第1章《特殊平行四边形》章节测试卷2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本练习为初中数学《特殊平行四边形》单元复习同步测试卷，通过基础、中档、提升三层设计，覆盖矩形、菱形、正方形的性质与判定，从概念识别到综合探究，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|图形性质与判定概念、基本计算|如选择1识别中心对称与轴对称图形，填空11矩形对角线计算，夯实基础概念| |中档|性质应用与推理、作图|如填空13作图与菱形周长，解答20尺规作菱形并计算，提升推理与几何直观| |提升|动态问题、跨知识综合|如选择10平行四边形与矩形综合判断，解答24筝形探究及最小值计算，发展创新意识与空间观念|

第1章《特殊平行四边形》章节测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分) 1.在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五个几何图形中，既是中心对称图形又 是轴对称图形的一共有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件即可推出该四边形是正 方形，那么这个条件可以是() A.∠D=90°B.AB=BC C.AD=BC D.AB=CD 3.以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复 杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福.如图1是一个中国结，图2是其菱形示意图， 若菱形的对角线AC=32cm,BD=24cm,则它的边长AB为() B 图1 图2 A.8cm B.20cm C.25cm D.40cm 4.如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于点H,连接OH, ∠DHO=20,则∠DAB的度数是（) D A.50° B.40° C.60° D.45° 5.矩形柔性材料可任意折叠，如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的 中点C处，点B落在点B处，其中AB=6,BC=4,则FC的长为() B A. B.4 c号 D.5 6.将四根长度相等的木条钉成一个四边形的木框架ABCD,拉动这个木框架，使它形状改变. 如图①，当∠B=90°时，测得AC=6.如图②，当∠B=60°时，则AC的长为() D A 图① 图② A.3V2 B.3 C.6 D.2V6 7.如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,点D是AB上的一个动点，过 点D作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，连接EF,则线段EF的最小值为() E F A.2.4 B.5 C.4.8 D.2.5 8.“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段 矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若∠BAD=45°.重叠部分图形的面积是362cm2, 则丝带的宽为() D B A.6cm B.12cm C.6V2cm D.12V2cm 9.如图，E为正方形ABCD内一点，∠CEB=90°，CE=5,CB=13,将Rt△CBE绕点C按顺 时针方向旋转90°，得到△CDF.延长BE交DF于点H,则DH的长为() D A.7 B.7.5 C.8 D.9 10.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB1AC,BC=2AB,CE平分 ∠BCD,延长BA与CF相交于点B,下列结论中正确的为() ①四边形ACDE为矩形；②OA为△BDE的中位线；③S△Aon=S△AE;④△FPD≌△OPC. D A.②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 11.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°，AC=8.则AB的长为 O 12.如图，AB=22,小萱分别以点A,B为圆心，2为半径画弧，两弧分别相交于点C,D, 顺次连接A,C,B,D,则四边形ACBD的形状为 13.如图，口ABCD中，AD=4.按以下步骤作图：①以点B为圆心，AB长为半径作弧，交 BC于点A②分别以点，F为圆心，大于AF的长为半径作弧，两弧在∠ABC内相交于点 P:③作射线BP,交AD于点E,连接EF.四边形EFCD的周长为」 E D 14.如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=2,点E是AD的中点，FG垂直平分BE且分别交 BE、BC的延长线于点F、G,则CG= 15.如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，过点E作EF⊥ED交AB于点F,连接 BE,DF,若∠ADF=a,则∠BEF的度数是 (用含的代数式表示) B 16.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上，将该矩形沿EF折叠，使点A落在 点A处，点B的对应点B落在AD上，连接BB交EF于点O.若BC=11,BF=3AF, BB=4V6,则AB的长为 连接A0:AD'D0,则△AOD的面积为 D 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17.(6分)如图，点E、F分别在口ABCD的边BC、AD上，连接AE、CF,AECF,连接 AC EF, 请你从以下三个选项：①AC1EF:②AE L BC:③AC=EF中选择一个合适的选 项作为补充条件，使得四边形AECF是矩形. (1)你选择的补充条件是（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形AECF是矩形的证明过程. 18.(6分)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE‖AC,CE‖BD (1)求证：四边形OCED为菱形： (2)若AB=3,AC=5,求菱形OCED的面积. 19.(6分)如图，是一个17×6的网格图，图中已画出了线段AB和线段EG,其端点A,B, E,G均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形. B (1)画出以AB为边的正方形ABCD: (2)画一个以EG为一条对角线的菱形EFGH(点F在EG的左侧)，且面积与(1)中正方形 的面积相等. 20.(8分)如图，矩形ABCD,AB<AD B (1)求作菱形EBFD,使点E,F分别落在边AD,BC上；（要求：尺规作图，不写作法，保留 作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若BC=12,∠DBC=∠CDF.求EF的长. 21.(8分)【问题提出】：如图1，E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形， AE=EF,∠AEF=∠ABC=ax≥90？AF交CD于点G,探究∠GCF与a的数量关系. M 图1 图2 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2.当α=90°时，求出∠GCF的大小；（提示：可在AB边上取点 M?使AM=EC:连接ME,构造全等三角形来解答问题) (2)再探究一般情形，如图1，求∠GCF与的数量关系. 22.(9分)已知：点B、F、E、D在同一直线上，AE=CF,ABCD,∠AEB=∠CFD D E F C 图1 图2 (1)如图1，求证：BF=DE; (2)如图2，连接AD、BC、AF、CE和AC,AC交BD于点G,若AC=BD,BF=GF,在不添 加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是△CGE面积3倍的所有三角形. 23.(9分)如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点A的坐标为5,0，点B的 坐标为O,3,以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点 分别为D,E,F. y E D D B B A x A x 图① 图② (1)如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标； (2)如图②，当点D落在线段BE上时，连接AB.求证：△ADB≌△AOB 24.（10分)综合与实践 【问题背景】数学学习中，很多特殊图形具有共同的结构特征.某数学小组对角平分线定理、 线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行研究，发现它们都包含一种特 殊四边形模型，如图所示. D 图1 图2 图3 【归纳总结】 (I)定义：四边形ABCD中，若AB=AD,CB=CD则称该四边形为筝形.请写出筝形的两条性 质（不需证明）： ① ； ② 【知识迁移】 (2)如图1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转任意角度，得到正方形ABCD，边BC与CD 交于点E.求证：四边形ABED是筝形； (3)若将(2)中“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”,其余条件不变，如图2，(2)中的 结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形ABED正确结论， 【拓展延伸】 (4)如图3，在(2)的正方形旋转图形中，连接AE、BD交于点O.若正方形边长为6，求 C0的最小值. 25.(10分)在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，矩形ABCD中，AB=3,BC=4, 过对角线AC上一点，作AC的垂线，交边AD、BC于点E、F,求EF的长. E D 4 EMD A E D C BFN C BF 图1 图2 图3 (1)小明同学是这样思考的：点O是AC的中点，过点O作AC的垂线，交AC、BC于点M、N, 发现四边形EFNM的形状是，得EF=MN,求EF的长度转化为求MN的长度，又通过 观察发现△AOM≌△CON进而得到四边形AMCN是菱形，具体证明过程如下： 解：.EF⊥AC,MN⊥AC, .EF‖MN, 又，四边形ABCD是矩形， ∴.ADBC,即EMFN, 四边形EFNM是平行四边形， ∴EF=MN, 连接MC,AN 补充证明四边形AMCN是菱形的过程： ∴.平行四边形AMCN是菱形 直接写出EF的长是 (2)请利用以上转化思想解决问题：如图3，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点F、F分别是线 段AD、BC上的动点，且EF与AC互相垂直，则AF+FE+CE的最小值为一· 参考答案 一、选择题 1.B 解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合要求； 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求： 等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求； 综上，符合要求的图形共3个. 2.B 解：，四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°， ∴.四边形ABCD是矩形， 若添加条件AB=BC,则四边形ABCD是正方形， 若添加条件∠D=90°或AD=BC或AB=CD,无法推出四边形ABCD是正方形， ∴.只有B选项符合题意 3.B 解：.菱形的两条对角线AC=32cm,BD=24cm, ∴.AO=16cm,B0=12cm ∴.菱形的边长为AB=V162+12=20cm. 4.B 解：.四边形ABCD是菱形 .OB=OD,AC1BD,AC平分∠DAB ,DH⊥AB .∴.∠DHB=90° ,在Rt△DHB中，O为BD中点 .'OH=OB=-BD ∴.∠OHB=∠OBH .∠DHB=90°，∠DHO=20° .∴.∠OHB=∠DHB-∠DHO=90°-20°=70° ∴.∠ABD=∠OHB=70 .在Rt△ABO中，∠BAO=90°-∠ABD=90°-70°=20° ∴.∠DAB=2∠BAO=40 5.C 解：，四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD=6,BC=AD=4,∠D=90°， ,折叠，点C落在AD边的中点C处， ..CF=C'F,AC'=DC=AD=2, 设CF=CF=x,则DF=CD-CF=6-x, 在Rt△CDF中，CF2=FD2+C'D2, .x2=6-x+22, 整理得，12x=40, 解得，x=10, 3 FC'=10 6.A 解：由题意可知，四边形ABCD的四条边长相等， 四边形ABCD是菱形， 如图①，连接AC, D C 图① 在图①中，∠B=90°， ∴.四边形ABCD是正方形， 六.AB=BC,∠ABC=90°， 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2, ,2AB=36,解得AB=32(负值舍去)， 如图②，连接AC, A 图② 在图②中，四边形ABCD是菱形， .AB=BC=32, ∠B=60°， △ABC是等边三角形， ..AC=AB=32. 7.A 解：如图，连接CD ∠ACB=90°，AC=3,BC=4, AB=-AC2+BC2=32+42=5, .DE⊥AC,DF⊥BC,∠ACB=90°， ∴.四边形CFDE是矩形， .'EF=CD, 由垂线段最短，可得当CD⊥AB时，CD最短，即线段EF的值最小， 此时，SAA=号BCAC=号ABCD, 2 2 即x4×3=x5xcD, 解得CD=2.4, ∴.线段EF的最小值为2.4. 8.A 解：由题意知，ADBC,AB‖CD, 四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠DAB=∠BCD=45° 如图，作DM⊥AB于M,DN⊥BC于N,连接BD,则DM=DN, 设DM=DN=X, 四边形ABCD是平行四边形， .SA ARD=SACm,即}AB×DM=BC×DN, ...AB=BC, 四边形ABCD是菱形， ∴.∠DAM=45°=∠ADM, ∴.AM=DM=X, 由勾股定理得，AD=AM+DM=V2x, 则AB=V2X, ∴.重合部分四边形ABCD的面积为： AB×DM=V2x·x=36V2, 解得x=6(负值已舍去)， ∴.丝带的宽为6cm, 故选：A. 9.A 解：由旋转得∠ECF=90°，∠CFD=∠CEB=90°，CF=CE,DF=BE, .∠CEH=180°-∠CEB=90°， :.四边形CEHF为矩形， .CF=CE' :四边形CEHF为正方形， .∴.EH=FH=CE=5' 在Rt△BCE中，由勾股定理得，BE=BC2-CE=V132-5=12, ∴.DF=BE=12' .∴.DH=DF-FH=12-5=7' 故选：A. 10.D 解：：四边形ABCD是平行四边形 .AB CD,AB=CD,OA=OC,OB=OD,AD=BC' .∴.∠E=∠DCE :CE平分∠BCD ∴.∠BCE=ㄥDCE .∴.∠E=∠BCE .'BE=BC BC=2AB .∴.BE=2AB ∴.AB=AE .AB=CD,AB‖CD ∴.AE=CD,AE‖CD :.四边形ACDE是平行四边形 .AB⊥AC ∴.∠BAC=90 ∴.∠CAE=90° :.平行四边形ACDE是矩形，故①正确： 由上可得，在△BDE中，A是BE的中点，O是BD中点 OA是△BDE的中位线，故②正确： :四边形ACDE是矩形 .对角线AD,CE互相平分，即F是AD中点 ,矩形ACDE中，AE=CD,AC=DE,AD=AD, .△ADE≌△DAC SSS .S△ADE=S△ACD 1 .SaAE-2S△ACD 0是AC中点 1 SAOD=SANCD .SAA0D=S△AFE 故③正确 在Rt△ABC中，BC=2AB, 由勾股定理得AC=VBC2-AB=V3AB .0C-AC-B 2 AD=BC=2AB:F为AD中点 .'.FD=IAD=AB .∴FD≠OC △FPD与△OPC不全等，故④错误 综上所述，正确的结论是①②③. 二、填空题 11.4 解：：四边形ABCD是矩形， :.0A-OC-AC=4,OB-OD-BD,AC=BD, ∴.OA=OB, ∠AOB=60°， .△AOB是等边三角形， ..AB=OA=4. 12.正方形 由作图可知，AC=BC=AD=BD. :.四边形ACBD为菱形， .AB=22,AC=BC=2' .AC2+BC2=A B2, .∴.∠ACB=90, ,:.四边形ACBD为正方形. 13.8 解：由作图可得：BE平分∠ABF,AB=BF, ∴∠ABE=∠FBE, ,四边形ABCD为平行四边形， ..AB=CD,AD BC,AD=BC=4, .∠AEB=∠FBE ∴.∠AEB=∠ABE, ..AE=AB, ..AE=BF, .AD BC, ∴.四边形ABFE为平行四边形， ..AE=AB. ∴四边形ABFE为菱形， ∴.AE=EF=BF=AB. ∴.四边形EFCD的周长为CD+DE+EF+CF=AE+DE+BF+CF=AD+BC=8, 故答案为：8. 14.3 解：过点G作GH⊥AD,交AD的延长线于点H,连接EG,则∠DHG=90°， 四边形ABCD是矩形， ∴，∠ADC=∠BCD=90°，AB=CD=3,AD=BC=2, ∴.四边形CDHG是矩形， ∴.DH=CG,HG=CD=3. 点E是AD的中点， ..AE=-AD=1,. ,FG垂直平分BE, ..BG=EG=BC+CG. 根据勾股定理，得EG=EH+HG2, 即2+CG2=(1+CG2+32, 解得CG=3, H G 15.90°-2a 解：过点E作EM⊥AB于M,EN⊥AD于N,如图所示： D .四边形ABCD是正方形， .∠BAD=90°，AB=AD, ∴.四边形AMEN是矩形，∠BAE=∠DAE=45, :EM=EN,四边形AMEN是正方形， ∴.∠MEN=90°， ‘.∠=90， ∴.∠MEF=∠NED=90°-∠FEN? 在△EMF和△END中， ∠EMF=ㄥEND EM=EN ∠MEF=∠NED ∴.△EMF≌△END ASA: .∴.EF=ED .∴.∠EFD=∠EDF=45°， .∠ADF=a' ∴.∠AFD=90°-a' ∴.∠BFE=180°-∠AFD+EFD=180°-90°-a+45=45°+a 在△ABE和△ADE中， AB=AD ∠BAE=∠DAE AE=AE ∴.△ABE≌△ADE SAS ∴.BE=DE ∴BE=EF, .∴.∠BFE=∠EBF=45°+' .∴.∠BEF=180°-∠BFE+∠EBF=180°-245°+a=90°-2a 16.4/2 13V2 解：四边形ABCD是矩形， .∴ADBC,AD=BC,∠A=90° ∴.∠BEF=∠BFE ,:将该矩形沿EF折叠，使点A落在点A处，点B的对应点B落在AD上，连接BB交EF于点O ∴.∠BFE=∠BFE ∴.∠BEF=∠BFE ∴BF=BE 折叠， ∴FB=FB,EB=EB ∴BE=EB=BF=FB, ∴四边形BEBF是菱形， 设AF=X,则BF=3AF=3X,AB=AF+FB=4X, 在Rt△ABF中，AB2=BF2-AF2=3x-x2=8x2,则AB=22x, 在Rt△ABB中，BB2=AB+AB2=8x+4x2=24x .BB=4V6, …24x=4V67 解得：x=2 则AB的长为2V2x=4V2,AF=2,BF=3x=6, .DF=AD-AF=11-2=9 如图，分别过点A,O作AD的垂线，垂足分别为M,N,过点O作OP⊥BF于点P, 折叠， ∴.AF=AF=2,AB=AB=4V2,∠FAB=∠FAB=90 又FB=FB=6, AM=AF×AB_2×42_4 FB 6 3 四边形BEBF是菱形， ∴BB⊥EF,BO=BB=26,∠OFB=∠OFB 在Rt△FBO中，F0=FB2-OB-V62-26=23 ‘“0N=F0×B0-23x26=22 FB 6 .∠OFB=∠OFB, ..OP=ON=22, ∴.△AOD的面积为=S△Am+S△FOD-S△AFrO -方9×4*9×22*2×2迈 32 =62+9V2-22 =13V2 三、解答题 17.（1)解：选择的补充条件是②或③， 故答案为：②或③： (2)解：选择②，证明如下： 四边形ABCD是平行四边形， .BC‖AD,即EC AF, AE‖CF, ∴.四边形AECF是平行四边形， :AE⊥BC, .∴.∠AEC=90, ∴.四边形AECF是矩形； 选择③，证明如下： :四边形ABCD是平行四边形， .BC‖AD,即EC AF, AE‖CF, ∴.四边形AECF是平行四边形， '.AC=EF' ∴.四边形AECF是矩形. 18.(1)解：DEAC,CE‖BD, .四边形OCED是平行四边形， 又.矩形ABCD中，OC=OD, ∴.平行四边形OCED是菱形： (2)解：矩形ABCD中，AB=3,AC=5,∠ABC=90°， .BC=AC2-A B2=4, 由菱形和矩形的中心对称性可知：SA0CD=S△ECD=S△AOB, 又.OA=OC, 1 _1×1×3×4=3, 小SAAOB-2SaAc-2×2 .菱形的面积是3+3=6. 19.(1)解：如图所示，正方形ABCD即为所求； (2)解：如图所示，菱形EFGH即为所求. H G 20.（1)解：如图，菱形EBFD即为所求 B (2)解：如图， B ,四边形EBFD是菱形， ∴.FB=FD .∠1=∠2 .∠1=∠3 ∴.∠1=∠2=∠3， .矩形ABCD中，∠C=90° ∴.∠1+∠2+∠3=90° ∴.3∠1=90° .∠1=∠2=∠3=30°， :∠C=90°， ∴.DF=2CF, FB+FC=BC=12 ∴.3CF=12 ∴CF=4, ..FB=FD=2CF=8 ,四边形EBFD是菱形， ∴.FB=FE,∠1=∠4 ∴.∠EBF=∠1+∠4=60° .△EBF是等边三角形， ∴.EF=BF=8 21.(1)解：在AB上截取AM,使AM=EC,连接ME」 .'∠ABC+∠BAE+∠AEB=∠AEF+∠FEC+∠AEB=180, ∠ABC=∠AEF, .∴.∠EAM=∠FEC AE=EF' .∴.△AME≌△ECF SAS .∴.∠AME=∠ECF· 0=90°， 四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠B=∠DCB=90° ∴.BM=BE ∴.∠BME=45, ∴.∠ECF=∠AME=135 .∴.∠GCF=∠ECF-∠BCD=45o· D G F M (2)解：在AB上截取AN,使AN=EC,连接NE」 .'∠ABC+∠BAE+∠AEB=∠AEF+∠FEC+∠AEB=180, ∠ABC=∠AEF, ∴.∠EAN=∠FEC .AE=EF' .△ANE≌△ECF SAS ∴.∠ANE=∠ECF ,四边形ABCD是菱形， .AB=BC,AB CD, ∴.BN=BE'∠BCD=180°-∠ABC=180°-' .∠EBN=a' ∠BWE=900-1。 . .∠GCF=∠ECF-∠BCD=∠ANE-∠BCD 90°+1。 文3x→→ 22.(1)解：AB‖CD, ∠B=∠D, ,AE=CF,∠AEB=∠CFD, ∴.△ABE≌△CDF, ∴.BE=DF, ∴.BE-EF=DF-EF, .'BF=DE; (2).△ABE≌△CDF, ∴.AB=CD, ..AB CD, 四边形ABCD为平行四边形， ...AC=BD. ∴四边形ABCD为矩形， ∴.BG=DG, .BF=GF,BF=DE, .BE=3≥，DF=3≥i, SACBE=3SACGE,SACDF=3SACGE, .△ABE≌△CDF, .SAABE=SACDF=3SACGE, ..BE=DF, SAADF-SAABE-3SACGE: 综上：满足条件的三角形有△ABE,△ADF,△CBE,△CDF 23.(1)解：点A5,0,点B0,3. .∴.OA=5’OB=3 .四边形AOBC是矩形， ∴.AC=OB=3,OA=BC=5'∠OBC=∠C=90, .顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF, .AD=A0=5? 在Rt△ADC中，CD=VAD2-AC=4, .'BD=BC-CD=1' ∴.D1,39 (2)证明：四边形ADEF是矩形， ∴.∠ADE=90, ,点D在线段BE上， ..ADB=90°， 由(1)可知：AD=AO, 又.AB=AB,∠AOB=90°， .Rt△ADB≌Rt△AOB(HL 24.(1)解：由筝形的定义可得：①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面 积等于对角线乘积的一半；③筝形是轴对称图形等；（本题答案不唯一，只要正确即可） (2)证明：如图1，连接AE, 图1 由旋转知四边形ABCD和四边形ABCD为全等的正方形， .AB=AD’∠B=∠D=90° 在Rt△ABE和Rt△ADE中， AB=AD, AE-AE ∴.Rt△ABE≌Rt△ADE HL' ∴ED=EB, 四边形ABED是筝形. (3)解：四边形ABED是筝形， 理由：如图2，连接BD, B B 图2 由旋转知四边形ABCD和四边形ABCD为全等的菱形， .∴.AB=AD'∠ABE=∠ADE' .∠ABD=∠ADB .∠ABE-∠ABD=∠ADE-∠ADB, ∴.∠EDB=∠EBD' ∴ED=EB, 四边形ABED是筝形. （4)解：如图3， D D M B 图3 由(2)知四边形ABED是筝形， .AD=AB’ED=EB' :.点A、E在线段BD的垂直平分线上， AE⊥BD' ∴.∠AOD=90°， 点O在以线段AD为直径的半圆上运动， 取AD的中点M,则点M为该半圆的圆心，连接MO,MC, .MC≤OM+OC 当点M,O,C三点在一条直线上时，OC取得最小值，最小值为CM-OM, ,正方形ABCD的边长为6， .AB=AD=CD=6. :∠A0D=90,且M为AD的中点， .∴.AM=DM=OM=3, ∴.CM=VCD2+DM2=V62+32=35, ∴.C0=CM-OM=3V5-3: 25.(1)解：发现四边形EFNM的形状是平行四边形； .EF⊥AC,MN⊥AC, .EF MN, 又，四边形ABCD是矩形， .AD‖BC,即EM‖FN, ∴.四边形EFNM是平行四边形， ∴.EF=MN. 如图，连接CM,AN, A EMD O BFN O是AC的中点， .A0=0C, AD‖BC, ∴.∠OAM=∠OCN, 又.∠AOM=∠CON=90°， .△AOM≌△CONASA, ∴.AM=CN, .AM CN, ,四边形AMCN是平行四边形， 又.MN⊥AC, .平行四边形AMCN是菱形， ∴.AM=CM, 设AM=CM=x,则MD=AD-AM=4-x, 在Rt△CDM中，CD=AB=3,由勾股定理得32+(4-xP=X,解得x=25 8 在矩形ABCD中，由勾股定理得AC=AB+BC2=32+42=5, :菱形AMCN的面积S=AC·MN=AM·CD, ∴3×5×MN25×3,解得N=15 8 EF=15 4 (2)解：由(1)可知，在矩形ABCD中，EF⊥AC时，EF的长度为定值5 AF+FE+CE=AF+CE)+15, 4 要求AF+FE+CE的最小值，只需求AF+CE的最小值. 如图，平移线段EF到线段AA,连接AE,AC, A E D B F .EF‖AA’EF=AA, :.四边形AAEF是平行四边形， .AF=A E .'AF+CE=A E+CE' 根据两点之间线段最短，AE+CE≥AC, 当且仅当A,E,C三点共线时，等号成立 .EF⊥AC,AA‖EF, :.AA⊥AC:即∠AAC=90 在R△AAC中，AA=EF=只，AC=5, 3由勾吸定理得AG=AC24A个-5+学-空 25 :AF+CE的最小值为 :AF+FE+CE的最小值为25+15=10. 44