1.1.2 空间向量的数量积运算 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量的数量积运算同步练通过基础巩固与能力提升分层设计，覆盖从概念运算到几何应用的知识路径，适配新授课基础夯实与能力初步提升需求，培养空间观念、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|数量积定义、运算律、夹角与模长计算，正方体、长方体中简单应用|题型多样（单选、多选、填空、解答），聚焦概念辨析（如运算律判断）与基本运算（如向量数量积、模长计算），夯实基础| |能力提升|空间四边形、三棱柱中向量表示与长度计算|以综合解答题呈现，需结合几何情境进行向量分解与运算，深化空间观念与推理能力，实现从单一到综合应用的进阶|

1.1.2空间向量的数量积运算同步练 【基础巩固】 一、单选题 1.在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，AA,BC,=（） A.2V2 B.4V2 C.2 D.4 2.已知空间向量a6ē满足a+6+=0a=1'6)=3=7:则a卢5的夹角为 () A.45° B.60° C.90° D.120° 3.关于空间向量a,b,c,下列运算错误的是() A.a.b=b.a B.(a+b).c=a.c+B.c c.λab=ab D.(a.b).c=a.(B.c) 4.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，设AB=a,AD=6,AA,=则 a·26-3的值为() A D C c A.1 B.0 C.-1 D.-2 二、多选题 5.己知长方体ABCD-A1B1CD1,则下列向量的数量积可以为0的是() A.AD,BC B.BDAC C.ABAD D. BD BC 6.已知非零空间向量ā，b,c,则下列说法正确的是() 试卷第1页，共3页 A.若a/b,b/c,则a/c B.a.b=b.a C.(a.b).c=a.(B.c) D.若：=xa+ybx,y∈Rr则a,6,2不英 面 三、填空题 7.己知向量a,的夹角的余弦值为，a=2,)=4,则ā·6-= 8.已知空间向量a,6的夹角为号1a=2,1=3,则ā+26= 9.已知空间向量a,6,两两夹角为60：且a=6==1'则|a-6+2c= 四、解答题 10.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=4,AD=3,AA=5, ∠BAD=90°，∠BAA=60°，求： D B D B (四AA·AB (2AB的长 【能力提升】 11.如图，在空间四边形OABC中，E是线段BC的中点， 试卷第2页，共3页 (1)试用OB,OC表示向量O龙： (2)若OA=2,OB=3,OC=4,∠AOC=∠BOC=60°，∠AOB=90°，求OE·AB的 值. 12.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M,N分别是A1B,A1C1上的点，且 2BM=AM,C N=2ANAB=@'AC=B'AA=c A B A B (①)试用a,b,c表示向量MN: ②)若∠BAC=90:∠BAA,=∠CAA,=60'AB=AC=AA,=2求线段MN的长. 试卷第3页，共3页 【参考答案】 1.【详解】 D A B 8 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 易知AA=2:BC1=2V2 因为AA1=B成，B商与BC,的夹角为好， 所以A有，与BC,的夹角为好 AiBC-Ai-川骨-2×22x要-4 故选：D 2.【详解】设à与b的夹角为0， 由a+i+c=0得à+i=-c,两边平方得 1aP+2à·i+lbP=|c, 所以1+2×1×3×c0s0+9=7, 所以cos0=号 所以0=120. 故选：D. 3.【详解】由数量积运算的交换律可得à·b=b·a,选项A正确 由数量积运算的分配率可得a+-=a·亡+6·2选项B正确， 由数量积运算的数乘结合律可得ā~6=ā~选项C正确， a-表示与：共线的向量，a-6表示与共线的向量(a-62与a6不一定相 答案第1页，共2页 等，选项D错误 故选：D 4.【详解】由正方体的性质可得，AB⊥AD,AB1AA:故 AB·AD=0,AB·AA1=0,AB=à，AD=b,AA1=' .a-2b-3c=a2b-a3c=0 故选：B 5.【详解】如图所示： B1 A R D 若AA1AD,则AD1⊥B1C,A正确： 若AB=AD,则BD1⊥AC,B正确； ,AB⊥平面AA1DD,∴AB⊥AD,C正确： ,BD和BC分别为矩形A1DCB的对角线和边， ∴两者不可能垂直，D错 故选：ABC 6.【详解】对于A,因为a,石，c是非零向量，且满足a∥6，c/石，故存在实数入，μ使得 a=b,b=μc,故a=c,所以a∥c,故正确： 对于B,因为a方之是非零向量，所以a6=a6)cosa,6=6-a故正确： 对于C,(a6-=mm∈Rr6小-a=nan∈Rra与：未必共线，故不正确： 对于D,由平面向量基本定理可得若：=xā+yiX,y∈R”则a6,共面，放不正确 故选：AB 答案第2页，共2页 7,【详解】由题意可得6=2×4×上=2， 4 所以a6-a=a6-=2-22=-2 故答案为：-2 8。【详解】由空间向量à，的夹角为号1=2,61-3，得 a-6=l61cosg=2×3x=3. 所以1a+26=a+46+4ā-6=2+4×3+4×3=213 故答案为：2V13 9.【详解】依题意，a·i=b=a=1 则la-b+2=(a-i+2c2 r+B248r-20h-46+4086-2×分42*4×5， 2 a-b+2c=5 故答案为：5. 10.【详解】(1)AA·恋=AAA恋c0s∠AAB=5×4×10. (2)因为AB=AA+A恋 所以1AB1=(AA+ABP=(AA2+2AA·AB+(ABP=/25+20+16=6I 11.【详解】(1)O龙=OB+B驼=OB+号BC=OB+号(OC-O=号O成+O元： (2)0元：B=号+0心(oi-0A)=)lo+o成-0i+0c.0i-0元.0i =9+0+o-oi·cos∠B0C-o-∠A0C 答案第3页，共2页 9+4×3×42 12.【详解】(1)解：因为2BM=A1M,C1N=2A1N, 根据空间向量的运算法则，可得M亦=AN-A,M=号AC-(AB-AA》 -号恋+兮成+号号a+6+号 21 3 3 3 (2)解：因为∠BAC=90:∠BAA1=∠CAA1=60,AB=AC=AA1=2 可得a·b=0且b·c=ac=2, 则(-号+号6-号-486+4245i+46-时， 号16+4+16-0+8-16)=28所以-27， 31 V7 即线段MN的长 3· 答案第4页，共2页