第08讲 简单几何体单元复习+小测（核心知识+7易错辨析+9典例精讲）-2026-2027学年高二数学重难点复习讲义（沪教版必修第三册）

本讲义系统梳理简单几何体单元核心知识，从多面体（柱、锥、台）与旋转体（圆柱、圆锥、球）的定义及特征入手，逐步延伸至柱体、锥体、球的体积表面积公式，再到组合体的内外接球模型与拼接问题，构建完整知识支架。 资料亮点在于7个易错辨析精准破解体积公式混淆、表面积漏算底面等常见问题，9类题型结合上海期中期末真题设计典例与变式，通过“公式口诀+空间模型分析”培养学生空间观念与推理能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生针对性查漏补缺。

第08讲 简单几何体单元复习+小测 （核心知识+7易错辨析+9典例精讲） 【题型一】棱柱与圆柱 【题型六】球的体积与表面积 【题型二】棱锥与圆锥 【题型七】多面体与球体内切外接问题 【题型三】柱体的体积和表面积 【题型八】求组合多面体、组合旋转体的表面积 【题型四】锥体的体积和表面积 【题型九】求组合体、旋转体的体积 【题型五】多面体与旋转体 【知识点01】简单几何体分类 1. 多面体 由若干个平面多边形围成的封闭几何体，无曲面，所有棱、顶点均由平面相交形成，核心分为柱体、锥体、台体三类。 核心特征：面为平面、棱为直线、顶点为棱的交点。 2. 旋转体 由平面图形绕定直线（旋转轴）旋转一周形成的封闭几何体，含曲面结构。常见类型：圆柱、圆锥、圆台、球。 特殊说明：球是唯一纯曲面旋转体，无平面、无棱、无顶点。 【知识点02】柱体（棱柱、圆柱）公式与性质 1. 棱柱（直棱柱为主考点） 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行的多面体。 设底面积为，高为，底面周长为： 体积公式： 直棱柱侧面积： 表面积公式： 2. 圆柱 矩形绕一边旋转一周形成的旋转体，设底面半径，高： 体积： 侧面积： 表面积： 【知识点03】锥体（棱锥、圆锥）公式与性质 1. 棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的多面体。设底面积𝑆，高ℎ： 体积公式：𝑉=13𝑆ℎ 正棱锥侧面积：底面周长×斜高÷2，表面积为侧面积加底面积。 2. 圆锥 直角三角形绕直角边旋转一周形成的旋转体，设底面半径𝑟，高ℎ，母线长𝑙（𝑙=𝑟2+ℎ2）： 体积：𝑉=13𝜋𝑟2ℎ 侧面积：𝑆侧=𝜋𝑟𝑙 表面积：𝑆表=𝜋𝑟𝑙+𝜋𝑟2 【知识点04】球的核心公式与截面性质 设球半径为𝑅： 表面积：𝑆=4𝜋𝑅2 体积：𝑉=43𝜋𝑅3 截面核心关系：球心距𝑑、截面圆半径𝑟、球半径𝑅满足 𝑟2+𝑑2=𝑅2 球面距离：球心角𝛼（弧度制），𝑙=𝛼𝑅 【知识点05】组合体核心模型 1. 外接球模型 几何体所有顶点在球面上，球心到各顶点距离为𝑅。长方体/正方体外接球直径等于体对角线长。 2. 内切球模型 球与几何体各面相切，球心到各面距离为𝑟。通用求半径公式（等体积法）：𝑉=13𝑆表⋅𝑟 3. 拼接组合体 体积直接相加；表面积需扣除拼接重合遮挡面，避免重复计算。 易错点1：柱体、锥体体积公式混淆 误区：忘记锥体体积的系数，将圆锥、棱锥体积等同于柱体。 正解：柱体体积，锥体体积，系数固定不可遗漏。 易错点2：圆柱、圆锥表面积漏算/多算底面 误区：旋转体侧面积包含底面，或表面积遗漏底面圆面积。 正解：侧面积仅算曲面部分，表面积=侧面积+底面面积（圆柱双底面、圆锥单底面）。 易错点3：混淆多面体与旋转体概念 误区：认为棱锥是旋转体、球是多面体。 正解：所有带棱、平面拼接的为多面体；含曲面、旋转形成的为旋转体，二者无交集。 易错点4：球截面公式三边关系颠倒 误区：误写。 正解：球半径为斜边，恒满足。 易错点5：组合体表面积计算不扣重合面 误区：直接累加两个几何体表面积。 正解：拼接重合面被遮挡，需扣除重合面积（双向遮挡只扣一次外表面）。 易错点6：球面距离与弦长混用、角度制不转换 误区：直线距离当作球面距离，角度制直接代入弧长公式。 正解：球面距离为大圆劣弧长，公式仅适用弧度制。 易错点7：内外接球判定混乱 误区：外接球看面距，内切球看顶点距。 正解：外接球定顶点、内切球定切面。 【题型一】棱柱与圆柱 【典例1-1】下列对于圆柱的各判断中正确的是（    ） A．有两个互相平行的底面的旋转体是圆柱 B．经过圆柱的轴的截面仅有一个 C．将矩形（及其内部）绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做圆柱 D．一个圆柱仅有一条轴也仅有一条母线 【变式1-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）下列命题是假命题的个数是：（   ） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； （2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； （3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-2】（24-25高二上·上海徐汇·期末）已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是________． 【变式1-3】（24-25高二上·上海黄浦·阶段检测）如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积为，. (1)由点拉一根细绳绕圆柱侧面到达，求绳长的最小值. (2)求异面直线与所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） 【题型二】棱锥与圆锥 【典例2-1】有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式2-1】（24-25高三上·上海·阶段检测）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且，，则该四棱锥的高是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期中）若三棱锥每个面都是边长为2的等边三角形，为的中点．则到的距离为________． 【变式2-3】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，圆台的上底面半径为1cm，求圆台的高． 【题型三】柱体的体积和表面积 【典例3-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）以边长为3的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为______. 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）已知长方体的三个不同表面的面积分别为，，，则长方体的对角线长为___________. 【变式3-2】（24-25高二上·上海·课前预习）下图中三个几何体的体积是否相等？为什么？三个几何体的体积为多少？    【变式3-3】如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知，. (1)求圆柱的体积； (2)求证： 【题型四】锥体的体积和表面积 【典例4-1】已知圆锥的侧面面积为，底面面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·上海·期末）若圆锥的底面半径为1，侧面的平面展开图的面积为，则该圆锥的体积为__________. 【变式4-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）在正方体中，棱长为2，则三棱锥的表面积为___________ 【变式4-3】（25-26高三下·上海·阶段检测）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面， ，，，点为的中点． (1)求异面直线与直线所成角． (2)点是线段上一个动点，求三棱锥的体积； 【题型五】多面体与旋转体 【典例5-1】下列几何体中，多面体是（  ） A． B． C． D． 【变式5-1】若圆锥的底面半径为，高为，则圆锥内接立方体的棱长为（    ）． A． B． C． D． 【变式5-2】“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥得到一个阿基米德多面体，则该阿基米德多面体的棱有______条. 【变式5-3】如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面.在正四棱锥内放有一个圆柱，使圆柱的下底面在正四棱锥的底面上，圆柱的上底面与正四棱锥的四个侧面相切.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的底面半径为__________. 【题型六】球的体积与表面积 【典例6-1】（24-25高二·上海·课堂例题）若球的表面积是原来的4倍，则球的体积为原来的（    ） A．倍 B．8倍 C．9倍 D．27倍 【变式6-1】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（    ）    A．24－3π B．24－π C．24＋π D．24＋5π 【变式6-2】（24-25高二上·上海长宁·期末）在三棱锥中，平面，，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且，则球O的表面积为______. 【变式6-3】（1）已知球的直径为，求它的表面积和体积； （2）已知球的体积为，求它的表面积； （3）若三个球的表面积之比为，求这三个球的体积之比. 【题型七】多面体与球体内切外接问题 【典例7-1】在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025高二上·上海·专题练习）已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则底面面积和圆锥侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知正四面体中，是棱上一点，过作平面，满足，，若、到平面的距离分别是3和9，则正四面体的外接球被平面截得的截面面积为______． 【变式7-3】如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的三边长分别为，，． (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积． 【题型八】求组合多面体、组合旋转体的表面积 【典例8-1】如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为________. 【变式8-1】某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的（如图），若被截正方体的棱长是6dm，那么该几何体的表面积是______． 【变式8-2】一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积． 【变式8-3】在如图的多面体中，已知为矩形，和为全等的等腰梯形，，． (1)求此多面体的表面积； (2)求此多面体的体积． 【题型九】求组合体、旋转体的体积 【典例9-1】把由曲线和围成的图形，绕轴旋转，所得旋转体的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（    ）    A． B．864 C．576 D． 【变式9-2】（25-26高二上·上海·期中）边长为2的正方形ABCD绕边BC旋转一周形成一个几何体，则该几何体的体积为____________. 【变式9-3】如图所示，在中，，，.在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC、AB分别相切于点C、M，与AC交于N），求图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得的几何体体积. 1. 几何体分类核心 平面围成多面体（柱、锥、台），旋转成型旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）；球为纯曲面特殊旋转体。 2. 公式核心记忆口诀 柱体体积底乘高，锥体三分底乘高； 柱侧周长乘高算，锥侧母线半径积； 球表四派R方，球体三分四派R立方； 截面勾股定半径，球面弧长用弧度。 3. 组合体解题核心 外接球找体对角线，内切球用等体积法；体积直接叠加，表面积必扣重合遮挡面。 4. 考场避错总结 紧抓锥体系数、区分侧面积与表面积、分清几何体类型、规范球面距离计算、规避组合体面积重复计算问题。 一、填空题 1．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知正三棱锥底面边长为1，侧棱长为2，将其绕着它的某一条侧棱所在直线旋转一周所得的几何体的体积为_______________. 2．（25-26高二上·上海宝山·阶段检测）已知用一个通过圆锥的轴的平面去截一个圆锥，得到的截面是面积为的正三角形.则此圆锥内切球的半径为______. 3．（24-25高二上·上海·阶段检测）正方体的棱长为x，点M是棱的中点，过三点作正方体的截面，则该截面的面积为___________. 4．（25-26高二上·上海·期中）如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上），若正方体的棱长为2，则半球的体积为____________. 5．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，O为坐标原点，A在x轴上，，，，若及其内部绕y轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为______．    6．（25-26高二上·上海·期末）如图所示，为梯形，，，现在将这个图形绕着直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的体积是________. 7．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为______.    8．（2025高二上·上海·专题练习）如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3 m，圆柱高0.6 m.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么给1 000个这样的浮标涂防水漆需要涂料________kg.(π取3.14) 9．（25-26高二上·上海松江·期末）如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是________．    10．（25-26高二上·上海普陀·期中）下列命题中，是真命题的是_____.（请填上所有正确命题的序号） ①底面是矩形的平行六面体是长方体 ②正四面体的高为其棱长的倍 ③用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形 ④过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 11．某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由：一个实心圆柱体和一个实心半球体组成，要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3：2，工艺品的体积为．现设圆柱的底面半径为，工艺品的表面积为，半球与圆柱的接触面积忽略不计．试写出关于的函数关系式及的取值范围________． 12．（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）已知正三棱锥中，底面边长为1，侧棱长为2，点、分别为侧棱、上的点，当三角形的周长最小时，三棱锥的体积为______. 二、单选题 13．（24-25高二·上海·随堂练习）下列说法中正确的是（    ）． A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 14．如图，草垛（上半部分是圆锥，下半部分是圆柱）可以由某个图形绕轴（直线）旋转而成，这个图形可以是（    ） A． B． C． D． 15．（2025高二上·上海·专题练习）已知球的半径与圆锥的底面半径相等，且它们的表面积相等，则圆锥与球的体积之比是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·上海·阶段检测）“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响.书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（    ）平方尺． A． B． C． D． 三、解答题 17．（25-26高二上·上海·期中）某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为30cm，圆锥的母线长为20cm.现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（，结果精确到1元） 18．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，直三棱柱内接于等高的圆柱中，已知，为的中点，求： (1)直三棱柱的体积和侧面积； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 19．（24-25高二上·上海·单元测试）已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为R，母线长为l，如图． (1)当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示） (2)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为r的同样大小的小球n个，求n的最大值． 20．（2025高二上·上海·专题练习）已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都是(如图)，把它们拼接起来.使它们一个表面完全重合，得到一个新多面体. (1)求新多面体的表面积和体积； (2)求正八面体中二面角的大小. 21．（25-26高二上·上海·期中）定义：多面体的周长是指该多面体的所有棱的长度和．如图，已知正四面体的底面的边长为分别为棱上的点，平面 平面，    (1)求棱台的周长； (2)若是侧棱的中点，和的顶点都在同一个球面上，求此球的半径； (3)已知棱台的体积为，问是否存在一个与棱台的周长和体积都相等的平行六面体，其各棱长均相等且侧棱垂直于底面？若存在，求出此平行六面体的棱长和底面四边形的面积，若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 简单几何体单元复习+小测 （核心知识+7易错辨析+9典例精讲） 【题型一】棱柱与圆柱 【题型六】球的体积与表面积 【题型二】棱锥与圆锥 【题型七】多面体与球体内切外接问题 【题型三】柱体的体积和表面积 【题型八】求组合多面体、组合旋转体的表面积 【题型四】锥体的体积和表面积 【题型九】求组合体、旋转体的体积 【题型五】多面体与旋转体 【知识点01】简单几何体分类 1. 多面体 由若干个平面多边形围成的封闭几何体，无曲面，所有棱、顶点均由平面相交形成，核心分为柱体、锥体、台体三类。 核心特征：面为平面、棱为直线、顶点为棱的交点。 2. 旋转体 由平面图形绕定直线（旋转轴）旋转一周形成的封闭几何体，含曲面结构。常见类型：圆柱、圆锥、圆台、球。 特殊说明：球是唯一纯曲面旋转体，无平面、无棱、无顶点。 【知识点02】柱体（棱柱、圆柱）公式与性质 1. 棱柱（直棱柱为主考点） 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行的多面体。 设底面积为，高为，底面周长为： 体积公式： 直棱柱侧面积： 表面积公式： 2. 圆柱 矩形绕一边旋转一周形成的旋转体，设底面半径，高： 体积： 侧面积： 表面积： 【知识点03】锥体（棱锥、圆锥）公式与性质 1. 棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的多面体。设底面积𝑆，高ℎ： 体积公式：𝑉=13𝑆ℎ 正棱锥侧面积：底面周长×斜高÷2，表面积为侧面积加底面积。 2. 圆锥 直角三角形绕直角边旋转一周形成的旋转体，设底面半径𝑟，高ℎ，母线长𝑙（𝑙=𝑟2+ℎ2）： 体积：𝑉=13𝜋𝑟2ℎ 侧面积：𝑆侧=𝜋𝑟𝑙 表面积：𝑆表=𝜋𝑟𝑙+𝜋𝑟2 【知识点04】球的核心公式与截面性质 设球半径为𝑅： 表面积：𝑆=4𝜋𝑅2 体积：𝑉=43𝜋𝑅3 截面核心关系：球心距𝑑、截面圆半径𝑟、球半径𝑅满足 𝑟2+𝑑2=𝑅2 球面距离：球心角𝛼（弧度制），𝑙=𝛼𝑅 【知识点05】组合体核心模型 1. 外接球模型 几何体所有顶点在球面上，球心到各顶点距离为𝑅。长方体/正方体外接球直径等于体对角线长。 2. 内切球模型 球与几何体各面相切，球心到各面距离为𝑟。通用求半径公式（等体积法）：𝑉=13𝑆表⋅𝑟 3. 拼接组合体 体积直接相加；表面积需扣除拼接重合遮挡面，避免重复计算。 易错点1：柱体、锥体体积公式混淆 误区：忘记锥体体积的系数，将圆锥、棱锥体积等同于柱体。 正解：柱体体积，锥体体积，系数固定不可遗漏。 易错点2：圆柱、圆锥表面积漏算/多算底面 误区：旋转体侧面积包含底面，或表面积遗漏底面圆面积。 正解：侧面积仅算曲面部分，表面积=侧面积+底面面积（圆柱双底面、圆锥单底面）。 易错点3：混淆多面体与旋转体概念 误区：认为棱锥是旋转体、球是多面体。 正解：所有带棱、平面拼接的为多面体；含曲面、旋转形成的为旋转体，二者无交集。 易错点4：球截面公式三边关系颠倒 误区：误写。 正解：球半径为斜边，恒满足。 易错点5：组合体表面积计算不扣重合面 误区：直接累加两个几何体表面积。 正解：拼接重合面被遮挡，需扣除重合面积（双向遮挡只扣一次外表面）。 易错点6：球面距离与弦长混用、角度制不转换 误区：直线距离当作球面距离，角度制直接代入弧长公式。 正解：球面距离为大圆劣弧长，公式仅适用弧度制。 易错点7：内外接球判定混乱 误区：外接球看面距，内切球看顶点距。 正解：外接球定顶点、内切球定切面。 【题型一】棱柱与圆柱 【典例1-1】下列对于圆柱的各判断中正确的是（    ） A．有两个互相平行的底面的旋转体是圆柱 B．经过圆柱的轴的截面仅有一个 C．将矩形（及其内部）绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做圆柱 D．一个圆柱仅有一条轴也仅有一条母线 【答案】C 【分析】由旋转体的结构特征依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于A，有两个互相平行的底面的旋转体可能是圆台，A错误； 对于B，圆柱的轴截面均经过圆柱的轴，有无数个，B错误； 对于C，由圆柱的定义知C正确； 对于D，圆柱有无数条母线，D错误. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）下列命题是假命题的个数是：（   ） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； （2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； （3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】（1）（2）（3）（4）均可举出反例. 【详解】（1）如图1，几何体满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形， 显然不是棱柱，故（1）错误； （2）如图2，几何体满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，（2）错误； （3）如图3，四边形为矩形， 即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，（3）错误； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，（4）错误． 故选：A 【变式1-2】（24-25高二上·上海徐汇·期末）已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是________． 【答案】 【分析】分别求解不同情况下的展开图的长度，即可比较作答. 【详解】如图正四棱柱中，若沿着侧棱展开，可得图（1） 此时, 若沿着侧重展开，可得图（2），此时, 若沿着侧重展开，可得图（3），此时 由于，故最短距离为， 故答案为： 【变式1-3】（24-25高二上·上海黄浦·阶段检测）如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积为，. (1)由点拉一根细绳绕圆柱侧面到达，求绳长的最小值. (2)求异面直线与AP所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将圆柱展开，即可得到矩形，因此点到达的最小值即为展开举行的对角线长度，直接求解即可. （2）由已知，延长交圆于，连接，从而得到四边形为平行四边形，根据，将异面直线与所成角转化为与所成角，然后利用余弦定理可知接求解； 【详解】（1） 将圆柱的侧面沿母线剪开，并展开在一个平面上， 求得绳长的最小值为圆柱展开图所成矩形的对角线， 即. （2） 已知圆柱的表面积为，则圆柱的高为3， 延长交圆于，连接， 因为四边形的对角线互相平行，所以为平行四边形， 则，异面直线与所成角即与所成角. 在中，，，； ， 所以 即异面直线与所成角为. 【题型二】棱锥与圆锥 【典例2-1】有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据圆柱，圆锥几何体的特征依次判断即可得答案. 【详解】解：对于①，在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点所得直线与旋转轴不一定平行，故错误； 对于②，圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长，故正确； 对于③，圆柱的母线均与旋转轴平行，故圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行，正确. 所以，正确的命题是②③ 故选：B 【变式2-1】（24-25高三上·上海·阶段检测）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且，，则该四棱锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，根据四棱锥的几何性质，利用勾股定理，建立方程，可得答案. 【详解】由题意，作平面，垂足为，在平面内，作， 垂足为，取的中点为，连接，如下图所示：    设， 在中，，则，， 在中，， 在中，， 在正方形中，易知，，则， 在中，，在中，， 则，解得. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期中）若三棱锥每个面都是边长为2的等边三角形，为的中点．则到的距离为________． 【答案】 【分析】根据给定条件，取的中点，证明并求出即可. 【详解】依题意，三棱锥是棱长为2的正四面体，取的中点，连接， 由为的中点，得，因此，， 所以到的距离为. 故答案为：    【变式2-3】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，圆台的上底面半径为1cm，求圆台的高． 【答案】 【分析】由圆锥平行于底面的截面的性质求解． 【详解】∵用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16， ∴圆台的上、下底面半径之比是1：4． ∵截去的圆锥的母线长是3cm，圆台的上底面半径为1cm， ∴圆台的下底面半径为4cm．作大圆锥的轴截面如图， 设圆台的母线长为y，由，得，解得． ∴圆台的高． 【题型三】柱体的体积和表面积 【典例3-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）以边长为3的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为______. 【答案】 【分析】先由圆柱的定义确定圆柱母线及底面半径， 然后由圆柱的侧面积公式即可求值. 【详解】以边长为3的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱， 其底面半径，母线，故其侧面积为． 故答案为： 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）已知长方体的三个不同表面的面积分别为，，，则长方体的对角线长为___________. 【答案】 【分析】根据长方体的三个不同表面的面积分别为，，，求得相邻的三条棱长，再利用长方体的对角线长公式求解. 【详解】解：设长方体的相邻的三条棱长为a，b，c， 因为长方体的三个不同表面的面积分别为，，， 所以，解得， 所以长方体的对角线长为， 故答案为： 【变式3-2】（24-25高二上·上海·课前预习）下图中三个几何体的体积是否相等？为什么？三个几何体的体积为多少？    【答案】根据祖暅原理，任意等高处的截面面积都相等，则体积相等，三个几何体的体积均为． 【分析】根据祖暅原理直接可得结论. 【详解】略 【变式3-3】如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知，. (1)求圆柱的体积； (2)求证： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）计算出圆柱的底面半径，再利用柱体的体积公式可求得该圆柱的体积； （2）推导出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立. 【详解】（1）解：设圆柱的底面半径为， 因为，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，且，，则， 由勾股定理可得，所以，， 因此，该圆柱的体积为. （2）证明：因为平面，平面，所以，， 又因为，，、平面，所以，平面. 因为平面，所以，. 【题型四】锥体的体积和表面积 【典例4-1】已知圆锥的侧面面积为，底面面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积． 【详解】根据题意，圆锥的底面面积为，设底面半径为，圆锥母线为， 则，，底面周长为， 又， ∴圆锥的母线为2，则圆锥的高为， 所以圆锥的体积． 故选：B 【变式4-1】（25-26高二上·上海·期末）若圆锥的底面半径为1，侧面的平面展开图的面积为，则该圆锥的体积为__________. 【答案】 【分析】由已知得到该圆锥的母线长，利用勾股定理可得圆锥的高，再由体积公式可得答案． 【详解】如图底面半径为的圆锥中， 侧面积为， 所以，由勾股定理得， 所以该圆锥的体积． 故答案为：． 【变式4-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）在正方体中，棱长为2，则三棱锥的表面积为___________ 【答案】 【分析】由正方体的性质得三棱锥是棱长为的正四面体，求表面积可得答案. 【详解】 正方体的棱长为2，所以， 三棱锥是棱长为的正四面体， ，所以三棱锥表面积为， 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高三下·上海·阶段检测）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面， ，，，点为的中点． (1)求异面直线与直线所成角． (2)点是线段上一个动点，求三棱锥的体积； 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【详解】（1）因为平面，且平面，所以． 又因为四边形为矩形，所以． 因为，且，平面，所以平面． 因为平面，所以． 故异面直线与所成的角为． （2）连接交于点，在中，为中点，为中点，所以 ． 因为平面，平面，所以 平面． 因为点在线段上，所以点到平面的距离等于点到平面的距离（或者视为定值）． 即． 在中，． 点到平面（即底面）的距离，所以． 所以． 故三棱锥的体积为． 【题型五】多面体与旋转体 【典例5-1】下列几何体中，多面体是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断各选项中几何体的形状，从而可得出多面体的选项. 【详解】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体； C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体. 故选B. 【点睛】本题考查多面体的判断，要熟悉多面体与旋转体的基本概念，考查对简单几何体概念的理解，属于基础题. 【变式5-1】若圆锥的底面半径为，高为，则圆锥内接立方体的棱长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示，设圆锥内接正方体的棱长为，通过，可得，由此可得这个正方体的棱长. 【详解】过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示： 设圆锥内接正方体的棱长为， 则在轴截面中，正方体的对角面的一组邻边的长分别为和. 因为，所以，所以， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查了圆锥的内接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 【变式5-2】“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥得到一个阿基米德多面体，则该阿基米德多面体的棱有______条. 【答案】24 【分析】作出正方体，在正方体中观察可得. 【详解】由题可知，如图，正方体每个面中有4条，所以该阿基米德多面体的棱共有条. 故答案为：24    【变式5-3】如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面.在正四棱锥内放有一个圆柱，使圆柱的下底面在正四棱锥的底面上，圆柱的上底面与正四棱锥的四个侧面相切.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的底面半径为__________. 【答案】/0.5 【分析】在四棱锥内作正四棱柱，要使圆柱体侧面积最大和体积最大，需其底面圆为正四棱柱的内切圆，设出圆柱的底面圆半径为，高为，由比例关系得到，从而求出圆柱侧面积关于半径的关系式，得到其最大值及相应的半径. 【详解】如图，在四棱锥内作正四棱柱， 其中分别在棱上， 要使圆柱体侧面积最大和体积最大， 则需其底面圆为正四棱柱的内切圆， 连接，设圆柱的底面圆半径为，高为， 则，，连接，则点在上， 在平面内，平行，则，即， 解得，， 圆柱侧面积为， 故当时，圆柱侧面积最大. 故答案为： 【题型六】球的体积与表面积 【典例6-1】（24-25高二·上海·课堂例题）若球的表面积是原来的4倍，则球的体积为原来的（    ） A．倍 B．8倍 C．9倍 D．27倍 【答案】B 【分析】通过表面积找到原来的球的半径与变化后的球的半径的关系，再求它们的体积比可得答案. 【详解】设原来的球的半径为，变化后的球的半径为， 则原来的球的表面积为，则变化后的球的表面积为， 可得， 则原来的球的体积为，变化后的球的体积为， 所以，则球的体积为原来的倍. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（    ）    A．24－3π B．24－π C．24＋π D．24＋5π 【答案】B 【分析】根据几何体结构特征，利用球、正方体和圆的面积公式可得. 【详解】由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的球后的剩余部分， 其表面积等于正方体表面积减去三个半径为2的圆，再加上2为半径的球面， 则. 故选：B 【变式6-2】（24-25高二上·上海长宁·期末）在三棱锥中，平面，，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且，则球O的表面积为______. 【答案】 【分析】由条件，三棱锥的顶点都为棱长为1的正方体的顶点，所以将三棱锥补成正方体，正方体的外接球即为三棱锥的外接球，进而求得半径即可求解. 【详解】 由题意可知三棱锥的顶点都为棱长为1的正方体的顶点， 将三棱锥补成正方体，棱长为1， 则该正方体的外接球的直径为， 即三棱锥的外接球的直径为，则三棱锥的外接球的半径为， 则球O的表面积为. 故答案为：. 【变式6-3】（1）已知球的直径为，求它的表面积和体积； （2）已知球的体积为，求它的表面积； （3）若三个球的表面积之比为，求这三个球的体积之比. 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】根据球的表面积、体积公式计算可得. 【详解】（1）因为直径为，所以半径，所以球的表面积， 球的体积. （2）设球的半径为，因为，所以， 所以球的表面积. （3）设三个球的半径分别为，，， ∵三个球的表面积之比为， ∴， 即， ∴，得， ∴. 【题型七】多面体与球体内切外接问题 【典例7-1】在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，然后求出球表面积即可． 【详解】因为， 所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示：    设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则有，整理得， 则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径， 所以有， 所以所求的球体表面积为：． 故选：A． 【变式7-1】（2025高二上·上海·专题练习）已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则底面面积和圆锥侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆锥的性质得到，，再结合圆锥的表面积公式和球的表面积公式求出表面积，结合题意建立方程，得到，最后再利用圆锥的底面积和侧面积公式求出比例关系即可. 【详解】如图，设母线长为，底面半径为，母线与底面所成角为，内切球半径，连接，    则，可得，故， 因为，，， 所以，故， 则，可得， 由圆锥表面积公式得 ， 因为，所以， 由球的表面积公式得， 因为圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，所以， 可得， 由同角三角函数的基本关系结合二倍角公式可得， 整理得，即， 化简得，解得． 得到，故A正确. 故选：A． 【变式7-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知正四面体中，是棱上一点，过作平面，满足，，若、到平面的距离分别是3和9，则正四面体的外接球被平面截得的截面面积为______． 【答案】 【分析】采用补体法将正四面体放入正方体中，根据题意求出正方体的棱长，进而求得其外接球的半径，根据勾股定理求出截面圆的半径，即可求解截面面积. 【详解】如图所示，将正四面体放入一个正方体中，    因为、到的距离分别为3、9，距离之和为12， 即正方体的棱长为12，因为球心是正方体的中心， 故球心到平面的距离为， 又球的直径，所以， 所以所截得的截面圆的半径， 故球被平面所截得的圆的面积． 故答案为： 【变式7-3】如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的三边长分别为，，． (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案； （2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积. 【详解】（1）因为底面三角形的三边长分别为，，， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边长分别为，， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为， 所以． 设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积． 所以剩余部分几何体的体积． （2）由（1）可知，直三棱柱可补形为棱长分别为，，的长方体， 它的外接球的半径满足，即． 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为 【题型八】求组合多面体、组合旋转体的表面积 【典例8-1】如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为________. 【答案】 【分析】打孔后的几何体的表面积是棱长为4的正方体的表面积减去两个半径为1的圆的面积．再加上圆柱的侧面积， 【详解】打孔后的几何体的表面积是棱长为4的正方体的表面积减去两个半径为1的圆的面积．再加上圆柱的侧面积 即答案为. 【点睛】本题考查几何体的表面积的求法，是中档题． 【变式8-1】某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的（如图），若被截正方体的棱长是6dm，那么该几何体的表面积是______． 【答案】 【分析】根据几何体的表面图形的特点可求答案. 【详解】因为被截正方体的棱长是6dm，所截去八个四面体是相同的， 所以几何体是由边长为 dm的六个正方形和八个正三角形围成的， 所以表面积为 . 故答案为： 【变式8-2】一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积． 【答案】 【分析】根据图形特征旋转后根据圆锥侧面积及圆柱表面积公式计算可得. 【详解】如图所示，直角梯形中，， 作，垂足为，则， 故， 在旋转生成的旋转体中，形成了一个圆面， 形成一个圆柱的侧面，形成一个圆锥的侧面， 设其面积分别为， 则， 所以次旋转体的表面积为. 【变式8-3】在如图的多面体中，已知为矩形，和为全等的等腰梯形，，． (1)求此多面体的表面积； (2)求此多面体的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)结合已知条件，分别求几何体各个面的面积，然后再求面积之和即可； (2)结合已知条件，利用割补法求几何体体积即可. 【详解】（1）由题意可知，和都是边长为2的等边三角形， 故， ∵，∴， 分别过、向做垂线，垂足为、，如下图所示： 结合等腰梯形性质可知，，， 从而， 故， 故多面体的表面积. （2）将五面体补全为直三棱柱，如下图所示： 则多面体的体积， 由(1)中结论和几何体特征可知，，， 由余弦定理可知，，故， 从而易知 故，， 从而几何体的体积． 【题型九】求组合体、旋转体的体积 【典例9-1】把由曲线和围成的图形，绕轴旋转，所得旋转体的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图形，分析可知旋转体为圆锥，确定圆锥的底面半径以及高，利用锥体的体积公式可得结果. 【详解】如下图所示： 直线与曲线交于点、， 将绕轴旋转，形成的几何体为圆柱中挖去两个全等的圆锥， 圆柱的底面半径为，高为，两个圆锥的底面半径为，高也为， 因此，旋转体的体积为. 故选：C. 【变式9-1】将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（    ）    A． B．864 C．576 D． 【答案】B 【分析】折成多面体以后，将其补形为正方体，其体积是正方体的一半，计算即可. 【详解】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②， 所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为， 故    故选： 【变式9-2】（25-26高二上·上海·期中）边长为2的正方形ABCD绕边BC旋转一周形成一个几何体，则该几何体的体积为____________. 【答案】 【分析】由题意得所得几何体为圆柱，根据圆柱的体积公式得出结果. 【详解】由题意得几何体为圆柱，圆柱的底面半径为2，高为2， 则圆柱的体积为. 故答案为：. 【变式9-3】如图所示，在中，，，.在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC、AB分别相切于点C、M，与AC交于N），求图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得的几何体体积. 【答案】 【分析】几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，求出圆锥的体积减去球的体积，可得几何体的体积． 【详解】解：几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体， 是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内接球， 所以圆锥的底面半径是：1，高为， 球的半径为，， 所以圆锥的体积：， 球的体积：， 阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为：. 1. 几何体分类核心 平面围成多面体（柱、锥、台），旋转成型旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）；球为纯曲面特殊旋转体。 2. 公式核心记忆口诀 柱体体积底乘高，锥体三分底乘高； 柱侧周长乘高算，锥侧母线半径积； 球表四派R方，球体三分四派R立方； 截面勾股定半径，球面弧长用弧度。 3. 组合体解题核心 外接球找体对角线，内切球用等体积法；体积直接叠加，表面积必扣重合遮挡面。 4. 考场避错总结 紧抓锥体系数、区分侧面积与表面积、分清几何体类型、规范球面距离计算、规避组合体面积重复计算问题。 一、填空题 1．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知正三棱锥底面边长为1，侧棱长为2，将其绕着它的某一条侧棱所在直线旋转一周所得的几何体的体积为_______________. 【答案】/ 【分析】根据题设分析并想象，得几何体是以为底面半径，高分别为、的圆锥构成的组合体，再应用圆锥的体积公式求几何体体积. 【详解】如下图，正三棱锥，， 其中是线段（除端点外）上任意点，且棱锥绕旋转一周，，， 所以在旋转过程中，线段上所有点都在侧面绕旋转一周的几何体内或上， 综上，将绕旋转等同于将侧面绕旋转，若， 所以，即，可得，所以， 所以，几何体是以为底面半径，高分别为、的圆锥构成的组合体， 所以几何体体积为. 故答案为： 2．（25-26高二上·上海宝山·阶段检测）已知用一个通过圆锥的轴的平面去截一个圆锥，得到的截面是面积为的正三角形.则此圆锥内切球的半径为______. 【答案】 【分析】作出截面正三角形，根据题意建立方程，即可求解. 【详解】 如图，设圆锥的轴截面是正三角形， 则此圆锥的内切球的球心也是的内切圆的圆心， 设圆锥内切球与的三边的切点分别为， 设此圆锥的内切球的半径为，则的高为， 的边长为， 又的面积为，所以， 所以. 故此圆锥内切球的半径为. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·阶段检测）正方体的棱长为x，点M是棱的中点，过三点作正方体的截面，则该截面的面积为___________. 【答案】 【分析】画出截面图形，由梯形的面积计算即可. 【详解】取中点，延长交于点， 如图，四边形的面积即为所求，是一个等腰梯形，由几何关系可得为的中位线， 则，，， 设梯形的高为则， 所以. 故答案为：. 4．（25-26高二上·上海·期中）如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上），若正方体的棱长为2，则半球的体积为____________. 【答案】 【分析】根据正方体与半球的几何性质，作出对应截面，将空间几何体问题转换为截面问题，进而求解半球半径即可. 【详解】设半球底面圆圆心为，过正方体底面对角线且垂直于底面作该组合体的截面，得到图形如图所示， 则为半球的半径， 而正方体内接于半球、且正方体的棱长为２、为正方体底面对角线， 故，， 故， 因此半球的体积. 5．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，O为坐标原点，A在x轴上，，，，若及其内部绕y轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为______．    【答案】 【分析】由题意可得及其内部绕y轴旋转一周得到一个几何体为一个圆台挖去一个圆锥的几何体，进而分别计算其体积可求得结论. 【详解】过分别作轴的垂线，垂足分别为， 因为，，，所以， 由，所以， 解得，所以，所以， 四边形绕y轴旋转一周得到一个圆台， 此圆台的上下底面半径分别为，，高为， 所以圆台的体积为， 三角形绕y轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的底面半径为，高为， 所以， 又及其内部绕y轴旋转一周得到一个几何体为圆台挖去一个圆锥， 所以该几何体的体积为. 故答案为：.    6．（25-26高二上·上海·期末）如图所示，为梯形，，，现在将这个图形绕着直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的体积是________. 【答案】 【分析】根据题意确定几何体的构成，再由圆柱、圆锥的体积公式求组合体的体积. 【详解】由题意，所得几何体是一个底面半径为2，高为2的圆柱和一个底面半径为2，高为2的圆锥构成的组合体， 所以其体积为. 故答案为： 7．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为______.    【答案】 【分析】将绕翻折到与共面，连接，则的长度即为的最小值，利用勾股定理计算可得. 【详解】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示：    连接，则的长度即为的最小值， 因为，所以 ， 所以，所以，即的最小值为. 故答案为：. 8．（2025高二上·上海·专题练习）如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3 m，圆柱高0.6 m.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么给1 000个这样的浮标涂防水漆需要涂料________kg.(π取3.14) 【答案】423.9 【分析】利用圆柱和球的表面积公式求解即可. 【详解】一个浮标的表面积为＝0.847 8(m2)， 所以给1 000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.847 8×0.5×1 000＝423.9(kg)． 故答案为： 9．（25-26高二上·上海松江·期末）如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是________．    【答案】 【分析】分别在上取点，连接，将在几何体分成一个三棱柱和四棱锥的体积求解即可. 【详解】分别在上取点，连接， 所以平面平面， 取的中点，连接，因为平面， 所以平面，平面，所以， 又因为，，平面， 平面， ，梯形， ∴所求几何体的体积为.    故答案为：. 10．（25-26高二上·上海普陀·期中）下列命题中，是真命题的是_____.（请填上所有正确命题的序号） ①底面是矩形的平行六面体是长方体 ②正四面体的高为其棱长的倍 ③用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形 ④过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 【答案】②③ 【分析】根据长方体、正四面体、正方体、圆锥的性质逐一判断即可. 【详解】①平行六面体的底面是矩形，但侧棱可能与底面不垂直，此时侧面仍为平行四边形，因此不一定是长方体.长方体要求所有面均为矩形，故①错误. ②设正四面体棱长为，底面正三角形的高为，重心到顶点的距离为.由勾股定理，正四面体的高为：，故②正确； ③用平面切割正方体时，若平面依次经过五个面（如从一个顶点出发，切割相邻五个面），截面为五边形.如图所示，为五边形截面，故③正确. ④过圆锥顶点的截面为等腰三角形且两腰长为母线长，设圆锥的母线长为l，等腰三角形的顶角为，则过圆锥顶点的截面面积为，所以当，即时，截面面积最大.当轴截面的顶角大于时，轴截面面积不是最大截面面积，故④错误. 故答案为：②③ 11．某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由：一个实心圆柱体和一个实心半球体组成，要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3：2，工艺品的体积为．现设圆柱的底面半径为，工艺品的表面积为，半球与圆柱的接触面积忽略不计．试写出关于的函数关系式及的取值范围________． 【答案】， 【分析】由题意及几何体的体积可得圆柱的高，再由表面积公式可得表面积的解析式 【详解】解：设圆柱的高为，因为圆柱的底面半径为， 而半球的半径和圆柱的底面半径之比为， 所以半球的半径为，设球的体积为，圆柱的体积为，则由题意可得 ， 解得，得， 所以表面积为 ，， 故答案为：， 【点睛】此题考查几何体的体积的求法及表面积的求法，属于中档题 12．（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）已知正三棱锥中，底面边长为1，侧棱长为2，点、分别为侧棱、上的点，当三角形的周长最小时，三棱锥的体积为______. 【答案】/ 【分析】将正三棱锥展开，根据两点之间线段最短和相似三角形的性质可判断周长最小时的位置，再利用余弦定理和等体积法即可求解. 【详解】如图，将正三棱锥展开，当共线时，的周长最小； 由正三棱锥知，均为全等的等腰三角形， 且，所以， 所以，所以； 又，，所以； 于是与相似，所以，即， 所以，； 在中，由余弦定理得，所以， 所以的面积为， 的面积为； 如图，作的中点，连接， 则平面， 在中，， 所以， 所以的面积为 ； 所以三棱锥的体积为 ， 设到平面为，由，得， 所以； 所以三棱锥的体积为 . 故答案为：. 二、单选题 13．（24-25高二·上海·随堂练习）下列说法中正确的是（    ）． A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 【答案】A 【分析】根据棱柱的几何特征得到A正确；举出反例，得到BCD错误； 【详解】A选项，棱柱的面中，上下底面必平行，侧面可能平行，故至少有两个面互相平行，A正确； B选项，棱柱中两个互相平行的平面可能是棱柱的底面，也可能是侧面，比如正方体，B错误； C选项，若棱柱为斜棱柱，此时棱柱中侧棱不是棱柱的高，C错误； D选项，棱柱的侧面一定是平行四边形，它的底面可能是平行四边形，比如长方体，D错误. 故选：A 14．如图，草垛（上半部分是圆锥，下半部分是圆柱）可以由某个图形绕轴（直线）旋转而成，这个图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为草垛上半部分是圆锥，下半部分是圆柱，而圆锥可由直角三角形绕其一条直角边旋转而得， 圆柱可由矩形绕其一条直角边旋转而得，结合选项，可知B正确，其它选项错误. 15．（2025高二上·上海·专题练习）已知球的半径与圆锥的底面半径相等，且它们的表面积相等，则圆锥与球的体积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合圆锥和球的表面积公式和体积公式，准确计算，即可求解. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，高为， 则圆锥的母线长为，球的半径为， 因为圆锥与球的表面积相等， 所以，解得， 所以圆锥和球的体积比为. 故选：A. 16．（25-26高三上·上海·阶段检测）“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响.书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（    ）平方尺． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将四棱锥放置于长方体中即可求解． 【详解】如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同， 所以外接球的半径为，外接球的表面积． 故选：C． 三、解答题 17．（25-26高二上·上海·期中）某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为30cm，圆锥的母线长为20cm.现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（，结果精确到1元） 【答案】. 【分析】由题可得“笼具” 表面积，据此可得制作50个“笼具”所需总费用. 【详解】设圆柱，圆锥底面半径为，圆柱高为，圆锥母线为. 因圆柱的底面周长为，则， 则圆柱底面积为：，圆柱侧面积为：， 圆锥侧面积为：， 则“笼具” 表面积为：，则总造价为： 元. 18．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，直三棱柱内接于等高的圆柱中，已知，为的中点，求： (1)直三棱柱的体积和侧面积； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用棱柱的体积公式和棱柱的侧面积公式计算即可； （2）利用线面垂直，证明线面角，然后计算正弦值即可． 【详解】（1）， 由，，可得， 所以． （2） 由为的中点，，可得， 又因为平面，平面，所以， 又因为平面，所以平面， 即就是直线与平面所成角， 又因为，所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 19．（24-25高二上·上海·单元测试）已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为R，母线长为l，如图． (1)当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示） (2)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为r的同样大小的小球n个，求n的最大值． 【答案】(1)；(2)30 【分析】（1）圆柱体积减去球的体积即可； （2）分别拿出垂直底面截面和平行底面截面进行分析，结合内切知识，得出，再求出每个小圆占整个空间的圆心角，进而得解. 【详解】（1）由题意可得：，， 所以圆柱内空余部分的体积为． （2）垂直底面截面如图．所示， ，，， 在中，，． 因为，所以， 即，解得． 平行底面截面如图所示，． ，所以， 所以下方空余位置可以放，因为为整数，所以， 所以整个空余空间最多可以放个． 20．（2025高二上·上海·专题练习）已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都是(如图)，把它们拼接起来.使它们一个表面完全重合，得到一个新多面体. (1)求新多面体的表面积和体积； (2)求正八面体中二面角的大小. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分别取、的中点、，证明出平面，计算出的面积，利用锥体的体积公式可求得正四面体和正八面体的体积，即可得解； （2）在正八面体中，取的中点为，分析出为二面角的平面角，计算出三边边长，利用余弦定理可求得结果. 【详解】（1）由题意可知，组合体一共十个面，且十个面都是全等的等边三角形，且边长为， 则表面积为， 分别取、的中点、，连接、、，如下图所示： 因为，为的中点，则且， 同理可知且， ，所以平面， 为的中点，则，且， ， 所以正四面体的体积为； 如下图所示： 在正八面体中，连接交平面于点，则平面， 所以，， 所以正八面体的体积为， 因为新多面体体积为原正四面体体积与正八面体体积之和， 所以新多面体的体积为； （2）如图，在正八面体中，取的中点为，连接， ，为的中点，则，且， 同理可知，且， 所以为二面角的平面角． ， 由余弦定理得， 故二面角的大小为. 21．（25-26高二上·上海·期中）定义：多面体的周长是指该多面体的所有棱的长度和．如图，已知正四面体的底面的边长为分别为棱上的点，平面 平面，    (1)求棱台的周长； (2)若是侧棱的中点，和的顶点都在同一个球面上，求此球的半径； (3)已知棱台的体积为，问是否存在一个与棱台的周长和体积都相等的平行六面体，其各棱长均相等且侧棱垂直于底面？若存在，求出此平行六面体的棱长和底面四边形的面积，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)存在；棱长均为，底面面积 【分析】（1）根据周长定义，结合题意求出各个棱长，继而即可求解； （2）设球半径为，所在小圆的半径为，所在圆的半径为，棱台高为正四面体高的一半，构造直角三角形，利用勾股定理列式求解即可； （3）设平行六面体的棱长为，底面平行四边形的面积，底面平行四边形的内角为，根据周长及体积相等列式求解即可. 【详解】（1）棱台的周长为， 正四面体的周长为， 由正四面体的性质，且截面 底面， 均为全等的正三角形， 所以， 所以棱台周长为6． （2）设球半径为， 因为为中点，所以所在小圆的半径为， 所在圆的半径为， 棱台高为正四面体高的一半，所以， 因为球心和上述两圆的圆心共线，所以球心到上下底面的和或差为， 于是， 解得，此时棱台的两个底面在球心的同侧． （3）设平行六面体的棱长为， 底面平行四边形的面积，底面平行四边形的一个内角为． 下面证明存在符合条件的平行六面体． 由（1）的推导过程可知，棱台周长为定值6，故周长，于是棱长， 因为侧棱垂直于底面，所以高为，所以，于是． 因为底面是平行四边形，所以，所以， 由于正四面体的体积为，所以，于是， 所以方程有唯一锐角解 综上，存在棱长均为，底面面积，底面锐角内角为， 侧棱垂直于底面的平行六面体，使得周长和体积都等于棱台． 1 学科网（北京）股份有限公司 $