暑假结业测03（进阶版）--2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 以碳足迹计算、停车收费、积木延伸等真实情境为载体，通过规律探究（如日历数字、纸杯叠放）、跨学科应用（航天展示箱体积）考查抽象能力、推理意识与模型意识，适合七年级暑假进阶巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|绝对值、整式运算、数字规律|折纸厚度问题考查指数增长推理，碳足迹题培养数据意识| |填空题|5/20|有理数比较、图形规律、回文数|日历框数字规律题发展抽象能力，学号问题融合连续自然数模型| |解答题|5/50|分段计费、空间几何、积木延伸|积木延伸问题深化空间观念与逻辑推理，航天展示箱计算体现模型应用，贴合中考真实情境命题趋势|

暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 暑假结业测 03（进阶版） 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）七年级上册。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．与绝对值等于的数的和等于（     ） A． B．1 C． D．或1 【答案】D 【分析】需注意绝对值等于的数有两个，分两种情况计算和. 【详解】解：∵绝对值等于的数是或， ∴当这个数为时，； 当这个数为时，， ∴所求的和为或. 2．如图是年月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为、、、、），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设框中最小数为，推出其他四个数从小到大依次为，，，，求和得总和，将四个选项数值分别代入总和求出对应的，得出每组五个数中有不在内的就不可能是框架框住的五个数字之和． 【详解】解：设框住的五个数中最小的数为，则其他四个数从小到大依次为，，，， 这五个数字之和为， A、，解得，这五个数分别为，，，，； B、，解得，这五个数分别为，，，，； C、，解得，这五个数分别为，，，，； D、，解得，这五个数分别为，，，，，因为不可能出现在年月份的日历表中，故选D． 3．如图，数学活动课上，老师带领学生们叠放纸杯，研究纸杯的高度与纸杯个数的关系，经过测量，绘制表格如下： 纸杯个数 个 个 个 个 个 … 纸杯高度 … 当叠放个纸杯时，纸杯的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目中的图表，可知每增加一个杯子，高度增加，从而可以得到10个杯子叠在一起的高度． 【详解】解：由图表可得，每增加一个杯子，高度增加（）， 经验证符合题意，则10个杯子叠加时高度（）． 4．把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】C 【分析】根据题意明确第n次对折后的厚度为，根据，求出n的最小整数值即可． 【详解】解：设对折次后整叠纸总厚度为． 由题意得， ． ，，， ， 至少要对折8次． 5．停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算．一辆小汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算停车时间，根据计费标准，解答即可； 【详解】解：∵ 停车费为24元，每小时收费8元， ∴停车时间为：小时. ∵ 半小时内免费，不足1小时按1小时计费， ∴ 实际停车时长满足2小时30分小时30分. A．小时45分，3小时45分小时30分，不符合. B．小时，2小时小时30分，不符合. C．小时20分，2小时30分小时20分小时30分，符合. D． 小时25分，2小时25分小时30分，不符合. 6．根据《联合国气候变化框架公约》的数据可知，平均每人每年排放约二氧化碳，而我国东部沿海发达地区人均年碳排放量介于，中部地区人均年碳排放量相对较低，介于．如表记录了李明家庭某个月的“碳足迹”． 姓名 李明 家庭人数 家庭某月“碳足迹”计算 序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量 1 家庭用电 2 水 3 天然气 … … … … 家庭月耗碳总量 请你判断，李明家人均年碳排放量与中部地区人均年碳排放量的正常范围相比，处于（     ） A．高于正常范围 B．低于正常范围 C．属于正常范围 D．无法确定 【答案】C 【分析】直接使用表格给出的家庭月耗碳总量计算人均年碳排放量，统一单位后与中部地区人均年碳排放范围比较． 【详解】解：李明家人均年碳排放量为 ． ∵ ， ∴ 李明家人均年碳排放量属于中部地区正常范围． 7．若整式，其中为正整数，n为正整数，均为整数，且满足：．若，则下列说法： ①不存在满足条件的单项式M； ②若，满足条件的整式M恰有7个； ③若M为二次三项式，则满足条件的所有M的和为． 其中正确的个数是（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题目条件，对12分解因数，逐个判断三个说法的正误即可，为正整数，所有系数的乘积非零，故所有系数均不为零，按要求分类计数计算即可． 【详解】解：∵，为正整数，为正整数， ∴所有系数都不为，逐个判断： ① 若是单项式，则只有一个非零项，其余系数均为，与所有系数不为矛盾，故不存在满足条件的单项式，①正确； ② 时，所有系数都是正整数，是的正因数，且，按分类计数：当时，，，满足的正整数解共个，整式为，； 当时，， ，满足的正整数解共个，整式为，； 当时， ，满足条件的正整数解共个，整式为； 当时，，，满足条件的正整数解共个，整式为； 当时， ，系数的乘积为，满足条件的正整数解共个； 总和为，故②正确； ③ 若为二次三项式，则， ，得 ， 所有满足条件的分别是：， ， ， ，， ， 求和得总和为，故③错误； 综上，正确的个数为． 8．已知整式，其中、为正整数，，…，，均为整数，若满足，，下列说法：①当整式是二次二项式时，关于的方程（为常数）有两个不同的实数根，则的取值范围为；②当时，满足条件的所有整式和为；③当时，满足条件的整式共有6个．其中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】分别对三个说法逐一验证，①根据二次二项式定义确定M，用一元二次方程根的判别式判断k的范围；②n=3时列举所有符合条件的整式，求和后验证；③分n的不同取值，枚举满足 的整式，统计个数验证． 【详解】解： 验证①：∵整式是二次二项式， ∴，代入 得， 又∵ ，且均为整数，可得所有整数组合为 ， ∵是二次二项式，仅两项非零， ∴只有 符合，即，方程整理为 ，方程有两个不同实根，则 ，解得，与①中不符，故①错误． 验证②：当时，代入条件得， 又∵ ， 枚举得所有符合条件的整式为： ， ， ， ， ， 求和得： ，故②正确． 验证③：当 时，由条件得中间系数和 ，分情况讨论：： ，无符合条件的整式； ：得，符合条件的整式共2个； ：得，符合条件的整式共3个； ：得 ，符合条件的整式共1个； ：最小总系数和超过6，无符合条件的整式； 综上，满足条件的整式共个，故③正确． 综上，正确的说法共2个． 9．已知整数，，，，，满足下列条件：，，，，，．以此类推，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算前几项总结出偶数项的运算规律，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ．．． 总结规律，当为偶数时，设，则 ∵为偶数，，得 ∴ 10．已知整式M：，其中n，，，…，，为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（   ） ①若，则多项式M可以为二次三项式： ②若，满足条件的所有整式M的和为； ③若，满足条件的整式M共有10个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查整式的概念，正整数的分类分解，熟练掌握相关概念并不遗漏不重复地列举所有情况是解题的关键． 需根据系数为正整数且由小到大排列，乘积为A的条件，分类列举所有符合条件的系数组合，逐一验证每个说法． 【详解】解： ①若，二次三项式对应3个系数，满足， 由于，则对应整式是二次三项式， 故①符合题意； ②若，列举所有符合条件的整式， 有2个系数（一次二项式）时，满足条件的整式为，，； 有3个系数（二次三项式）时，满足条件的整式为，； 所有整式的和为 故②不符合题意； ③若，列举所有符合条件的整式， 有2个系数时，满足条件的整式为，，，，共4个； 有3个系数时，满足条件的整式为，，，，共4个； 有4个系数时，满足条件的整式为，仅1个； 总计个，与“10个”不符， 故③不符合题意； 综上，正确的说法只有1个． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知a，b为有理数，，，且，将a，，b，从小到大排列，用“”连接：___________ 【答案】 【分析】先区分四个数的正负，再根据绝对值比较同号数的大小，结合负数小于所有正数得到排序结果． 【详解】解：由题意得，，， 因此可得，， 比较两个负数：， 因此， 比较两个正数：， 因此， 综上所述，． 12．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…，依次规律，拼搭第6个图案需小木棒______根． 【答案】54 【分析】由题意，分别求出前面几个的小木棒数量，然后得到数量的规律，再求出第6个图形的数量即可． 【详解】解：根据题意可知： 第1个图案需4根小木棒，， 第2个图案需10根小木棒，， 第3个图案需18根小木棒，， ……， 第n个图案需根小木棒， 则第6个图案需：（根）． 13．某学生将某数乘以时漏了一个负号，所得结果比正确结果小0.25，则正确结果是_______． 【答案】 【分析】设某数为a，先根据所得结果比正确结果小0.25列出方程求出a，再乘以计算即可得解． 【详解】解：设某数为a， 根据题意，得：， 解得， 所以，正确结果为． 14．一行数从左到右，一共2026个，任意相邻三个数的和都是116，第19个数是15，第29个数是，第2025个数是，则________． 【答案】 【分析】根据任意相邻三个数的和相等，推出位置序号除以3余数相同的数相等，计算各已知数对应位置的余数，得到三类位置对应的数，再根据三个数的和为列方程求解． 【详解】解：∵任意相邻三个数的和都是， ∴第个数和第个数相等，即位置序号除以3余数相同的数相等； ∵， ∴第个数是余数为1的位置上的数，即余数为1的位置的数为； ∵， ∴第个数是余数为2的位置上的数，即余数为2的位置的数为； ∵， ∴第个数是能被3整除的位置上的数，即该类位置的数为； ∵相邻三个数的和为， ∴， 解得． 15．小红的学号是一个八位数，它的前四位数字相同，后五位数字是连续的自然数．学号的数字之和比它的最后两位数大9，那么小红的学号是________． 【答案】 【分析】设前四位数字均为，分后五位连续递增、连续递减两种情况讨论，根据数字和比最后两位数大列方程求解，舍去不符合条件的解. 【详解】解：设前四位数字都为，且为整数， ∵学号是八位数，共个数字，题目给出前四位个数字、后五位个数字，说明后五位的第一位与前四位的末位重叠， 分两种情况讨论： 1. 若后五位是连续递增的自然数，则后五位数字依次为， 所有数字之和为 ， 最后两位数是十位为、个位为，即 ， 根据题意得 ， 解得 ，不符合数字取值要求，舍去； 2. 若后五位是连续递减的自然数，则后五位数字依次为， 所有数字之和为 ， 最后两位数是十位为、个位为，即 ， 根据题意得 .解得 ，符合所有条件， 因此小红的学号是， 验证得：数字和为，最后两位数为，，符合题意. 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． (1)小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 【答案】(1)元 (2)元 (3)吨 【分析】（1）根据收费的三个区间分界点，结合缴费的计算求解即可； （2）根据用水量，结合第二阶段收费的计算求解即可； （3）根据缴费情况，判定用水量，即可求解． 【详解】（1）解：吨吨， 按第一档计费：（元）； 答：小明家月份用水吨，应缴水费元； （2）解：吨吨吨， 分两档计费：吨费用：（元） ， 超出吨的部分：（吨），费用（元）， 总水费：（元）； 答：月份用了吨水，应缴水费元； （3）解：吨总水费元， 吨总水费： （元） ， ， 用水量在吨之间， 超出吨的费用：（元） ，超出吨的水量：（吨）， 总用水量：（吨）． 答：她家月份用水吨． 17．某科技馆计划举办科技活动月和中小学生科技节活动，主办方想在展厅中央矗立一个巨型“航天育种成果”主题展示箱．它是一个长6米、宽4米、高3米的长方体，框架用金属条搭建而成，表面贴上航天育种作物的透明幕布，箱内搭建了体积为30立方米的模型景观．请解决以下问题： (1)搭建这个展示箱的框架，至少需要金属条多少米？（焊接处忽略不计） (2)给展示箱的表面贴上透明幕布（底面不贴），至少需要幕布多少平方米？（接头处忽略不计） (3)展示箱内剩余空间的体积是多少立方米？（展示箱的厚度忽略不计） 【答案】(1)52米 (2)84平方米 (3)42立方米 【分析】（1）计算长方体棱长的和即可； （2）利用长方体表面积计算公式计算即可； （3）利用长方体体积公式计算其体积，再减去30即可． 【详解】（1）解： ， （米）， 答：至少需要金属条52米； （2）解：， ， ， ， （平方米）， 答：至少需要幕布84平方米； （3）解：， ， ， （立方米）， 答：展示箱内剩余空间的体积是42立方米． 18．这些骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个圆点，从中任取两个抛到桌面上，两个向上的点子数加起来，可能会得到多少种不同的数值呢？ 【答案】 【分析】由题意可知，此题我们可以运用列举的方法，将个数字进行任意个组合，算出不同的和；然后数出不同的和的个数即可，据此解答． 【详解】解：两个骰子抛到桌面上出现的结果如下： 、、、、、； 、、、、、； 、、、、、； 、、、、、； 、、、、、； 、、、、、； 两个向上的点子数加起来，和可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12． 答： 两个向上的点子数加起来，可能会得到种不同的数值． 19．阅读下列材料，然后回答问题：若一个正整数，从左到右读各数位上的数字与从右到左读各数位上的数字完全相同，则称这个正整数为“回文数”（例如：、、、、等都是回文数）．对于一个三位“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字，得到三个新的数字、、，我们对规定一种运算：．例如：是一个三位“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字依次是：、、，则． (1)记最大、最小的三位“回文数”分别为、． ①直接写出、的值： ， ； ②分别计算、的值； (2)一个三位的“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字依次为：、、，若，求出的所有值． 【答案】(1)①， ②， (2)、 【分析】（1）①根据“回文数”的规律，写出符合要求的、即可； ②根据要求把各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、，再根据规律计算即可；把各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、，再根据规律计算即可； （2）因为，当时，即该数字各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、，根据乘法法则可知的各个数位上的数字依次是：、、； 当时，即该数字各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、，则这个“回文数”各个数位上的数字依次是：、、． 【详解】（1）①解：最大的三位“回文数”是， 最小的三位“回文数”是； ②解：把各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、， ； 把各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、， ； （2）解：， 当时，即该数字各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、， 则这个“回文数”各个数位上的数字依次是：、、， ； 当时，即该数字各个数位上的数字分别乘后，其积的个位数字依次是：、、， 则这个“回文数”各个数位上的数字依次是：、、， ， 综上所述，的值有、． 20．取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题． (1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示） 【答案】(1)； (2)； (3)积木①②组合的最远延伸长度是；积木①②③组合的最远延伸长度是 【分析】（1）根据题干性质求解即可； （2）根据题干性质求解即可； （3）根据题干性质求解即可． 【详解】（1）解：均匀积木重心在中点，上层积木最多能超出下层；多层依次外伸时，第1块相对第2块最多伸，第2块相对第3块最多伸，第3块相对第4块最多伸，…，第n块相对下一块最多伸； 只推积木①至最远：①相对②最多延伸； 再固定①②推②：①②总质量为，②相对③最多延伸， 再叠加①相对②的，总延伸； 再固定①②②推③：①②②总质量为，相对④最多延伸， 总延伸； 故答案为：；； （2）解：固定①，推②至最远：②相对③最多伸，①跟着②一起外伸，总延伸； 固定①②相对位置，三块①②③放在④上，推③至最远， 设③相对④向右伸出，支撑边界为④的右端， 各块重心坐标（以④右端为，向右为正）： ① ②同①，为， ③， 三块总重心等于（临界平衡）： ， 解得 总延伸长度（最右端超出④的总长） ． （3）解：1．积木①先延伸 (相对②超出)，再固定①②推②： 设②相对③最远可伸， 由题意得，解得， 所以①②组合总延伸：； 2．再固定①②推③：①②②总质量为，③相对下层最远可伸， 总延伸：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 暑假结业测 03（进阶版） 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）七年级上册。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．与绝对值等于的数的和等于（     ） A． B．1 C． D．或1 2．如图是年月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为、、、、），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A． B． C． D． 3．如图，数学活动课上，老师带领学生们叠放纸杯，研究纸杯的高度与纸杯个数的关系，经过测量，绘制表格如下： 纸杯个数 个 个 个 个 个 … 纸杯高度 … 当叠放个纸杯时，纸杯的高度为（     ） A． B． C． D． 4．把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 5．停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算．一辆小汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（     ） A． B． C． D． 6．根据《联合国气候变化框架公约》的数据可知，平均每人每年排放约二氧化碳，而我国东部沿海发达地区人均年碳排放量介于，中部地区人均年碳排放量相对较低，介于．如表记录了李明家庭某个月的“碳足迹”． 姓名 李明 家庭人数 家庭某月“碳足迹”计算 序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量 1 家庭用电 2 水 3 天然气 … … … … 家庭月耗碳总量 请你判断，李明家人均年碳排放量与中部地区人均年碳排放量的正常范围相比，处于（     ） A．高于正常范围 B．低于正常范围 C．属于正常范围 D．无法确定 7．若整式，其中为正整数，n为正整数，均为整数，且满足：．若，则下列说法： ①不存在满足条件的单项式M； ②若，满足条件的整式M恰有7个； ③若M为二次三项式，则满足条件的所有M的和为． 其中正确的个数是（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知整式，其中、为正整数，，…，，均为整数，若满足，，下列说法：①当整式是二次二项式时，关于的方程（为常数）有两个不同的实数根，则的取值范围为；②当时，满足条件的所有整式和为；③当时，满足条件的整式共有6个．其中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 9．已知整数，，，，，满足下列条件：，，，，，．以此类推，的值为（    ） A． B． C． D． 10．已知整式M：，其中n，，，…，，为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（   ） ①若，则多项式M可以为二次三项式： ②若，满足条件的所有整式M的和为； ③若，满足条件的整式M共有10个． A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知a，b为有理数，，，且，将a，，b，从小到大排列，用“”连接：___________ 12．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…，依次规律，拼搭第6个图案需小木棒______根． 13．某学生将某数乘以时漏了一个负号，所得结果比正确结果小0.25，则正确结果是_______． 14．一行数从左到右，一共2026个，任意相邻三个数的和都是116，第19个数是15，第29个数是，第2025个数是，则________． 15．小红的学号是一个八位数，它的前四位数字相同，后五位数字是连续的自然数．学号的数字之和比它的最后两位数大9，那么小红的学号是________． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． (1)小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 17．某科技馆计划举办科技活动月和中小学生科技节活动，主办方想在展厅中央矗立一个巨型“航天育种成果”主题展示箱．它是一个长6米、宽4米、高3米的长方体，框架用金属条搭建而成，表面贴上航天育种作物的透明幕布，箱内搭建了体积为30立方米的模型景观．请解决以下问题： (1)搭建这个展示箱的框架，至少需要金属条多少米？（焊接处忽略不计） (2)给展示箱的表面贴上透明幕布（底面不贴），至少需要幕布多少平方米？（接头处忽略不计） (3)展示箱内剩余空间的体积是多少立方米？（展示箱的厚度忽略不计） 18．这些骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个圆点，从中任取两个抛到桌面上，两个向上的点子数加起来，可能会得到多少种不同的数值呢？ 19．阅读下列材料，然后回答问题：若一个正整数，从左到右读各数位上的数字与从右到左读各数位上的数字完全相同，则称这个正整数为“回文数”（例如：、、、、等都是回文数）．对于一个三位“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字，得到三个新的数字、、，我们对规定一种运算：．例如：是一个三位“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字依次是：、、，则． (1)记最大、最小的三位“回文数”分别为、． ①直接写出、的值： ， ； ②分别计算、的值； (2)一个三位的“回文数”，将的各个数位上的数字分别乘后，取其积的个位数字依次为：、、，若，求出的所有值． 20．取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题． (1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $