27.1 反比例函数的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数概念及待定系数法求解析式，通过杂技滚钉板、舞台灯光等生活情境导入，结合函数定义、一次函数等知识回顾，搭建新旧知识衔接的学习支架，引导学生逐步理解反比例函数的意义。 其亮点在于以生活实例为载体，通过观察、分析抽象出反比例函数模型，培养学生数学眼光和模型观念。采用探究式教学，结合例题辨析、中考对接，帮助学生形成推理意识，教师可利用此资料提升教学效率，学生能在实践中深化理解。

第二十七章 反比例函数 27.1 反比例函数的概念 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 反比例函数的概念 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 用待定系数法求反比例函数解析式 8. 对接中考 1. 结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能正确识别反比例函数. 2. 能根据已知条件确定反比例函数的解析式. 3. 能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型，发展抽象能力和模型观念. 学习目标 知识回顾 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 函数的定义 一般地，形如(k，b是常数，)的函数，叫做一次函数，其中 是自变量，是因变量. 当时，一次函数即，叫做正比例函数． 一次函数与正比例函数 形如(，，是常数，)的函数叫做二次函数.其中 是自变量，、、 分别是二次项系数、一次项系数和常数项． 二次函数 新课导入 当杂技演员表演滚钉板的节目时，观众们看到密密麻麻的钉子，都为他们捏一把汗，但有人却说钉子越多，演员越安全，钉子越少反而越危险，你认同吗？为什么？ 生活中我们常常通过控制电阻的变化来实现舞台灯光的效果. 在电压 U 一定时，当 R 变大，电流 I 会变小，灯光就会变暗；相反，当 R 变小，电流 I 会变大，灯光就会变亮. 你能写出这些量之间的关系式吗? 新课讲解 知识点1 反比例函数的概念 探究 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式. (1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化； 解：根据“路程=速度×时间”，得. (2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的变化而变化； 解：根据“矩形面积=长×宽”，得y = . (3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2 ，人均占有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的变化而变化. 解：根据“总面积=人均占有面积×总人口”，得S = . 新课讲解 结论 上述解析式都具有 y = 的形式，其中 k 是非零常数. 这些解析式有什么共同特点？ v = ，y = ，Q = . 都具有分式的形式. 其中分子是常数. 思考 新课讲解 一般地，形如 y = （k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，其中 x 是自变量， y 是x 的函数. 自变量x 的取值范围是不等于0 的一切实数 反比例函数的概念 反比例函数的三种表达方式：(注意 ) 形如，，等的函数都不是反比例函数. 注意 新课讲解 在反比例函数 () 的自变量 的取值范围是什么？ 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. 例如，在前面得到的第一个解析式 中， 的取值范围，且当 取每一个确定的值时， 都有唯一确定的值与其对应. 注意：反比例函数 中，x，y，k 均不为0. 为什么？ 思考 新课讲解 1. 如果 (为常数，)，那么 与 这两个量成反比例关系，这里 和 既可以代表单项式，也可以代表多项式.例如：若 与成反比例，则 ；若 y 与 x2 成反比例，则 反比例关系与反比例函数的区别和联系 均不是反比例函数 2. 反比例函数是反比例关系的一种特殊形式，成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系.如 表示 y 与 x2 成反比例，但 y 不是关于 x 的反比例函数. 新课讲解 反比例函数 中的 y 与 x 成反比例，不论变量 x 与 y 如何变化，k 的值始终等于 x 与 y 的积，因此习惯上把 k 称为比例系数.如反比例函数 的比例系数是5，反比例函数 的比例系数是 . 是而不是1的原因是？ 新课讲解 例 1. 下列函数： ① ；② ；③ xy8=0；④ +1；⑤ ；⑥ ； ⑦ ；⑧ （a 为常数）. 其中  是  的反比例函数的有___________________.（填序号） ①②③⑦⑧ 易错：在反比例函数y=kx－1(k≠0)中，自变量x的指数是1，要与正比例函数y=kx (k≠0)相区别 反比例函数的常见形式： ①y = ；②y=kx－1；③xy=k.（k为常数，k≠0） 新课讲解 例 2. 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系，并指出它们各是什么函数. (1) 当圆锥的体积是 50 cm3 时，它的高 h (cm) 与底面圆的面积 S (cm2 ) 之间的关系； (2) 我国某磁悬浮列车最高速度可达 600 km/h，该列车以最高速度行驶路程 s (km)  与它行驶的时间 t (h) 之间的关系； (3) 当做功是 50 J 时，力 F (N) 与物体在力 F 的方向上移动的距离 s (m) 之间的关系；W=Fs （ W：功(J) ；F：力(N)；s：在力的方向上移动的距离(m) ） (4) 用长为 20 m 的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆全部用完），设菜园的一边长为 x (m)，菜园的面积 S (m2 ) 与 x (m) 之间的关系. 解：依题意，得 50=Sh，则 h=，该函数是反比例函数. 解： 依题意，得 s=600t，该函数是正比例函数. 解：依题意，得 F=，该函数是反比例函数. 解：依题意，得 S=x(10－x)，即 S=－x2+10x，该函数是二次函数. 新课讲解 练一练 1. 在下列函数的解析式中， 均表示自变量： ；；；； ； ，其中是 的反比例函数的有 ( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 新课讲解 练一练 2. 已知反比例函数，比例系数____，自变量 的取值范围是______；当____时， . 新课讲解 练一练 3. 已知 . (1) 当____时，是 的正比例函数； 解：根据题意，得且， . (2) 当____时，是 的二次函数； 解：根据题意，得且， . (4) 当____时，是 的反比例函数. 解：根据题意，得且， . 新课讲解 知识点2 用待定系数法求反比例函数解析式 例 3. 已知 y 是 x 的反比例函数，且当 x=2 时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x=4 时，求 y 的值. 分析：因为y是x的反比例函数，所以设 y= . 把 x=2，y=6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 解：(1) 设 . ∵当 x=2 时，y=6，∴ 解得 k = 12. 因此 (2) 把 x=4 代入 y，  得 新课讲解 用待定系数法求反比例函数的解析式 在反比例函数 （ 为常数，）中，只有一个待定系数 ，因此只要给出一对  的对应值，就可以求出待定系数  的值，从而确定反比例函数的解析式. 实质是代入一对 x，y 的对应值解方程 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 一设：根据题意，设反比例函数的解析式为 （）； 二代：把 x，y 的一对对应值代入  中，得到一个关于 k 的方程； 三解：解方程，求出  的值； 四写：将  的值代入所设解析式中，即得到该反比例函数的解析式. 新课讲解 练一练 1. 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x=6 时，y=－. (1)求 y 关于 x 的函数解析式； (2)当 x= ﹣8 时，求 y 的值； (3)当 y=12 时，求 x 的值. 己经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例”时，可直接设函数的解折式为 y 解：(1)设（）. ∵当时，，∴ ，解得，∴ . (2)当x=-8时，. (3)当y=12时，12，所以. 易错：代入-8时，不要漏掉解析式中原有的负号 新课讲解 练一练 2.【情境题】生活应用如图，已知视力表上视力值V 和字母E 的宽度a(mm)之间的关系是我们已经学过的一类函数，经整理，视力表上部分视力值V 和字母E 的宽度a(mm)的对应数据如下表： 位置 视力值V a/mm 第1 行 0.1 70 第5 行 0.25 28 第8 行 0.5 14 第14 行 2.0 3.5 (1) 请你根据表格中的数据求出视力值V 与字母E的宽度a(mm)之间的函数解析式； 解：根据题表数据可知，视力值V随着字母E的宽度a的减小而增大，且视力值V和字母E的宽度a的积为定值，故视力值V和字母E的宽度a成反比例函数关系. 设视力值V和字母E的宽度a之间的函数解析式为V=. 将V=0.1，a=70代入V=，得0.1=，解得k=7. 故视力值V和字母E的宽度a之间的函数解析式为. 新课讲解 练一练 2.【情境题】生活应用如图，已知视力表上视力值V 和字母E 的宽度a(mm)之间的关系是我们已经学过的一类函数，经整理，视力表上部分视力值V 和字母E 的宽度a(mm)的对应数据如下表： 位置 视力值V a/mm 第1 行 0.1 70 第5 行 0.25 28 第8 行 0.5 14 第14 行 2.0 3.5 (1) 请你根据表格中的数据求出视力值V 与字母E的宽度a(mm)之间的函数解析式；函数解析式为V=7a. (2) 经过测量，第4行和第7行两行首个字母E的宽度a(mm)的值分别是35和17.5，求第4行、第7行的视力值． 解：将a=35代入V=，得V==0.2； 将a=17.5代入V=，得V==0.4. 因此，第4行、第7行的视力值分别是0.2，0.4. 课堂小结 一般地，形如 y = （k为常数，k≠0）的函数 ①y = ；②y=kx－1；③xy=k.（k为常数，k≠0） 三种形式 概念 确定解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式 设、代、解、写 反比例函数 实际问题 抽象 当堂小练 1. 有下列函数：① y= ；② y= ；③ xy=8；④ y= +1；⑤y= ；⑥ y= ；⑦ y=；⑧ y= (a≠2，且a为常数). 其中，y是x的反比例函数的有___________(填序号). ①②③⑦⑧ 当堂小练 2. 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系： (1) 一个游泳池的容积为2 000 m3，游泳池注满水所用时间 t（单位：h）随注水速度v（单位：m3/h）的变化而变化； (2) 学校准备将1 000 m² 实践田平均划分给一些班级，每班分得的实践田面积y（单位：m2）随班级个数 x 的变化而变化； (3) 在某次物理实验中，电路中的电压 U 为3 V，则该电路中的电流I（单位：A）随电阻R（单位：Ω）的变化而变化 ； 解：（v>0）. 解： y（x为正整数）. 解：（R > 0）. 当堂小练 3. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f 与弦长l 成反比例关系，即f = (k 为常数，k≠0)． 若某乐器的弦长l 为0.9 m，振动频率f 为200 Hz，则k 的值为_______． 180 当堂小练 解：(1) 设 y-3（k≠0）， ∵当 x=2时，y=6 ，所以 6-3 ，解得 k=6. ∴ y-3，整理，得 y +3. 形如 y（k 为常数，k≠0）的函数是反比例函数， 而 y +3多了常数项 3，因此 y 不是 x 的反比例函数. 4. 已知 y－3 与 x 成反比例，并且当x=2时，y=6. (1)求y关于x的函数解析式，y是x的反比例函数吗？ (2)当 x=-8 时，求y的值. (3)当 y=12 时，求x的值. (2) 将 x=-8 代入解析式 +3， . (3) 将 y=12 代入解析式  +3， 得 12， 所以 . 当堂小练 5. 验光师测得一组关于近视眼镜的度数 y (度)与镜片焦距 x (米)的对应数据如下表，根据表中数据，可得 y 关于 x 的函数解析式为( ) A. B. C. D. 近视眼镜的度数 y/度 200 250 400 500 1000 镜片焦距 x/米 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 解：由表格，得 xy=100，故 y 关于 x的函数解析式为. A 当堂小练 6. 下列说法正确的是 ( ) A. 在中，与 成正比例 B. 在中，与 成反比例 C. 在中，与 成正比例 D. 在中，与 成正比例 解：A.， . 与 成正比例，故选项正确； B.，与 成正比例，故选项错误； C.时，；时， ，故选项错误； D.， ，故选项错误. A 当堂小练 7. 节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电度，则能使用 天.下列说法错误的是 ( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若减小，则 也减小 D. 若减小一半，则 增大一倍 C 解：由题意得 .若，则 ，正确，故此选项不符合题意； B.若，则 ，解得，正确，故此选项不符合题意； C.若减小，则 增大，原说法错误，故此选项符合题意； D.若 减小一半，则，即 增大一倍，正确，故此选项不符合题意. 对接中考 1. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V(m3)的反比例函数. 当V=1.2 m3 时，p=20 000 Pa.则当V=1.5 m3 时，p=_________Pa． 16000 解：∵气球内气体的压强p(Pa) 是气球体积V(m3) 的反比例函数， ∴设这个反比例函数的解析式为p= . 把V=1.2，p=20000 代入p = ，得20000=，解得k=24 000， ∴ p= .把V=1.5代入p= ，得p= =16 000. 对接中考 解：(1) 设h关于ρ的函数解析式为h=. 把ρ=1，h=20代入解析式，解得k=20， 所以h关于ρ的函数解析式为h=. (2) 把h=25 代入h=，得25=， 解得ρ=0.8. 所以该液体的密度ρ为 0.8 g/cm3. 2. 如图，在科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度. 当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体密度ρ(单位：g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1 g/cm3 的水中时，h=20 cm． (1)求h 关于ρ 的函数解析式； (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25 cm，求该液体的密度ρ． 拓展与延伸 1. 已知，与成正比例， 与成反比例，当时，；当时， . (1) 求与 之间的函数关系； (2) 当时，求 的值. 解：(1) 设，，则 ， 把，；，分别代入得 解得 所以与之间的函数关系为 . (2) 当时， . 拓展与延伸 ___ _ ___ _ ___ ___ 2 2 2. 将代入反比例函数 中，所得函数值记为，又将 代入函数中，所得函数值记为，再将代入函数中，所得函数值记为 ，， 如此继续下去. (1) 完成下表： (2) 观察上表，你发现了什么规律？并求出 的值. 解：发现： 的值三个一循环. ， . $