3.5点与圆、直线与圆的位置关系（5）导学案2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦三角形内切圆内容，引导学生理解内切圆、内心的概念及性质，掌握尺规作图方法和角度计算。通过复习切线性质，结合三角形纸片裁剪情境提问，搭建旧知到新知的学习支架。 资料以“实际问题—作图探究—概念生成—例题演练”为主线，设计内心与外心对比辨析，典例综合切线性质等定理，分层练习兼顾不同水平，培养学生几何直观与逻辑推理素养，助力知识系统掌握与能力提升。

3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（5） —三角形的内切圆 学业质量要求： 1. 通过三角形纸片裁剪的实际情境探究理解三角形内切圆、内心的概念，掌握三角形内切圆的尺规作图方法，知晓内心的由来. 2. 掌握内心的性质，能辨析内心与外心；结合切线性质、四边形内角和、圆周角定理完成内切圆角度计算；掌握直角三角形内切圆相关计算方法. 3. 经历 “实际问题 — 作图探究 — 概念生成 — 例题演练” 的探究流程，发展几何直观与逻辑推理素养. 学习重点： 三角形内切圆、内心的概念；内心性质；内切圆尺规作图；内切圆角度计算. 学习难点： 理解三角形内切圆的作图原理；内切圆背景下多个定理综合运用. 学习过程： 一、温故启新，驱动思考 1. 切线的性质：圆的切线垂直于________________________. 2. 课本情境思考：要从一张三角形纸片中剪一个圆，如何使剪得的圆面积最大？ 猜想：要使剪出的圆面积最大，这个圆需要与三角形__________. 此时，这个圆的圆心到三角形三边的距离________. 二、自主探究，新知建构 1.三角形内切圆的尺规作图 分析：到角两边距离相等的点，在角的平分线上；因此到三角形三边距离相等的点，是三角形两条__________的交点. 作法： ①分别作∠ABC，∠ACB的平分线BM，CN，BM 与 CN 的交点为O. ②过点O作OD⊥BC，垂足为D. ③以点O为圆心，OD 长为半径作⊙O，⊙O即为所求. 思考：为什么以OD为半径画出来的圆，会同时和三角形三条边相切？ ________________________________________________________. 2.核心概念 （1）三角形的内切圆：与三角形________________________的圆叫作三角形的内切圆. （2）三角形的内心：内切圆的圆心叫作三角形的内心，是三角形______________. （3）外切三角形：这个三角形叫作圆的外切三角形. 如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，则△ABC 是⊙O 的__________. 3.内心的相关知识点 （1）内心是三角形三条角平分线的交点； （2）内心到三角形________________________，这个距离就是内切圆的半径； （3）内心一定在三角形________（填 “内部” 或 “外部”）. 4.辨析对比：内心 VS 外心 名称 形成条件 核心性质 位置特点 外心（外接圆圆心） 内心（内切圆圆心） 5.典例剖析 例1 如图，⊙O 是△ABC的内切圆，切点分别为 D,E,F，∠B=60°，∠C=70°.求∠EDF的大小. 思路分析：∠EDF 是圆周角，它所对的圆心角是∠EOF；先由三角形内角和算出∠A；再由切线性质得到两组直角；利用四边形内角和求出圆心角∠EOF；最后用圆周角定理求∠EDF. 解： 拓展： 若∠A=n°，其余条件不变. （1）∠EDF= ° （2）连接OB，OC，则∠BOC= °，∠BOC与∠EDF的关系为 . 三、学以致用，当堂巩固 1. 《九章算术》勾股容圆：已知直角三角形两直角边长为 15,8，求内切圆的直径. 2. 如图，点 C,D 分别在射线 OA,OB 上.用直尺和圆规作⊙P，使⊙P 与 OA,OB,CD 都相切. 3．如图，在中，，，，内切于，切点分别为，，，设内切圆半径为，求的值． 四、梳理归纳，素养提升 1.根据下面知识结构图,自主完善本节课知识框架： 2.课堂反思 （1）内心和外心在形成、性质上有什么不同？ （2）为什么三角形的内心一定在三角形的内部？ 五、分层落实，拓展延伸 1．下列四种说法：①一个三角形有且只有一个外心；②一个圆有且只有一个外切三角形；③一个圆有且只有一个内接三角形；④一个三角形的外心与内心可能重合，其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 2.如图，在中，，是内心，是外心，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3. △ABC中，∠A=50° (1)若点O是△ABC的外心，则∠BOC= . (2) 若点O是△ABC的内心，则∠BOC= . 4.分别作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内切圆，并说明三角形的内心是否都在三角形内. 5．如图，已知的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 6．如图，⊙I切△ABC的边分别为D，E，F，∠B＝80°，∠C＝60°，M是上的动点（与D，F不重合），∠DMF的大小一定吗？若一定，求出∠DMF的大小；若不一定，请说明理由． 分层落实，拓展延伸参考答案 1.【答案】D 【知识点】三角形内心、外心定义 【分析】逐一判断四条命题正误，结合内心、外心性质筛选. 【详解】解：①一个三角形有且只有一个外心，正确. ②一个圆有无数个外切三角形，错误. ③一个圆有无数个内接三角形，错误. ④等边三角形的外心与内心重合，正确. 综上①④正确，故选 D. 2.【答案】C 【知识点】三角形内心、外心角度结论 【分析】先用内心角度公式求出∠A，再利用外心圆心角定理计算∠BOC. 【详解】解：∵I 是△ABC 的内心， ∴∠BIC=90°+∠A. ∵∠BIC=125°， ∴125°=90°+∠A，解得∠A=70°. ∵O 是△ABC 的外心， ∴∠BOC=2∠A=140°，故选 C. 3.【答案】(1) 100°；(2) 115° 【知识点】三角形外心、内心角度计算公式 【分析】区分外心、内心对应的角度关系式，代入∠A=50° 计算. 【详解】解：(1)∵O 是△ABC 的外心， ∴∠BOC=2∠A=2×50°=100°. (2)∵O 是△ABC 的内心， ∴∠BOC=90°+∠A=90°+25°=115°. 4.【答案】内心全部在三角形内部 【知识点】三角形内切圆作法、内心位置特征 【分析】内心为内角平分线交点，内角平分线始终在三角形内部. 【详解】解：作图步骤：作出三角形任意两条内角平分线，交点即为内心；过内心向三角形一边作垂线段，以内心为圆心，垂线段长度为半径画圆，得到内切圆. 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部. 5.【答案】2 【知识点】三角形内切圆面积公式 S=Cr 【分析】利用三角形面积、周长与内切圆半径的关系式直接求解. 【详解】解：设内切圆半径为 r. ∵S=Cr，S=24，周长 C=24， ∴24=×24×r， 解得 r=2. 6.【答案】大小一定，∠DMF=70° 【知识点】三角形内切圆性质、圆周角定理 【分析】先求出∠A，求出劣弧 DF 对应的圆心角∠DIF，再依据圆周角定理计算∠DMF. 【详解】解：∠DMF 的大小一定. ∵∠B=80°，∠C=60°， ∴∠A=180°−∠B−∠C=40°. ∵⊙I 切 AB 于 D，切 AC 于 F， ∴ID⊥AB，IF⊥AC，∠IDA=∠IFA=90°. 在四边形 IDAF 中， ∠DIF=360°−∠IDA−∠IFA−∠A=360°−90°−90°−40°=140°. ∵点 M 在优弧上，∠DMF 是劣弧 DF 所对的圆周角， ∴∠DMF=∠DIF=×140°=70°. 学科网（北京）股份有限公司 $