3.5点与圆、直线与圆的位置关系（1）导学案2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“点与圆的位置关系”，核心内容为探索并掌握点与圆的三种位置关系及点到圆心距离d与半径r的数量等价关系。课堂导入通过回顾圆的集合定义，结合画图操作提问“点与圆有怎样的位置关系”，以旧知为支架衔接新知，构建知识脉络。 该资料特色在于通过自主探究建立“位置关系”与“数量大小”的双向转化，典例分析（如矩形、线段问题）与分层习题结合生活情境，知识结构图与反思问题促进自主梳理。培养几何直观（数学眼光）、推理意识（数学思维），发展数形结合思想，提升应用能力。

3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（1） —点与圆的位置关系 学业质量要求： 1.探索并掌握点与圆的三种位置关系，理解点到圆心距离d与半径r的数量等价关系；理解圆、圆内部、圆外部的集合定义. 2.能运用数量关系判定点与圆的位置关系，会根据点与圆的位置关系求解半径取值范围，发展几何直观与数形结合思想. 学习重点： 点与圆三种位置关系及其对应的数量关系. 学习难点： 建立 “位置关系” 与 “数量大小” 之间双向转化的数形联系；综合几何计算判断点和圆的位置. 学习过程 一、回顾旧知，铺垫新知 1.圆的定义：到 的点的集合. 2.在纸上任意画一个圆，再任意画一个点.这个点与圆有怎样的位置关系?如何判断点与圆的位置关系? 二、自主探究，新知建构 1. 探究点与圆的位置关系 （1）如图，动点从圆心向外移动，存在三类位置： 点在圆 、点在圆 、点在圆 . 设⊙O半径为 r，点P到圆心O的距离为d： 点P在圆内 ⇔ ；点P在圆上 ⇔ ；点P在圆外 ⇔ . （2）集合语言解读 圆：到圆心距离 半径的点的集合； 圆的内部：到圆心距离 半径的点的集合； 圆的外部：到圆心距离 半径的点的集合. 2. 典例分析 例1 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点A为圆心，4 为半径作⊙A.点B，C，D分别与⊙A 有怎样的位置关系？ 思路分析:判定点与圆位置关系，核心步骤： ①求出各点到圆心A的距离； ②将距离与半径4比较大小. 矩形中利用勾股定理计算对角线AC长度，再对比距离与半径完成判断. 解： 例2 如图，线段PQ=4 cm. (1)画出图形：到点P的距离等于2 cm的点的集合；到点Q的距离等于3 cm的点的集合. (2)在所画图中，到点P的距离等于2 cm，且到点Q的距离等于3 cm的点有几个？请在图中将它们表示出来. (3)在所画图中，到点P的距离小于或等于2 cm，且到点Q的距离大于或等于3 cm的点的集合是怎样的图形？在图中将它表示出来. 三、学以致用，当堂巩固 1. 已知⊙O 的半径为 4.如果点 P₁，P₂，P₃到圆心 O 的距离分别为 4.5，4，3，那么点 P₁，P₂，P₃与⊙O 分别有怎样的位置关系？ 2. 在平面上给定一个点 A，用图形表示到点 A 的距离小于或等于 2，并且大于或等于 1 的点的集合. 3. 如图，在△ABC 中，AB＝3，AC＝5，⊙A 的半径为 r，点 B 在⊙A 内，点 C 在⊙A 外.求 r 的取值范围. 四、梳理归纳，素养提升 1.根据下面知识结构图,自主完善本节课知识框架： 2.课堂反思 ① 判断点与圆位置关系的唯一标准是什么？ ② “点在圆上” 和 “d＝r” 为什么可以互相推出？双向等价有什么用处？ ③ 已知点的位置求半径范围，如何正确列出不等式？容易出现什么错误？ 五、分层落实，拓展延伸 1. 若⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为，则点与⊙O的位置关系是（ ） A. 在圆上 B. 在圆内 C. 在圆外 D. 无法判断 2. 点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A. B. C. D. 3.已知⊙O的直径为6 cm，点A不在⊙O内，则OA的长（ ） A.大于6 cm B.大于3 cm C.不小于3 cm D.不小于6 cm 4.在直角中，为斜边上的中线，以点D为圆心，以为直径作，则点C与的位置关系为（     ） A.点C在圆外 B.点C在圆内 C. 点C在圆上 D.不能确定 5.已知⊙O半径r=5 cm， 点P在⊙O外，则线段OP的取值范围是 . 6.有一点到圆的最大距离为9 cm，最小距离为3 cm，则圆的半径是 cm. 7.在平面上给定一个定点A，用图形表示到点A的距离小于或等于2，并且大于或等于1的点的集合. 分层落实 拓展延伸参考答案 1.【答案】C 【知识点】点与圆的位置关系 【详解】解：∵⊙O 半径 r=2，OP=3， ∴OP>r， ∴点 P 在⊙O 外.故选 C. 2.【答案】D 【知识点】点与圆的位置关系 【详解】解：∵点 P 到圆心 O 的距离为 6，点 P 在圆外， ∴点在圆外⇔d>r，6>r，也就是 r<6.故选 D. 点 P 到圆心距离 d=6，点 P 在圆外 ⇒ d>r ⇒ 6>r ⇒ r<6，对应选项 D 3.【答案】C 【知识点】点与圆的位置关系 【详解】解：∵⊙O 直径为 6cm， ∴半径为 3cm. ∵点 A 不在⊙O 内， ∴OA≥3cm，即 OA 不小于 3cm.故选 C. 4.【答案】C 【知识点】直角三角形斜边中线性质、点与圆位置关系 【详解】解：∵△ABC 是直角三角形，CD 是斜边 AB 上的中线， ∴CD=AB. ∵以 AB 为直径作⊙D，⊙D 半径为 1/2AB， ∴CD 等于⊙D 半径， ∴点 C 在⊙D 上.故选 C. 5.【答案】OP>5cm 【知识点】点与圆的位置关系 【详解】解：∵⊙O 半径 r=5cm，点 P 在⊙O 外， ∴OP>5cm. 6.【答案】6 或 3 【知识点】点与圆上点距离最值（分点在圆内、圆外两类） 【详解】解：分两种情况： ①当点在圆内时，直径 = 9+3=12cm，半径 = 6cm； ②当点在圆外时，直径 = 9−3=6cm，半径 = 3cm. 综上，圆的半径为 6cm 或 3cm. 7.【答案】以点 A 为圆心，1 为半径的圆和以点 A 为圆心，2 为半径的圆所围成的圆环（包含内外两个圆周）. 【详解】解：到点 A 的距离≥1，且≤2 的点的集合： 以点 A 为圆心，分别以 1、2 为半径画同心圆，夹在两圆之间的圆环区域，内圆、外圆的圆周都包含在内. 学科网（北京）股份有限公司 $