1.1.2空间向量的数量积运算同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用再到创新素养，梯度递进，适配新授课知识巩固与能力提升，培养数学眼光与思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|数量积定义、性质及简单运算|基础选择填空，巩固概念（如数量积性质判断、向量垂直求参数）| |B级|几何体中数量积综合应用|复杂几何体解答题，提升逻辑推理（如正四面体折叠、平行六面体取值范围）| |C级|投影向量与创新应用|创新题型，培养数学思维与语言表达（如投影向量模计算）|

1.1.2　空间向量的数量积运算 A级　必备知识基础练 1.(多选题)已知非零向量a,b,则下列选项中正确的是(　　) A.|a|2=a2 B. C.(a·b)2=a2·b2 D.(a-b)2=a2-2a·b+b2 2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱CC1上任意一点,则在平面ABCD上的投影向量为(　　) A. B. C. D. 3.已知a=2i-2j+λk,b=4i-j+5k(i,j,k为两两互相垂直的单位向量),若a⊥b,则λ=(　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 4.(2026安徽阜阳高二期中)已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,若=a,=b, =c,则(a+b)·(b-c)=(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 5.(2026福建泉州高二期末)在三棱锥A-BCD中,若AB⊥BD,CD⊥BD,BD=1,则=(　　) A. B.1 C. D.0 6.(2026浙江舟山高二期末)在空间四边形ABCD中,BD=CD,∠ADC=,∠ADB=,则cos<>的值是(　　) A. B. C.- D.0 7.已知空间向量a,b,c中每两个的夹角都是,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|=　　　　.  8.(人教B版教材习题改编)已知a,b都是空间向量,且<a,b>=,则<2a,-3b>=　　　　　. 9.(2026陕西咸阳高二月考)如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,M和N分别是BB'和CA'的中点. (1)求的值; (2)求证:. 10.(2026云南高二期末)如图,棱长为1的正四面体OABC中,=a,=b,=c,点M满足,N为BC中点. (1)用a,b,c表示; (2)求||. B级　关键能力提升练 11.(2026河北高二期末)在棱长为a的正四面体ABCD中,若()·()=-1,则a=(　　) A.2 B. C.1 D. 12.(2026重庆高二期末)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的中点, AE=3,AB=5,AD=3,∠BAA1=∠DAA1=60°,∠DAB=90°,则AA1的长为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 13.如图,已知矩形ABCD,AB=1,BC=,沿对角线AC将△ABC折起,当二面角B-AC-D的余弦值为-时,点B与点D之间的距离为(　　) A.1 B. C. D. 14.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1.若点P是底面A'B'C'D'上一点(包括边界),则的取值范围是　　　　　.  15.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=4,AD=4,AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA' =60°. (1)求; (2)求证:; (3)求A'C的长. C级　学科素养创新练 16.(2026广东高二期中)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E是CC'的中点,AB=2.设上的投影向量为a,=b,则|a+b|=(　　) A. B. C. D. 答案 1.AD　对于A,a2=|a||a|cos 0=|a|2,故A正确; 对于B,无意义,故B错误;对于C,(a·b)2=(|a||b|cos<a,b>)2=|a|2|b|2cos2<a,b>,故C错误; 对于D,由题可知,(a-b)2=(a-b)·(a-b)=a2-2a·b+b2,故D正确.故选AD. 2.A　如图所示,因为CC1⊥平面ABCD,M是棱CC1上任意一点, 所以在平面ABCD上的投影向量为.故选A. 3.C　由题可得,a·b=(2i-2j+λk)·(4i-j+5k)=8i2+2j2+5λk2-10i·j+(10+4λ)i·k+(-10-λ)j·k, ∵i,j,k为两两互相垂直的单位向量,∴i2=1,j2=1,k2=1,i·j=0,i·k=0,j·k=0, ∴a·b=8+2+5λ=10+5λ. ∵a⊥b,∴a·b=0,即10+5λ=0,解得λ=-2.故选C. 4.B　由题可知,a,b,c两两垂直,且其模长均为1, 则(a+b)·(b-c)=a·b-a·c+b2-b·c=0-0+1-0=1.故选B. 5.B　因为AB⊥BD,CD⊥BD,BD=1,且, 所以=()·=0+1+0=1.故选B. 6.D　在空间四边形ABCD中,BD=CD,∠ADC=,∠ADB=, 则·()= =||||·cos∠ADC-||||cos∠ADB =|||-|||=0, 所以cos<>==0.故选D. 7.10　∵|a|=4,|b|=6,|c|=2,且<a,b>=<a,c>=<b,c>=, ∴|a+b+c|2=(a+b+c)·(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c =|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|cos<a,b>+2|a||c|cos<a,c>+2|b||c|cos<b,c> =42+62+22+4×6+4×2+6×2=100,∴|a+b+c|=10. 8.　∵2a·(-3b)=-6a·b=-6|a||b|cos<a,b>=-6|a||b|cos=-3|a||b|, ∴cos<2a,-3b>==-,∴<2a,-3b>=. 9.(1)解 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,AB⊥BC,AA'⊥AB,则=0,=0. 又, 所以=()·=0-1+0=-1. (2)证明 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,BB'⊥BA,BB'⊥BC,则=0,=0. 因为M和N分别是BB'和CA'的中点,连接B'D,BD(图略),则N为B'D的中点, 所以MN∥BD且MN=BD,即,则)·)=×(0+0)=0,所以. 10.解 (1)连接ON.因为N为BC中点,所以). 因为,所以,则)-b+c-a. (2)因为正四面体的棱长为1,所以a·b=a·c=b·c=1×1×cos 60°=, 所以=(b+c-a)2=b2+c2+a2+b·c-a·b-a·c=, 所以||=. 11.B　由题可知∠BAC=∠CAD=∠BAD=, 而()·()=()·()=()·(-2) =-2 a2+a2-2a2+a2+a2-2×a2=-=-1, 故a=.故选B. 12.D　在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设AA1=a, 由题可得,, 所以+2. 由题意知,=25,=9,=a2,=54, =||||cos(180°-90°)=0, =||||cos 60°=5×a×a, =||||cos 60°=3×a×a, 所以=25+9+a2+0+a+a=54, 解得a=4或a=-20(舍去),所以AA1的长为4.故选D. 13.C　过点B和D分别作BE⊥AC,DF⊥AC,与AC的交点分别为E,F. 在矩形ABCD中,AB=1,BC=,则AC==2. ∵S△ABC=S△ADC,∴AB·BC=AC·BE=, ∴BE=DF=,则AE=CF=,即EF=2-1=1. ∵平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为-,∴cos<>=-. ∵,∴=()2=+2+2+2+1+-2||||cos<>=-2××(-)==3,则||=,即点B与点D之间的距离为.故选C. 14.[,1]　取AC中点O,则OA=,故=()·()=()·()=.又1≤,则≤1,所以∈[,1]. 15.(1)解 =5×4×cos 60°=10. (2)证明 因为·()==5×4×cos 60°-5×4×cos 60°=10-10=0, 所以. (3)解 因为, 所以=()2=+2-2-2 =16+16+25+0-2×4×5×-2×4×5×=16+16+25-40=17, 则||=,所以A'C=. 16.A　由题可得,, 则a=·() =·() =·()=), |a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b =)2+||2+2×)· (||2-2+||2)+||2+) =×(22-0+22)+22+×(0-0)=+4=, 故|a+b|=.故选A. 7 学科网（北京）股份有限公司 $