB. .∠CDN=∠AME, :AE∥BC, .∠AEM=∠CND :.△MAE∽△DCN,故②不符合题意： AE∥BC, .∠1+∠B=180°， ∠1=∠4， .∠B+∠4=180°， .CD∥BM, ∠CDN=∠AME, :AE∥BC, .∠AEM=∠CND. :.△MAE∽△DCN,故③不符合题意： 根据∠2=∠3结合己知条件不能证明△MAE∽△DCN,故④符合题意 14《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步 有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，M、N分别是正方形ABCD边BC 和D 的中点，正方形的边长为200步，出东门M继续往东走16步有-树木点月，问 200 出南们 继续往南走多少步恰好能看到位于点E处的树木即点C在直线BF上)？则根 据以上信息，算出FN的长是—步· A,------,B 东门M7树E 南门N D 【答案】625 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，掌握相似三角形对应边成比例是 解题关键。 CN FN 证明△CNF∽aEMC,得到EMCM,即可求出FN的长. 【详解】解：由题意可知，CM=100步，CV=100步，EM=16步， .EM∥CD ∴.∠E=∠FCN 又'：∠EMC=∠CNF=90°， ACNFAEMC, CN FN EM CM, 100FN ∴ 16100, ∴.FN=625 故答案为：625 15.如图，在口ABCD中，AB=3,AD=4,点E在AD的延长线上，且DE=2,过点 E B于点M,N若直线'将ABCD CD AB. CM 作直线分别交边 的面积平分，则线段 的长为 A D M B 9 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与 性质；连接AC,由题意得O为AC的中点；由平行四边形的性质易证△NAO≌△MCO, 则得AN=CM；再利用相似三角形的判定与性质即可求解. 【详解】解：如图，连接AC交MN于点O, D E M B 直线1将口ABCD的面积平分， ∴.OAC 是的中点， :.0A=OC: :四边形ABCD为平行四边形， .AB∥CD,AB=CD=3 ∴.∠ANO=∠CMO,∠NAO=∠MCO ∴.△NAO≌AMCO(AAS) .AN=CM .AB∥CD ∴.∠EDM=∠EAN,∠EMD=∠ENA ∴.△EDM∽AEAN DM DE 2 1 AN AE 2+4 3, 即3DM=AN. .3(3-CM)=CM 解得： CM=9 9 故答案为：4. I6如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，BE⊥AC于点F,连接DF,CE,下列 △AEF∽△CAB 结论：① 3E平分∠MEC,③1DF=∠1CE,③若8是D中 AB2 点，则BC2· 其中所有正确结论的序号是一·（填序号） E D 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①证明∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°即可：③证明△ADFr△ACE 可得结论；④设AE=a,AB=b,则AD=2a,再证明△BAE∽△CBA,根据相似三 角形的性质即可得到结论， 【详解】解：①：四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC∠ABC=∠BAD=90°AD=BC ∴.∠EAC=∠ACB BE⊥AC于点F, .∠ABC=∠AFE=90°， ∴.△AEF∽△CAB 故①正确： ②现有条件不足以证明，故②错误； ③：∠AFE=∠ADC=90°，∠EAF=∠CAD、 .△AEF∽AACD AE AF AC AD. AE AC AF AD, ,∠EAF=∠CAD ∴.△ADF∽AACE ∴.∠ADF=∠ACE 故③正确： ④设AE=a,AB=b, E是AD中点， :'AD=CB=2a, .·∠ABC=∠BFC=90° .∠ACB=∠EBA=90°-∠EBC :∠BAE=∠ABC=90° .△BAE∽△CBA, AB AE :.CB AB b a .2ab,即b=√2a, AB b v2a BC 2a 2a 2, 故④正确.故正确的有①③④. 三、解答题 17.(2026江西中考)如图，D,E分别在△ABC的边BA,CA的延长线上， DE//BC AD=3 AB=5 DE=5 BC ,求的长 E y 5 【答案】 BC= 【解析】 AB BC 【分析】根据DE∥BC,证明△ABCP△ADE,进而得出ADDE,代入数据，即可 求解。 DE BC 【详解】解： ∴.∠B=∠D∠C=∠E ∴.△ABCP△ADE ..AB_BC AD DE. .AD=3 AB=5 DE=5 5 BC 35, ·BC= 3. 18如图，在△ABC中，AB=AC,E,F分别是边AB,BC上的点，连接CE,AF,相 交于点D,已知BF=CF,∠B+∠EDF=180 (I)求证：△ABFACBE: (2)若BC=6,AF=6,求△BCE的面积. 【分析】(1)根据等腰三角形的性质证明∠AFB=90°，再由∠B+∠EDF=180°证明 ∠CEB=90°，从而得到∠AFB=∠CEB,则△MBF∽△CBE可证： BE=615 (2)先求出AB再利用△ABF∽aCBE求出5，求出两个三角形的相似比和△ABF 的面积，利用相似三角形面积之比等于相似比求解即可. 【详解】(I)证明：·AB=AC,BF=CF, ·AF⊥BC, .∠AFB=90°. ∠B+∠EDF=180° ,四边形BEDF内角和为360°， .∠CEB=180°-∠AFB=180°-90°=90°， ∴.∠AFB=∠CEB, ∠B=∠B, ∴.△ABF∽△CBE (2)解：∵BC=6,BF=CF, .BF=3, 由(1)知∠AFB=90° ·由勾股定理得， AB=BF2+AF2=3+6=35 △ABFACBE, E D B C :BF、AB BE BC. 3=35 ·BE6, BE= 5 BF 35 “BE6W5=2 5 :S△ABr= AF.BF_6X3=9 2 2 S&ABE 36 .S.BCE= BF 5 5 BE 19已知：△MBC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2) 图1 图2 图3 (1)在图'中画出△AB 向下平移4个单位，再向左平移个单位得到的 △4BC (2)在图2中作出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到 △4，B,C2 (3)在图3中作出以点P(1,)为位似中心，把△ABC各边放大2倍后得到的△4B,C y (3 【答案】(1) (2) B2 图1 图2 (3) 图3 【解析】 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略。 16.化去根号里的分母： 1 (1)V50: 2 (2)V45· v2 【答案】(1)10 √1o (2)15 【解析】 【小问1详解】 2 √2 解：原式-100 10 【小问2详解】 10 √10 解：原式=√225=15· 20.(2026广西中考)图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量 公益广告牌的高度MN. 如图2，MN所在直线垂直地面于点A,甲把光源放置于点B处，BC垂直地面于点C, 点A,C在同一水平线上，乙沿CA方向移动平面镜，移到点D时，从点B发出的光线反 射到点M处：移到点E时，从点B发出的光线反射到点N处.经测量：BC=1.5米， 4C=12米.CD=2米， DE=2米，记点 D E SDTE,即 处的法线分别为 SD⊥ACTE⊥AC ∠MDS=∠BDS∠NET=∠BET 根据光的反射定律， M 承镜五德 传录家风家训 S 图1 图2 (1)求证：∠MDA=∠BDC: (2)求此公益广告牌的高度MN. 【答案】(1) 证明：：SD⊥AC, .∠SDC=∠SDA=90°， .∠MDS=∠BDS, .∠SDC-∠BDS=∠SDA-∠MDS, :.∠MDA=∠BDC: 2)4.5米 【解析】 【分析】(1)根据垂直的意义得到∠SDC=∠SDA=90°，得到结合∠MDS=∠BDS进 行求证即可： ,△MDA∽△BDC△BCE∽△NAE MA,NA,MN=MA-NA (2)通过 和 求出 ,再由 求解 即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 BC⊥AC,MA⊥AC 解：由题意得， ∴.∠BCD=∠MAD, ∠MDA=∠BDC, :AMDAABDC, BC CD .MA AD, BC=1.5米，AC=12米，CD=2米， 1.52 .MA12-2, .MA=7.5(米)， △BCE∽△NAE 同理可得， BC CE .NA AE, DE=2米， 1.5_ 2+2 .NA12-2-2, .NA=3(米)， MW=M4-NA=7.5-3=4.5(米). 答：公益广告牌的高度MN为4.5米。 21如图1，在△1BC中，A=90,4C=3AB=4,点D,E分别是边AB、4C的中 点，连接DE.现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为(0°<“<180），如图 2,连接CE,BD. F B D D 图1 图2 图3 CE (1)探究BD的值： (2)如图3，当a=90°时，延长CE交BD于点F,求CF的长： (3)在旋转过程中，求△BCD面积的最大值. 3 【答案】(1)4 (2)25 3)11 【解析】 AD=14B=2 【分析】(1)先根据中点的意义得出 4E-24C= 2, 2 从而可得 AE AC 3 ADAB4,再根据旋转的性质得出∠CAE=∠BAD=a,从而可证得 CE AC 3 △ACE∽△ABD,进而可求出BDAB4: (2)先说明∠CAE=90°，再根据(1)得：△ACEAABD,可得出∠ACE=∠ABD,再 结合∠AEC=∠FEB,可得出∠CAE=∠BFE,从而可证得∠EFB=∠CAE=90°， CD·ABBD.CF 于是有CP⊥BD,再根据等面积法可得： SARCD=- 2 2，然后利用勾股定 CD·ABBD.CF 理求得BD,代入22，从而可求得CF; (3)过A作AG⊥BC于点G,△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大 值时△BCD的面积有最大值，从而可得出当点D在△CAB的高AG所在的直线时， △BCD BC AG 的面积取得最大值，再利用勾股定理求得，从而可根据面积法求得 ,再根 据DG=AG+AD求得DG,从而可求得△BCD面积的最大值. 【小问1详解】 解：：D,E是边AB,AC的中点， :4E=4c=340=54B=2 2 2， 2 AF AC 3 :.AD AB 4. ~将△4DE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为(0°<a<180） .∠CAE=∠BAD=a, △ACE∽△ABD. CE AC 3 ∴.BDAB -4; 【小问2详解】 解：当a=90°时，延长CE交BD于点F, .∠CAE=90°， 由(1)得：△ACEAABD, .∠ACE=∠ABD, :∠AEC=∠FEB, .∠CAE=∠BFE .∠EFB=∠CAE=90°. .CF⊥BD. Swcn CD-AB_BD.CF 由等面积法可得： 2 2 BD=VAD2+AB2=V16+4=2W5,CD=3+2=5,AB=4, ,CF=4x5=25 25 【小问3详解】 解：过A作AG⊥BC于点G, △BCD BC BC △BCD 中，边的长是定值，则边上的高取最大值时 的面积有最大值， ∴，当点D在△CAB的高AG所在的直线时，△BCD的面积取得最大值，如图： Q AB=4,AC=3,∠CAB=90°. :BC=VAB2+AC2=5. 5mwABxACBCxAG 2 2 1 L2x4×3=-x5x4G 2 :4G2 5, :DG=AG+AD=2+12_22 55, .△BCD面积的最大值为： 22=11 )BC:DG=。x5x5 2 22.(2026甘孜州中考)平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件.这种连杆在移动时， 两对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动.如图，四边形 CE AF =k AFDE是平行四边形，AEBF 【初步感知】 1)如图1，连接BD,CD,则∠1+∠2+∠3=_度： F 13 B D 图1 【变化探寻】 (2)如图2，AB=10,AC=15,固定点D,当k为何值时，在移动点B的过程中，始 终有∠AEF与∠B相等. E B D 图2 【深入探究】 (3)如图3，固定点D,若移动点B到点B',则点C随之移动到点C'. ①判断线段CC'与BB的位置关系与数量关系，并说明理由： ②在点B处安装一支描图针，在点C处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2 的等腰直角三角形描莽时，绘图针随之绘出一个平面几何图形L:,求图形？的面积。 (用含k的代数式表示) F 、B B D 图3 【答案】(1)180 (3)①BB'∥CC, BB'=1CC ,理由如下： BC,B'C" 如图，连接 、B 图3 同(1)可得∠BDF+∠EDF+∠CDE=180° B,C,D B',D,C' 三点共线， :FD∥A'C .△B'FDSAB'A'C B'D BF 1 DC A'Fk .FD∥AC BD BF 1 ∴.DC AFk 又，∠BDB'=∠CDC .△BB'DACC'D BB'BD 1 .∠DBB=∠DCC',CC'DCk 1 BB∥CC, BB'=CC ② 【解析】 CE DF 【分析】(1)根据平行四边形的性质可得DEBF,AC∥DF,AB∥DE,进而可 CE DF 得∠CED=∠A=∠DFB,根据已知可得DEBF，进而证明△CDEP△DFB得出 ∠1=∠C ,再根据平行线的性质，即可得证： (2)设C=DF=,BF=y,则CE=.MF=DE=,证明EDCAEF 得出名 x_3 证明*BFDABAC得出y2,即可求解： BC,B'C (3)①连接 ,证明△SFDB4C.△BB'DaCC'D 根据相似三角形的 性质，即可得出结论： ②依题意，L与？是关于点D的位似图形，且位似比为k,则面积比为，求得L的面 积，即可求解， 【小问1详解】 解：：四边形AFDE是平行四边形， :AE=DF,AF=DEAE∥DF,AF∥DE △ABCP△EDC,△ABC∽△FBD DE CE DF BF .ABAC’ACAB, CEAC DF AC .DEAB’BFAB, CE DF .DEBF,AC∥DF,AB∥DE, .∠CED=∠A=∠DFB. CE_AF=k AE BF CE AE .AF BF, CE DF .DE BF, ∴.ACDEADFB ,∠1=∠C AC∥DF .∠C+∠2+∠3=180°， .∠1+∠2+∠3=180°： 【小问2详解】 解：：四边形AFDE是平行四边形， :AE=DF,AF=DEFD∥AC 设张=0F=.F=y,则CE=众AF=DE= ,∠A=∠A,∠AEF=∠B .∠AEF∽△ABC :DE∥AF ∠EDC=∠B,∠DEC=∠A .∠EDC=∠AEF ∴.△EDC∽AAEF AE AF ..DE EC x ky 即x 周 FD∥AC .△BFD∽ABAC AC DF ·.ABBF AB=10,AC=15, x153 y102 9 k= ∴，当4时，在移动点B的过程中，始终有∠AEF与∠B相等. 【小问3详解】 ①略 BB'=1CC ②由①可 k 依题意， L与？是关于点D的位似图形，且位似比为人，则面积比为， ×2×2=2 :等腰直角三角形L1的边长为2，面积为2 图形2的面积为2X2 第三章 图形的相似 章节测试 一、选择题 1.下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（ ） A. B. C. D. 2.如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 3.如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4.（2025绥化中考）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 5.（2026武威中考）如图，四边形与四边形是以原点 为位似中心的位似图形．若，，，则（ ） A. B. C. D. 6.（2026南充中考）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A. B. C. D. 7. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8.（2026河北中考）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 9.如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点D，作射线交于点E； ②分别以点A和E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交的延长线于点F． 若，，则线段的长为（ ）． A. 5 B. C. D. 10.如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11.（2026眉山中考）如图，，，，，则的长度是_______． 12.如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是点 . 13.如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是 .（填序号） ①；②；③；④. 14.《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，、分别是正方形边和的中点，正方形的边长为步，出东门继续往东走步有一树木点，问出南门继续往南走多少步恰好能看到位于点处的树木即点在直线上？则根据以上信息，算出的长是 ______ 步 15.如图，在中，，，点在的延长线上，且，过点作直线分别交边，于点M，N．若直线将的面积平分，则线段的长为_______． 16.如图，在矩形中，E是上一点，于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若E是中点，则．其中所有正确结论的序号是 .（填序号） 三、解答题 17.（2026江西中考）如图， ，分别在 的边 ，的延长线上，，，，，求的长． 18.如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 19.已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； （2）在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； （3）在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 20.（2026广西中考）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． （1）求证：； （2）求此公益广告牌的高度． 21.如图1，在中，，点分别是边、的中点，连接．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，． （1）探究的值； （2）如图3，当时，延长交于点，求的长； （3）在旋转过程中，求面积的最大值． 22.（2026甘孜州中考）平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件．这种连杆在移动时，两对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动．如图，四边形是平行四边形，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，则 度； 【变化探寻】 （2）如图2，，，固定点，当为何值时，在移动点的过程中，始终有与相等． 【深入探究】 （3）如图3，固定点，若移动点到点，则点随之移动到点． ①判断线段与的位置关系与数量关系，并说明理由； ②在点处安装一支描图针，在点处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2的等腰直角三角形描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形，求图形的面积．（用含的代数式表示） 学科网（北京）股份有限公司 $