1.1.2　空间向量的数量积运算同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练通过A级基础巩固与B级能力提升的分层设计，实现从空间向量基本运算到综合几何应用的知识进阶，培养数学思维与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|空间向量数量积、投影向量、模长计算等基础知识点|选择、多选、填空结合解答题，如正四面体夹角计算，强化运算能力| |B级|空间四边形、三棱锥、平行六面体中的向量综合应用|复杂几何模型问题，如平行六面体向量表示与模长求解，提升逻辑推理能力|

1.1.2　空间向量及其运算 A级 必备知识基础练 1.如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=3,AD=4,E为棱BC的中点,则=(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 2.已知空间单位向量a,b的夹角为,向量c=a-4b,则向量c在a方向上的投影向量为(　　) A.4a B.3a C.-a D.a 3.已知空间向量a=(-1,m,2),b=(2,-1,2),若a·b=3,则cos<a,b>=(　　) A. B. C. D. 4.如图,在棱长为1的正四面体ABCD中,M,N分别为棱BC,AD的中点,则直线AM和CN夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 5.(多选题)已知四面体ABCD中,AB,AC,AD两两互相垂直,则下列结论中,一定成立的是(　　) A.||=|| B.||2=||2+||2+||2 C.()·=0 D. 6.(多选题)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,则下列向量的数量积可以为0的是(　　) A. B. C. D. 7.已知空间向量a,b的夹角为,|a|=2,|b|=3,则a·(a+3b)=　　　　.  8.已知|a|=4,|b|=5,分别求下列条件下a与b的数量积. (1)a与b的夹角为60°; (2)a与b的夹角为150°; (3)a⊥b; (4)a∥b. 9.在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的长. B级 关键能力提升练 10.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等,E是BC的中点,那么(　　) A. B. C. D.的大小不能比较 11.如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则向量在向量上的投影向量为　　　　　(用向量来表示).  12.如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=4,AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°.求: (1);(2)AB'的长;(3)AC'的长. 13.如图,已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=60°,设=a,=b,=c. (1)用a,b,c表示,并求||; (2)求. 参考答案 1.D　由题可得=0. ∵)=)=-2),,∴-2)·()=. ∵DB=DC,∴,∴=0.故选D. 2.B　空间单位向量a,b的夹角为,向量c=a-4b,所以=(a-4b)·a=a2-4a·b=1-4×1×1×cos=3,所以向量c在a方向上的投影向量为3a.故选B. 3.A　∵空间向量a=(-1,m,2),b=(2,-1,2),a·b=3, ∴a·b=-2-m+4=3,解得m=-1, 故cos<a,b>=.故选A. 4.A　在正四面体ABCD中,∠BAC=∠BAD=∠CAD=.因为M,N分别为棱BC,AD的中点,所以),,所以)·()=)=×(-1)=-.由题可得,AM=CN=,所以|cos<>|=,即直线AM和CN夹角的余弦值为.故选A. 5.ABD　作如图所示的长方体,则四面体ABCD为长方体的一部分,设||=a,||=b,||=c. 由题可得,,||=,||=,故A正确;||2=||2=a2+b2+c2=||2+||2+||2,故B正确;∵AD⊥平面ACEB,BC⊂平面ACEB,∴AD⊥BC,即=0,∴()·=()·,但无法判断直线AE和BC是否垂直,故C不一定正确;由图易知,,故=0,故D正确.故选ABD. 6.ABC　如图,若AA1=AD,则AD1⊥B1C,故A正确;若AB=AD,则AC⊥BD.又BB1⊥平面ABCD,则BB1⊥AC.∵BB1∩BD=B,BB1,BD⊂平面B1BDD1,∴AC⊥平面B1BDD1.又BD1⊂平面B1BDD1,∴BD1⊥AC,故B正确;∵AB⊥平面AA1D1D,AD1⊂平面AA1D1D,∴AB⊥AD1,故C正确;∵BD1和BC分别为矩形A1D1CB的对角线和边,∴直线BD1和BC不可能垂直,故D错误.故选ABC. 7.13　由题知,向量a,b的夹角为,|a|=2,|b|=3, 则a·(a+3b)=a2+3a·b=|a|2+3|a||b|cos=22+3×2×3×=13. 8.解(1)a·b=|a||b|cos 60°=4×5×=10. (2)a·b=|a||b|cos 150°=4×5×(-)=-10. (3)当a⊥b时,a·b=0. (4)当a∥b时,<a,b>=0或π,则a·b=|a||b|cos<a,b>=±20. 9.解因为,所以||2=()2=||2+||2+||2+2+2+2=62+42+32+2||||cos 120°=61-12=49,所以||=7,即PC=7. 10.C　由题可得,)·() =(||2-||2)=0, =()· =·()+ =||||cos 120°-||||cos 120°+|||cos 120°<0. 故.故选C. 11.　在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,. ∵BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC,=0. 在△ABC中,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6, ∴=36,=||||cos(180°-∠ABC)=6×6cos(180°-120°)=18, ∴向量在向量上的投影向量为 = =. 12.解(1)=||||cos 60°=5×4×=10. (2)∵, ∴=()2=+2=52+2×5×4×+42=61,则||=,即AB'的长为. (3)∵, ∴=()2=+2() =16+9+25+2×(0+5×4×+3×5×)=85, ∴||=,即AC'的长为. 13.解(1)∵=a,=b,=c, ∴=a+b+c. ∵底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=60°, ∴||= = =. (2)由题可得,·()==c·b-c·a=2×1×-2×1×=0. 7 学科网（北京）股份有限公司 $