第01讲 平面及其基本性质（核心知识+8易错辨析+7典例精讲+课后作业）-2026-2027学年高二上学期数学重难点复习讲义（沪教版必修第三册）

本高中数学讲义聚焦平面及其基本性质核心知识点，系统梳理平面的无限延展性等几何特征、规范表示方法、空间点线面符号语言，深入解析三大公理及推论，构建从定义到公理再到应用（如斜二测画法）的学习支架，为立体几何学习奠定基础。 资料以8个易错辨析（如符号层级混用、三点定面前提）和7类典例（如共面共线证明）为特色，通过严谨逻辑推理培养数学思维，规范符号表达强化数学语言。课中辅助教师突破教学难点，课后助力学生巩固知识，查漏补缺，提升空间观念与推理能力。

第01讲 平面及其基本性质 （核心知识+8易错辨析+7典例精讲+课后作业） 【题型一】空间点、线、面符号辨析 【题型五】多点共面证明 【题型二】点(线)确定的平面数量问题 【题型六】相交平面 【题型三】三点共线证明题 【题型七】斜二测画法中有关量的计算 【题型四】多线共面证明 【知识点01】平面的定义与几何特征 平面是立体几何中抽象的理想化几何模型，具备三大专属特征，区别于生活中的有限平面物体： ① 无限延展性：平面无边界、向四面八方无限延伸，几何做题需默认平面延展； ② 无厚度性：平面只有维度、无厚薄、无大小，不可度量面积与体积； ③ 绝对平整性：平面内任意两点连成的直线，整条直线完全落在平面内。 【知识点02】平面的规范表示方法 （1）小写希腊字母表示：平面、平面、平面，简洁通用； （2）多边形顶点大写字母表示：平面（常用平行四边形表示平面直观图）； （3）对角字母简写：平面、平面，简化书写。 【知识点03】空间点、线、面符号语言 几何符号严格分层：点与线、点与面为从属关系，线与面、面与面为包含/位置关系，不可混用。 1. 点在直线上： 2. 点不在直线上： 3. 点在平面内： 4. 点不在平面内： 5. 直线在平面内： 6. 直线不在平面内： 【知识点04】平面基本公理 公理1（线在面内判定公理） 文字表述：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号表述： 核心作用：判定直线是否在平面内、证明多点共面、验证平面平整性。 公理2（平面唯一性公理） 文字表述：经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 核心作用：确定唯一平面、判定平面重合、解决平面个数问题，是共面证明核心依据。 【知识点05】公理2的三大重要推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 总结：以上推论是所有线共面、点共面证明题的万能依据。 【知识点06】相交平面 1. 两平面位置关系（不重合） 1. 平行：无公共点， 2. 相交：无数公共点，共一条交线， 2.公理3（平面相交公理） 文字表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该公共点的公共直线。 符号表述： 核心作用：判定两平面相交、证明多点共线、证明点在平面交线上。 3. 相交平面作图规则 ① 画平行四边形示意平面，平面无限延展；② 必须画出公共交线；③ 可见线实线、遮挡线虚线。 【知识点07】斜二测画法 为了把空间图形画得既富有立体感 ， 又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系 ， 我们通常采用斜二测画法画空间图形的直观图 ． 易错点1：几何符号层级混用（基础高频失分） 严格区分：点是元素，用从属符号；直线、平面是集合，用包含符号。绝对禁止等低级错误，考试书写零容错。 易错点2：忽略三点定面的前提条件 “三点确定一个平面”必须满足三点不共线；若三点共线，可经过无数个平面，无法确定唯一平面，做题必须优先验证三点是否共线。 易错点3：平面认知局限图形画法 题目中平行四边形仅为平面的直观示意图，平面具备无限延展性，不可局限于画图范围，解题需默认平面可向四周无限延伸、可与其他平面相交。 易错点4：两平面相交概念误解 两个不重合的平面，不存在“只有一个公共点”的情况；只要有一个公共点，就必有一条公共交线，且所有公共点都在这条交线上。 易错点5：共面证明逻辑残缺 多条直线/多点共面证明，不可主观默认共面，必须遵循“先定唯一平面，再证剩余点线落在平面内”的标准逻辑，步骤缺失会直接扣分。 易错点6：平面个数分类遗漏 空间多点、多线确定平面个数问题，必须分类讨论共线、共面、不共面三种情况，极易遗漏特殊情况导致答案不全。 易错点7：混淆平面位置关系 错误认知：两平面位置关系有相交、平行、重合、单点相交。 正确结论：不重合的两个平面仅有两种位置关系： 1. 平行：，无公共点 2. 相交：，有唯一公共直线 易错点8：面积公式正反套用错误 高频错误：混淆原图与直观图面积倍数关系。 固定公式（微软标准公式）： 直观图面积： 原图面积： 易错提醒：原图面积更大，直观图面积更小，禁止倍数颠倒。 【题型一】空间点、线、面符号辨析 【典例1-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知空间的一个点，一条直线，一个平面，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二·上海·课堂例题）点A在直线l上，而直线l在平面β上．用集合符号表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·上海松江·阶段检测）“点在平面上”用集合符号表示是_____ 【变式1-3】（24-25高二上·上海普陀·阶段检测）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； 【题型二】点(线)确定的平面数量问题 【典例2-1】一条直线和直线外的三点所确定的平面有（   ） A．1个或3个 B．1个或4个 C．1个，3个或4个 D．1个，2个或4个 【变式2-1】已知空间四点中，无三点共线，则经过其中三点的平面有（    ） A．一个 B．四个 C．一个或四个 D．无法确定平面的个数 【变式2-2】（24-25高二·上海·课堂例题）空间任意五点最多可确定________个平面． 【变式2-3】（24-25高二·上海·课堂例题）从同一点出发的四条射线能确定个平面，则所有可能的取值是________． 【题型三】三点共线证明题 【典例3-1】若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且，求证O，C，D三点共线． 【变式3-1】（2025高二上·上海·专题练习）已知三边所在直线分别与平面α交于三点，求证：三点共线． 【变式3-2】如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【变式3-3】如图，已知的各顶点都在平面外，且直线，，分别与平面交于点，，，求证：，，三点共线. 【题型四】多线共面证明 【典例4-1】已知：，求证：直线共面于.    【变式4-1】如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由．    【变式4-2】（24-25高二上·上海·课后作业）直线，，直线l和a、b、c分别交于点A、B、C，求证：a、b、c、l共面． 【变式4-3】已知直线l与三条平行线a、b、c都相交（如图），求证：l与a、b、c共面． 【题型五】多点共面证明 【典例5-1】（25-26高三·上海·一轮复习）已知在正方体中，分别为、的中点，，．求证：四点共面. 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【变式5-2】（24-25高二·上海·课堂例题）空间四边形中，点分别在上，且．求证：四点共面． 【变式5-3】（25-26高二上·上海·开学考试）在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是、边上的点，且．    (1)求证：、、、四点共面； (2)若四面体为棱长为6的正四面体，求四边形的周长． 【题型六】相交平面 【典例6-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【变式6-1】已知线段AB的长度为16，其两个端点到平面的距离分别是2和8，则这条线段的中点到平面的距离是_____________. 【变式6-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）在空间四边形中，依次为边的中点，已知，且，则_________． 【变式6-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    【题型七】斜二测画法中有关量的计算 【典例7-1】（24-25高二上·上海崇明·期中）的斜二测直观图如图所示，则的面积是（    ） A． B． C． D．4 【变式7-1】（25-26高二上·上海·期中）如图是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是________ 【变式7-2】（24-25高二·上海·课堂例题）将边长为10的正三角形ABC，按斜二测画法在水平放置的平面上画出，如图三角形，求的长． 【变式7-3】（25-26高二上·上海·期中）画出如图水平放置的直角梯形的直观图，若图中1单位为1cm，求直观图的面积. 一、平面基本性质 1. 平面本质特征 平面具有无限延展性、无厚度、绝对平整，作图仅为局部示意，解题默认全域延展。 2. 空间符号规范 点属于线/面：；直线包含于平面：，符号不可混用。 3. 三大核心公理 公理1（线在面内判定）：直线上两点在平面内，则整条直线在平面内。 用途：证线在面内、证点共面。 公理2（平面唯一性）：不共线三点确定唯一一个平面。 推论：直线+线外一点、两相交直线、两平行直线，均可确定唯一平面。 公理3（面面相交）：两不重合平面有公共点，则必有唯一公共交线。 用途：证多点共线、找面面交线。 二、相交平面 1. 两平面位置关系（不重合） 平行：，无公共点； 相交：，有且仅有一条公共直线。 2. 核心必考结论 两平面不可能只有一个公共点，只要相交，公共点全部在交线上；平面无限延展，不可局限作图范围判断位置关系。 3. 作图规范 可见线条画实线，被遮挡线条画虚线，保证空间立体感。 三、斜二测画法 1. 建系规则 直观图坐标系夹角： 或 。 2. 长度变换规则 3. 图形性质变化 平行关系保持不变；垂直关系消失；矩形、正方形直观图均为平行四边形。 4. 面积换算公式（考试必考） 四、本节解题总结 1. 共面证明：先定唯一平面，再证剩余点、线落在平面内； 2. 共线证明：证多点同属两个相交平面，即在交线上； 3. 面面问题：相交必出直线，无单点相交； 4. 直观图问题：只缩y轴、平行不变、面积比例固定。 一、单选题 1. （25-26高二上·上海·期末）已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．（25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）下列关于空间中不重合的两条直线说法中错误的是（    ） A．这两条直线可能既共面，又共点 B．这两条直线可能既不共面，又不共点 C．这两条直线可能共面但不共点 D．这两条直线可能共点但不共面 3．（24-25高一下·上海·阶段检测）用斜二测画法画三角形OAB的直观图，如图所示，已知，，则（    ） A． B．2 C． D．4 二、填空题 4．（25-26高一下·上海·阶段检测）下列命题中为真命题的是__________.（请写出全部真命题的序号） ①若空间四点共面，则其中必有三点共线； ②若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； ③若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； ④若空间四点不共面，则其中任意三点不共线. 5．（25-26高二上·上海·期中）如图，三角形是用斜二测画法画出的边长为1的正三角形的直观图，则其底边上的高的值为___________． 6．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，正方体中，分别为的中点，则    ①四点共面 ② ③三线不共点 ④ 以上四个结论中，正确结论的序号是______. 三、解答题 7．画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.    8．已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 9．如图，正方体的棱长为4cm，分别是和的中点． (1)画出过点的平面与平面及平面的两条交线； (2)设过的平面与交于点P，求PM+PN的值． 10．如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 平面及其基本性质 （核心知识+8易错辨析+7典例精讲+课后作业） 【题型一】空间点、线、面符号辨析 【题型五】多点共面证明 【题型二】点(线)确定的平面数量问题 【题型六】相交平面 【题型三】三点共线证明题 【题型七】斜二测画法中有关量的计算 【题型四】多线共面证明 【知识点01】平面的定义与几何特征 平面是立体几何中抽象的理想化几何模型，具备三大专属特征，区别于生活中的有限平面物体： ① 无限延展性：平面无边界、向四面八方无限延伸，几何做题需默认平面延展； ② 无厚度性：平面只有维度、无厚薄、无大小，不可度量面积与体积； ③ 绝对平整性：平面内任意两点连成的直线，整条直线完全落在平面内。 【知识点02】平面的规范表示方法 （1）小写希腊字母表示：平面、平面、平面，简洁通用； （2）多边形顶点大写字母表示：平面（常用平行四边形表示平面直观图）； （3）对角字母简写：平面、平面，简化书写。 【知识点03】空间点、线、面符号语言 几何符号严格分层：点与线、点与面为从属关系，线与面、面与面为包含/位置关系，不可混用。 1. 点在直线上： 2. 点不在直线上： 3. 点在平面内： 4. 点不在平面内： 5. 直线在平面内： 6. 直线不在平面内： 【知识点04】平面基本公理 公理1（线在面内判定公理） 文字表述：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号表述： 核心作用：判定直线是否在平面内、证明多点共面、验证平面平整性。 公理2（平面唯一性公理） 文字表述：经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 核心作用：确定唯一平面、判定平面重合、解决平面个数问题，是共面证明核心依据。 【知识点05】公理2的三大重要推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 总结：以上推论是所有线共面、点共面证明题的万能依据。 【知识点06】相交平面 1. 两平面位置关系（不重合） 1. 平行：无公共点， 2. 相交：无数公共点，共一条交线， 2.公理3（平面相交公理） 文字表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该公共点的公共直线。 符号表述： 核心作用：判定两平面相交、证明多点共线、证明点在平面交线上。 3. 相交平面作图规则 ① 画平行四边形示意平面，平面无限延展；② 必须画出公共交线；③ 可见线实线、遮挡线虚线。 【知识点07】斜二测画法 为了把空间图形画得既富有立体感 ， 又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系 ， 我们通常采用斜二测画法画空间图形的直观图 ． 易错点1：几何符号层级混用（基础高频失分） 严格区分：点是元素，用从属符号；直线、平面是集合，用包含符号。绝对禁止等低级错误，考试书写零容错。 易错点2：忽略三点定面的前提条件 “三点确定一个平面”必须满足三点不共线；若三点共线，可经过无数个平面，无法确定唯一平面，做题必须优先验证三点是否共线。 易错点3：平面认知局限图形画法 题目中平行四边形仅为平面的直观示意图，平面具备无限延展性，不可局限于画图范围，解题需默认平面可向四周无限延伸、可与其他平面相交。 易错点4：两平面相交概念误解 两个不重合的平面，不存在“只有一个公共点”的情况；只要有一个公共点，就必有一条公共交线，且所有公共点都在这条交线上。 易错点5：共面证明逻辑残缺 多条直线/多点共面证明，不可主观默认共面，必须遵循“先定唯一平面，再证剩余点线落在平面内”的标准逻辑，步骤缺失会直接扣分。 易错点6：平面个数分类遗漏 空间多点、多线确定平面个数问题，必须分类讨论共线、共面、不共面三种情况，极易遗漏特殊情况导致答案不全。 易错点7：混淆平面位置关系 错误认知：两平面位置关系有相交、平行、重合、单点相交。 正确结论：不重合的两个平面仅有两种位置关系： 1. 平行：，无公共点 2. 相交：，有唯一公共直线 易错点8：面积公式正反套用错误 高频错误：混淆原图与直观图面积倍数关系。 固定公式（微软标准公式）： 直观图面积： 原图面积： 易错提醒：原图面积更大，直观图面积更小，禁止倍数颠倒。 【题型一】空间点、线、面符号辨析 【典例1-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知空间的一个点，一条直线，一个平面，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点线、点面、线面关系的数学表达符号判断各项的正误. 【详解】由点线、点面关系用或表示，线面关系用或表示， 所以A、B、C错，D对. 故选：D 【变式1-1】（24-25高二·上海·课堂例题）点A在直线l上，而直线l在平面β上．用集合符号表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合结合元素、集合之间的关系分析判断. 【详解】由题意可知：点为元素，线和面均为集合， 结合元素、集合之间的关系可知. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一下·上海松江·阶段检测）“点在平面上”用集合符号表示是_____ 【答案】 【分析】根据集合的语言书写即可. 【详解】“点在平面上”用集合符号表示为： . 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高二上·上海普陀·阶段检测）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； 【答案】(1) (2) (3)平面 (4)平面 【分析】先判断位置关系，再根据符号语言表示即可. 【详解】（1）点在直线上，所以 ； （2）点不在直线上，所以 ； （3）点在平面内，所以平面； （4）点不在平面内，所以平面. 【题型二】点(线)确定的平面数量问题 【典例2-1】一条直线和直线外的三点所确定的平面有（   ） A．1个或3个 B．1个或4个 C．1个，3个或4个 D．1个，2个或4个 【答案】C 【分析】分别按照直线外的三点共线，两点共线，三点不共线讨论，即可得到答案. 【详解】若三点在同一条直线上， 且与已知直线平行或相交，即该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面； 若三点中有两点的连线和已知直线平行时可确定3个平面； 若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面， 故选：C 【变式2-1】已知空间四点中，无三点共线，则经过其中三点的平面有（    ） A．一个 B．四个 C．一个或四个 D．无法确定平面的个数 【答案】C 【分析】由过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面分析判断即可. 【详解】若空间中的四点共面，则经过其中的三点的平面只有一个， 若空间中的四点不共面，设这四点为，由于无三点共线，所以由公理2，可知过三点确定一个平面，过三点确定一个平面，过三点确定一个平面，过三点确定一个平面，所以经过其中三点的平面有4个， 综上，空间四点中，无三点共线，则经过其中三点的平面有1个或4个， 故选：C 【变式2-2】（24-25高二·上海·课堂例题）空间任意五点最多可确定________个平面． 【答案】 【分析】要使平面最多，则任意三点不能共线，再根据任意三个不共线的点确定一个平面即可得解. 【详解】要使平面最多，则任意三点不能共线，设这五个点分别为， 任取三个点有共种， 又任意三个不共线的点确定一个平面， 所以空间任意五点最多可确定个平面. 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高二·上海·课堂例题）从同一点出发的四条射线能确定个平面，则所有可能的取值是________． 【答案】1，3，4，6 【分析】按共点的4条射线共面情况，分类讨论即可得解. 【详解】4条射线在空间的位置关系有：任何3条都不共面，仅有3条共面，有2条射线反向共线，4条共面，共三种情况， 当4条射线中任何3条都不共面时，如四棱锥的四条侧棱，可以确定6个平面； 当4条射线中仅只3条共面时，可以确定4个平面； 当4条射线中有2条射线反向共线时，可以确定3个平面； 当4条射线共面时，可以确定1个平面， 所以所有可能的取值是1，3，4，6. 故答案为：1，3，4，6 【题型三】三点共线证明题 【典例3-1】若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且，求证O，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】根据“两条平行的直线确定一个平面”以及“两平面相交，则交线为一条直线”推理. 【详解】 ，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则， ，又直线 ， ∴O，C，D三点共线． 【变式3-1】（2025高二上·上海·专题练习）已知三边所在直线分别与平面α交于三点，求证：三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】根据平面的基本性质即可求证. 【详解】∵是不在同一直线上的三点 ∴过有一个平面 又,且，所以， 设，则 同理可证：， 所以三点共线    【变式3-2】如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【答案】，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 【分析】推导出、、是平面与平面的公共点，由此能证明，，三点共线． 【变式3-3】如图，已知的各顶点都在平面外，且直线，，分别与平面交于点，，，求证：，，三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】先连接，确定平面，再证明点在上，即可得出结论成立. 【详解】因为，，连接， 又平面， 所以平面， 又因为， 所以，且平面， 即点为平面与平面的公共点， 所以， 因此，，三点共线. 【点睛】本题主要考查证明三点共线，熟记平面的性质，以及点线面位置关系即可，属于常考题型. 【题型四】多线共面证明 【典例4-1】已知：，求证：直线共面于.    【答案】证明见解析 【分析】根据平面基本性质，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内,可证明结论. 【详解】， . 同理可得，， 所以直线共面于. 【变式4-1】如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由．    【答案】共面 【分析】根据平面的基本性质，以及点、线与面的位置关系，即可求解. 【详解】由直线 ，可得直线在同一个平面内，设为平面， 因为平面，且直线，所以平面， 又因为平面，且直线，所以平面， 因为直线，直线，所以直线平面， 所以三条中线在同一个平面内. 【变式4-2】（24-25高二上·上海·课后作业）直线，，直线l和a、b、c分别交于点A、B、C，求证：a、b、c、l共面． 【答案】证明见解析 【分析】由平行公理即可得证. 【详解】因为，所以a和b确定平面． 因为，所以，同理． 由公理1得．又因为， 所以b和c确定平面．同理． 故且，且， 由公理3得，与重合．所以a、b、c、l共面． 【变式4-3】已知直线l与三条平行线a、b、c都相交（如图），求证：l与a、b、c共面． 【答案】证明见解析 【分析】设a∩l＝A，b∩l＝B，c∩l＝C，由a∥b，得过a、b可以确定一个平面α．由b∥c，得过b、c可以确定一个平面β，由已知推导出α与β重合，从而能证明a、b、c、l共面． 【详解】证明：如图，设a∩l＝A，b∩l＝B，c∩l＝C， ∵a∥b，∴过a、b可以确定一个平面α． ∵A∈a，B∈b，a、b⊂α， ∴A∈α，B∈α，∴AB⊂α，即l⊂α． 又∵b∥c， ∴过b、c可以确定一个平面β，同理可证l⊂β． ∵α、β都过相交直线b、l， ∴α与β重合， ∴a、b、c、l共面． 【点睛】共面问题的证明常有下列方法： 1．先作一个平面，再证明有关的点或线在这个平面内； 2．先过某些点或线作多个平面，再证明这些平面重合； 3．用反证法．本题采用方法2证明较好． 【题型五】多点共面证明 【典例5-1】（25-26高三·上海·一轮复习）已知在正方体中，分别为、的中点，，．求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】先证明平行，再根据两平行线可确定一平面证明共面. 【详解】证明：因为是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以在一个平面内，即四点共面． 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【答案】证明见解析 【分析】可得，，所以可得，即可求证. 【详解】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 【变式5-2】（24-25高二·上海·课堂例题）空间四边形中，点分别在上，且．求证：四点共面． 【答案】∵， 所以，，得到， 所以四点共面. 【分析】根据条件，利用基本事实2的推论3，即可证明结果. 【详解】略 【变式5-3】（25-26高二上·上海·开学考试）在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是、边上的点，且．    (1)求证：、、、四点共面； (2)若四面体为棱长为6的正四面体，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用平行的传递性证明即可； （2）表示出、，利用余弦定理求出 ，即可得解. 【详解】（1）如图，连接，    因为、分别是、的中点，所以，又， 所以，所以， 所以、、、四点共面； （2）因为四面体为棱长为6的正四面体，又，则， ∴， 因为、分别是、的中点，则， ∴ ， ∴ . 【题型六】相交平面 【典例6-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到，所以四边形为平行四边形，求出经过、、的截面为平行四边形. 【详解】取的中点，连接， 因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为， 所以，， 故， 所以四边形为平行四边形， 故经过、、的截面为平行四边形. 故选：D 【变式6-1】已知线段AB的长度为16，其两个端点到平面的距离分别是2和8，则这条线段的中点到平面的距离是_____________. 【答案】5或3/3或5 【分析】分线段的两个端点在平面的同侧还是异侧两种情况讨论. 【详解】当线段两端点在平面同侧时，中点到平面 的距离为，当线段 的两个端点在平面的异侧时，的中点到平面的距离为 综上所述为，5或3 . 故答案为：5或3 【变式6-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）在空间四边形中，依次为边的中点，已知，且，则_________． 【答案】 【分析】利用中位线平行，可证线线垂直，从而利用勾股定理求线段长. 【详解】    如图，由依次为边的中点，可得：， 因为，， 所以，， 即， 故答案为： 【变式6-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    【答案】如图，    连接MP并延长交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交的延长线于F，连接NF交于H，连接MH， 则五边形MHNGP为过M、N，P三点的平面截正方体所得的截面． 【分析】根据作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面即可求解. 【详解】略 【题型七】斜二测画法中有关量的计算 【典例7-1】（24-25高二上·上海崇明·期中）的斜二测直观图如图所示，则的面积是（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合斜二测画法规则，求出的底边及这边上的高即可计算得解. 【详解】依题意，由斜二测画法规则知，的底边，边上的高， 所以的面积是. 故选：D 【变式7-1】（25-26高二上·上海·期中）如图是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是________ 【答案】 【分析】根据直观图的几何特征求出其面积，再利用原图形面积与直观图面积的数量关系求解。 【详解】在直观图 中，，，且斜边 . ， 则直观图的面积； 根据斜二测画法的性质，原平面图形的面积与直观图面积满足关系， 所以该平面图形的面积. 【变式7-2】（24-25高二·上海·课堂例题）将边长为10的正三角形ABC，按斜二测画法在水平放置的平面上画出，如图三角形，求的长． 【答案】 【分析】利用直角坐标系、“斜二测”画法作图，再利用余弦定理求出边长. 【详解】如图，边上的高为， 用斜二测画法后为边上的中线长为， 且，由余弦定理得 ， 所以. 【变式7-3】（25-26高二上·上海·期中）画出如图水平放置的直角梯形的直观图，若图中1单位为1cm，求直观图的面积. 【答案】 面积为 【分析】借助斜二测画法画出直观图即可得；再求出直观图上下底及高即可得面积. 【详解】第一步：结合所给图形，画出相应的轴和轴，使； 第二步：在轴上截取， 在轴上截取，过点作轴的平行线， 在上沿轴正方向取点，使得，连接； 第三步：所得四边形就是直角梯形的直观图； 四边形为梯形，高为， 故直观图的面积. 一、平面基本性质 1. 平面本质特征 平面具有无限延展性、无厚度、绝对平整，作图仅为局部示意，解题默认全域延展。 2. 空间符号规范 点属于线/面：；直线包含于平面：，符号不可混用。 3. 三大核心公理 公理1（线在面内判定）：直线上两点在平面内，则整条直线在平面内。 用途：证线在面内、证点共面。 公理2（平面唯一性）：不共线三点确定唯一一个平面。 推论：直线+线外一点、两相交直线、两平行直线，均可确定唯一平面。 公理3（面面相交）：两不重合平面有公共点，则必有唯一公共交线。 用途：证多点共线、找面面交线。 二、相交平面 1. 两平面位置关系（不重合） 平行：，无公共点； 相交：，有且仅有一条公共直线。 2. 核心必考结论 两平面不可能只有一个公共点，只要相交，公共点全部在交线上；平面无限延展，不可局限作图范围判断位置关系。 3. 作图规范 可见线条画实线，被遮挡线条画虚线，保证空间立体感。 三、斜二测画法 1. 建系规则 直观图坐标系夹角： 或 。 2. 长度变换规则 3. 图形性质变化 平行关系保持不变；垂直关系消失；矩形、正方形直观图均为平行四边形。 4. 面积换算公式（考试必考） 四、本节解题总结 1. 共面证明：先定唯一平面，再证剩余点、线落在平面内； 2. 共线证明：证多点同属两个相交平面，即在交线上； 3. 面面问题：相交必出直线，无单点相交； 4. 直观图问题：只缩y轴、平行不变、面积比例固定。 一、单选题 1. （25-26高二上·上海·期末）已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】采用截面扩展法找出截面与各条棱的交点，即可得到截面形状. 【详解】 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点， 连接，交于，连接，交于， 连接，. 则五边形即为过与该正方体的截面. 故选：C. 2．（25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）下列关于空间中不重合的两条直线说法中错误的是（    ） A．这两条直线可能既共面，又共点 B．这两条直线可能既不共面，又不共点 C．这两条直线可能共面但不共点 D．这两条直线可能共点但不共面 【答案】D 【分析】根据空间点线面面位置关系、基本事实一及推论判断即可. 【详解】设是空间中不重合的两条直线， 对于A，若直线相交于一点，则这两条直线可能既共面，又共点，故A说法正确； 对于B，若直线是异面直线，则这两条直线既不共面，又不共点，故B说法正确； 对于C，若直线是平行直线，这两条直线共面但不共点，故C说法正确； 对于D，若直线相交于一点，则直线一定共面，故D说法错误. 故选：D 3．（24-25高一下·上海·阶段检测）用斜二测画法画三角形OAB的直观图，如图所示，已知，，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】由题意，借助于等腰直角三角形，求得，再根据在轴上即可求得其长. 【详解】在斜坐标系中，因，，且， 则， 因在轴上，故在轴上，且. 故选：D. 二、填空题 4．（25-26高一下·上海·阶段检测）下列命题中为真命题的是__________.（请写出全部真命题的序号） ①若空间四点共面，则其中必有三点共线； ②若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； ③若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； ④若空间四点不共面，则其中任意三点不共线. 【答案】②④ 【分析】利用平面的基本性质及空间想象判断各项的正误即可. 【详解】①空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线，错误； ②空间四点中有三点共线，若第四个点在直线上，则必四点共面， 若第四个点不在直线上，由直线与其外一点确定一个平面，此四点也必共面，正确； ③空间四点中任何三点不共线，此四点可能共面，如平面四边形，错误； ④空间四点不共面，假设任意三点有共线的，同②分析此四个点必共面，与已知矛盾，正确. 5．（25-26高二上·上海·期中）如图，三角形是用斜二测画法画出的边长为1的正三角形的直观图，则其底边上的高的值为___________． 【答案】 【分析】利用公式求得直观图面积即可求解. 【详解】， 所以， 设底边上的高为， 则， 得， 故答案为： 6．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，正方体中，分别为的中点，则    ①四点共面 ② ③三线不共点 ④ 以上四个结论中，正确结论的序号是______. 【答案】①② 【分析】由题意可得，，从而得，即可判断①，②；由与的数量关系可得，四边形为梯形，为腰，设，由点线面的位置关系及公理2，可得，从而判断③；求得，，即可判断④. 【详解】解：由题意可得，， ，， 所以且， 所以四点共面，故①，②正确； 所以四边形为梯形，为两底， 因为四边形为梯形，为腰， 所以设， 所以平面，平面， 又因为平面平面， 所以， 所以三线共点，故③错误； 易知三角形为等腰直角三角形， 所以； 设正方体的棱长为1， 在中，, 所以 又因为， 所以， 所以，故④错误. 故答案为：①② 三、解答题 7．画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.    【答案】答案见解析，的面积为 【分析】根据斜二测画法的规则，即可求得四边形的直观图. 【详解】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形的直观图， 如图所示，则的面积为.    8．已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【答案】证明见解析. 【分析】先证明平面与平面相交于,再根据线面关系证明在直线上,即可证明三点共线. 【详解】因为, 所以平面平面 , 因为平面,平面,且, 所以, 即三点位于同一直线上. 9．如图，正方体的棱长为4cm，分别是和的中点． (1)画出过点的平面与平面及平面的两条交线； (2)设过的平面与交于点P，求PM+PN的值． 【答案】(1)图象见解析； (2) 【分析】（1）由平面的性质，作出过点的平面与正方体的截面，即可求出； （2）利用三角形相似分别求出，即可求得. 【详解】（1）如图所示，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，交延长线于点，连接交于点，连接，则即为所求作的截面． 如图示：平面与平面的交线为，平面与平面的交线为. （2）由N为的中点，易得，所以， 因为，所以，得， 所以，，， 所以，． 所以． 10．如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）证明，即可说明、、、四点共面. （2）先证明点面和面，即点在面与面的交线上在证明面 面 ，即点 ，即可得到答案. （3）延长交于,由于面 面 ，则在交线上. 【详解】（1）连接 在长方体中 、分别是和的中点 、、、四点共面 （2） 确定一个平面 面 面 对角线与平面交于点 面 在面与面的交线上 面且面 面 面 即点共线. （3）延长交于 面 面 面 面 面 面 、、三线共点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $