13.2 与三角形有关的线段课时练习2026-2027学年人教版八年级上册数学

**基本信息** 该练习围绕三角形线段核心知识，通过基础、提升、综合三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三角形三边关系、稳定性、中线/角平分线/高的识别|选择1-5、填空9-12，直接考查概念辨析与简单计算，强化基础认知| |提升层|面积计算、坐标几何中的三角形性质|选择6-8，结合图形与代数，渗透数形结合思想，提升应用能力| |综合层|全等证明、中线倍长法、拓展延伸|解答17-18，通过多问探究（如“初步探索-灵活运用-拓展延伸”），培养逻辑推理与创新意识|

13.2 与三角形有关的线段 课时练习 一、单选题 1．一个三角形的两边长分别是和，则第三边长可能是（      ） A． B． C． D． 2．下列图形中，不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是边上的中线，是的中点，若的面积为，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 4．小明准备了4组如图所示长度的木棒，每组3根，其中能组成三角形的一组是（　　　） A． B． C． D． 5．能围成三角形的一组线段是（   ）．（单位：厘米） A．1，1，2 B．3，3，4 C．1，2，3 D．4，3，1 6．如图，中，，点、分别是、上的点，，，连接、交于点，当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．已知点，点，点是平面直角坐标系内一点，当最大时，点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示， 在中， 已知点D， E， F分别是的中点，且 则的值为（  ） A．15 B．16 C．17 D．18 二、填空题 9．如图是张老师自制的教具模型图，利用教具她验证了连接平行四边形相邻两边上的两点后，此时图形的形状是无法改变的，她用到了三角形“ ”的性质． 10．已知三角形的三边长分别是，，，且为奇数，则 ． 11．三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为 12．已知a、b是的两边，且满足，则的形状是 ． 三、解答题 13．如图，在中，与相交于点F，试指出分别是哪两个三角形的角平分线？分别是哪两个三角形的中线？是哪些三角形的高？ 14．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC三个顶点的坐标分别为．A(2，4)，B(1，1)，C(5，2)． （1）以点B为位似中心，在网格内画出ABC的位似A1BC1，使得A1BC1与ABC的位似比为2； （2）求出ABC和A1BC1的面积． 15．（1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值．    16．如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： (1)； (2)； (3)； (4)若，则______，______． 17．如图，中，，，，，是边上的高 ．求的长．    18．【初步探索】 （1）如图1，是的中线，探究与的大小关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长至点E，使，连接，先证明，可得出结论，他的结论应是__________ 【灵活运用】 （2）如图2，是的中线，E、F分别在上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，为的角平分线，直线于点A，点E为上一点（与点A不重合），周长记为a，周长记为b，比较a与b的数量关系并证明．    答案 一、单选题 1．一个三角形的两边长分别是和，则第三边长可能是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三边长的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，第三边长， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选：B． 2．下列图形中，不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的稳定性，利用三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，逐一分析判定即可． 【详解】A．三角形具有稳定性，该选项不符合题意； B．对角线把四边形分成2个三角形，具有稳定性，该选项不符合题意； C． 对角线把六边形分成2个四边形，四边形不具有稳定性，该选项符合题意； D．图中由3个三角形构成，具有稳定性，该选项不符合题意； 故选：C． 3．如图，在中，是边上的中线，是的中点，若的面积为，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形中线的性质，利用中线等分三角形的面积进行求解即可，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是的中点， ∴， 故选：． 4．小明准备了4组如图所示长度的木棒，每组3根，其中能组成三角形的一组是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，逐项分析解题． 【详解】解：A.不能组成三角形，故A错误； B. 不能组成三角形，故B错误； C. 能组成三角形，故C正确； D. 不能组成三角形，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形三边关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5．能围成三角形的一组线段是（   ）．（单位：厘米） A．1，1，2 B．3，3，4 C．1，2，3 D．4，3，1 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握任意两边之和必须大于第三边是解题的关键．根据任意两边之和必须大于第三边，逐一选项判断是否符合． 【详解】A、，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形； B、，，满足条件，可以构成三角形； C、，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形； D、，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形。 故选B． 6．如图，中，，点、分别是、上的点，，，连接、交于点，当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三元一次方程组的应用，过点作于点，连接，根据题意得出，，，设，，，建立方程组，解方程组，进而根据垂线段最短，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， 设，，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， 联立， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小为． 故选：D． 7．已知点，点，点是平面直角坐标系内一点，当最大时，点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用待定系数法求出直线的解析式，再根据三角形的三边关系得到当在一条直线上，且在的左侧或在的右侧时，最大，逐项分析各个点即可得到答案． 【详解】解：设直线的解析式为：， 将点，点代入得， ， 解得：， 直线的解析式为：， 当不共线时，根据三角形的三边关系可得：， 当在一条直线上，且在的左侧或在的右侧时，最大， 当时，， 在直线上，但在的中间，不符合题意， 当时，， 在直线上，但在的中间，不符合题意， 当时，， 在直线上，且在的左侧，符合题意， 当时，， 不在直线上，不符合题， 当最大时，点的坐标可以是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的三边关系，解题的关键是得到当在一条直线上，且在的左侧或在的右侧时，最大． 8．如图所示， 在中， 已知点D， E， F分别是的中点，且 则的值为（  ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积、三角形中线的性质等知识点，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． 根据三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形可得平方厘米，平方厘米，进而得到即可解答． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴平方厘米， ∵E是的中点， ∴平方厘米，平方厘米， ∴平方厘米， ∵F是的中点， ∴平方厘米． 故选：B． 二、填空题 9．如图是张老师自制的教具模型图，利用教具她验证了连接平行四边形相邻两边上的两点后，此时图形的形状是无法改变的，她用到了三角形“ ”的性质． 【答案】具有稳定性 【分析】本题考查三角形具有稳定性的性质，根据三角形具有稳定性的性质，即可解答． 【详解】解：根据三角形具有稳定性，可知，她用到了三角形具有稳定性的性质． 故答案为：稳定性． 10．已知三角形的三边长分别是，，，且为奇数，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再根据x为奇数进行取值． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是，，， ∴，即， ∵x为奇数， ∴． 故答案为：5 11．三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为 【答案】 【分析】根据三个数在数轴上的位置得到，再根据三角形的三边关系得到，求解不等式组即可． 【详解】解：∵3，在数轴上从左到右依次排列， ∴，解得， ∵这三个数为边长能构成三角形， ∴，解得， 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键． 12．已知a、b是的两边，且满足，则的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【分析】依据题意，由得，再进行适当变形得，结合三角形两边之和大于第三边，有，从而可以得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 三、解答题 13．如图，在中，与相交于点F，试指出分别是哪两个三角形的角平分线？分别是哪两个三角形的中线？是哪些三角形的高？ 【答案】分别是的角平分线．分别是的中线．是的高． 【分析】此题考查三角形的角平分线、高和中线的定义，关键是理解三角形的高、角平分线和中线的定义解答．利用三角形的高、角平分线和中线的定义解答即可． 【详解】解：由可知， 分别是的角平分线； 由可知， 分别是的中线； 由可知， 是的高． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC三个顶点的坐标分别为．A(2，4)，B(1，1)，C(5，2)． （1）以点B为位似中心，在网格内画出ABC的位似A1BC1，使得A1BC1与ABC的位似比为2； （2）求出ABC和A1BC1的面积． 【答案】（1）△A1BC1为所求ABC的位似图形；图形见祥解;（2）；22． 【分析】（1）根据以点B为位似中心，A1BC1与ABC的位似比为2，可得A1B=2AB，C1B=2CB，根据A(2，4)，B(1，1)，C(5，2)，求出点A1（3，7），点C1（9，3），描点A1，C1，连接BA1、BC1，则△A1BC1为所求ABC的位似图形； （2）补成矩形利用矩形面积减去3个三角形面积S△ABC=S矩形BGFE-S△BGC-S△CFA-S△BEA，，代入数据计算即可． 【详解】解：（1）∵以点B为位似中心，A1BC1与ABC的位似比为2， ∴A1B=2AB，C1B=2CB， ∵A(2，4)，B(1，1)，C(5，2)， 设A1（x1，y1），点C1（m1，n1）， ∴x1-1=2（2-1），y1-1=2(4-1)，m1-1=2(5-1)，n1-1=2(2-1)， ∴x1=3，y1=7，m1=9，n1=3， 点A1（3，7），点C1（9，3）， 描点A1，C1，连接BA1、BC1， 则△A1BC1为所求ABC的位似图形； （2）如图补成长方形BGFE，与矩形BHNM， ∴S△ABC=S矩形BGFE-S△BGC-S△CFA-S△BEA， =， =， =； ， =， =， =22． 【点睛】本题考查位似三角形的图形画法，求对应点坐标，描点画图，利用割补法求三角形面积，掌握位似三角形的图形画法，求对应点坐标，描点画图，利用割补法求三角形面积是解题关键． 15．（1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值．    【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）证明，则； （2）证明，则，，证明，则，， 由，可得，即； （3）如图,过点C作，在上取点E使，连接．由（2）知：，则，，由勾股定理得，，则，即最大值为，进而可求的最大值． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴，即； （3）解：如图,过点C作，在上取点E使，连接．    由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识．熟练掌握了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 16．如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： (1)； (2)； (3)； (4)若，则______，______． 【答案】(1)， (2)， (3) (4)， 【分析】此题考查了三角形的中线、角平分线、高，用到的知识点是三角形的中线、角平分线、高的定义和面积公式， （1）根据三角形中线的性质即可得出答案； （2）根据三角形角平分线的性质即可得出答案； （3）根据三角形高的定义与性质即可得出答案； （4）根据三角形的面积公式及三角形中线的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：是的中线， ， 故答案为：，； （2）解：是中的角平分线， ， 故答案为：，； （3）解：是中边的高， ， ， 故答案为：； （4）解：，， ， 是的中线， ， 故答案为：，． 17．如图，中，，，，，是边上的高 ．求的长．    【答案】 【分析】本题考查了直角三角形面积计算公式的应用，掌握直角三角形面积的等于两条直角边的乘积的一半是解答此题的关键．在直角三角形中，两条直角边、斜边、斜边上的高四个量中，已知其中的三个，求第四个时，一般根据面积法进行求解，即根据直角三角形面积的两种计算方法：两直角边乘积的一半等于斜边与斜边上的高的乘积的一半． 本题中已知两条直角边的长度，根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半，即可得到的面积；接下来结合直角三角形的面积也等于斜边与斜边上的高的积的一半，进行计算即可． 【详解】解： ， 是边上的高 ∴ ，，， 解得 18．【初步探索】 （1）如图1，是的中线，探究与的大小关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长至点E，使，连接，先证明，可得出结论，他的结论应是__________ 【灵活运用】 （2）如图2，是的中线，E、F分别在上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，为的角平分线，直线于点A，点E为上一点（与点A不重合），周长记为a，周长记为b，比较a与b的数量关系并证明．    【答案】（1），详见解析 （2）详见解析 （3），详见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可； （2）延长至G，使得，连接，根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可； （3）分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）延长至点E，使，连接，    在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）延长至G，使得，连接    在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中 ∴， ∴， 在中，两边之和大于第三边，   ∴ 又∵， ∴ （3）①点E在点A右侧时 延长到F，使，连接，   ， 在和中， ， ∴， ∴ ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴ 即 ②点E在点A左侧时，延长到F，使，连接，   ， 在和中， ， ∴， ∴ ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴ 即 综上， 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $