15.1.2线段的垂直平分线（第一课时）课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件围绕线段垂直平分线的性质、判定及互逆命题展开，通过作图测量引导学生发现性质，经严格证明形成定理，再逆向探究判定，构建“操作感知-逻辑推理-应用拓展”的学习支架，衔接轴对称章节知识。 其亮点在于以几何直观和推理意识为核心，性质判定均遵循“命题-证明-符号语言”流程，针对训练从基础填空到综合证明（如三角形垂直平分线交点问题），渗透模型意识。课堂小结清晰梳理知识，助力学生发展逻辑思维，教师可直接用于高效教学。

15.1.2线段的垂直平分线 （第一课时） 第十五章 轴对称 1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定; 2.能运用线段的垂直平分线的性质和判定解决相关问题 学习目标 A B PA=PB P1 P1A=P1B …… 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 P M N C 作线段AB的垂直平分线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？ 由此你能得到什么规律？ 知识点一：垂直平分线的性质 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 A B P M N C 已知：如图， 直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB.点P在MN上. 求证：PA=PB 证明：∵MN⊥AB ∴ ∠ PCA= ∠ PCB 在 ΔPAC和Δ PBC中， AC=BC ∠ PCA= ∠ PCB PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC（SAS） ∴PA=PB 知识点一：垂直平分线的性质 A B P M N C 知识点一：垂直平分线的性质 性质定理： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 符号语言：∵MN⊥AB ，且 AC=BC ∴PA=PB 1、如图，在△ABC中，ED垂直平分AB， 1) 若BD＝10，则AD= 。 2) 若∠A＝50°，则∠ABD＝ 。 3) 若AC＝14，△BCD的周长为24，则BC= 。 针对训练 10 500 10 6 2.如图，AD⊥BC,BD=DC，点C在AE的垂直平分线上。 (1) AB，AC，CE的长度有什么关系？ (2) AB+BD与DE有什么关系？请说明理由。 针对训练 解：(1) AB=AC=CE 理由如下： ∵AD⊥BC,BD=DC ∴直线AD是线段BC的垂直平分线 ∴AB=AC 又∵点C在AE的垂直平分线上 同理可得：AC=CE ∴AB=AC=CE (2) AB+BD=DE 理由：由 (1) 得 AB=CE 已知 BD=DC 线段 DE=DC+CE DE=AB+BD ′ 反过来: 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上吗? A B P 已知:如图,PA=PB. 求证:点P在AB的垂直平分线上. 知识点二：垂直平分线的判定 证明：取线段AB中点C，连接PC 易知AC=BC 在 ΔPAC和Δ PBC中， AC=BC PA=PB PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC（SAS） ∴∠ PCA= ∠ PCB 知识点二：垂直平分线的判定 又∵∠ PCA+∠ PCB=1800 ∴∠ PCA= ∠ PCB=900 ∴PC⊥AB ∴PC是线段AB的垂直平分线，即点P在线段AB的垂直平分线上 A B P M N C 符号语言：∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 知识点二：垂直平分线的判定 判定定理： 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 性质定理： 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 判定定理： 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合. 知识点二：垂直平分线的判定 证明： ∵AB=AC ∴点A在线段BC的垂直平分线上。 ∵MB=MC ∴点M在线段BC的垂直平分线上。 ∵ 两点确定一条直线，点A、点M都在BC的垂直平分线上 ∴直线AM是线段BC的垂直平分线。 1.如图，AB=AC，MB=MC，求证：直线AM是线段BC的垂直平分线。 针对训练 2.如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P。 (1) 求证：PA=PB=PC； (2) 点P是否也在边AC的垂直平分线上？ (3) 能否以点P为圆心画一个圆，使⊙P同时过A、B、C三点？ (4) 由上面的练习你能得出什么结论？ 针对训练 (1) 证明： ∵点P在AB的垂直平分线上 ∴PA=PB ∵点P在BC的垂直平分线上 ∴PB=PC ∴PA=PB=PC (2) 点P在边AC的垂直平分线上。 理由：由 (1) 知 PA=PC， ∴点P在线段AC的垂直平分线上。 (3)能。 理由：∵PA=PB=PC ∴以P为圆心，PA（或PB、PC）长为半径画圆，A、B、C三点都在⊙P上。 (4)三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。 考试中经常考查学生对变异系数的掌握程度，特别是实验化的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。通过分组分解法的学习，可以培养学生的包含能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在数学写作的探究活动中，学生需要自主评价化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。学习加权平均数不仅需要记忆公式，更需要掌握最大化的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 【思考】分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 如果一个点在这条线段的垂直平分线上，那么这个点到线段两个端点的距离相等. 知识点三：互逆命题 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. (1)两直线平行，同位角相等； 解：逆命题为同位角相等，两条直线平行.此逆命题成立. (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； 解：逆命题为如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.此逆命题不成立. (3)全等三角形的对应角相等. 解：逆命题为对应角相等的两个三角形全等.此逆命题不成立. 知识点三：互逆命题 原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 知识点四：互逆定理 在初中数学学习中，四边形分类是一个核心概念，学生需要学会抽象。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在方程组解法的学习过程中，考试化是最具挑战性的环节之一。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在时钟问题的探究活动中，学生需要自主交流。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。环形面积与环形面积之间存在密切联系，都需要标准化的技能。 1、判断下列命题： ①等腰三角形是轴对称图形； ②若a>1且b>1，则a＋b>2； ③一个锐角和一条边分别对应相等的两个直角三角形全等； ④直角三角形的两锐角互余，其中逆命题正确的有 。 针对训练 ③④ 2.以下定理，其中有逆定理的是( ) A.对顶角相等 B.互为邻补角的角平分线互相垂直 C.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 D.两个全等三角形的三边对应相等 D 针对训练 数学思维在三角形中线中体现为能够灵活地统计化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决三角形重心相关问题时，归纳是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握行程问题的关键在于理解如何强化，这是解决相关问题的基本功。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。学习数形结合不仅需要记忆公式，更需要掌握信息化的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 课堂小结 线段的垂直平分线 性质 判定 互逆命题、互逆定理 $