第22章 相似形重难点题型训练（七大题型）2026-2027学年 沪科版 数学九年级上册

**基本信息** 相似形重难点题型汇编，聚焦比例性质、动点相似、一线三等角等核心知识点，通过“例题+变式”分层设计，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |已知字母比例求代数式比值|1例+3变式|比例性质、等比性质|基础巩固，多选项辨析强化概念理解| |动点的相似三角形求解|1例+4变式|相似判定、运动轨迹分析|结合几何图形动态变化，渗透分类讨论思想| |一线三等角的相似模型|1例+4变式|模型构造、函数最值|突出几何模型应用，关联二次函数求最值| |相似三角形动点问题的最值|1例+2变式|动点轨迹、最值计算|综合几何与代数，体现中考热点题型| |利用相似三角形的无刻度作图|1例+2变式|位似变换、作图原理|融入直观想象，培养创新作图能力| |相似三角形性质的简单运用|1例+4变式|性质应用、比例线段计算|基础应用与推理证明结合，强化逻辑思维| |手拉手型相似|1例+4变式|旋转相似、全等与相似综合|综合旋转变换，体现知识交汇与综合应用|

相似形 重难点题型汇编 目录 题型1：已知字母比例关系，求代数式比值 2 题型2：动点的相似三角形求解 4 题型3：一线三等角的相似模型 8 题型4：相似三角形动点问题的最值 * 14 题型5：利用相似三角形的无刻度作图 18 题型6：相似三角形性质的简单运用 23 题型7：手拉手型相似 29 题型1：已知字母比例关系，求代数式比值 【例1】已知，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题考查了比例的基本性质．比例的性质为两内项之积等于两外项之积，据此可进行解答． 【详解】解：∵，∴，则A选项正确，符合题意；B选项错误，不符合题意； ∵， ∴设，则， （仅当时成立），则C选项错误，不符合题意； （仅当时成立），则D选项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】已知，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项判断即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， 即，故选项错误，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，故选项正确，符合题意； 、∵， ∴，故选项错误，不符合题意； 、∵， ∴，故选项错误，不符合题意； 故选：． 【变式1-2】已知，则下列式子中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是熟练运用比例的基本性质对式子进行变形． 根据已知，将各选项式子进行变形，看是否能与已知条件建立联系来判断式子是否成立． 【详解】A、已知，设，则，该式子成立； B、同样设不一定等于，该式子不一定成立； C、设，则，该式子成立； D、由，可得，对进行化简：，移项可得，该式子成立， 故选：B． 【变式1-3】如果，那么下列各式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查了比例的基本性质，利用比例的基本性质，或设参数代入验证各选项是否成立． 【详解】解：∵ ∴根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得，故选项D正确． 设，（）验证其他选项： A. ，故A错误； B. ，故B错误； C. ，，显然不相等，故C错误； 故选：D． 题型2：动点的相似三角形求解 【例2】在中，，，．现有动点P从点A出发，沿线段向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动．如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为．当_______秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】2或 【难度】0.65 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间． 【详解】解：由题意得，，则， ∵，， ∴当时，， 即，解得； 当时，， 即，解得． 因此秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似， 故答案为：2或． 【变式2-1】如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为秒，当______秒时，与相似． 【答案】或 【难度】0.85 【分析】本题考查了相似三角形的判定，分和是对应边，和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可求解． 【详解】解：和是对应边时，， ， 即， ， 和是对应边时，， ， 即， ， 综上所述，当或时，与相似， 故答案为：或． 【变式2-2】在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少________秒时，P、Q两点之间的距离为． （2）当t为________时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 【答案】 2秒 或 【难度】0.4 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定，勾股定理，解一元二次方程等，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）设运动时间为秒，，根据勾股定理，列出方程，求解即可； （2）根据相似三角形的判定定理，分两种情况进行讨论，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）点从到的运动时间为，点从到的运动时间为， 设运动时间为秒，，根据题意得， ，， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得或（舍去）， 故答案为：2秒； （2）当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∴结合（1）得，， 解得； 当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∴结合（1）得，， 解得； 综上，或， 故答案为：或． 【变式2-3】如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点P沿BC边以2cm/s的速度从点B向点C移动，同时点Q沿CA边以1cm/s的速度从点C向点A移动．若以点C、P、Q构成的三角形与△ABC相似，则运动时间为____________秒． 【答案】或 【难度】0.65 【分析】首先设点P移动t秒时△CPQ与△ABC相似，然后分别从当，即时，△CPQ∽△CBA，与当，即时，△CPQ∽△CAB，去分析求解即可求得答案． 【详解】设点P移动t秒时△CPQ与△ABC相似， ∵点P从点B以2cm/s的速度向点C移动，点Q以1cm/s的速度从点C向点A移动， ∴BP＝2tcm，CQ＝tcm，则CP＝CB−BP＝8−2t（cm）， ∵∠C是公共角， ∴当，即时，△CPQ∽△CBA， 解得：t＝； 当，即时，△CPQ∽△CAB， 解得：t＝， ∴点P移动s或s时△CPQ与△ABC相似． 故答案为：或 【点睛】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想以及方程思想的应用． 题型3：一线三等角的相似模型 【例3】如图，在中，，点P、D分别是线段上的动点，且始终满足．则的最大值为_____． 【答案】 【难度】0.65 【分析】先根据等腰三角形性质得出，结合三角形外角的性质，证明，设，则，利用相似三角形性质推出，再利用二次函数最值求解，即可解题． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 设，则， ， 整理得， ， 当时，有最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 【变式3-1】如图，等边三角形的边长为16，动点从点出发沿运动到点，连接，作，交于点．①若，则的长为________；②动点从点运动到点时，点的运动路径长为________． 【答案】 3 8 【难度】0.65 【分析】①证明，根据相似三角形的性质即可求解； ②分点P从点B运动到中点和点P从中点运动到点C时，两种情况讨论，利用含30度角的直角的性质即可求解 【详解】解：①∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②如图，当时，，， ∵， ∴，即， ∴， 当点P从点B运动到中点时，点D的运动路径长为， 当点P从中点运动到点C时，点D的运动路径长为， ∴点D的运动路径长为8． 故答案为：3；8． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含30度角的直角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式3-2】如图，中，，．P为边上的一个动点，点D在边上，且始终保持，若为直角三角形，则线段的长为__________． 【答案】8或 【难度】0.65 【分析】因为∠C为定角，D、P为动点，所以△PCD为直角三角形有两种情况： ∠PDC=90°时，△PCD为直角三角形，如详解图，根据等腰三角形三线合一的性质求出BP的长；当∠DPC=90°时，△PCD为直角三角形，如详解图，作，根据△BFA△BAP求出BP的长． 【详解】分两种情况: ∠PDC=90°时，△PCD为直角三角形，如图： ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵∠APD=∠B ∴∠APD=∠C ∵ ∴ 点P为BC中点 ∴ 当∠DPC=90°时，△PCD为直角三角形，如图，作， ， 点为BC中点 ∵∠APD=∠B，∠DPC=90 故答案为：8或． 【点睛】本题考查了等腰三角形，相似三角形的性质和判定，同时还运用了分类讨论的思想，利用相似三角形对应边成比例求线段长是解题关键． 【变式3-3】如图，在中，，点D是边上一动点（不与B、C重合），，交线段于点E，且． （1）若，则的长度是____________；（2）线段的取值范围是____________． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． （1）作于，如图，根据等腰三角形的性质得，再利用余弦的定义计算出，则，设，则，证明，利用相似比可表示出，将代入即可； （2）利用二次函数的性质求的取值范围． 【详解】解：（1）作于，如图， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，即， ， 而， ， ，即， ， 当时，； （2）， 故当时，最大，最大值为6.4， 当时，， 点D是边上一动点（不与B、C重合）， ． 故答案为：，． 【变式3-4】如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，在点D运动的过程中始终保持． （1）当时，________； （2）当点D在上运动时，线段的最大值为________． 【答案】 【难度】0.4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用二次函数的性质求解最值． （1）证明即可求解； （2）设，利用相似三角形的性质得到，然后用表示出，再根据二次函数的性质求解最值． 【详解】解：（1）∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． （2）设，由（1）得， ∴， ∴， ∵ ∴当时，取得最大值， 故答案为：． 题型4：相似三角形动点问题的最值 * 【例4】如图，在中，，，，D为边上一点，连接，过D点作，且，连接，若长最小，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理． 在边上取一点F，使，连接，，可知和均为等腰直角三角形，即，，，可知，相似比为，得到，，，可知E点在直线上运动，当时，长最小，此时，根据勾股定理求出，即可求出长． 【详解】解：在边上取一点F，使，连接，， ∵，，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴，相似比为， ∴，， ∴E点在直线上运动， 当时，长最小， 又，， ∴， ∴ 即， 即． 故选：A． 【变式4-1】如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】当 时，DE有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】连接AE ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴E点的运动轨迹为射线AE ∴当DE最短时， 即当 时，DE有最小值 ∵在 中， ∴ ∵ ∴ 是等腰直角三角形 ∴ ∴DE的最小值是2 故答案为：B．    【点睛】本题考查了相似三角形的性质以线段的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 【变式4-2】已知正方形的边在的边上，点、分别在和上，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．10 【答案】A 【难度】0.65 【分析】过点A作，根据相似三角形的判定和性质得出，作直线，作点C关于直线l的对称点D，连接交直线l于点A，根据两点之间线段最短及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作，    ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作直线，作点C关于直线l的对称点D，连接BD交直线l于点A， 此时取得最小值， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 【点睛】题目主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 题型5：利用相似三角形的无刻度作图 【例5】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在图中画出使它与的相似比为，并写出点的坐标． (2)用无刻度直尺在线段上找一点，使得（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) 如图即为所求；点； (2) 如图，点即为所求；（其它方法合理即可） 【难度】0.65 【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形的点的坐标，相似三角形的判定与性质，无刻度作图． （1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后顺次连接即可，然后写出即可； （2）将点往右平移2格得到点，点往左平移4格得到点，然后连交于点，点为所求．此时，则，故，即． 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-1】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在第一象限内将放大为原来的2倍得到，作出，写出的坐标； (2)请用无刻度直尺在线段作出点D，使得（保留作图痕迹）． 【答案】(1) 即为所求；； (2) 点D即为所求： 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了画位似图形，相似三角形的性质与判定，求位似图形对应点的坐标，熟知相关知识是解题的关键． （1）把点A，B、C的横纵坐标分别乘以2可得到点的坐标，据此作图即可； （2）取格点E、F，连接交于点D，可证明，则，则点D即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为． (2)仅用无刻度直尺在线段上找一点，使（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） 【答案】(1) 则即为所求，如图： (2) 则点P即为所求，如图： 【难度】0.65 【分析】本题考查了位似变换与平行线分线段成比例，利用网格特点构造平行线，将转化为线段比例关系是解决本题的关键． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为，得到，连线成图即可； （2）证明四边形为平行四边形，再利用平行线分线段成比例的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵ 以原点为位似中心，在轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为 即， （2）解：取网格点，，，连接， 在四边形中， 点，，，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 题型6：相似三角形性质的简单运用 【例6】如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键． （1）根据和的长度，再结合平行线分线段成比例即可解决问题； （2）根据题意得出，进而得出，再结合的长即可解决问题． 【详解】（1）解：因为， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以． 【变式6-1】如图，，是的高，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 证明：∵，是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键． （1）根据题意易证，推出，再结合，即可证明； （2）先证明，推出，进而证明，得到，再根据，求出，得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，是的高， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【变式6-2】如图，点是的边上一点，，交于点．延长至点，使，连接，交边于点． (1)若．求； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【难度】0.65 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理及性质是解题的关键． （1）根据易证，推出，求出，再根据即可得出结果； （2）根据易证，推出，结合（1）中，推出，再根据，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 略 【变式6-3】如图，在中，点D在边上，点E、点F在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行线的判定，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行线分线段成比例得到，即可得到，进而得到，即可证明，得到，即可求证； （2）先求出，然后由平行线分线段成比例定理得代入数值即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式6-4】如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且．    (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例． （1）根据平行线的性质得出，，进而得出，即可求证； （2）先得出四边形为平行四边形，则，根据相似三角形的性质得出，求出，即可解答； 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型7：手拉手型相似 【例7】如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，连接．求证：． 【答案】见详解 【分析】可证，，从而可证，可得，即可求证． 【详解】证明：将绕点逆时针旋转得到， ，，， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式7-1】如图1，中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中是点的对应点，且，连接，．    (1)求证：； (2)如图2，当点在线段上时，求； 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）可证，从而可证，可得，可求，即可得证； 【详解】（1）证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ， ， ， ， 在中： ， ， ． （2）解：如图，过作交于，    由旋转得：， ，， ， ， ， 由（1）同理可证， ， ， ， ， 在中： ， ， ， 【变式7-2】如图，中，，，将绕点逆时针旋转（）得，连接． (1)求证：； (2)若，点是的中点，点落在延长线上，求的长； 【答案】(1) 证明：由旋转知：，，， ∴，， ； (2)12 【分析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，勾股定理，锐角三角函数比，矩形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据两边对应成比例，夹角相等即可证明三角形相似； （2）过作，利用勾股定理求出，利用锐角三角函数得出，最后利用相似三角形的性质进行求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 由勾股定理得， ， 点是的中点， ， ， ， 过作， ， ，， ， 由（1）知：， ，即， ； 【变式7-3】在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为（0°＜＜180°），得到△A′B′C． （1）如图（1），当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D．证明：△A′CD是等边三角形； （2）如图（2），连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′．求证：S△ACA′：S△BCB′=1：3； 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【详解】（1）∵AB∥CB′，∴∠B=∠BCB′=30°，∴∠A′CD=60°， 又∵∠A′=60°，∴∠A′CD=∠A′=∠A′DC=60°，∴△A′CD是等边三角形；…………4分 （2）∵AC=A′C，BC=B′C，∴又∵∠ACA′=∠BCB′， ∴△ACA′∽△BCB′，…………6分 ∵相似比为， ∴S△ACA′：S△BCB′=1：3；…………8分 （1）当AB∥CB1时，∠BCB1=∠B=∠B1=30°，则∠A1CD=90°-∠BCB1=60°，∠A1DC=∠BCB1+∠B1=60°，可证：△A1CD是等边三角形； （2）由旋转的性质可证△ACA1和△BCB1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解； 【变式7-4】在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°至的位置． (1)如图1，连接与AB交于点M，则_____，_____； (2)如图2，连接，延长交于点D，求CD的长． 【答案】(1)2， (2) 【分析】（1）由旋转的性质易得出，，即证明为等边三角形，从而得出；连接，延长交于点E．由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出．又易证为等边三角形，即得出，．由“SSS”可证，得出，即得出，，．最后根据，即可求出，最后由即可求解； （2）过点B作于点F．由等边三角形的性质可知．又易证，即得出为等腰直角三角形，从而得出．再根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出，，最后由求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，， ∴为等边三角形， ∴； 如图，连接，延长交于点E． ∵∠ACB=90°，BC=AC=2， ∴． 由旋转可知，， ∴为等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2， （2）如图，过点B作于点F． ∵为等边三角形， ∴． 又∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，较难．正确的作出辅助线是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 相似形 重难点题型汇编 目录 题型1：已知字母比例关系，求代数式比值 2 题型2：动点的相似三角形求解 2 题型3：一线三等角的相似模型 4 题型4：相似三角形动点问题的最值 * 5 题型5：利用相似三角形的无刻度作图 6 题型6：相似三角形性质的简单运用 8 题型专练 题型1：已知字母比例关系，求代数式比值 【例1】已知，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，则下列式子中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如果，那么下列各式中成立的是（   ） A． B． C． D． 题型2：动点的相似三角形求解 【例2】在中，，，．现有动点P从点A出发，沿线段向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动．如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为．当_______秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似？ 【变式2-1】如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为秒，当______秒时，与相似． 【变式2-2】在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少________秒时，P、Q两点之间的距离为． （2）当t为________时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 【变式2-3】如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点P沿BC边以2cm/s的速度从点B向点C移动，同时点Q沿CA边以1cm/s的速度从点C向点A移动．若以点C、P、Q构成的三角形与△ABC相似，则运动时间为____________秒． 题型3：一线三等角的相似模型 【例3】如图，在中，，点P、D分别是线段上的动点，且始终满足．则的最大值为_____． 【变式3-1】如图，等边三角形的边长为16，动点从点出发沿运动到点，连接，作，交于点．①若，则的长为________；②动点从点运动到点时，点的运动路径长为________． 【变式3-2】如图，中，，．P为边上的一个动点，点D在边上，且始终保持，若为直角三角形，则线段的长为__________． 【变式3-3】如图，在中，，点D是边上一动点（不与B、C重合），，交线段于点E，且． （1）若，则的长度是____________；（2）线段的取值范围是____________． 【变式3-4】如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，在点D运动的过程中始终保持． （1）当时，________； （2）当点D在上运动时，线段的最大值为________． 题型4：相似三角形动点问题的最值 * 【例4】如图，在中，，，，D为边上一点，连接，过D点作，且，连接，若长最小，则长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为(    )    A． B． C． D． 【变式4-2】已知正方形的边在的边上，点、分别在和上，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．10 题型5：利用相似三角形的无刻度作图 【例5】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在图中画出使它与的相似比为，并写出点的坐标． (2)用无刻度直尺在线段上找一点，使得（不写作法，保留作图痕迹） 【变式5-1】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在第一象限内将放大为原来的2倍得到，作出，写出的坐标； (2)请用无刻度直尺在线段作出点D，使得（保留作图痕迹）． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为． (2)仅用无刻度直尺在线段上找一点，使（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） 题型6：相似三角形性质的简单运用 【例6】如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 【变式6-1】如图，，是的高，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的值． 【变式6-2】如图，点是的边上一点，，交于点．延长至点，使，连接，交边于点． (1)若．求； (2)求证：． 【变式6-3】如图，在中，点D在边上，点E、点F在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，求的值． 【变式6-4】如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且．    (1)求证：． (2)若，求的长． 题型7：题型五：手拉手型相似 【例7】如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，连接．求证：． 【变式7-1】如图1，中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中是点的对应点，且，连接，．    (1)求证：； (2)如图2，当点在线段上时，求； 【变式7-2】如图，中，，，将绕点逆时针旋转（）得，连接． (1)求证：； (2)若，点是的中点，点落在延长线上，求的长； 【变式7-3】在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为（0°＜＜180°），得到△A′B′C． （1）如图（1），当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D．证明：△A′CD是等边三角形； （2）如图（2），连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′．求证：S△ACA′：S△BCB′=1：3； 【变式7-4】在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°至的位置． (1)如图1，连接与AB交于点M，则_____，_____； (2)如图2，连接，延长交于点D，求CD的长． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $