湖南省株洲市第二中学教育集团2023-2024学年高三上学期开学联考数学试题

绝密★启用前 株洲市二中教育集团2024届高三上期开学联考 数学试题 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足z（2﹣i）＝1+4i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，，的夹角为60°，，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知正实数，，满足，则下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面上有一系列点，，…，…，对每个正整数，点位于函数的图像上，以点为圆心的都与轴相切，且与外切.若，且，，的前项之和为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的可导函数满足，若是奇函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题.每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9. 已知，向量，，若，则的值可以为（ ） A. B. C. 3 D. 2 10. 如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点距离地平面50m.最低点距离地平面10m.入口处距离地平面20m.当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点.设，下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为12 B. C. 时，过山车距离地平面40m D. 一个周期内过山车距离地平面低于20m的时间是4s 11. 在中，内角，，的对边分别为，，，，边上的中线，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 的最大值为30° 12. 已知数列满足，，则下列说法正确有（ ） A. B. C. 若，则 D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，则______. 14. 在中，，是线段上一点，若，则实数的值为_________. 15. 若函数在上有且仅有3个零点，则的最小值为______. 16. 已知定义在上函数满足，且为偶函数，当时，，若关于的方程有4个不同实根，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列的前项和为，且，，数列满足，，其中. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若点为边的中点，点，分别在边，上，，.设，的面积为，求的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，. （1）求证：平行四边形矩形； （2）若为侧棱的中点，且点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值. 20. 区教育局准备组织一次安全知识竞赛．某校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，记A＝“性别为男”，B＝“得分超过85分”，且，，． （1）完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否推断该校学生了解安全知识的程度与性别有关？ 性别 了解安全知识的程度 合计 得分不超过85分的人数 得分超过85的人数 男 女 合计 （2）学校准备分别选取参与测试的男生和女生前两名学生代表学校参加区级别的竞赛，已知男生获奖的概率为，女生获奖的概率为，记该校获奖的人数为X，求X的分布列与数学期望． 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 21. 已知是椭圆的左焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，椭圆的离心率为，的面积的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2），为椭圆的左，右顶点，点，当不与，重合时，射线交椭圆于点，直线，交于点，求的最大值. 22. 已知函数， （1）证明：当时，恒成立； （2）若关于方程在内有解，求实数的取值范